Relatywistyczna teoria grawitacji

################################################################################

Relatywistyczna teoria grawitacji

A. A. Łogunow

Tytuł oryginału : „Релятивистская теория гравитации”

Moskwa Nauka 2006

************************************************************************************************

Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2015

Ostatnia modyfikacja : 2015-10-01 Tłumaczenie całości książki (bez dodatków ).

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Wstęp własny

Jako tekst wstępny polecam książkę : A.A. Łogunow --

WYKŁADY Z TEORII WZGLĘDNOŚCI I GRAWITACJI. Współczesna analiza problemów Moskwa „Nauka” 1987 Wydanie I

Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu (własne ).

CP – czasoprzestrzeń.

MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna UO – układ odniesienia

IUO – inercjalny układ odniesienia IUW – inercjalny układ współrzędnych NIUO – nieinercjalny układ odniesienia

NIUW – nieinercjalny układ współrzędnych STW – szczególna teoria względności

OTW – ogólna teoria względności TEP – tensor energii-pędu KTP – kwantowa teoria pola

M-L – (równania ) Maxwella-Lorentza H-E – (równania Hilberta – Einsteina )

Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ... ( w tekście są to wielkości ze strzałkami u góry ) Iloczyn skalarny oznaczam kropką • , a iloczyn wektorowy krzyżykiem ×

Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)

************************************************************************************************

Przedsłowie

W przedstawionej monografii przedstawiamy relatywistyczną teorię grawitacji (RTG). Stanowi ona alternatywę ogólnej teorii względności (OTW ). Jej treść oparta jest na pracach [ 2 – 6, 8 – 13; 31 ; 34 ; 34 – 38 ; 46]

Szczegółowe odsyłacze na wcześniejsze prace podano w monografii [10], napisanej wspólnie z prof. M. A.

Mestwiriszwilim i wydanej w 1989 roku. Niniejsza monografia w porównaniu z [45] zawiera badania opublikowane w artykułach [31; 46; 47], zawiera ona również pewne wnioski i wnosi określone uściślenia. Ponieważ przedstawiona praca powstała jako połączenia serii artykułów, nieuchronnie pojawiają się w niej powtórzenia pewnych treści.

Przy wykładzie wykorzystano układ jednostek, w których G = c = h = 1. Jednakże w ostatecznych wyrażeniach odtworzono zależność od stałych G, c, h. Indeksy greckie przyjmują wartości 0, 1, 2, 3, a łacińskie – 1, 2, 3.

W rozdziale 16 przedstawiono elementy analizy tensorowej i geometrii Riemanna.

U podstaw relatywistycznej teorii grawitacji (RTG) leży hipoteza o tym, że pole grawitacyjne, tak jak i wszystkie inne pola fizyczne, ewoluują w przestrzeni Minkowskiego, a jego źródłem jest zachowany tensor energii –pędu materii, włączając w to samo pole grawitacyjne. Takie podejście pozwala w sposób jednoznaczny zbudować teorię pola grawitacyjnego jako teorię cechowania. Przy tym dzięki uniwersalności grawitacji i tensorowego charakteru pola grawitacyjnego z

koniecznością pojawia się efektywna polowa przestrzeń Riemanna.

W OTW przestrzeń zakłada się jako riemannowską w wyniku obecności materii, a grawitacje rozpatruje się jako następstwo zakrzywienia czasoprzestrzeni.

W RTG pole grawitacyjne posiada spiny 2 i 0 i jest polem fizycznym w duchu Faradya- Maxwella i dlatego możliwa jest lokalizacja energii grawitacyjnej. W OTW lokalizacja energii grawitacyjnej nie jest możliwa [48].

Polowe podejście do grawitacji z konieczności wymaga wprowadzenia masy spoczynkowej grawitonu. Pełny układ równań RTG wynika bezpośrednio z zasady najmniejszego działania. Ponieważ wszystkie pola fizyczne ewoluują w przestrzeni Minkowskiego, w RTG są ściśle spełnione wszystkie fundamentalne zasady – całkowe prawa zachowanie energii-pędu oraz momentu pędu.

Przyspieszenie w odróżnieniu od OTW, posiada teraz sens absolutny. To oznacza, że w RTG zachowane jest pojęcie inercjalnego układu współrzędnych. Siły inercji i siły grawitacji są rozdzielone – mają one różną naturę.

Przedstawiona teoria jednoznacznie wyjaśnia wyniki wszystkich efektów grawitacyjnych w Układzie Słonecznym.

Zgodnie z OTW pole grawitacyjne posiada własność spowolniania chodu zegarów. Jednakże teoria ta nie daje ograniczenia na taki proces spowolnienia.

W RTG w sposób pełny ujawnia się własność pola grawitacyjnego – swoim działaniem nie tylko spowalnia ono upływ czasu, ale również zatrzymuje ono taki proces, a zatem i proces kolapsu materii. Odkryta zostaje, zatem nowa własność

„samoograniczenia pola”, która odgrywa ważną rolę w ewolucji Wszechświata.

Przy analizie ewolucji jednorodnego i izotropowego Wszechświata prowadzonej w ramach RTG, dochodzimy do wniosku, że Wszechświat jest nieskończony i „płaski”. Jej ewolucja następuje cyklicznie od pewnej maksymalnej gęstości do minimalnej itd.

Zatem żadnego Wielkiego punktowego Wybuchu w przeszłości nie było- był jedynie stan w z dużą gęstością i wysoką temperaturą w każdym punkcie przestrzeni.

Zgodnie z RTG tzw. kosmologiczne „rozszerzanie” Wszechświata, obserwowane zgodnie z przesunięciem ku czerwieni, wyjaśnia się poprzez zmianę pola grawitacyjnego w czasie, a nie ruchem względnym – rozbieganiem galaktyk, którego nie ma. Materia we Wszechświecie znajdowała się w stanie spoczynku względem IUO. Prędkości pekularne galaktyk

względem takiego układu pojawiły się w wyniku obecności struktury niejednorodności rozkładu materii w okresie, kiedy Wszechświat stał się przeźroczysty.

Z RTG wynika, że Wszechświat jest „płaski” i istnieje w nim oprócz obserwowanej masy również duża ukryta masa

„ciemnej” materii.

Taki wniosek z RTG został wyciągnięty w 1984 roku w artykule [3] i został on otrzymany z teorii bez hipotezy inflacyjnej W związku z danymi, otrzymanymi z obserwacji świadczących o przyspieszonej ekspansji Wszechświata, w prezentowanej teorii pojawiła się konieczność wykorzystania ( postępując za W. L. Kałasznikowem [52] ) równania stanu „kwintesencji”, tak, aby wyjaśnić zaobserwowane zjawisko.

Zgodnie z RTG w wyniku efektu „samoograniczenia” pola grawitacyjnego, czarne dziury” nie są możliwe – kolapsująca gwiazda nie może wejść pod własny promień grawitacyjny.

