Ewolucja jednorodnego i izotropowego Wszechświata

Równania ewolucji czynnika skalowego. Wszechświata płaski.

W jednorodnym i izotropowym Wszechświecie interwał w efektywnej przestrzeni Riemanna może być przedstawiony w metryce Friedmanna –Robertsona- Walkera :

Uwzględniając, że :

równania (11.86) dla ν = 0 i ν = 1 przyjmują postać :

d/dt (V/U1/3 ) = 0 (11.88)

–d/dt [ ( 1 – kr2 )½ r2 ] + 2( 1 – kr2 )– ½ r = 0 (11.89)

Dla składowych ν = 2 i ν = 2 równania (11.86) są spełnione tożsamościowo. Z równań (11.88) i (11.89) wynika :

V/U1/3 = const = β4 ≠ 0 ; k = 0 (11.90)

Zatem, ponieważ układ równań RTG jest układem pełnym, prowadzi on jednoznacznie (w odróżnieniu od OTW), do jednoznacznego rozwiązania – płaskiej przestrzennej (euklidesowej) geometrii Wszechświata. Przy tym przy ustanawianiu płaskości Wszechświata nie potrzebowaliśmy hipotezy inflacyjnej.

Przyjmując :

a2 = U1/3 (11.91)

otrzymujemy :

ds2 = β6[ cdτg2 – (a/β)2 ( dr2 + r2dθ2 + r2 sin2(θ)dϕ2 )] (11.92) gdzie wielkość :

dτg2 = (a/β)3 dt (11.93)

charakteryzuje tempo spowolnienia upływu czasu w przypadku obecności pola grawitacyjnego, w porównaniu z czasem inercjalnym t. Ogólny stały czynnik liczbowy β6 w interwale ds2 jednakowo zwiększa zarówno czas, jak i zmienne przestrzenne. Odzwierciedla on dynamikę ewolucji Wszechświata globalnie, jako całka ruchu. Czas Wszechświata określony jest poprzez wielkość dτ jako czasowopodobną część interwału ds2 :

dτ = β3 dτg = a3dt (11.94)

ds2 = cdτ2 – β4 a2(t) ( dr2+ r2dθ2 + r2 sin2(θ)dϕ2 ) (11.95) TEP materii w efektywnej przestrzeni Riemanna ma postać :

Tµν = ( ρ + p)UµUν – gµνp (11.96)

gdzie ρ, p są odpowiednio gęstością i ciśnieniem materii w jej układzie spoczynkowym, Uµ – jej czteroprędkość.

Ponieważ dla interwału (11.95) g0i i R0i są równe zero, to z równania (11.85) wynika, że :

T0i = 0 i Ui = 0 (11.97)

To oznacza, że w układzie inercjalnym, określanym przez interwał (11.84), materia przy ewolucji Wszechświata znajduje się w stanie spoczynku. Nieruchomość materii w jednorodnym i izotropowym Wszechświecie ( pomijając ruch pekularny galaktyk ) w pewnym sensie odpowiada wczesnym wyobrażeniom jakie o Wszechświecie miał Einstein.

Tzw. „rozszerzanie Wszechświata”, obserwowane z przesuniecie ku czerwieni, jest generowane nie przez ruch materii, a zmiana w czasie pola grawitacyjnego. Uwagę tę należy mieć na uwadze, kiedy będziemy wykorzystywali termin

„rozszerzanie Wszechświata”

Przy opisie interwału (11.95) w czasie własnym τ interwał wejściowej przestrzeni Minkowskiego (11.84) przyjmuje postać :

dσ2 = (c2/a6 )dτ2 – dr2 – r2 (dθ2 + sin2(θ)dϕ2 ) (11.98) W oparciu o (11.95) I (11.98) oraz uwzględniając, że :

R00 = – 3a^•• /a , R11 = β4 ( aa^•• + 2a^•2 ) (11.99)

T00 – ½ Tg00 = ½ ( ρ + 3p ) (11.100)

T11 – ½ Tg11 = ½ β4a2 (ρ – p ) (11.100)

Z równań (11.85) dla czynnika skalującego otrzymujemy :

W przypadku nie występowania materii i fal grawitacyjnych równania (11.101), (11.102) posiadają rozwiązanie trywialne : a = β = 1, tj. nie następuje ewolucja pustego Wszechświata i efektywna przestrzeń Riemanna pokrywa się z przestrzenią Minkowskiego. Zauważmy, że w rozwijanej teorii sensu fizycznego nabiera wartość absolutna czynnika skalowego a.

Przy m = 0 równania (11.101) i (11.102) pokrywają się z równaniami Friedmanna dla ewolucji płaskiego Wszechświata.

