Regularność

Zainteresowanie problemem regularności obiektów geometrycznych mające początki już w starożytności, doprowadziło, w ciągu wieków, do wielu interesują-cych i ważnych rezultatów97. Najbardziej znana, ale też i najprostsza definicja regularności98 jest następująca (tzw. definicja indukcyjna) [52, s. 412], [29, s. 15]:

__________

96 Fakt ten był zauważony już przez Galileusza [47, s.117]. W swoim znanym opisie doty-czącym różnych skutków upadku z tej samej wysokości dla różnych istot żywych zauważa on, że struktury naturalne przy zwiększaniu skali stają się słabsze: każda skala wymaga odpowiednich proporcji.

97 Najstarsza zachowana wzmianka o wielościanach regularnych pochodzi z dialogu

Definicja 2.10. d-wielotop jest regularny, jeżeli wszystkie jego ściany (fasety)

i wszystkie figury wierzchołkowe są regularnymi (d–1)-wielotopami.

Równoważne z podaną definicją jest jej sformułowanie, korzystające z wła-ściwości symetrii [52, s. 412]:

Definicja 2.11. d-wielotop P⊂Rd jest regularny, jeżeli dla każdego k,

0 ≤ k ≤ d – 1 i dla każdej (k + 1)-ściany Fk+1oraz (k–1)-ściany Fk–1 incydentnej z Fk+1 istnieje symetria P, taka że dwie k-ściany P incydentne zarówno z Fk+1 jak i z Fk–1 mapują się na siebie wzajemnie (implikuje to, że dla każdych z dwóch k-ścian P istnieje symetria zamieniająca je wzajemnie).

Przykładami wielotopów regularnych w E² są np. trójkąt i pięciokąt równo-boczny z rysunku 2.43 i kwadrat z rysunku 2.41. W ogólności może istnieć wielo-kąt regularny, n-wielo-kąt, o dowolnej liczbie boków.

W odniesieniu do wielościanów, wymagania definicji 2.10 i 2.11 można sprowadzić do spełnienia pięciu warunków:

– wszystkie wielokąty tworzące ściany są wypukłe, – wszystkie wielokąty tworzące ściany są regularne, – wszystkie wielokąty tworzące ściany są przystające, – wszystkie wierzchołki są jednakowe,

– wszystkie kąty dwuścienne pomiędzy ścianami są jednakowe.

W przestrzeni E³ wielościanami regularnymi jest pięć tzw. brył platońskich: czworościan, sześcian (rys. 2.5a), ośmiościan (rys. 2.5b), dwunastościan (rys. 2.9a) i dwudziestościan (rys. 2.7). Nie istnieją żadne inne wielościany foremne⁹⁹. Jednak-że uzupełnieniem tej listy okazały się trzy tzw. nieskończone wielościany forem-ne¹⁰⁰, o symbolach (w notacji konfiguracji wierzchołków): 4⁶ (rys. 2.17), 6⁴, 6⁶. Jeżeli dopuścimy, aby niektóre z podanych wymagań nie były spełnione, to możliwe jest zdefiniowanie dodatkowych rodzin wielościanów, o niższym poziomie regu-larności [171, s. 55].

__________

Suidasa Suda Lexicon zawiera zapis zachowanej jeszcze wówczas tradycji, że Teteusz z Aten, uczeń Sokratesa i przyjaciel Platona po raz pierwszy napisał o „pięciu bryłach”. Przypuszcza się, że to on wprowadził ośmiościan i dwudziestościan, uzupełniając trzy znane wcześniej bryły [92, s. 82–83]. Niezależnie od zachowanych przekazów pisanych, znalezione arte-fakty pokazują, że znajomość wielościanów regularnych jest znacznie starsza. We Włoszech znaleziono wykonane ze steatytu etruskie ozdoby i amulety w kształcie dwunasto-ścianu, pochodzące z ok. 500 r. p.n.e. [200, s. 71], [30, s. 67]. W Ashmolean Museum w Oksfordzie znajdują się precyzyjnie wykonane, neolityczne wyroby kamienne nieznanego przeznaczenia, o kształtach wielościanów regularnych, pochodzące z ok. 2500 r. p.n.e. Przytaczane są również inne argumenty, np. lingwistyczne, mające potwierdzać fakt, że wie-lościany te traktowano jako pewną szczególną grupę obiektów już w czasach przedpitagorej-skich [200, s. 74]

98 W polskiej literaturze używana jest równorzędnie nazwa „wielościany foremne”.

99 Dowód, że nie istnieją inne wielościany regularne podał już Euklides, w XIII księdze swoich Elementów [247, s. 4], [92, s. 83].