Jednakże obiekty o dużych masach mogą istnieć i mogą charakteryzować się nie tylko masą i określonym rozkładem gęstości materii, ale i innymi własnościami fizycznymi.

(* Dalej autor składa tradycyjne podziękowania *) A. A. Logunow sierpień 2006

***************************************************************************************************

1. Geometria czasoprzestrzeni.

U podstaw rozwijanej przez nas RTG położona jest pseudoeuklidesowa geometria CP, słuszna dla wszystkich pól fizycznych, w tym i dla pola grawitacyjnego. Zatem, przedstawiona teoria budowana jest w ramach STW.

Pole grawitacyjne rozpatrujemy jako pole fizyczne w duchu pól Faradaya-Maxwella.

Przestrzeń Minkowskiego nie można przyjąć jako istniejąca apriori, ponieważ odzwierciedla ona własności materii, a zatem jest ona nieoddzielna od niej. Chociaż formalnie, właśnie na mocy niezależności struktury przestrzeni od postaci materii, jest ona niekiedy rozpatrywana jako abstrakcja w oderwaniu od materii.

We współrzędnych Galileusza układu inercjalnego interwał charakteryzujący strukturę geometrii pseudoeuklidesowej CP ( po raz pierwszy odkrytej przez H. Poincarego „Sur la dynamique de l’electron. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 1906 vol. XXI P. 129 ), ma postać :

dσ2 = (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 (1.1)

gdzie dxν – różniczki współrzędnych

Taki interwał jest inwariantem i dlatego jest on słuszny zarówno dla inercjalnych jak i nieinercjalnych UO.

Jednakże taki, pozornie w pełni oczywisty fakt, przez długi czas nie był zauważany, zapewne z powodu niezrozumienia tego, że STW jest właśnie geometrią CP.

Nawet taki wielki fizyk jak L. I. Mandelsztam pisał :

„...Jak chodzą zegary poruszające się z przyspieszeniem i dlaczego ich chód zmienia się, na takie pytanie STW nie może odpowiedzieć, ponieważ w ogólności nie zajmuje się ona zagadnieniem układów odniesienia poruszających się z przyspieszeniem” [17]

Takie nieprawidłowe stwierdzenia [ zobacz np. 27, 19, 20, 30] można wyjaśnić tym, że przestrzeń Minkowskiego

rozpatrywano nie jako odkrycie geometrii CP, a jako pewną dogodną interpretacje geometryczną STW we współrzędnych Galileusza układu inercjalnego. Miało to miejsce, dlatego, że na pierwszy plan zostały wysunięte takie ograniczone pojęcia jak – stałość prędkości światła, czy synchronizacja zegarów. Właśnie z takimi częściowymi pojęciami długi czas

utożsamiano całą STW. Jednakże w nieinercajlnym układzie współrzędnych, w zasadzie nie można mówić o synchronizacji zegarów i stałości prędkości światła [7]. Wszystko to istotnie ograniczało ramy rozumienia teorii i za pojęciami szczególnymi skrywano główny fakt, mówiący, iż STW jest w istocie pseudoeuklidesową geometrią CP.

Zatem STW należy podkreślić – STW – jest to pseudoeuklidesowa geometria CP, w której przebiegają wszystkie procesy fizyczne. Z takiego faktu wynika, że w takiej geometrii można wykorzystywać dowolne współrzędne, zarówno inercjalne (galileuszowskie ) jak i nieinercjalne. Przy przejściu do nowych współrzędnych od inercjalnych współrzędnych Galileusza, należy zrealizować odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne tj. realizuje się pewien dyfeomorfizm.

W dowolnym układzie współrzędnych interwał przyjmuje postać :

dσ2 = γµν(x) dxµ dxν (1.2) γµν(x) – tensor metryczny przestrzeni Minkowskiego.

W ogólnej postaci tensor γµν(x) wyraża się poprzez cztery niezależne funkcje fν(x), które realizują związek z współrzędnymi Galileusza i mają one postać :

3

γµλ(x) = Σ εν ( ∂fν/dxµ ) ( ∂fν /∂xλ) ; εν = diag ( 1, –1, –1, – 1 ) ν=0

Z wyobrażenie mówiącego, że STW jest słuszna tylko w IUW, Einstein doszedł do wniosku, że :

„w ramach STW nie ma miejsca dla zadowalającej teorii grawitacji”

( Einstein A. Prace zebrane ; Nauka 1967 tom IV, str. 76 )

Jednakże RTG zbudowana została właśnie w ramach STW, tj. w ramach teorii CP.

Ruch swobodny ciała próbnego w dowolnym układzie współrzędnych zachodzi po geodezyjnej w przestrzeni Minkowskiego :

DUν/dσ = dUν/dσ + γναβ Uα Uβ = 0

Gdzie Uν = dxν/∂σ , γναβ(x) – symbole Christoffela, definiowane przez wyrażenie : γναβ(x) = ½ γνσ ( ∂αγβσ + ∂βγασ – ∂σγαβ )

W 1921 roku w artykule “Geometria i doświadczenie” Einstein pisał :

„..Pytanie o to, czy takie continuum ma euklidesowską, riemannowską lub też jakąś inna strukturę, jest pytaniem fizycznym, na które odpowiedź powinno dać doświadczenie, nie jest to sprawa uzgodnienia dotyczącego wyboru związanego z prostą wygodą...”

( Einstein A. Prace zebrane ; Nauka 1966 tom II, str. 61 )

Stanowisko to jest oczywiście słuszne, jednakże pojawia się od razu pytanie – o jakie doświadczenie chodzi ? Faktów doświadczalnych może być dowolnie dużo. Przykładowo, analizując ruch światła i ciał próbnych, można w zasadzie, jednoznacznie ustanowić geometrię CP. Czy nie trzeba jej wtedy przyjąć jako podstawę teorii fizycznej ? Na pierwszy wzgląd , na takie pytanie można odpowiedzieć twierdząco i wydawać by się mogło, ze pytanie jest wyczerpane. Właśnie taką droga poszedł Einstein przy budowaniu STW. Ciała próbne i światło poruszają się po liniach geodezyjnych CP Riemanna. Zatem przestrzeń Riemanna przyjął on jako podstawę dla swojej teorii. Jednakże sytuacja w rzeczywistości jest bardziej złożona. Wszystkie postacie materii podlegają prawą zachowania energii- pędu i momentu pędu. Prawa te, pojawiające się na drodze uogólnienia różnorodnych danych doświadczalnych, charakteryzują ogólne własności dynamiczne wszystkich form materii, wprowadzając pewne uniwersalne charakterystyki. Które pozwalają opisać ilościowo przekształcenia jednych form materii w inne. Wszystko to, są to również dane doświadczalne, będące

świadectwem fundamentalnych zasad fizycznych. Jak je traktować ?

