Grupy symetrii

Wszystkie przekształcenia symetryczne należą do jednego z podstawowych typów wymienionych w tabeli 2.2. Formalna definicja symetrii może być sfor-mułowana nieco inaczej niż definicja 2.14 – w wersji, która podkreśla „tożsa-mość” przekształconego obiektu [72, s. 409].

Definicja 2.15. Symetria obiektu K jest to przekształcenie izometryczne, które

mapuje ten obiekt na ten sam obiekt, tzn. σ(K) = K.

Dla kwadratu (rys. 2.41) linie L1, L2, L3 i L4 są osiami odbić zwierciadlanych będących jego symetriami. Symetriami są również obroty przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem punktu O, o kąty π/2, π i 3π/2122, a także przekształ-cenie tożsamościowe (które jest symetrią każdego obiektu). Kwadrat ma dokład-nie osiem, wymienionych powyżej, symetrii.

__________

121 Edwin A. Abbott, w swojej wydanej w 1884 r. książce Flatland: A Romance of Many

Dimensions (wyd. polskie pt. Flatlandia czyli Kraina Płaszczaków: Powieść o wielu wymiarach,

GWO, Gdańsk, 1994), opisuje przykład fikcyjnego świata na płaszczyźnie, dla którego miesz-kańców tzn. obiektów płaskich, pojawienie się obiektu odwróconego w odbiciu zwierciadlanym było szokiem, gdyż żaden znany im ruch na płaszczyźnie nie pozwalał na taką transformację.

122 W rozważaniach tych nie wprowadza się rozróżnienia pomiędzy obrotem lewoskrętnym o kąt θ a obrotem prawoskrętnym o kąt 2π – θ, ani pomiędzy obrotem o kąt θ a obrotem o kąt θ + 2πk dla dowolnego k [58, s. 27].

Rys. 2.41. Symetrie kwadratu (opis w tekście)

Wszystkie osiem symetrii kwadratu K możemy potraktować jako pewien zbiór przekształceń S(K), który ma właściwości algebraiczne – symetrie mogą być ko-lejno składane (superponowane), a wynik tego działania jest również symetrią. Działanie superponowania symetrii ma swój element neutralny – jest nim prze-kształcenie tożsamościowe. Dla dowolnego elementu zbioru S(K) istnieje element odwrotny, gdyż każda symetria jest inwolucją, tzn. wykonana dwukrotnie daje w wyniku przekształcenie tożsamościowe. Ze względu na taką strukturę algebra-iczną, S(K) stanowi grupę, a liczba elementów (symetrii) zawartych w zbiorze określa rząd grupy. Ponieważ elementami grupy są przekształcenia symetryczne, nazywa się ją grupą symetrii [58, s. 27] [72, s. 410].

Definicja 2.16. Niech K będzie obiektem w przestrzeni E1, E2 lub E3, a σ do-wolnym przekształceniem symetrycznym K. Zbiór tych przekształceń oznaczamy S(K) = {σ| σ: K → K}. Niech na S(K) określone będzie działanie superpozycji przekształceń σj ○ σi , przyporządkowujące dowolnemu elementowi x ∈ K element

σj(σi(x)) ∈ K", gdzie σi: K → K', σj: K' → K". Jeżeli działanie to ma następujące właściwości:

a) dla dowolnych σi, σj, σk∈ S(K) zachodzi zależność σ_k ○ (σj ○ σj) = (σk ○ σi) ○ σi

– zachodzi łączność działania,

b) dla dowolnego σi∈ S(K) istnieje przekształcenie e ∈ S(K), takie, że

σi ○ e = e ○ σi = σi (tzn. istnieje element neutralny działania),

c) dla dowolnego σi należącego do S(K)istnieje przekształcenie σi^–1, takie że σi ○σi^–1 = σi^–1 ○ σi = e (tzn. istnieje przekształcenie odwrotne do σi) to para uporządkowana (S(K), ○) stanowi grupę symetrii obiektu K.

Jeżeli dla obiektu można określić co najmniej jedno przekształcenie syme-tryczne, inne niż przekształcenie tożsamościowe, to mówimy, że jest to obiekt

symetryczny. Jeżeli grupa symetrii obiektu zawiera co najmniej dwie translacje

w kierunkach nierównoległych, to jest to obiekt periodyczny123 [58, s. 29].