Rezygnacja z warunku wypukłości umożliwia zbudowanie czterech

wielościa-nów gwiaździstych, tzw. wielościawielościa-nów Keplera–Poinsota. Przykładem jest mały

dwunastościan gwiaździsty {5/2, 5} (rys. 2.9b).

Odstąpienie od warunku, aby wszystkie ściany były przystające, pozwala określić

wielościany quasi-regularne. Istnieją dwa takie wielościany: sześcio-ośmiościan

(3.4)2 (rys. 2.10a) i dwudziesto-dwunastościan (3.5)2.

Jeżeli oprócz warunku przystawania ścian uwolniony zostanie warunek rów-ności kątów dwuściennych, to otrzymamy wielościany półregularne lub

wielo-ściany archimedejskie. Ściany wielościanów archimedejskich są wielokątami

regularnymi, ale nie wszystkie są jednakowe. Mogą to być dwa lub trzy rodzaje wielokątów. Wszystkie wierzchołki mogą być wzajemnie na siebie przekształcone poprzez działanie jednej z opisanych poniżej grup symetrii. Jest trzynaście takich wielościanów101, przykładem może być sześcio-ośmiościan rombowy wielki102 4.6.8 (rys. 2.10b) [30, s. 72].

Jeszcze szerzej rozumiana regularność dotyczy wielościanów jednorodnych103. Są to wielościany, których ściany tworzą różne wielokąty foremne, a ich figury wierzchołkowe są jednakowe dla wszystkich wierzchołków. Grupa ta obejmuje wielościany platońskie, archimedejskie, niewypukłe wielościany foremne, wielo-ściany gwiaździste i niewypukłe wielowielo-ściany jednorodne104.

Jak wspominano w pkcie 2.2.4, lista wielościanów regularnych jest aż do ostatnich lat uzupełniana o nowe obiekty. Nie wynika jednak z tego, że poprzednie zestawienia były niekompletne i poprzednie warunki regularności były błędnie sformułowane. Przyczyną jest swoista ewolucja definicji wielościanów, która historycznie ulegała coraz większemu uogólnieniu105. Zmienia się również sposób podejście do definiowa-nia regularności. Tradycyjne warunki dotyczyły właściwości lokalnych: przystawadefiniowa-nia ścian, równych kątów itd. Obecnie powszechne jest analizowanie właściwości global-nych, takich jak przechodniość grup symetrii106 [56, s. 641].

__________

101 Oprócz trzynastu podstawowych wielościanów archimedejskich, do grupy tej zaliczane są również graniastosłupy i antygraniastosłupy o podstawie wielokątów foremnych. Ich liczba jest nieskończona (tak jak liczba wielokątów foremnych, mogących stanowić ich podstawę), z tego względu często są pomijane w zestawieniach [30, s. 72].

102 Inna nazwa: sześcio-ośmiościan ścięty [39, s. 107].

103 Termin wielościany jednorodne został wprowadzony w niniejszej pracy, jako odpowied-nik ang. uniform polyhedra, Określenia takiego używa H. Steinhaus, w odniesieniu do parkietaży płaskich, o analogicznych cechach [131, s. 80]. Z kolei R. Duda, w tłumaczeniu pracy [39], używa określenia wielościany jednostajne [39, s. 123].

104 Magnus Weinninger wymienia łącznie 119 wielościanów jednorodnych (z pominięciem graniastosłupów i antygraniastosłupów) [158].

105 B. Grünbaum podaje w pracy [53, s. 471–475] metodę konstrukcji wielościanu regularne-go z dowolneregularne-go wielościanu kombinatoryczneregularne-go spełniająceregularne-go definicję 2.3, którą nazwał

meto-dą podwajania wierzchołków (ang. vertex-doubling). Warunkiem koniecznym i dostatecznym

jest, aby co najmniej jedna ze ścian wielościanu oryginalnego była wielokątem nieparzystym. Jeżeli nie ma takiej ściany, to podana konstrukcja prowadzi do uzyskania dwóch odrębnych wielościanów.

106 Paradoksalnie, pod pewnymi względami, potwierdzają się starożytne konotacje brył pla-tońskich. Platon przypisywał czterem żywiołom poszczególne wielościany: ogień odpowiadał