Jeśli postąpić zgodnie z stanowiskiem Einsteina i przyjąć jako podstawę geometrię Riemanna, to należałoby odrzucić takie fakty. Jednakże bardziej naturalnym jest je zachować dla wszystkich pól fizycznych w tym i dla pola grawitacyjnego. W tym jednakże przypadku jako podstawę teorii należałoby przyjąć przestrzeń Minkowskiego, tj. pseudoeuklidesową geometrię CP. Taką właśnie drogą wybraliśmy, kierując się przy tym stanowiskiem Poincarego.

Fundamentalne zasady fizyki, odzwierciedlające różnorodne fakty doświadczalne wskazują nam, jaką geometrię CP należy przyjąć jako podstawę teorii grawitacji.

W ten sposób pytanie o strukturę geometrii CP staje się w rzeczywistości pytaniem fizycznym, na które odpowiedź powinno dać doświadczenie. Z naszego punktu widzenia struktura geometrii CP jest określona nie poprzez fakty cząstkowe mówiące o ruchu ciał próbnych i światła, a poprzez fundamentalne zasady fizyczne, opierającymi się na całym zbiorze faktów doświadczalnych. Właśnie w tym miejscu nasze wejściowe założenia budowania teorii grawitacji odróżniają się znacząco od założeń, jakie Einstein przyjął jako podstawę dla swojej OTW.

Nasze podejście jest w pełni zgodne ze stanowiskiem Poincarego. Jako podstawę teorii grawitacji przyjęliśmy pseudoeuklidesową geometrię, a zatem w przeciwieństwie do OTW, zachowaliśmy prawo bezwładności i jako tego następstwo – pojęcie IUW, ale to wcale nie oznacza, że i efektywna przestrzeń jest pseudoeuklidesowa. Pod działaniem pola grawitacyjnego można oczekiwać, że efektywna przestrzeń będzie inna. Zagadnienie to rozpatrzymy w następnym rozdziale. Metryka przestrzeni Minkowskiego pozwala wprowadzić pojęcia długości wzorcowej i interwału czasu dla przypadku niewystępowania pola grawitacyjnego.

Polowe podejście do grawitacji, które wykorzystujemy, ma długą historię. Jeszcze Poincare w pracach z lat 1905 – 1906 rozpatrywał pole grawitacyjne jako pole fizyczne w ramach STW.

Później w latach 60-tych W. Thirring ( Thirring Ann. Phys. 1961 P. 96 – 117 ) i R. Feynman ( „Wykłady z grawitacji”

Richard P. Feynman Prószyński .i S-ka 2006 ) również rozwijali takie podejście, jednakże doszli do tych samych równań OTW Einsteina, a zatem otrzymali te same, co Einstein wnioski fizyczne.

Przykładowo Thirring pisał : „Zatem, podejście otrzymane z zasad teorii lorentzowsko inwariantnej, prowadzą automatycznie do takich samych koncepcji i wniosków jak w teorii Einsteina”

Z tego powodu panuje opinia, że podejście polowe niczego nowego, oprócz interpretacji dać nie może. Jednakże okazało się iż tak nie jest. Szereg zasadniczych momentów budowania takich teorii nie zostało właściwie uwzględnionych.

To właśnie polowe podejście z konieczności prowadzi do innego układu równań grawitacyjnych, które różnią się od równań Hilberta-Einsteina, a zatem prowadzą do szeregu ważnych nowych przypadków i do zasadniczo innych wniosków fizycznych. Podejście polowe z konieczności wymaga wprowadzenia masy spoczynkowej grawitonu. Masa spoczynkowa grawitonu jest nieodzownym elementem polowej teorii grawitacji.

2. Tensor energii-pędu materii jako źródło pola grawitacyjnego.

Dzięki obecności w przestrzeni Minkowskiego grupy ruchów Poincarego, dla dowolnego zamkniętego układu fizycznego istnieje dziesięć całek ruchu tj. mają miejsce : prawo zachowania energii-pędu i momentu pędu.

Dowolne pole fizyczne w przestrzeni Minkowskiego charakteryzuje się gęstością TEP tµν, będącą ogólną uniwersalną charakterystyką dla wszystkich form materii, która spełnia prawo zachowania zarówno lokalne -różniczkowe jak i globalne – całkowe. W dowolnym układzie współrzędnych lokalne prawo zachowania może być zapisane w postaci :

Dµ tµν = ∂µ tµν + γαβν tαβ = 0

Gdzie tµν - sumaryczna zachowana gęstość TEP wszystkich pól materii ; Dµ - pochodna kowariantna w przestrzeni Minkowskiego.

Teraz oraz dalej zawsze będziemy mieli do czynienia z gęstościami wielkości skalarnych i tensorowych, zdefiniowanych zgodnie z zasadą :

ϕ~ = √–γ ϕ , ϕ~µν = √–γ ϕµν , γ = det(γµν )

Wprowadzenie gęstości uzasadnione jest tym, że w dowolnych współrzędnych inwariantny element objętości w przestrzeni Minkowskiego określony jest przez wyrażenie :

√–γ d4x

a inwariantny element objętości w przestrzeni Riemanna

√–g d4x , g = det(gµν )

Dlatego tez zasada najmniejszego działania ma postać:

δS = δ ∫ L d4x = 0

gdzie L – skalarna gęstość lagranżjanu materii.

Przy otrzymywaniu równań Eulera z pomocą najmniejszego działania będziemy mieli automatycznie do czynienia z wariacją właśnie gęstości lagranżjanu. Gęstość TEP tµν, zgodnie z Hilbertem wyraża się poprzez skalarną gęstość lagranżjanu L w następujący sposób :

tµν = –2 δL/δγµν (2.1)

gdzie

δL/δγµν = ∂L/∂γµν – ∂σ ( ∂L/∂γµν,σ ) ; γµν,σ = ∂γµν /∂xσ

Na mocy uniwersalności oddziaływania grawitacyjnego naturalnie będzie wysunąć hipotezę, iż źródłem pola grawitacyjnego jest zachowana gęstość TEP wszystkich pól materii tµν

Dalej wykorzystamy analogie z elektrodynamiką, w której źródłem pola EM jest zachowana gęstość prądu wektorowego, a samo pole opisywane jest poprzez gęstość potencjału wektorowego A~ν :

A~ν = ( ϕ~, A~i )

Równania elektrodynamiki Maxwella przy nieobecności grawitacji w dowolnych współrzędnych mają postać :

γαβ Dα Dβ A~ν + µ2 A~ν = 4πjν DνA~ν = 0

Dla ogólności wprowadziliśmy parametr µ, który w układzie jednostek h = c = 1 jest masą spoczynkową fotonu.

Ponieważ źródłem pola grawitacyjnego uczyniliśmy zachowaną gęstość TEP tµν tj. naturalnym jest przyjąć pole grawitacyjne jako pole tensorowe i opisywać go z użyciem w pełni symetrycznego tensora ϕ~µν :

ϕ~µν = √–γ ϕµν

Należy zauważyć, że właśnie Einstein odkrył tensorowy charakter pola grawitacyjnego, wtedy kiedy związał go z metryką gµν przestrzeni Riemanna.