Jednakże obecność członów z m ≠ 0 istotnie zmienia charakter ewolucji przy małych i dużych wartościach czynnika skalującego.

Pojawienie się w równaniach (11.101) i (11.102) dodatkowych członów przy m2 ≠ 0

( i w szczególności, członów ~ m2/a6 ) związane jest z różnym upływem czasu inercjalnego t i czasu fizycznego τ (11.94).

Ponieważ grawitacja wpływa na upływ czasu, wskazane człony okazują się wystarczająco duże, aby wpłynąć na charakter ewolucji w silnych polach grawitacyjnych ( bez względu na małość masy grawitonu ). Właśnie w wyniku zmiany upływu czasu inercjalnego w polu grawitacyjnym pojawiły się siły, które przejawiają się jako siły odpychające przy kurczeniu Wszechświata lub jako siły przyciągające w końcowym stadium jego rozszerzania. Proporcjonalność członów w prawej części równań (11.101), (11.102) do kwadratu masy grawitonu – jest to przejaw tego, że tylko przy m2 ≠ 0 efektywna przestrzeń Riemanna zachowuje związek z bazową przestrzenią Minkowskiego.

Przesunięcie ku czerwieni.

Przesunięcie ku czerwieni nie jest związane z rozbieganiem się galaktyk, które zgodnie z (11.97) nie występuje, a ze zmiana pola grawitacyjnego w czasie. Dlatego też w wyniku obecności przesunięcia ku czerwieni nie wynika, że kiedyś tam były wzajemnie bliskie. Zazwyczaj przyjmuje się, że :

„wszystkie warianty modeli Friedmanna mają to wspólnego, że w jakieś tam chwili czasu w przeszłości ( 10 – 20 mld. Lat temu ) odległość pomiędzy sąsiednimi galaktykami powinna równać się zero”

( S. Hawking “Ot bołszogo wzrywa do czernych dyr” Mir 1990 str. 46 )

Teraz zastanowimy się nieco dokładniej na naturze przesunięcia ku czerwieni. Z (11.95) wynika, że prędkość promienia światła jest równa :

dr/dτ = 1/β2a(τ)

Wybierzmy punkt obserwacji w początku współrzędnych (r = 0). Niech z punktu r w ciągu interwału czasu od τ do τ + dτ emitowany jest sygnał świetlny, który w punkt r = 0 przychodzi w przeciągu interwału czasu od τ do τ0 + dτ0, wtedy dla świtała wyemitowanego w chwili τ i zarejestrowanego w punkcie r = 0, w chwili τ0 otrzymujemy :

τ0

∫

dτ/ a(τ) = β2r

τ Analogicznie dla świstała, wyemitowanego w chwili τ + dτ i zarejestrowanego w punkcie r = 0 w chwili τ0 + dτ0,

znajdujemy : τ0 + dτ0

∫

dτ/ a(τ) = β2r τ +dτ

Przyrównując takie wyrażenia, otrzymamy : dτ /a(τ) = dτ0/a(τ0)

lub też przechodząc do częstotliwości światła : ω = (a(τ0)/a(τ))ω0

Stad jest oczywiste, że częstotliwość światła ω w punkcie emisji nie jest równa częstotliwości światła ω0 w punkcie jego rejestracji :

Wprowadzając parametr przesunięcia ku czerwieni z : z = ω – ω0 /ω0 = λ0 – λ /λ

otrzymamy : z = (a(τ0)/a(τ)) – 1

Łatwo zauważyć, że przesunięcie ku czerwieni związane jest ze zmianą tylko czynnika skalującego a(τ), przy takiej zmianie, zgodnie z (11.97) nie występuje jakikolwiek ruch materii. Zatem, natura przesunięcia ku czerwieni związana jest nie z rozbieganiem się galaktyk, którego nie ma, a ze zmianą pola grawitacyjnego w czasie tj. jest związana z tym faktem, że a(τ0) > a(τ).

Niewystępowanie osobliwości kosmologicznej.

Z kowariantnego prawa zachowania gęstości TEP T~νµ = √–g Tνµ :

∇µ T~µν = ∂µ T~µν + Γαβν T~αβ = 0

gdzie – ∇µ pochodna kowariantna, Γαβν - symbol Christoffela w przestrzeni Riemanna wynikającego z równań (5.19), (5.20) i wyrażenia (11.96) otrzymujemy zależność :

– (1/a) da/dτ = [ 1/ 3(ρ + p/c2 )] dρ/dτ (11.103)

Dla równania stanu materii p = f(ρ) wyrażenie (11.103) określa zależność gęstości materii od czynnika skalowego.