Elementem grupy symetrii obiektów skończonych, niewypełniających całej przestrzeni (E2 lub E3) nie może być translacja. Jedynie nieskończone

parkie-__________

123 Periodyczność jest szczególnie istotna w rozpatrywaniu podziałów i wypełnień płaszczy-zny i przestrzeni, patrz rozdz. 3.2.

taże124 mogą mieć grupy symetrii zawierające translację. Wynika z tego, że w grupach symetrii obiektów skończonych elementami są jedynie obroty i odbicia zwiercia-dlane, a zatem obiekty te zawierają co najmniej jeden punkt, który jest przekształ-cany na samego siebie („środek ciężkości”). Jeżeli liczba elementów (przekształ-ceń symetrycznych) w grupie jest skończona, to mówimy o grupie skończonej [29, s. 43].

Grupy te są sklasyfikowane w pięciu izomorficznych kategoriach, które zesta-wiono w tablicy 2.3 i opisane poniżej [152, s.19], [31, wyd. pol. s.300].

Tabela 2.3. Skończone grupy symetrii Kategoria Symbol125 Rząd126 Cykliczne Cn n Dwuścienne Dn 2n Czworościenne A4 2e = 12 Ośmiościenne S4 2e = 24 Dwudziestościenne A5 2e = 60

Grupy symetrii: cykliczne i dwuścienne są jedynymi skończonymi grupami symetrii na płaszczyźnie127 (E2). Pozostałe trzy grupy: czworościenne,

ośmio-ścienne i dwudziestoośmio-ścienne noszą wspólną nazwę grup wielościennych i są

jedy-nymi skończojedy-nymi grupami symetrii w przestrzeni (E3) [31, s. 273].

Grupy cykliczne

Elementami grup cyklicznych są n-krotne obroty. Jeżeli obrót o kąt (2π×j)/n (gdzie 1 ≤ j ≤ n) jest przekształceniem symetrycznym obiektu, to generowana przez takie obroty grupa symetrii składa się z n elementów i jest oznaczana symbolem Cn.

Na rysunku 2.42 przedstawiono dwa przykłady cyklicznych grup symetrii. Tri-skelion128 (rys. 2.42a) ma grupę symetrii C3. Jej elementami są obroty o kąty (2π×1)/3 = 120°, (2π×2)/3 = 240° i (2π×3)/3 = 360° (przekształcenie tożsamo-ściowe). Swastyka (rys. 2.42c) posiada grupę symetrii C4. Jej elementami są

ob-__________

124 Patrz rozdz. 3.2 i 3.3.

125 Symbole oznaczające cykliczne i dwuścienne grupy symetrii są powszechnie przyjęte w literaturze. Symbole oznaczające grupy wielościenne przyjęto za [152, s. 4, 19] i [31, wyd. pol. s. 300].

126 Symbole literowe w kolumnie „rząd grupy” oznaczają odpowiednio: n – krotność obrotu,

e – liczba krawędzi bryły definiującej rodziny osi obrotu.

127 Według Hermanna Weyla, odkrycie, że grupy Cn i Dn są jedynymi skończonymi grupami symetrii na płaszczyźnie zawdzięczamy Leonardo da Vinci, który interesował się nimi w swoich studiach architektonicznych dotyczących symetrii budynków centralnych [163, s. 66, 99].

128 Triskelion (gr. τρισκελης = trójnóg lub trójnożny) jest to stary symbol magiczny. Grecy używali go z głową Meduzy w środku, jako symbolu trójkątnej Sycylii [163, wyd. pol. s. 69], [28, s. 9], znajduje się również w godle wyspy Man [28, s. 9].

roty o kąty (2π×1)/4 = 90°, (2π×2)/4 = 180°, (2π×3)/4 = 270° i (2π×4)/4 = 360°. Takie same grupy symetrii posiadają rysunki ze szkicownika Villarda de Honneco-urt129: ornament w kształcie trzech ryb (rys. 2.42b) i studium sylwetki rzemieślnika (rys. 2.42d).

a) b)

c) d)

Rys. 2.42. Przykłady cyklicznych grup symetrii: a) C3, b), c) C4 (opis w tekście)

Grupy dwuścienne

Grupy dwuścienne charakteryzują symetrię wielokątów regularnych. Grupa symetrii n-kąta jest oznaczana symbolem Dn. Zawiera ona 2n elementów: n obrotów o kąt (2π×j)/n (a zatem grupa cykliczna Cn jest jej podgrupą) i n odbić zwiercia-dlanych [152, s. 22–27].

Przykładem grupy symetrii D3 jest symetria trójkąta równobocznego (rys. 2.42a). Elementami tej grupy są 3 obroty wokół punktu O (podgrupa C3) i 3 odbicia zwierciadlane względem osi L1, L2 i L3. Kwadrat (rys. 2.41) ma grupę symetrii D4, a pięciokąt (rys. 2.43c) – grupę symetrii D5.