W pełnej analogii z elektrodynamiką Maxwella równania pola grawitacyjnego możemy zapisać w postaci :

γαβ Dα Dβ ϕ~µν + m2 ϕ~ν = λtµν (2.2)

Dνϕ~µν = 0 (2.3)

Gdzie m = (mgc)/h ; mg – masa grawitonu , ł – pewna stała która wychodząc z zasady korespondencji z prawem Newtona powinna być równa 16π.

Wprowadziliśmy pojęcie masy spoczynkowej grawitonu i dlatego weszła tutaj również grawitacyjna stała Plancka h.

Jednakże we wzorach h zawsze będzie zawierała się w kombinacjach, tworzących wielkość m.

Równanie (2.3) wyklucza spiny 1 i 0’, pozostawiając polaryzacyjne stopnie swobody pola, odpowiadające tylko wartością 2 i 0.

Wcześniej w pracy [3] równania (2.3) wprowadzaliśmy jako równania dodatkowe do równań H-E. Tak pojawił się pełny ogólnie kowariantny układ równań. Równania (2.3) zostały wprowadzone przez nas kierując się analizą czysto fizyczną – chcieliśmy, aby pole grawitacyjne posiadało spiny tylko 2 i 0. Faktycznie, na tym etapie wychodząc z STW i podejścia polowego, nadaliśmy równaniom W. A. Foka uniwersalny ogólnie kowariantny charakter.

Zauważmy, że wprowadzenie równań (2.3) od razu wyprowadza nas poza ramy OTW, ponieważ pojawia się przestrzeń Minkowskiego, a zatem i nowe inwarianty np. gµνγµν, który dla rozwiązania Schwarzschilda posiada osobliwość, której nie można wyeliminować poprzez przekształcenia współrzędnych. Jednakże układ równań w pracy [3] posiadał istotny niedostatek – nie wynikał on z zasady najmniejszego działania i dlatego wykluczał on zależność wielkości fizycznych od cechowania pola.

Teraz równania (2.3) wynikają naturalnie (dzięki obecności masy spoczynkowej grawitonu ) z prawa zachowani w przestrzeni Minkowskiego, źródła pola grawitacyjnego – TEP wszystkich pól materii, włączając w to pole grawitacyjne.

Wszystko to sprawia, że podejście polowe jest logicznie konsekwentne, a oprócz tego z konieczności prowadzi on do wprowadzenia masy spoczynkowej grawitonu.

To wszystko pozwoliło przejść od układu równań [3] do układu równań grawitacyjnych (5.19) i (5.20), wynikających z zasady najmniejszego działania, ale o tym później.

Gęstość TEP materii tµν składa się z gęstości TEP pola grawitacyjnego tgµν i gęstości TEP materii tMµν. Pod pojęciem materii rozumiemy wszystkie pola materii, za wyjątkiem pola grawitacyjnego :

tµν = tgµν + tMµν

Oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią jest uwzględnione z gęstości TEP materii tMµν.

Jeszcze w 1913 roku Einstein pisał, że „tensor pola grawitacyjnego ϑµν jest źródłem pola na równi z tensorem układów materialnych Θ µν. Wyjątkowe położenie energii pola grawitacyjnego w porównaniu ze wszystkimi innymi postaciami energii prowadziłoby do niedopuszczalnych konsekwencji [28].

Właśnie taka idea Einsteina została przyjęta za podstawę budowy RTG. Przy budowie OTW Einsteinowi nie udało się jej zrealizować, ponieważ w miejsce TEP pola grawitacyjnego w OTW pojawił się pseudotensor pola grawitacyjnego.

Wszystko to miało miejsce dlatego, że Einstein nie rozpatrywał pola grawitacyjnego jako pola fizycznego ( typu Faradaya- Maxwella ) w przestrzeni Minkowskiego. Właśnie dlatego w równaniach OTW nie zawiera się metryka przestrzeni Minkowskiego.

Z równań (2.2) wynika, że będą one nieliniowe, również dla pola czysto grawitacyjnego, ponieważ gęstość tgµν jest źródłem pola grawitacyjnego.

Równania (2.2), (2.3), które formalnie w analogii do elektrodynamiki przyjęliśmy jako równania dla grawitacji,

powinniśmy teraz otrzymać w oparciu o zasadę najmniejszego działania, ponieważ tylko w tym przypadku będziemy mieli jawne wyrażenie dla gęstości TEP pola grawitacyjnego i pól materii.

Jednakże w tym celu należy zbudować gęstość lagranżjanu materii i pola grawitacyjnego. Przy tym bardo ważnym jest aby taką konstrukcje zrealizować wychodząc od ogólnych założeń. Tylko w tym przypadku możemy mówić o teorii grawitacji.

Wejściową skalarną gęstość lagranżjanu materii można zapisać w postaci : L = Lg( γµν , ϕ~µν ) + LM( γµν , ϕ~µν , ϕA )

Gdzie Lg – gęstość lagranżjanu pola grawitacyjnego, LM – gęstość lagranżjanu pól materii ; ϕA – pola materii.

Równania dla pola grawitacyjnego i pól materii, zgodnie z zasadą najmniejszego działania mają postać :

δL/δϕ~µν = 0 (2.4)

δLM /δϕA = 0 (2.5)

Równania (2.4) różnią się od wyrażeń (2.2) w pierwszej kolejności tym, że pochodna wariacyjna w nich od gęstości lagranżjanu brana jest po polu ϕ~µν ,podczas gdy w prawej części równania (2.2), zgodnie z definicją (2.1), wchodzi pochodna wariacyjna od gęstości lagranżjanu po metryce γµν.

Aby dla dowolnej formy materii równania (2.4) sprowadzały się do równań (2.2), należy założyć, że gęstość tensorowa ϕ~µν zawsze wchodzi do lagranżjanu wraz z gęstością tensorową γ~µν poprzez pewną jedną gęstość g~µν w formie :

g~µν = γ~µν + ϕ~µν , g~µν = √–g gµν (2.6)

Tak pojawia się efektywna przestrzeń Riemanna z metryką gµν(x). Ponieważ pole grawitacyjne ϕ~µν(x), jak i wszystkie inne pola fizyczne w przestrzeni Minkowskiego, opisywane są w jednym układzie współrzędnych, to z wyrażenia (2.6) jest oczywiste, że wielkość g~µν(x) również jest określona w jednym układzie współrzędnych.

W OTW we współrzędnych Galileusza takie pole grawitacyjne ϕ~µν(x) rozpatrywano w pracy [49]. Teraz pojawia się ono naturalnie ( zobacz Dodatek E ).

Dla efektywnego efektywnej przestrzeni Riemanna, pojawiającej się w wyniku obecności pola grawitacyjnego, nie jest potrzebny atlas map, który standardowo jest wymagany dla opisania przestrzeni Riemanna o ogólnej postaci.