W przypadku, kiedy równanie stanu ma postać : p/c2 = ωρ

taka zależność dana jest przez wyrażenie : ρ = cost. /a3(ω + 1)

Dla chłodnej materii, zawierającej ciemną materię i masę barionów, ωCDM = –1 ; dla gęstości radiacyjnej ωr = 1/3 i dla kwintesencji ωq = –1 + ν , ν < 2/3

Zatem, całkowita gęstość materii w równaniach (11.101) i (11.102) ma postać :

ρ = ACDM /a3 + Ar /a4 + Aq /a3ν (11.104)

gdzie ACDM , Ar , Aq – wielkości stałe.

Zgodnie z (11.104) przy małych wartościach parametru skalowego (a<< 1 ) ma miejsce radiacyjno -dominujący etap ewolucji Wszechświata :

ρ ≈ ρr = Ar /a4

Powracając do równania (11.102), możemy zauważyć, że przy a << 1 ujemny człon w prawej części równania wraz ze zmniejszaniem się czynnika skalowego rośnie co do modułu jako 1/a6. Ponieważ lewa część równania jest określona dodatnio, to powinna istnieć minimalna wartość czynnika skalowego :

a min = mc/ (32πGAr )½ = ( m3c2/ 32πGρmax )1/6 (11.105)

Obecność minimalnej wartości czynnika skalowego (11.105) oznacza, że proces spowolnienia upływu czasu przez pole grawitacyjne przy kurczeniu Wszechświata zatrzymuje się. Dlatego tez pole grawitacyjne nie może poprzez swoje działanie zatrzymywać upływu czasu.

Zatem, dzięki niezerowej macie grawitonu, a więc dzięki obecności efektywnych sił, związanych ze zmiana upływu czasu wyeliminowano osobliwość kosmologiczna i rozszerzanie Wszechświata rozpoczyna się od skończonej wartości czynnika skali (11.105). Właśnie tutaj przejawia się zadziwiająca własność pola grawitacyjnego – generowania w silnych polach siły odpychającej, która zatrzymuje proces kurczenia się Wszechświata i dalej umożliwiając jego przyspieszone rozszerzanie.

Należy osobno zauważyć, że standardowo wykorzystywane tutaj słowa „grawitacyjne siły ściskające”, „grawitacyjne siły odpychające” oznaczają, że wzrost i ubywanie gęstości i ciśnienia materii we wszechświecie następuje nie w wyniku gradientu ciśnienia, którego w danym przypadku nie ma, a w wyniku zmiany tempa upływu czasu i objętości zajmowanej przez dana masę pod wpływem działania zmieniającego się w czasie pola grawitacyjnego.

W oparciu o (11.101) i (11.105) możemy określić początkowe przyspieszenie, które jest „impulsem” do rozszerzania Wszechświata. Jest ono równe :

(1/a) d2a/dτ2 |τ =0 = (8πG/3) ρmax

a zatem w RTG w stadium ewolucji Wszechświata dominacji promieniowania w okresie przyspieszonego rozszerzania, który poprzedza friedmanowskie stadium rozszerzania , krzywizna skalarna będzie różna od zera i przy τ = 0 :

R = – (16πG/c2 )ρmax

RρλµνRρλµν = 8 • 3–7 [ (32πG/c2 )ρmax ]2

Ponieważ krzywizna skalarna R i inwariant RρλµνRρλµν zależne są od ρmax, to można oczekiwać intensywnej kreacji grawitonów w jednorodnym i izotropowym Wszechświecie w stadium dominacji promieniowania. Tak może pojawić się relatywistyczne reliktowe tło promieniowania grawitacyjnego pochodzenia nie termicznego (zobacz szczegóły w podrozdziale 14 ). W OTW w takim Wszechświecie w stadium dominacji promieniowania kreacja grawitonów nie jest możliwa.

Niemożliwość nieograniczonego „rozszerzania się Wszechświata”.

Rozpatrując pole grawitacyjne ϕµν jako pole fizyczne w przestrzeni Minkowskiego, należy wymagać spełnienia zasady przyczynowości. To oznacza, że stożek świetlny w efektywnej przestrzeni Riemanna powinien leżeć wewnątrz stożka świetlnego przestrzeni Minkowskiego tj. dla ds2 = 0 spełniona jest nierówność dσ2 ≥ 0.

Zapisując dσ2 w sferycznym układzie współrzędnych :

dσ2 = c2dt2 – ( dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2(θ) dϕ2 ) (11.106)

i określając przestrzenną część interwału z warunku ds2 = 0, otrzymujemy : dσ2 = c2dt2 ( 1 – a4/β4 ) ≥ 0

tj.

