E FEKT  D OPPLERA NA DRODZE RUCHOMY NADAJNIK  ‐  HYDROFON

Przetwornik nadawczy jest źródłem akustycznej fali sferycznej o częstotliwości f0. Gdy porusza się on z prędkością v, następuje zmiana długości emitowanej fali w otaczającej go przestrzeni. Ilustruje to rys. 2.1, na którym pokazano miejsca geometryczne czoła emitowanej fali, gdy prędkość ma składowe v vx,vy. Czoło fali emitowanej przez nieruchomy przetwor-nik nadawczy w czasie t+T0 zaznaczono linią ciągłą. Linią kropkowaną pokazano czoło fali w tym samym momencie czasu, gdy przetwornik porusza się z prędkością v(vx,vy).

Rys. 2.1. Czoła fali sinusoidalnej emitowanej przez ruchomy nadajnik.

Jeżeli nadajnik jest nieruchomy, a T0 oznacza okres fali emitowanej przez nadajnik, to długości fali jest równa λ=cT0, gdzie c jest prędkością propagacji fali akustycznej w wodzie.

Jeżeli nadajnik porusza się, to długość fali ulega zmianie. Zmiana długości fali spowodowana efektem Dopplera wynosi więc Δλ= λ1- λ=r1-r0. W celu wyznaczenia tej różnicy obliczymy najpierw różnicę kwadratów promieni:

2 1 0 2 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 2

1 r (x X v T ) (y Y v T ) (x X ) (y Y)

r     _x    _y    (2.1)

gdzie x0 i y0 są współrzędnymi nadajnika w chwili początkowej, a X1 i Y1 są współrzędnymi jednego z hydrofonów.

x0,y

x0+vxT0,

r1

X1,Y1 r0

Pobrano z mostwiedzy.pl

Po uproszczeniach powyższy wzór przyjmuje następującą postać:

Jeżeli odległość celu od hydrofonu jest duża, wówczas można pominąć składnik v²T02. Ponadto wyrażenie r12 – r02 można uprościć do postaci [r1-r0] [r1+ro] 2[r1-r0]·r0. Wyko-rzystując te zależności otrzymujemy:

2

Częstotliwość fali emitowanej przez przetwornik nadawczy wynosi f0=1/T0, a odbiera-nej przez hydrofon jest równa f1=1/T1. A zatem mamy:

Odchyłka dopplerowską F1=f1=f0 na drodze nadajnik – hydrofon wynosi więc:

2

Wyrażenie w liczniku wzoru (2.6) jest iloczynem skalarnym wektorówr₀, i v, zaś wy-rażenie w mianowniku opisuje długość r



Jeżeli wektor prędkości v jest nachylony względem osi OX pod kątem β, a wektor r₀ pod kątem α, wówczas (x0-X1)/r0=cosα1, (y0-Y1)/r0=sinα1, vx/v=cosβ, vy/v=sinβ i wzór (2.6) można zapisać jako:

) hydrofonem, którą w literaturze określa się często jako prędkość radialną [19].

Warunki, przy których wyprowadzono ostatnie wzory występują w większości syste-mów radiolokacyjnych i hydrolokacyjnych. W związku z tym podstawowa literatura ograni-cza się do opisu efektu Dopplera za pomocą owych wzorów [20,21,22]. W rozpatrywanym tu systemie odległość ruchomego obiektu od hydrofonu może być względnie mała, co nawet przy małej prędkości obiektu nie uzasadnia stosowania wykorzystanych wyżej przybliżeń.

Widmo sygnału nie może być wtedy opisywane jedną częstotliwością, gdyż zawiera kilka składowych. Podobny efekt występuje w radarach i sonarach z syntetyczną aperturą [23,24].

Pobrano z mostwiedzy.pl

Widmo odchyłki dopplerowskiej można wyznaczyć analizując efekt Dopplera w ujęciu sygnałowym, rezygnując z przedstawionej wyżej interpretacji fizycznej tego zjawiska. W tym celu załóżmy, że przetwornik nadawczy emituje sinusoidalną falę sferyczną, której ciśnienie na powierzchni hydrofonu można zapisać jako:

]

gdzie t jest czasem, f0 częstotliwością fali emitowanej przez przetwornik nadawczy, rn – chwilową odległością źródła dźwięku od n-tego hydrofonu, a A stałą zależną od wydajności źródła dźwięku.

W wyniku ruchu obserwowanego obiektu odległość rn(t) zmienia się w czasie, a więc częstotliwość fali padającej na obiekt jest równa pochodnej [25]:

dt

Załóżmy, że w momencie rozpoczęcia obserwacji nadajnik znajduje się w punkcie o współrzędnych x0, y0 i porusza się ze stałą prędkością v, której wektor pokazano na rys 1.1.