To oznacza, że nasza efektywna przestrzeń Riemanna posiada prostą topologię. W OTW w przypadku ogólnym topologia nie jest trywialna. Właśnie dlatego OTW w zasadzie nie może być zbudowana na podstawie założenia o grawitacji jako fizycznym polu w przestrzeni Minkowskiego.

Jeśli uwzględnimy warunek (2.6), to gęstość lagranżjanu L przyjmie postać : L = Lg( γµν , g~µν ) + LM( γµν , g~µν , ϕA )

Należy podkreślić, że warunek (2.6) pozwala zamienić pochodna wariacyjną po ϕ~µν na pochodna wariacyjną po g~µν, a pochodną po γµν wyrazić poprzez pochodną wariacyjną po g~µν i pochodną wariacyjną po γµν wchodzącą jawnie do gęstości lagranżjanu L.

Wykorzystując (2.4) i (2.6), otrzymujemy :

δL/δϕ~µν = δL/δg~µν = 0 (2.7)

δL/δγµν = δ*L /δγµν + (δL/δg~αβ )(∂g~αβ /∂γµν) = δ*L/δγµν (2.8) Wyprowadzenie ostatniego wyrażenia przedstawiono w dodatku A. Gwiazdką w wyrażeniu (2.8) oznaczyliśmy pochodną wariacyjną od gęstości lagranżjanu po jawnie wchodzącej do L metryce γµν Zgodnie z (2.1) i (2.8) otrzymujemy :

tµν = –2 δ*L/δγµν (2.9)

Porównując równanie (2.9) z równaniem (2.2) znajdujemy warunek :

–2 δ*L/δγµν = (1/16π) [ γαβ Dα Dβ ϕ~µν + m2 ϕ~µν ] (2.10)

który w przypadku jego spełnienia zapewnia możliwość otrzymania równań pola grawitacyjnego (2.2) i (2.3), w oparciu o zasadę najmniejszego działania.

Ponieważ do prawej części (2.10) nie wchodzą pola materii, to oznacza to, że wariacja gęstości lagranżjanu materii LM po jawnie wchodzącej metryce γµν powinna być równa zero. Aby nie pojawiały się jakieś dodatkowe ograniczenia na ruch materii, określony poprzez równanie (2.5) (* ? *), stąd wynika bezpośrednio, że tensor γµν nie wchodzi jawnie do wyrażenia dla gęstości lagranżjanu materii LM. Wtedy to warunek (2.10) przyjmuje postać :

–2 δ*Lg /δγµν = (1/16π) [ γαβ Dα Dβ ϕ~µν + m2 ϕ~µν ] (2.11)

Zatem, wszystko sprowadza się do tego, aby znaleźć gęstość lagranżjanu właściwego pola grawitacyjnego Lg która spełniałaby warunek (2.11).

Jednocześnie z wcześniejszych analiz dochodzimy do ważnego wniosku, że gęstość lagranżjanu materii L ma postać :

L = Lg( γµν , g~µν ) + LM(g~µν , ϕA ) (2.12)

To oznacza, że do gęstości lagranżjanu materii LM nie weszła metryka γµν przestrzeni Minkowskiego.

Zatem, z wymagania, aby gęstość TEP materii była źródłem pola grawitacyjnego, wynika naturalnie, że ruch materii powinien odbywać się w efektywnej przestrzeni Riemanna. Wniosek ten jest równoważny twierdzeniu. Stad staje się jasnym, dlaczego pojawiła się efektywna przestrzeń Riemanna, a nie jakaś inna. Właśnie taka okoliczność da nam możliwość w rozdziale 3 sformułowania grupy cechowania, a następnie zbudowania gęstości lagranżjanu (4.24), spełniającego zgodnie z (Б.20) ( Dodatek Б) i (2.3) warunek (2.11).

Pojawia się zatem interesujący obraz : ruch materii w przestrzeni Minkowskiego z metryką γµν pod działaniem pola grawitacyjnego ϕµν jest tożsamy ruchowi materii w efektywnej przestrzeni Riemanna o metryce gµν, określonej przez wyrażenie (2.6). Takie oddziaływanie pola grawitacyjnego a materią nazwaliśmy zasadą geometryzacji. Zasada ta jest następstwem wejściowego założenia, mówiącego że źródłem pola grawitacyjnego jest uniwersalna charakterystyka materii – gęstość TEP.

Taka struktura gęstości lagranżjanu materii świadczy o tym, ze realizuje się unikalna możliwość, w której do gęstości lagranżjanu materii pole grawitacyjne podczepia się bezpośrednio do gęstości tensora γ~µν.

Efektywna przestrzeń Riemanna posiada w dosłownym sensie pojęcia „polowy” – polowe pochodzenie, wynikające z obecności pola grawitacyjnego.

Zatem, przyczyną tego, ze efektywna przestrzeń jest przestrzenią Riemanna, a nie jakaś inna jest hipoteza o tym, że źródłem grawitacji jest uniwersalna zachowana w przestrzeni Minkowskiego wielkość całkowita gęstość TEP materii.

Wyjaśnimy teraz fundamentalną własność sił grawitacyjnych na przykładzie porównania ich z siłami EM.

Jak wiadomo, ruch naładowanej cząstki w przestrzeni Minkowskiego dla przypadku jednorodnego pola magnetycznego, dzięki obecności siły Lorentza, następuje po okręgu leżącym na płaszczyźnie, prostopadłej do kierunku linii sił pola magnetycznego. Jednakże ruch ten nie jest taki sam nawet dla cząstek naładowanych, jeśli tylko stosunek ładunku do masy będzie dla nich różny. Oprócz tego, istnieją cząstki neutralne, a ich trajektorie w polu magnetycznym są ogólnie mówiąc prostoliniowe. Dlatego też na mocy nie uniwersalności sił EM ich działania nie można sprowadzić do geometrii CP.

Inna sprawa to siła grawitacyjna. Jest ona uniwersalna tj. ruch dowolnych ciał próbnych zachodzi po trajektoriach, jednakowych dla jednakowych warunków początkowych. W tym przypadku na mocy hipotezy o gęstości TEP materii jako źródle pola grawitacyjnego udaje się opisać takie trajektorie jako linie geodezyjne w efektywnej CP Riemanna,

pojawiającej się dzięki istnieniu pola grawitacyjnego w przestrzeni Minkowskiego. W tych obszarach przestrzeni, w których istnieje dowolnie słabe pole grawitacyjne, mamy metryczne własności przestrzeni, z dużą dokładnością przybliżone do bezpośrednio obserwowalnych własności przestrzeni pseudoeuklidesowej.

Kiedy pole grawitacyjne jest silne, własności metryczne efektywnej przestrzeni stają się riemannowskie.

Jednakże nawet w tym przypadku pseudoeuklidesowa geometria nie znika bez śladu – jest ona obserwowalna w tym, ze ruch ciał w efektywnej przestrzeni riemannowskiej nie jest swobodnym ruchem bezwładnym, a następuje z

przyspieszeniem ze względu na pseudoeuklidesową przestrzeń opisywaną we współrzędnych Galileusza.