( a4 – β4 ) ≤ 0 (11.107) Zatem, czynnik skalowy a(t) jest ograniczony przez warunek a ≤ β i dlatego naturalnym jest przyjąć :

amax = β

Przy takim wyborze amax tempo upływu czasu dτg w punkcie zatrzymania rozszerzania Wszechświata staje się równe tempu upływu czasu inercjalnego t w przestrzeni Minkowskiego, chociaż druga pochodna czynnika a po czasie, a zatem i krzywizna skarlana są różne od zera. Od tego punktu następuje ściskanie pod wpływem sił przyciągania i będzie

następowało spowolnienie tempa upływu czasu dτg aż do punktu zatrzymania ściskania, kiedy to pod wpływem sił odpychających rozpoczyna się proces odwrotny przyspieszenia upływu czasu do tempa upływu czasu inercjalnego t przestrzeni Minkowskiego. Właśnie te następstwa fizyczne wymagają spełnienia warunku amax = β. Jak przekonamy się dalej ( zobacz (11.20)), wartość wielkości β jest określona przez całkę ruchu.

Warunek (11.107) nie dopuszcza nieograniczonego wzrostu czynnika skalowego w czasie tj. nieograniczonego

„rozszerzania” Wszechświata ( we wskazanym powyżej sensie). Zauważmy, że sam Wszechświat jest przy tym nieskończony, ponieważ współrzędna radialna jest dobrze określona w obszarze 0 ≤ r ≤ ∞.

Ewolucja wczesnego Wszechświata

W epoce dominacji promieniowania Wszechświata ( ρ = ρr ) równania (11.101), (11.102) przyjmują postać :

[ (1/ξ ) dξ /dτ ]2 = (1/τr2 ) ( 1 – 1/ξ2 ) (1/ξ4 ) (11.108)

W OTW lewa część tego równania w epoce dominacji promieniowania jest równa zero i dlatego ma miejsce stadium Friedmanna, kiedy to czynnik skalowy a(τ) zmienia się w czasie zgodnie z prawem τ½.

W RTG zgodnie z powyższym równaniem w epoce dominacji promieniowania istnieje stadium „do Friedmannowskie” – stadium rozwoju Wszechświata, gdzie krzywizna skalarna :

Rozszerzania przyspieszone następuje zgodnie z (11.109), do wartości ξ = √2 tj. a = √2 amin w czasie : τin = τr ½ [ √2 + ln(1 + √2 )] ≅ 1,15 τr

Wielkość a^•/a osiąga swoją wartość maksymalną [a^•/a ]max = 2/3√3 τr nieco wcześniej – przy a/amin = √(3/2) i przy τ ~ 0,762τr. Większe przyspieszenie przy wzroście czynnika skalowego od jego wartości minimalnej

(a^•/a )0 = 1/τr2 jest związane z siłami efektywnymi, pojawiającymi się w wyniku różnego upływu czasu t i τ

(zobacz równanie (11.94)), generowanym przez działanie grawitacji. Właśnie te siły są generowane przez człon m2/a6 w równaniach (11.101), (11.102). Przy τ > τin przyspieszenie zamienia się na spowolnienie. Przy ξ >> 1 rozszerzanie (11.110) wchodzi na reżim friedmannowski, odpowiadający stadium dominacji promieniowania :

a(τ) = amin ξ ≅ amin (2τ/τr )½

i charakterystycznej dla tego reżimu zależności :

ρ ≅ ρr(τ) = 3/32πGτ2 ; τ >> τr (11.111)

Dla spełnienia w pierwszych sekundach po rozpoczęciu rozszerzania warunków nukleosyntezy pierwotnej wystarczy, aby τr <~ 102 [s]

Odpowiadające temu wymaganiu ograniczenie nakładane na wielkość ρmax jest bardzo słabe : ρmax > 2 ^• 1010 [g/cm3 ]

Wartość ρmax przy energiach kT ≅ 1 [TeV] odpowiadających skali oddziaływania elektrosłabego i przy uwzględnieniu wszystkich stopni swobody leptonów, kwarków itp. ma wartość :

ρmax ≅ 1031 [g/cm3 ]

a w skali wielkiej unifikacji kT ≅ 1015 [GeV] : ρmax ≅ 1079 [g/cm3 ]

Zatem, ponieważ czynnik skalowy nie może być równy zero , to oznacza to, że zgodnie z RTG żadnego „wielkiego wybuchu” w ewolucji Wszechświata być nie mogło.

W przeszłości materia we Wszechświecie znajdowała się w polu grawitacyjnym w stanie o dużej gęstości i wysokiej temperaturze, o czym świadczy promieniowanie reliktowe, następnie materia ewoluowała tak jako to opisano powyżej.

