Płock Branch of Warsaw University of Technology, Łukasiewicza 17, 09-400 Płock, Poland
roman.rumianowski@pw.plock.pl , maleckir@pw.plock.pl , izaj@pw.plock.pl 1.Wstęp
Jednym z problemów, które musi rozwiązać wykładowca wystawiając ocenę końcową z modułu kształcenia jest uwzględnienie stopnia osiągnięcia przez studenta wszystkich zakłada-nych efektów kształcenia. Proste obliczenie średniej arytmetycznej czy nawet średniej ważonej z wszystkich efektów niedostatecznie odzwierciedla rzeczywisty stan wiedzy i umiejętności stu-denta. Zastosowanie zbiorów rozmytych w tej problematyce otwiera nowe możliwości.
2. Podstawowe pojęcia
Przez zbiór rozmyty A przestrzeni X rozumiemy zbiór par A={(x,μ_A (x);x ϵ X)}, gdzie μA jest funkcją przynależności
μ_A:X→[0,1].
Jeżeli μA (x)=1 mówimy, że element x w pełni przynależy do zbioru rozmytego A, zaś μA(x)=0 oznacza brak przynależności. W przypadku częściowej przynależności elementu x do zbioru A, 0< μA (x)<1.
Sumę zbiorów rozmytych A i B określa się często za pomocą funkcji przynależności:
μA B(x)=Max(μA(x),μB(x)), a iloczyn tych zbiorów funkcją przynależności
μA∩B(x)=Min(μA(x),μB(x))
Oprócz wyżej wymienionych spójników Min i Max opisano w literaturze szereg innych spo-sobów obliczania sum i iloczynów zbiorów rozmytych. Dobór odpowiedniej T-normy i S-nor-my stanowi kluczowe zagadnienie dla zastosowania zbiorów rozS-nor-mytych w analizie osiągnięcia przez studenta efektów kształcenia. Wspomniane spójniki Min i Max w tym zastosowaniu nie sprawdzają się. Wybrane sposoby obliczania iloczynu i sumy powinny spełniać cztery warunki:
przemienności, łączności, monotoniczności oraz tożsamości jedynki dla iloczynu i odpowiednio tożsamości zera dla sumy. Takie postulaty spełniają T i S – normy.
Ciekawą propozycją wydają się dla tego zastosowania operatory sumy i iloczynu zapropo-nowane przez Schweizera i Sklara:
S(a,b) = 1 - Max[0,((1 - a)-p + (1 - b)-p - 1)-1/p ] T(a,b) = Max[0,(a-p +b-p -1)-1/p ]
Wykresy poniżej przedstawiają dla wybranych wartości przynależności a i b odpowiadające im wartości operatorów sumy S(a,b) i iloczynu T(a,b) w funkcji parametru p.
∩
Jak wynika z wykresów dla dużych wartości parametru p wartość operatora S(a,b) zbliża się do wartości spójnika Max, a operatora T(a,b) do Min. Jednak szybkość zbliżania się do granicznej wartości zależy od drugiego z czynników. Wartości operatorów silnie zależą od parametru p.
Kluczowe wydaje się znalezienie odpowiedniej wartości p dla naszego problemu. Prześledźmy zachowanie się modelu dla wartości parametru p równe 1, 2, 4 oraz 10. Wykresy na Rysunkach 3 i 4 pokazują, że im większa wartość parametru p, tym operatory S i T szybciej osiągają graniczne wartości wyznaczone przez spójniki Max i Min.
Rys. 1 Zależność wartości iloczynu Schweizera i Sklara T(a,b) w funkcji parametru p dla wy-branych wartości funkcji przynależności a i b.
Rys. 2 Zależność wartości sumy Schweizera i Sklara S(a,b) w funkcji parametru p dla wy-branych wartości funkcji przynależności a i b.