Właśnie dlatego przyspieszenie w RTG, w odróżnieniu od OTW, posiada sens absolutny. Zatem, „winda Einsteina” nie może być IUO. Przejawia się to w tym, że ładunek spoczywający w „windzie Einsteina” będzie emitował fale EM.

Takie zjawisko fizyczne powinno również świadczyć o obecności przestrzeni Minkowskiego.

Jak zobaczymy dalej, metryka przestrzeni Minkowskiego może być określona w oparciu o analizę rozkładu materii i ruchu ciał próbnych oraz światła w efektywnej przestrzeni riemannowskiej. Do tego zagadnienia powrócimy w rozdziale 7.

Do równania ruchu materii nie wchodzi tensor metryczny γµν przestrzeni Minkowskiego. Przestrzeń Minkowskiego będzie odbijała się na ruchu materii tylko przez tensor metryczny gµν przestrzeni riemannowskiej, zdefiniowany – jak

przekonamy się dalej – z równań grawitacji, do których wchodzi tensor metryczny γµν przestrzeni Minkowskiego.

Ponieważ efektywna metryka riemannowska pojawia się na podstawie obecności pola fizycznego, zadanego w przestrzeni Minkowskiego, to już z tego wynika, ze efektywna przestrzeń riemannowska posiada prostą topologię i zadana jest na jednej mapie.

Jeśli np. materia skupiona jest w obszarze typu wyspowego, to we współrzędnych Galileusza układu inercjalnego pole grawitacyjne ϕ~µν nie może zanikać wolniej, niż 1/r, ale taka okoliczność nakłada silne ograniczenie na asymptotyczne zachowanie metryki gµν :

gµν = ηµν + O(1/r) , ηµν = diag ( 1, –1, –1, –1 ) (2.13) Jeśli wychodzić wprost od metryki riemannowskiej, nie zakładając, ze pojawia się ona w wyniku działania pola fizycznego, to takie ograniczenia nie pojawiają się, ponieważ asymptotyka metryki gµν zależna jest nawet od wyboru

trójwymiarowych współrzędnych przestrzennych. Jednocześnie wielkości fizyczne od takiego wyboru zależeć nie mogą.

W RTG nie pojawiają się żadne ograniczenia nakładane na wybór układu współrzędnych. Układ współrzędnych może być dowolny, byle tylko realizował on odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną dla wszystkich punktów IUW przestrzeni Minkowskiego ( wymagane jest, aby zachodził dyfeomorfizm ) i zapewniał spełnienie nierówności :

γ00 > 0 ; dł2 = sik dxi dxk > 0 ; i, k = 1, 2, 3 gdzie sik = –γik + γ0i γ0k / γ00

wymaganych dla wprowadzenia pojęcia długości przestrzennej i czasowej. Interwał przy tym przyjmuje postać:

dσ2 = c2 dτ2 – dł2 gdzie

cdτ = γ0ν dxν / √ γ00

W naszej teorii grawitacji geometryczne charakterystyki przestrzeni Riemanna pojawiają się jako wielkości polowe w przestrzeni Minkowskiego i dlatego ich własności transformacyjne stają się wielkościami tensorowymi, podczas gdy wcześniej w standardowym ich rozumieniu, takimi one nie były. Przykładowo, symbole Christoffela, zadane jako wielkości polowe we współrzędnych Galileusza przestrzeni Minkowskiego, są już tensorami pierwszego rzędu. Analogicznie standardowe pochodne we współrzędnych kartezjańskich przestrzeni Minkowskiego od wielkości tensorowych również są tensorami.

Może pojawić się pytanie : dlaczego nie wykorzystać i w OTW rozbicie metryki w formie (2.6), wprowadzając pojęcie pola grawitacyjnego w przestrzeni Minkowskiego ?

Do równań E-H wchodzi tylko wielkość gµν, a zatem nie można jednoznacznie wskazać z pomocą jakiej metryki γνµ przestrzeni Minkowskiego powinniśmy określić z użyciem (2.6) pole grawitacyjne.

Jednakże trudność tkwi nie tylko w tym, ale i w tym, że rozwiązania równań H_E w przypadku ogólnym nie znajdują się na jednej mapie, a w całym atlasie map. Takie rozwiązania dla gµν, opisują przestrzeń Riemanna o złożonej topologii, podczas gdy przestrzenie Riemanna otrzymywane z użyciem pojęcia pola grawitacyjnego istniejącego w przestrzeni Minkowskiego, opisywane są na jednej mapie i posiadają prostą topologię.

Właśnie z tego powodu reprezentacje polowe nie są zgodne z OTW tj. ponieważ są one bardzo sztywne. To oznacza, że żadnego polowego sformułowania w ramach OTW w przestrzeni Minkowskiego w zasadzie być nie może.

Aparat geometrii Riemanna predysponowany jest ku możliwości wprowadzenia pochodnych kowariantnych w przestrzeni Minkowskiego, a fakt ten wykorzystaliśmy przy budowie RTG.

Ale aby to zrealizować, musieliśmy wprowadzić metrykę przestrzeni Minkowskiego do równań grawitacyjnych i tym samym zrealizować zależność funkcjonalną metryki przestrzeni Riemanna gµν z metryką przestrzeni Minkowskiego γµν. Tym sposobem udało się ustanowić związek IUW z rozkładem materii we Wszechświecie, jednakże nad tym zagadnieniem skupimy uwagę w dalszych rozdziałach.

3. Grupa przekształceń cechowania.

Ponieważ gęstość lagranżjanu materii w efektywnej przestrzeni Riemanna ma postać :

LM( g~µν, ϕA ) (3.1)

to łatwo możemy znaleźć grupę przekształceń cechowania, przy których gęstość lagranżjanu materii zmienia się tylko na dywergencje. W tym celu wykorzystamy inwariantność działania :

SM = ∫ _{LM( g}^~µν_{, ϕA ) d}4x (3.2)

przy dowolnej nieskończenie małym zmienię współrzędnych :

x’α = xα + ξα(x) (3.3)

gdzie ξα - nieskończenie mały czterowektor przesunięcia.

Przy takich przekształceniach współrzędnych funkcje polowe g~µν, ϕA zmieniają się następująco :

g’~µν(x’) = g~µν(x) + δξ g~µν + ξα(x) Dα g~µν(x) (3.4)

ϕ’A(x’) = ϕA(x) + δξ ϕA(x) + ξα(x) Dα ϕA(x) (3.4) gdzie wyrażenie postaci :

δξ g~µν = g~µα(x) Dα ξν(x) + g~ναDα ξµ(x) – Dα ( ξα g~µν ) (3.5) δξ ϕA(x) = – ξα(x)DαϕA(x) + FB;αA;β ϕB(x) Dαξβ(x) (3.5) są wariacjami Liego.