Całkowita względna gęstość materii i masa grawitonu.

Niech a0 – będzie współczesną wartością czynnika skalowego, ρc0 – gęstością krytyczną, związaną ze współczesną wartością stałej Hubble’a H = ( 1/a da/dt )0 poprzez zależność :

H2 = (8πG/3) ρc0 Wprowadzając zmienna : x = a/a0

i stosunki gęstości :

Ωr0 = ρr0 /ρc0 ; Ωm0 = ρm0 /ρc0 ; Ωq0 = ρq0 /ρc0

z uwzględnieniem zależności (11.104) można zapisać równania (11.101), (11.102) w postaci :

Ponieważ a0 >> 1, to dla współczesnej wartości wielkości z (11.112) otrzymujemy : 1 = Ωtot0 – f2/6

tj. całkowita względna gęstość jest równa :

Ωtot0 = ρtot0 /ρc0 = Ωr0 + Ωm0 + Ωq0 = 1 + f2 /6 (11.115) Stąd widzimy, że chociaż masa spoczynkowa grawitonu jest nadzwyczaj mała, jest ona praktycznie mierzalna, ponieważ do wielkości obserwowalnej Ωtot0 wchodzi ona w kombinacji z bardzo dużym czynnikiem mg2 ( c2/hH )2.

Zatem, Wszechświat posiadający (zgodnie z RTG ) euklidesową geometrię przestrzenną, powinien charakteryzować się wielkością Ωtot0 > 1, podczas, gdy w OTW dla płaskiego Wszechświata wielkość ta jest prawie równa jedności.

Równanie (11.115) daje możliwość ocenienia masy grawitonu w związku z najnowszymi eksperymentami pomiaru wielkości Ωtot0 i H.

Górna granica na masę grawitonu.

Określenie parametrów kosmologicznych, wychodząc z obserwacji asymetrii kątowej CMB, prowadzi do wartości średniej Ωtot0 > 1. Odnosi się to zarówno do pierwszych ilościowych eksperymentów COBEΩ(21) , Maxima(22) i

Boomerang-98(23) , których połączenie daje wartość(24) : Ωtot0 = 1,11 ± 0,07

Dane z eksperymentu WAMP(25) ( bez danych związanych z obserwacją SN1(26) i katalogu 2dFGRS(27) i SDSS(28) ) dają w zależności od wyboru parametrów wartości (29) :

Ωtot0 = 1,095 ( + 0,094 ; – 0,144 ) i Ωtot0 = 1,086 ( + 0,057 ; – 0,128 )

W granicy błędów wartości te nie są sprzeczne z wartością Ωtot0 = 1, wynikającej z modelu inflacji, jednakże mogą one wskazywać również na istnienie niezerowej masy grawitonu, zgodnie z zależnościami (11.114), (11.115)

W każdym przypadku, jeśli weźmiemy wartość Ωtot0 = 1,3, przewyższającą więcej niż 2σ wartość średnią Ωtot0 , to z (11.114) i (11.115) otrzymujemy z pewnością 95% górną granicę masy grawitonu.

Wielkość f z zależności (11.114) dogodnie jest przedstawić w postaci stosunku masy grawitonu do wielkości mH = hH/c2 = 3,80 • 10–66 h

którą można byłoby nazwać „masą Hubble’a“.

Przy f2/6 = 0,3, górna granica na masę grawitonu będzie równa : mg ≤ 1,34 mH ≈ 5,1 • 10–66 h [g]

lub przy h = 0,7 :

mg < 3,6 • 10–66 [g] (11.116)

Comptonowska długość fali grawitonu okazuje się być porównywalna z hubblowskim promieniem Wszechświata c/H : h/mg c <~ 0,75 (c/H)

Otrzymane wcześniej oceny górnej granicy na masę grawitonu były oparte na tym, że potencjał grawitacyjny w przypadku niezerowej masy grawitonu powinien posiadać formę potencjału Yukawy. Wychodząc z analizy dynamiki klastrów galaktyk i konserwatywnych ocen odległości ~ 600 [kpc], na których istnieją jeszcze wiązania grawitacyjne pomiędzy galaktykami w klastrach w pracach Hiida E. K. , Yamaguchi Y. – Progr. Theor. Suppl. Extra number 1965 P. 261 – 297 Goldhaber A. S. , Nieto M. M. Phys. Rev. D. 1974 Vol. 9 P 119 – 1121 została otrzymana górna granica na masę grawitonu :

mg < 2 • 10–62 [g]

Nasza ocena (11.116) o więcej niż 104 razy wzmacnia wskazane ograniczenie. Jest to związane z tym faktem, że rzetelna analiza pola grawitacyjnego w przestrzeni Minkowskiego zawiera w sobie nie tylko równanie, zgodnie z którym potencjał słabego pola grawitacyjnego ma formę potencjału Yukawy, ale i ogólne równania grawitacji (5.19), (5.20) są zgodne ze wszystkimi zjawiskami grawitacyjnymi w Układzie Słonecznym i mogą być stosowane do całego Wszechświata tj. na

odległościach rzędu c/H ≅ 1028 [cm], 104 razy większych niż odległości pomiędzy grawitacyjnie związanymi sklasteryzowanymi galaktykami.