Praktycznym sposobem budowy modelu grupy Dn jest ustawienie dwóch luster ma liniach L1 i L2 (rys. 2.41 lub 2.43a), w taki sposób, aby stykały się w punkcie

O. Lustra te będą nachylone do siebie pod kątem π/n. Każdy obiekt umieszczony

pomiędzy nimi będzie miał 2n widocznych obrazów (wraz z samym obiektem) [31, s. 34–35]. Na takiej zasadzie zbudowany jest kalejdoskop130. Na rysunku 2.43b

__________

129 Rysunki 2.42b i 2.42d pochodzą z planszy 38 szkicownika Villarda de Honnecourt.

130 Nazwa kalejdoskop (z gr. καλος = piękny, ειδος = forma, σκοπειν = widzieć) została ułożona przez Sir Davida Brewstera w pracy A Treatise on the Kaleidoscope, Constable, Edinbourgh

przedstawiono obraz z kalejdoskopu o trzech lustrach ustawionych na krawę-dziach trójkąta równobocznego.

a) b)

c)

Rys. 2.43. Przykłady dwuściennych grup symetrii D3 i D5 (opis w tekście)

Grupy wielościenne

Skończone grupy symetrii wielościanów regularnych są szczególnie interesu-jące, gdyż charakteryzują właściwości obiektów znacznie bardziej złożonych niż wielościany w (E2) [152, s. 27–39].

Wielościan regularny o symbolu Schläfliego {p,q} ma v wierzchołków, e kra-wędzi i f ścian. Przekształcenia symetryczne tego wielościanu obejmują obroty względem trzech rodzin osi. Są to:

– osie przechodzące przez środek wielościanu i jeden z jego wierzchołków, – osie przechodzące przez środek wielościanu i środek jednej z jego krawędzi, – osie przechodzące przez środek wielościanu i środek jednej z jego ścian.

__________

(1819), w której opisuje on historię i teorię działania tego przyrządu. Pierwsza praca na temat kalejdoskopu została opublikowana przez Athanasiusa Kirchera w 1646 r. [31, s. 35].

Dla osi przechodzących przez wierzchołki wielościanu operacjami symetrycz-nymi są obroty o kąt (2π×k)/q (gdzie 1 ≤ k ≤ n), ponieważ każdy wierzchołek jest incydentny z q ścianami. Pomijając przekształcenie tożsamościowe, mamy q–1 obrotów dla każdej z osi.

Dla osi przechodzących przez środki krawędzi wielościanu operacjami symetrycz-nymi są obroty o kąt 2π/2 = π, ponieważ każda krawędź jest incydentna z dwoma ścianami. Pomijając przekształcenie tożsamościowe, mamy 1 obrót dla każdej z osi.

Dla osi przechodzących przez środki ścian wielościanu operacjami symetrycz-nymi są obroty o kąt (2π×j)/p (gdzie 1 ≤ j ≤ n), ponieważ każda ściana jest regu-larnym p-kątem, o grupie symetrii Cp. Pomijając przekształcenie tożsamościowe, mamy p–1 obrotów dla każdej z osi [29, s. 46–47].

Rys. 2.44. Osie grupy symetrii ośmiościanu (opis w tekście)

Oprócz wymienionych nie mogą wystąpić żadne inne osie obrotu dla prze-kształceń symetrycznych [31, s. 273]. Dodatkowo należy zauważyć, że każda z osi przechodzi przez dwa charakterystyczne punkty antypodalne: dwa wierzchołki, dwa środki ścian i dwa środki krawędzi (oprócz czworościanu, w przypadku któ-rego naprzeciw wierzchołków leżą środki ścian), co powoduje, że obroty wzglę-dem tych osi są liczone podwójnie. Całkowita liczba obrotów dla danego wielo-ścianu wynosi zatem [29, s. 47]:

( ) ( )

1

1 1 2 1

2⎡_⎣^{v q}− + +^{e f p}− ⎤_⎦= ^e− (2.4) a liczba elementów w grupie, wraz z przekształceniem tożsamościowym (rząd grupy) wynosi 2e. Grupy symetrii dla wielościanów dualnych są takie same. Zatem grupa

ośmiościenna (wielościan {3,4}) jest identyczna z grupą sześcienną (wielościan {4,3}) i zawiera 24 elementy, grupa dwunastościenna (wielościan {5,3}) jest identyczna z grupą dwudziestościenną (wielościan {3,5}) i zawiera 60 elementów. Czworościan {3,3} jest samodualny, a jego grupa symetrii zawiera 12 elementów. Na rysunku 2.44 przedstawiono ośmiościan wraz ze wszystkimi osiami symetrii. Kolor zielony oznacza osie przechodzące przez wierzchołki, purpurowy – osie przechodzące przez środki krawędzi, a cyjan – osie przechodzące przez środki ścian.