Operatory δξ spełniają warunki algebry Liego tj. zależności komutacyjne :

[ δξ1 , δξ2] ( . ) = δξ3 ( . ) (3.6)

oraz tożsamości Jakobiego :

[ δξ1 , [ δξ2, δξ3 ] ] + [ δξ3, [ δξ1 , δξ2] ] + [ δξ2 , [ δξ3, δξ1] ] = 0 (3.7) gdzie :

ξν3 = ξµ1 Dµξν2 – ξµ2 Dµξν1 = ξµ1 ∂µξν2 – ξµ2 ∂µξν1 Aby miało miejsce (3.6) wymagane jest spełnienie warunków :

FB;µA;ν FC;αB;β – FB;αA;β FC;µB;ν = fµα;τνβ;σ FC;σA;τ (3.8)

Gdzie stałe strukturalne f są równe :

fµα;τνβ;σ = δµβδασδτν – δανδµσδτβ (3.9) Łatwo możemy się upewnić, że spełniają one tożsamości Jakobiego :

fαν;σβµ;τ fτρ;ωσε;δ + fνρ;σµε;τ fτα;ωσβ;δ + fρα;σεβ;τ fτν;ωσµ;δ = 0 (3.10) I posiadają własność antysymetrii :

fαν;ρβµ;σ = – fνα;ρµβ;σ Przy przekształceniu współrzędnościowym (3.3) wariacja działania jest równa :

δc SM = ∫ L’M(x’ ) d4x’ – ∫ _{LM(x )d4x = 0} (3.11)

Ω’ Ω

Pierwsza całka w (3.11) może być zapisana następująco :

∫ L’M(x’ ) d4x’ = ∫ J L’M(x )d4x

Ω’ Ω gdzie

J = det (∂x’α/∂xβ )

W pierwszym rzędzie po ξα wyznacznik J jest równy :

J = 1 + ∂αξα(x) (3.12)

Uwzględniając rozkład :

L’M(x’ ) = L’M(x ) + ξα(x) ∂LM /∂xα (3.13)

Jak również 93.12) wyrażenie dla wariacji można przedstawić w formie :

δc SM = ∫ [ δL’M(x ) + ∂α( ξαLM(x)] d4x = 0

Ω

Na mocy dowolności objętości całkowania Ω otrzymujemy tożsamość :

δ LM(x) = – ∂α( ξα(x) LM(x)) (3.13)

gdzie wariacja Liego δLM ma postać :

δLM(x) = ( ∂LM/ ∂g~µν ) δg~µν + ( ∂LM/ ∂ (∂αg~µν )) δ(∂αg~µν ) + ( ∂LM/ ∂ϕA ) δϕA + ( ∂LM/ ∂ (∂αϕA)) δ(∂αϕA ) (3.14) Stąd, w szczególności wynika, że jeśli gęstość skalarna zależy tylko od g~µν i jej pochodnych, to przy przekształceniu (3.5) zmienia się ona tylko na dywergencje :

δL(g~µν(x)) = – ∂α (ξα(x) L( g~µν(x)) ) (3.13a) gdzie wariacja Liego δL jest równa :

δL(g~µν(x)) = ( ∂L/ ∂g~µν ) δg~µν + ( ∂L/ ∂(∂αg~µν )) δ(∂αg~µν ) + ( ∂L / ∂ (∂α∂βg~µν )) δ( ∂α∂βg~µν ) (3.14a) Wariacja Liego (3.5) została ustanowiona w kontekście przekształceń współrzędnościowych (3.3), jednakże możliwy jest i inny punkt widzenia, zgodnie z którym przekształcenia (3.5) można rozpatrywać jako przekształcenia cechowania. W tym przypadku dowolny, nieskończenie mały czterowektor ξα(x) będzie już wektorem cechowania, a nie wektorem

przesunięcia współrzędnych.

W dalszej kolejności, aby podkreślić różnicę pomiędzy grupą cechowania i grupa przekształceń współrzędnych, dla parametru grupowego będziemy wykorzystywali oznaczenie εα(x), a przekształcenie funkcji polowych :

g~µν(x) → g~µν(x) + δε g~µν(x) (3.15)

ϕA(x) → ϕA(x) + δεϕA(x) (3.15)

z przyrostami :

δε g~µν(x) = g~µαDα εν(x) + g~ναDα εµ(x) – Dα( εαg~µν ) (3.16) δε ϕA(x) = – εα(x)DαϕA(x) + FB;αA;β ϕB(x) Dαξβ(x) (3.16) będziemy nazywali przekształceniami cechowania.

W pełnej odpowiedniości z wzorami (3.6) i (3.7) operatory spełniają tę samą algebrę Liego tj. zależność komutacyjną :

[ δε1 , δε2] ( . ) = δε3 ( . ) (3.17)

oraz tożsamości Jakobiego :

[ δε1 , [ δε2, δε3 ] ] + [ δε3, [ δε1 , δε2] ] + [ δε2 , [ δε3, δε1] ] = 0 (3.18) gdzie :

εν3 = εµ1 Dµεν2 – εµ2 Dµεν1 = εµ1 ∂µεν2 – εµ2 ∂µεν1

Grupa cechowania pojawiła się z zgeometryzowanej struktury gęstości skalarnej LM( g~µν, ϕA ), opisującej oddziaływanie materii i pola grawitacyjnego, które na mocy tożsamości (3.13) zmienia się tylko na dywergencje przy przekształceniach cechowania (3.16).

Zatem, zasada geometryzacji, która określa uniwersalny charakter oddziaływania materii i pola grawitacyjnego, daje nam możliwość sformułowania niekomutatywną nieskończenie wymiarową grupę cechowania (3.16)

Istotna różnica pomiędzy przekształceniami cechowania i współrzędnościowymi przejawia się w decydującym miejscu w teorii przy budowaniu gęstości skalarnej lagranżjanu właściwego pola grawitacyjnego. Różnica pojawia się w wyniku tego, że przy przekształceniu cechowania tensor metryczny γµν nie zmienia się, a zatem na mocy (2.6) otrzymujemy :

δε g~µν(x) = δε ϕ~µν(x)

W oparciu o wyrażenie (3.16) wynika przekształcenie dla pola : δε ϕ~µν(x) = g~µα Dαεν(x) + g~να Dαεµ(x) – Dα(εα g~µν )

jednakże takie przekształcenie istotnie różni się od przekształceń występujących przy przesunięciu współrzędnych : δξϕ~µν(x) = ϕ~µα Dαξν(x) + ϕ~να Dαξµ(x) – Dα(ξαϕ~µν )

Przy przekształceniach cechowania (3.16) równania ruchu dla materii pozostają niezmienione, ponieważ przy dowolnych takich przekształceniach gęstość lagranżjanu materii zmienia się tylko o dywergencje.

