Płock Branch of Warsaw University of Technology,
Łukasiewicza 17, 09-400 Płock, Poland emu@pw.plock.pl , roman.rumianowski@pw.plock.pl 1. Wstęp
Teoria zderzeń dwóch sprężystych ciał z uwzględnieniem ich deformacji została sformuło-wana przez H. Hertza w 1881r. Hertz obliczył siły kompresji dwóch sprężystych ciał jako funkcję ich deformacji przy zetknięciu się. Otrzymane rezultaty zastosował w odniesieniu do zderzają-cych się ciał. W szczególności Hertz obliczył czas zderzenia tj. interwał między momentem czasu zetknięcia i odskoku kul jako funkcję prędkości nalatującej kuli. Poniżej przedstawiono ćwiczenie laboratoryjne wykonywane przez studentów I stopnia w ramach pracowni fizycznej na Wydziale Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii Politechniki Warszawskiej Filia w Płocku. Jest ono interesującym eksperymentem fizycznym dla którego studenci studiów II stopnia wykonują symulację komputerową.
2. Symulacja komputerowa
W bezpośrednim otoczeniu punktu styczności zderzających się kul naprężenia mechaniczne osiągają znacznie większe wartości niż w dalszych częściach kul. W tym obszarze kula, defor-mując się, może gromadzić energię sprężystości Pozostałą część kuli można traktować jako niezdeformowane ciało w którym energia może być gromadzona w formie energii kinetycznej.
Dlatego w takich zderzeniach można rozdzielić w przestrzeni właściwości sprężyste i bezwład-nościowe. a materiał z którego wykonano kule można traktować jak sprężyny. Drgania własne, które efektywnie będą wzbudzały się w zderzeniu odpowiadają postępowemu ruchowi kuli: dla-tego kule tworzące łańcuch można traktować jako punktowe masy. Uwzględniając powyższe uwagi, utwórzmy łańcuch n punktów (kul) o masie m każdy oddziałujących między sobą za pomocą n-1 sprężyn. Dla każdej sprężyny związek pomiędzy siłą i jej rozciągnięciem możemy wyrazić równaniem: , gdzie xi - przemieszczenie i–tej masy punktowej z poło-żenia równowagi. Taki łańcuch punktowych mas i sprężyn może być opisany układem n równań różniczkowych postaci:
Wykładnik r przyjmuje dla sprężyny Hertza wartość . Współczynnik k dla sprężyny Hertza
można obliczyć ze wzoru: , gdzie R – promień kuli, σ - współczynnik Poisso-na, E – moduł Younga. Symulując ruch układu należy uwzględnić, że oddziaływanie znika gdy
. Dane modelu: n=2 kule stalowe, średnica kuli d = 2R=5cm, współczynnik k dla sprężyny Hertza k= 1.638 · 1010N/m3/2, masa kuli m=0.542kg.
Symulację komputerową można wykonać np. w programie Mathcad, stosując stało-krokową metodę Rungego-Kutty, wykorzystującą funkcję rkfixed. W rezultacie otrzymujemy położenia, pędy i siłę oddziaływania kul jako funkcję dyskretnego czasu dla
zadanej prędkości kuli uderzającej: v0 = 0.443m/s.
3. Wykonanie ćwiczenia
1. Przed przystąpieniem do pomiarów czasu zderzeń kul należy zmierzyć:
a) Średnicę kuli – 2R b) Długość wahadła – l c) Masę kuli - m
Rys. 1. Zależność współrzędnych położenia kuli 1 i 2 od czasu
Rys. 2. Pędy zderzających się kul jako funk-cja czasu zderzenia
Rys.3. Zależność siły oddziaływania kuli 1 i 2 jako funkcja czasu ich kontaktu
2. Połącz obwód elektryczny według rysunku:
3. Włącz generator i przelicznik. Odczekaj 2 - 3 min. Zetknij kule zamykając obwód.
4. GENERATOR
- w lewym panelu generatora ustaw przyciskiem częstotliwość odtwarzania f = 5MHz - 500kHz.
5. LICZNIK
- „mode” – wciśnij Time preset - „multiplet” – wciśnij 1x - „seconds” – wciśnij 100
6. Pokrętłem częstotliwości generatora ustaw liczbę impulsów na liczniku na około N=1.5 · 106 Pozostanie ona niezmieniona w czasie wszystkich pomiarów.