Całka ewolucji Wszechświata i współczesna wartość czynnika skalowego.

Wykorzystując zależność` (11.103) można wykluczyć ciśnienie p w równaniu (11.101) i sprowadzić go do postaci : (1/a) d2a/dτ2 = (4πG/3)[ a (dρ/da) + 2ρ ] – 1/6 (mc)2 [ 1 – 1/a6 ]

I dalej zapisać go w formie :

d2a/dτ2 + dV/da = 0 (11.117)

gdzie :

V = –(4πG/3) a2ρ + 1/12 (mc)2 ( a2 + 1/2a4 ) (11.118) Mnożąc obie części równania (11.117) przez da/dτ otrzymamy :

d/dτ [ ½ (da/dτ)2 + V ] = 0 lub

½ (da/dτ )2 + V = E = const. (11.119)

Wyrażenie (11.119) przypomina energię masy jednostkowej. Jeśli wielkość a miałaby wymiar długości, to pierwszy człon w wyrażeniu (11.119) odpowiadałby energii kinetycznej, a drugi – energii potencjalnej.

Wielkość : ( –4πG/3 ρa2 )

występująca w wyrażeniu (11.118) odpowiada potencjałowi grawitacyjnemu na granicy kuli o promieniu a, wypełnionej materią o stałej gęstości ρ, a dodatkowe człony w (11.118), proporcjonalne do m2 – efektywnym siłom, pojawiającym się (jak już powiedzieliśmy wcześniej ) w wyniku wpływu grawitacji na upływ czasu.

Wielkość E jest całka ewolucji Wszechświata. Jest ona skrajnie mała, ale przy m ≠ 0 jest różna od zera. Wyrażając (da/dτ)2 w równości (11.119) z równania (11.102), otrzymamy :

E = (mc)2 /8β4 (11.120) Zatem, potencjał β wchodzący do całki (11.95) i zgodnie z (11.107) ograniczający wzrost czynnika skalowego a, wyraża się poprzez całkę ruchu E.

Całki ruchu teoria nie określa. Zatem jak ona jest zadana ?

W dalszej kolejności będzie nam potrzebna wartość czynnika skalowego a0. Ocenę tej wielkości można otrzymać z następujących rozważań. Zakładając, że ewolucja Wszechświata rozpoczyna się w epoce dominacji promieniowania, dla stosunku a0 /amin otrzymujemy :

a0 /amin = (ρmax /ρr0 ) ¼

ρr0 - współczesna gęstość energii radiacyjnej

W określony sposób ρr0 może być wyrażona poprzez gęstość względną Ωr0 i gęstość krytyczną ρc0 : ρr0 = Ωr0 ρc0 = Ωr0 ( 3H2 /8πG )

Zatem :

a0 /amin = (8πG/3 ) (ρmax /H2 Ωr0 ) ≈ 1,34 • 1010 (Gρmax ) ¼ gdzie Gρmax wyrażono w [1/s2 ]

( przy obliczaniu czynnika we wskazanym wyrażeniu wykorzystano standardowe wartości H = h / 3,0857 • 1017 [s];

Ωr0 = Ωγ0 = 2,471 • 10–5/h2 )

Wykorzystując definicje (11.114) można przedstawić wartość amin występującą w wyrażeniu (11.105) w postaci : a = ( f2/6 )1/6 (3/16π) (H2 /Gρmax )1/6 = 8,21 • 10–7 ( f2/6 )1/6 [ 1/(Gρmax )1/6 ]

Dla wielkości a0 ze stosunku a0 /amin otrzymujemy :

a0 = ( f2/6 )1/6 (2π/3) (Gρmax /H2 )1/12 [ 1/ (Ωr0 )¼ ≅ 1,1 • 104 (f2/6)1/6 (Gρmax )1/12 a0 przy ρmax wzięte na skali elektrosłabej jest równe :

a0 ≅ 5 • 105

a na skali wielkiej unifikacji : a0 ≅ 5,5 • 109

Jak już mówiliśmy wcześniej, w RTG nabiera sensu wartość absolutna czynnika skalowego. Przy średniej wartości Ωtot = 1,02 ( tj. f2/6 = 0,02 ) i ρmax ~> 1010 [ g/cm3 ] wielkość a0 >> 1.