Po czasie t odległość obiektu od źródła dźwięku wynosi:

2

Po obliczeniu pochodnej powyższego wyrażenia i podstawieniu jej do wzoru (2.10) otrzymujemy:

Różnica Fn=fn-f0 jest odchyłką dopplerowską częstotliwości fali akustycznej odbieranej przez n-ty hydrofon, spowodowaną ruchem nadajnika. Jak widać ze wzoru (2.12) odchyłka ta jest w ogólności funkcją czasu. Jeżeli obiekt porusza się z małą prędkością, znajduje się w dużej odległości od przetwornika nadawczego, a czas obserwacji jest krótki, wówczas od-chyłka dopplerowska wyraża się wzorem (2.6)

Na rys. 2.2. pokazano moduł widma |P(Fn)| wyznaczonego numerycznie z dyskretnej transformaty Fouriera sygnału p(t), zapisanego wzorem (2.9), gdy spełnione są założenia do-tyczące wyprowadzenia wzoru (2.6). Częstotliwość F1 odczytana z widma wynosi -94 Hz, a obliczona ze wzoru (2.6) jest równa -94.3 Hz. Błąd wynikający z zastosowanego uproszcze-nia jest więc mniejszy od rozdzielczości widma, która wynosi tu Δf=1/T=1 Hz, gdzie T=1 s jest czasem obserwacji sygnału.

Moduł widma odchyłki dopplerowskiej pokazany na rys. 2.3 odnosi się do sytuacji, gdy obiekt z nadajnikiem przepływa w małej odległości od hydrofonu. Jego szerokość jest wów-czas duża i wynosi około 8 Hz. Częstotliwości graniczne widma odchyłki dopplerowskiej Fn(T) można wyznaczyć ze wzoru (2.12) i wynoszą one:

Pobrano z mostwiedzy.pl

2

gdzie T jest czasem obserwacji sygnału.

-1500 -100 -50 0 50 emitowanej przez ruchomy nadajnik padającej emitowanej przez ruchomy nadajnik, padającej na hydrofon (f0=100 kHz, x0-X1=100 m na hydrofon (f0=100 kHz, x0-X1=10 m, y0-Yn=100 m, vx=1 m/s, vy=1 m/s, T=1s). y0-Yn=10 m, vx=2 m/s, vy=0 m/s, T=1s).

Jak wynika z powyższych wzorów odchyłka Fn(0) odnosi się do celu o współrzędnych x0, y0, a odchyłka Fn(T) do celu o współrzędnych x0+vxT, y0+vyT. Na rys. 2.3 zaznaczono te odchyłki wyznaczone ze wzorów (2.13) i (2.14). Różnica granicznych odchyłek zależy od drogi, którą przebył cel w czasie T oraz od kąta między wektorem r i wektorem . Ilustrują _n to rys. 2.4 i rys. 2.5, na których pokazano różnicę odchyłek dopplerowskich F

v

n=Fn(T)- Fn(0) w funkcji różnicy kątów między tymi wektorami.

0 50 100 150 200 250 300 350

Rys. 2.4. Szerokość widma odchyłki dopplerow- Rys. 2.5. Szerokość widma odchyłki dopplerow- skiej (f0=100 kHz, v=0.5 m/s, T=1 s) skiej (f0=100 kHz, v=2 m/s, T=1 s)

Jest ona najmniejsza, gdy wektory te są równoległe i największa, gdy są prostopadłe.

Przy małej prędkości (rys. 2.4) widmo odchyłki dopplerowskiej zawiera się w jednym lub dwóch prążkach przy rozdzielczości f=1 Hz, a więc cel można traktować jako odległy nawet przy odległości rn=10 m. Przy czterokrotnie większej prędkości (rys. 2.5) widmo odchyłki

Pobrano z mostwiedzy.pl

dopplerowskiej znacznie się poszerza i jego szerokość nie może być zaniedbywana przy odle-głościach rn mniejszych od około 100 m.

Przekształcając wzór (2.14) (DODATEK 1), można widmo odchyłki dopplerowskiej Fn(t) zapisać w przybliżeniu jako:

)

Z powyższej zależności wynika, że efekt Dopplera powoduje liniową modulację często-tliwości. Jak wiadomo, [26,27,28,29,30], widmo zwykłego sygnału sinusoidalnego z liniową modulacją częstotliwości jest prawie prostokątne o częstotliwości środkowej równej często-tliwości nośnej. Efekt Dopplera powoduje dodatkowe przesunięcie skraju widma o odchyłkę Fn(0). Szerokość widma jest opisana drugim członem wzoru (2.15). Na rys. 2.6 pokazano przykładowe zmiany częstotliwości Fn(t), wyznaczone ze wzoru (2.14) a na rys. 2.7 – błędy wynikające z przybliżonego wzoru (2.15). Jak widać, błędy przybliżenia nie mają techniczne-go znaczenia.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1