7. Wykonaj 50 pomiarów liczby impulsów N. Wciśnij przycisk „start” i przed następnym pomia-rem wciśnij przycisk „reset”
8. Odchyl kulę o zadany kąt α. Włączając „start” na liczniku, puść jednocześnie kulę tak, aby zderzyła się centralnie w ciągu Δt=1s z kulą spoczywającą. Powtórz tę czynność 5 razy dla 7 – 10 kątów α z przedziału 00 – 100. Zapisz otrzymaną liczbę n impulsów.
4. Opracowanie ćwiczenia
1. Przedstaw w tabeli wyniki pomiarów kątów α, liczby impulsów: n1 , n2 ,…, n5 , wartości śred-nie <n> i śred-niepewności u(n) liczby rejestrowanych impulsów dla 7 - 10 kątów α.
2. Zestaw w tabeli 50 wyników pomiarów liczby N.
Oblicz <N> i niepewność pomiarową u(N).
3. Oblicz prędkość kuli w chwili zderzenia dla zadanych kątów α - zestawienie tabelaryczne 4. Wykonaj wykres zależności czasu zderzenia T(v) w funkcji prędkości v.
Czas kontaktu, prędkość kuli i niepewności tych wielkości oblicz ze wzorów:
Na wykresie zaznacz punkty doświadczalne z niepewnościami pomiarowymi obliczonymi z pra-wa propagacji. Opisz wykres: legenda, jednostki miary itp.
5. Zestaw wyniki testowania modelu teoretycznego
Znaleźć wartość parametru a i b. Poziom ufności ustal na 0.9. Oblicz wartość statystyki te-stowej χ2, liczbę stopni swobody ndf, nanieś aproksymowaną zależność na wykres.
6. Zapisz wynik końcowego pomiaru stałej b, i porównaj z wartością teoretyczną.
7. Podaj własne wnioski.
(klasa generatora)
l=2,17m (długość wahadła)
5. Wyniki pomiarów
l.p α[rad] v [m/s] T [μs] u(T) [μs] u(v) [m/s]
1 0,04363 0,201 215 6,5 0,025
2 0,06981 0,322 192 6,2 0,025
3 0,09599 0,443 184 4,2 0,035
4 0,12217 0,564 173 5,3 0,035
5 0,14835 0,685 168 6,5 0,025
6 0,17453 0,805 162 5,6 0,045
7 0,20071 0,927 156 6,1 0,045
8 0,22689 1,05 154 5,4 0,045
Tab. 1. Zestawienie wyników pomiarów: kąta wychylenia α kuli 1, prędkości v kuli 1, średniego czasu kontaktu kul T, u(T), u(v) – niepewności pomiaru czasu kontaktu i prędkości kuli 1. odpowiednio.
W zderzeniu małych kul o średnicy kilku centymetrów pęd rozchodzi się w znacznie krótszym czasie niż przekaz pędu od jednej kuli do drugiej. Obrazowo mówiąc sprężyna po której pęd
„biegnie” od jednej kuli do drugiej stanowi „wąskie gardło”. Czas zderzenia jest względnie dłu-gi w porównaniu z okresem drgań odpowiadającym najniższej częstości drgań własnych kuli (~10 μs) tj. w porównaniu z czasem przejścia fali przez kulę.
6. Podsumowane
Proponowane ćwiczenie laboratoryjne pozwala studentowi nabyć wiedzę i umiejętności w zakresie:
- mechaniki zderzeń sprężystych opisanych teorią Hertza, zasad zachowania energii i pędu - metodyki eksperymentu fizycznego
- zastosowania metod statystycznych i obliczeniowych analizy danych doświadczalnych - testowania hipotez o zgodności danych doświadczalnych z modelem teoretycznym - symulacji komputerowej układu opisanego dynamicznymi równaniami ruchu - graficznej prezentacji danych doświadczalnych
Literatura
1. Landau, L. D. i Lifszyc, J.M. (2009). Teoria sprężystości. Warszawa: PWN
2. Szydłowski, H.(2003). Pracownia fizyczna wspomagana komputerem. Warszawa: PWN
3. Hanley K., Collins F., Cronin K., Brne E., Moran K., Brabazon D. (2012). Simulation of the impact response of a sliotar core with linear and non-linear contact models. International Journal of Impact En-gineering, 50, 113-122
4. Mulas, E.(2006). Przykłady symulacji komputerowej w fizyce. Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politech-niki Warszawskiej
Rys. 4. Dopasowanie modelu T=av-1/b do danych doświadczalnych