To uzasadnia przybliżenia, które wykonaliśmy przy wyprowadzeniu równości (11.115).

We Wszechświecie energia materii i pola grawitacyjnego, odniesiona do czasu własnego τ i oznaczona dalej primami, zmieniają się w czasie w oparciu o zależności (8.1) i (11.95) zgodnie z prawem :

a6(τ) ( T’00 + τ’g00 ) = [ (mc)2 /16πGβ6 ] ; gdzie β >> 1 Z wykorzystaniem gęstości wyrażenie to przyjmuje postać:

√–g a3(τ) ( T’00 + τ’g00 ) = (mc)2 /16πG Stąd widać, że w chwili obecnej wielkość : T’00 + τ’g00

jest bardzo mała.

RTG i stały człon kosmologiczny : ΛCDM – teoria. Wymaganie istnienia kwintesencji z ν > 0.

Jak już mówiliśmy, przy analizie pola grawitacyjnego w charakterze pola fizycznego w przestrzeni Minkowskiego należy postawić wymaganie spełnienia zasady przyczynowości. Wymaganie to, zastosowane do ewolucji Wszechświata prowadzi do nierówności (11.107), zgodnie z która czynnik skalowy jest ograniczony przez nierówność a ≤ amax = β.

Innymi słowy, zgodnie z RTG, niemożliwe jest nieograniczone rozszerzanie Wszechświata. Aparat matematyczny RTG automatycznie zapewnia spełnienie tego warunku w przypadku, kiedy gęstość materii zmniejsza się wraz ze zwiększaniem się czynnika skalowego. Struktura członu proporcjonalnego do mg2 w równaniu (11.102) jest taka, że dzięki dodatniej określoności lewej części równania człon trzeci w nawiasach zapewnia niewystępowanie osobliwości kosmologicznej przy a << 1, a człon pierwszy ogranicza minimalną wartość gęstości materii ( i tym samym ogranicza od góry wielkość czynnika skalowego ) przy a >> 1.

Warunek :

ρ(8πG/3) – [(mc)2/6 ] = 0 zapisany w postaci : H2ρ/ρc0 – (mc)2/6 = 0

Gdzie H – współczesna wartość stałej Hubble’a, prowadzi do równości : ρmin = (mc)2ρc0/ 6H2

lub też w innej formie :

ρmin /ρc0 = f2/6 = Ωtot0 – 1 (11.122)

Polowa teoria grawitacji okazuje się być niezgodna z istnieniem stałego członu kosmologicznego, odpowiadającego sile odpychającej i prowadzącej do nieograniczonego rozszerzania Wszechświata. W istocie, przy a >> 1 z równania (11.112) i zasady przyczynowości (11.107) dla ν = 0 wynika :

ΩΛ0 < f2/6

Jednakże nierówność ta jest niezgodna z warunkiem : ΩΛ0 > f2/6

który jest wymagany, aby w obecnej epoce, zgodnie z równaniem (11.113), istniało przyspieszone rozszerzanie Wszechświata.

Zatem, jedyna możliwością wyjaśnienia w ramach RTG obserwowanego w obecnym czasie przyspieszonego rozszerzania Wszechświata jest istnienie kwintesencji z ν > 0 lub tez jakieś innej substancji, której gęstość zmniejsza się wraz ze zwiększaniem się czynnika skalowego ( jednakże nie szybciej niż const/ a2 ) RTG wyklucza możliwość istnienia zarówno stałego członu kosmologicznego (ν = 0 ) odpowiadającego odpychaniu, jak i „fantomowego” rozszerzania (ν < 0 ) ( Caldwell R. R. ; Kamionkowski M. ; Weinberg N. N. Phys. Rev. Lett. 2003 Vol. 91 No 7 071301- 4p )

Czasowe ograniczenia przyspieszenia Wszechświata.

Najsilniejsze ograniczenia nakładane na wielkość : Ωtot0 = 1,018–0,022+0,013

otrzymane przez eksperyment WAMP w ramach ΛCDM – modeli z przywołaniem danych z katalogu galaktyk SDSS i danych z obserwacji supernowych SN1a w granicach 1σ, dopuszczają wartość Ωtot0 = 1,03. Wartości te w ramach RTG, zgodnie z zależnościami (11.114), (11.115) określają masę grawitonu :

mg = 0,424 mH = 1,6 • 10–66h

W dalszej kolejności dla konkretyzacji będziemy wykorzystywali właśnie taką wartość masy grawitonu.