Rys. 3 Wpływ wartości parametru p na zacho-wanie się operatora iloczynu T(a,b)
Rys. 4 Wpływ wartości parametru p na zachowanie się operatora sumy S(a,b)
Ostatnim pojęciem, które należy przypomnieć są operacje koncentracji (dla α>1) i rozciągania (dla α<1) opisane zależnością:
μB(x)=[μA(x)]α
3. Zastosowanie zbiorów rozmytych do konstruowania oceny studenta
Prześledźmy proponowany proces konstruowania oceny na rzeczywistych wynikach osiągnię-tych przez studentów filii Politechniki Warszawskiej w Płocku w ramach modułu kształcenia Ma-tematyka. Studenci w trakcie semestru pisali kilka kolokwiów, na których weryfikowano efekty kształcenia z obszaru wiedzy i umiejętności. Za efekty wiedzy można było uzyskać maksymalnie 9 punktów, a za efekty umiejętności 36 punktów. Tabela 1 przedstawia wyniki osiągnięte przez przykładowych pięciu studentów
Student nr 1 8,0 20,0 0,177 0,444 0,622
Student nr 2 7,5 22,0 0,166 0,488 0,655
Student nr 3 6,5 21 0,144 0,466 0,611
Student nr 4 8,0 28,0 0,177 0,622 0,8
Student nr 5 4 16,5 0,088 0,366 0,455
Tab. 1 Konstruowanie średniej ważonej z uzyskanych przez studenta punktów metodą klasyczną Kolumna A przedstawia procentową ilość punktów zdobytych za efekty wiedzy wymnożoną przez wagę 0,2, ponieważ ilość możliwych do zdobycia punktów z efektów wiedzy stanowiła taki ułamek ze wszystkich możliwych do zdobycia punktów. Analogicznie kolumna B dotyczy efektów umiejętności. Ostatnia kolumna to suma wartości A i B, czyli średnia ważona ilości punktów zdobytych z efektów wiedzy i umiejętności.
Rozpatrzmy teraz ten sam problem z wykorzystaniem zbiorów rozmytych.
Aroz=(EW/9)0,8 Broz=(EU/36)0,6 p=3 p=1 p=0,1
Student nr 1 0,910 0,702 0,678 0,657 0,641
Student nr 2 0,864 0,744 0,695 0,666 0,645
Student nr 3 0,770 0,723 0,639 0,595 0,562
Student nr 4 0,910 0,860 0,807 0,792 0,783
Student nr 5 0,522 0,626 0,463 0,398 0,336
Tab. 2 Konstruowanie ostatecznej oceny studenta z wykorzystaniem zbiorów rozmytych.
Aroz w drugiej kolumnie oznacza przynależność studenta do zbioru zaliczonych efektów wiedzy obliczana jako ułamek EW z wszystkich możliwych do osiągnięcia punktów. Ta przynależność została poddana operacji rozciągania dla α=0,8. Jak widać wykorzystaliśmy operację rozciągania jako sposób przypisania wag poszczególnym kategoriom ( wiedzy i umiejętności). Analogicznie obliczana jest przynależność Broz . W tym przypadku przyjęto współczynnik rozciągania α=0,6, ponieważ efekty umiejętności mają większą wagę. W kolumnach 4, 5 i 6 podane są iloczyny
przynależności Aroz i Broz obliczone według operatora iloczynu Schweizera i Sklara dla trzech wartości parametru p podanych w tabeli.
Rys. 5 prezentuje porównanie ostatecznych wyników studentów obliczanych metodą klasyczną i metodą z wykorzystaniem zbiorów rozmytych. Na wykresie przedstawiono procentowy wynik każdego studenta, który podlega następnie zamianie na ocenę z przedmiotu. Studentów uporząd-kowano według rosnącego wyniku obliczanego metodą klasyczną.
4. Wnioski
Jak wynika z ostatniego wykresu metoda z wykorzystaniem zbiorów rozmytych, chociaż najczęściej daje wyższy wynik niż metoda klasyczna, to jednak w przypadku dużej rozbieżności między wynikiem z efektów wiedzy i umiejętności daje wyraźny sygnał do obniżenia oceny (in-tensywne piki na wykresie skierowane w dół). Z tego powodu jest to bardzo cenne narzędzie do rzetelnego ocenienia kompetencji studenta.
Literatura
Rutkowski, L. (2006). Metody i techniki sztucznej inteligencji. Warszawa: PWN
Yager, R., Filev D. (1995). Podstawy modelowania i sterowania rozmytego. Warszawa: WNT
Józefczyk, I., Małecki, R., Rumianowski, R. (2014) Zastosowanie zbiorów rozmytych w ocenie osiągnięcia efektów kształcenia. XXIII Ogólnopolska Konferencja Dydaktyczna, Uniwersytet Łódzki. ( w druku)
Rys. 5 Porównanie ostatecznych procentowych wyników studentów obliczonych metodą klasyczną i metodą z wykorzystaniem zbiorów rozmytych.