Ponieważ do początku epoki współczesnego przyspieszenia Ωr << Ωm i a >> 1, to początek i koniec przyspieszonego rozszerzania jest określony zgodnie z (11.113) przez pierwiastki x1 < x < x2 równania F(x) = 0 , gdzie funkcja : F(x) = ( Ωm0/x3 ) – 2( 1 – 3ν/2 ) ( Ωq0 /x3ν ) + 1/3 f3

Etap przyspieszenia jest możliwy, jeśli ν < 2/3. Przy tym wartość pierwszego pierwiastka x1 jest związana z przesunięciem ku czerwieni Z1 odpowiadającym początkowi epoki przyspieszenia :

1/x1 = a0 /a1 = Z1 + 1 (11.123)

Rys. 1 Jakościowe krzywe zależności czynnika skalowego, prędkości i przyspieszenia od czasy τ. τin = 1,15τr , a poprzez τ0 oznaczono współczesną chwilę czasu.

Czas od początku rozszerzania Wszechświata do początku współczesnego przyspieszenia można ustalić z równania (11.112). Zaniedbując rozciągłość czasową epoki dominacji promieniowania oraz wartością czynnika skalowego a pod koniec tej epoki, otrzymujemy :

gdzie zgodnie z praca Bennett C. L. Et. al. // Astrophys J. S. 2003 Vol. 148 P 1 – 28 ; Spergel D. N. Et. al. // Astrophys J.

S. 2003 Vol. 148 P. 175 – 194. przyjęto następujące wartości : Ωm0 = 0,27 , Ωq0 = 0,73

Odpowiednio, czas zakończenia epoki przyspieszonego rozszerzania i przejścia do spowolnienia jest równy : x2

τ2 = (1/H)

∫

dx/ x [ Φ(x) ] ½ 0

a współczesny wiek Wszechświata : 1

τ0 = (1/H)

∫

dx/ x [ Φ(x) ] ½ 0

Fizyczna odległość jaką pokonało światło (horyzont cząstek ) do chwili obecnej jest określona przez wyrażenie :

Wielkość ta określa rozmiar obserwowalnego Wszechświata do chwili obecnej. Horyzont zdarzeń jest określony wzorem : ∞

dc = a(τ)

∫

dσ /a(σ) τ

Ponieważ taka całka staje się równa nieskończoności, to horyzont zdarzeń w naszym przypadku nie występuje. To

oznacza, że z dowolnego obszaru Wszechświata do nas może przyjść informacja o zdarzeniach, mających miejsce w chwili τ. Informacje taką można otrzymać z pomocą fal grawitacyjnych, ponieważ mają one możliwość przechodzenia przez epoki w których występowała duża gęstość materii.

Jakościowo (bez uwzględnienia skali ) zależność czasowa czynnika skalowego, prędkości jego zmiany a^• i a^••

przedstawiono na rysunku 1. Na początku czynnik skalowy zwiększa się od swojej wartości minimalnej amin z dużym przyspieszeniem, które w przeciągu krótkiego czasu τin staje się równe zero. Prędkość w takim odcinku czasu zwiększa się od wartości zerowej do wartości maksymalnej. Czynnik skalowy zmienia się wtedy nieznacznie :

a(τin) = √2 amin

Dalej następuje rozszerzanie z ujemnym przyspieszeniem, które w pewnej chwili czasu τ1 staje się równe zero. Prędkość przy tym spada i nieco później od τ1 osiąga ona swoją wartość minimalną. Czynnik skalowy na takim odcinku czasu cały czas wzrasta (rozszerzenie jest kontynuowane ). Ruch z dodatnim przyspieszeniem jest kontynuowany do chwili τ2.

Prędkość i czynnik skalowy przy tym zwiększają się. Przy τ > τ2 ma miejsce rozszerzanie z ujemnym przyspieszeniem do tej pory, póki w chwili τ3 rozszerzenie nie zatrzymuje się.

Czynnik skalowy osiąga przy tym swoją wartość maksymalną, półcykl kończy się i wszystko powtarza się w odwrotnym kierunku – epoka rozszerzania zamienia się w epokę kurczenia. Dla wielkości a^•/a pierwsze maksimum ma miejsce przy : a = √3/2 amin ( τ ~ 0,76 τr )

nieco wcześniej τin , drugie maksimum – wczesniej przy τ2.

Minimum a^•/a ma miejsce później od τ1.Wynika to z tego faktu, że wielkość d/dτ (a^•/a) = (a^••/a ) – (a^•2/a2 ) przy a^•• = 0 jest ujemna.

W dokumencie Relatywistyczna teoria grawitacji (Stron 44-56)