4. Gęstość lagranżjanu i równania ruchu dla właściwego pola grawitacyjnego.

Jak wiadomo, wykorzystując tylko tensor gµν nie można zbudować gęstości skalarnej lagranżjanu pola grawitacyjnego właściwego względem dowolnych przekształceń współrzędnościowych w postaci formy kwadratowej pochodnych nie wyższych niż pierwszego rzędu. Dlatego do takiej gęstości lagranżjanu będzie obowiązkowo wchodziła wraz z metryką gµν również i metryka γµν. Jednakże ponieważ przy przekształceniu cechowania (3.16) metryka γµν nie zmienia się, to aby przy takim przekształceniu gęstość lagranżjanu pola grawitacyjnego właściwego zmieniała się tylko na dywergencje, powinny mieć miejsce silne ograniczenia nakładane na taka strukturę.

Właśnie tutaj pojawia się zasadnicza różnica pomiędzy przekształceniami cechowania i przekształceniami współrzędnych.

Podczas, gdy przekształcenia współrzędnych nie nakładają prawi żadnych ograniczeń na strukturę gęstości skalarnej lagranżjanu pola grawitacyjnego właściwego, to przekształcenia cechowania pozwalają znaleźć nam właściwą gęstość takiego lagranżjanu. Bezpośrednią i ogólną metodę zbudowania lagranżjanu zaprezentowano w monografii [10].

My jednakże wybierzemy prostsza metodę. W oparciu o (3.13a) możemy wnioskować, że najprostsze gęstości

√–g i R~ = √–g R , gdzie R – jest krzywizną skalarną efektywnej przestrzeni Riemanna, przy przekształceniu cechowania (3.16) zmieniają się następująco :

√–g → √–g – Dν ( εν √–g ) (4.1)

R~ → R~ – Dν ( εν R~ ) (4.2)

Gęstość skalarna R~ wyraża się poprzez symbole Christoffela :

Γµνλ = ½ gλσ ( ∂µgσν + ∂νgσµ – ∂σgµν ) (4.3) w następujący sposób :

R~ = ½ g~µν( ΓµνλΓλσσ – ΓµσλΓνλσ ) – ∂µ ( g~µνΓµσσ – g~µσΓµσν ) (4.4) Ponieważ symbole Christoffela nie są wielkościami tensorowymi, to każda ze składowych w wyrażeniu (4.4) nie jest gęstością skalarną. Jednakże jeśli wprowadzimy wielkości tensorowe Gµνλ :

Gµνλ = ½ gλσ ( Dµ gσν + Dνgσµ – Dσ gµν ) (4.5)

które we współrzędnych kartezjańskich pokrywają się z symbolami Christoffela, to gęstość skalarną możemy zapisać tożsamościowo tak :

R~ = –g~µν( Gµνλ Gλσσ – Gµσλ Gνλσ ) – Dµ ( g~µν Gµσσ – g~µσ Gµσν ) (4.6) Zauważmy, że w (4.6) każda grupa członów w oddzielności zachowuje się przy dowolnych przekształceniach

współrzędnościowych jak gęstość skalarna. Widzimy, że aparat geometrii Riemanna ma możliwość wprowadzenia w miejsce zwykłych pochodnych kowariantnych w pochodnych w przestrzeni Minkowskiego, jednakże tensor metryczny γµν z pomocą którego możemy określić pochodne kowariantne w żaden sposób nie jest ustalony.

Uwzględniając (4.1) i (4.2) wyrażenie :

λ1( R~ + Dν Qν ) + λ2 √–g (4.7)

przy dowolnych przekształceniach cechowania zmienia się tylko na dywergencje. Wybierając gęstość wektorową Qν równą :

Qν = g~µν Gµσσ – g~µσ Gµσν

Wykluczamy z poprzedniego wyrażenia człony z pochodnymi wyższymi niż pierwszy rząd i otrzymujemy następującą gęstość lagranżjanu :

– λ1g~µν( Gµνλ Gλσσ – Gµσλ Gνλσ ) + λ2 √–g (4.8)

Widzimy zatem, że wymaganie, aby gęstość lagranżjanu pola grawitacyjnego właściwego przy przekształceniu cechowania (3.16) zmienia się tylko na dywergencje, określa jednoznacznie strukturę gęstości lagranżjanu (4.8), nie tylko z dowolnymi parametrami λ1, λ2 Jednakże jeśli ograniczymy się tylko do tej gęstości, to wtedy równania pola grawitacyjnego będą inwariantne względem cechowania, a metryka przestrzeni Minkowskiego γµν nie wejdzie do układu równań,

określających gęstość lagranżjanu (4.8). Ponieważ w takim podejściu znika metryka przestrzeni Minkowskiego, to

wyklucza się również i możliwość przedstawienia pola grawitacyjnego jako pola fizycznego typu pola Faradaya- Maxwella w przestrzeni Minkowskiego.

Przy gęstości lagranżjanu (4.8) wprowadzenie metryki γµν z pomocą równań (2.3) nie poprawia położenia, ponieważ wielkości fizyczne - interwał i tensor krzywizny przestrzeni Riemanna, jak również tensor tgµν pola grawitacyjnego – będą zależały od wyboru cechowania o postaci (4.10), co jest jednakże fizycznie niedopuszczalne. I tak np. :

δε Rµν = –Rµσ Dν εσ – Rνσ Dµ εσ – εσ Dσ Rµν δε Rµναβ = Rσναβ Dµ εσ – Rµσαβ Dν εσ –Rµνσβ Dα εσ – Rµνασ Dβ εσ – εσ Dσ Rµναβ

Aby zachować wyobrażenia o polu w przestrzeni Minkowskiego i wykluczyć taką niejednoznaczność, należy dodać do gęstości lagranżjanu pola grawitacyjnego człon, naruszający grupę cechowania.

Właśnie tutaj pojawia się zasadniczo nowa droga, która długi czas nie była zauważana. Na pierwszy wzgląd może się wydawać, że pojawia się duża dowolność w wyborze gęstości lagranżjanu pola grawitacyjnego, ponieważ naruszyć grupę cechowania można na bardzo różne sposoby. Jednakże okazuje się, że tak nie jest, ponieważ nasz fizyczny wymóg nakładany na własności polaryzacyjne pola grawitacyjnego ( pole o spinach 2 i 0 ) nakładany poprzez równania (2.3) prowadzi do tego, że człon naruszający grupę (3.16), powinien być wybrany w taki sposób, aby równania (2.3) były następstwem układu równań pola grawitacyjnego i pól materii, ponieważ tylko w tym przypadku nie pojawia się przepełniony układ równań różniczkowych. W tym celu do skalarnej gęstości lagranżjanu pola grawitacyjnego wprowadzimy człon o postaci :

γµνg~µν (4.9)

który przy obecności warunków (2.3) i przy przekształceniach (3.16) zmieniają się również na dywergencje dla wektorów spełniających warunek :

gµν DµDνεσ(x) = 0 (4.10)

Prawie że analogiczna sytuacja ma miejsce w elektrodynamice z masa spoczynkowa fotonu, różna od zera. Z uwzględnieniem (4.8), (4.9) ogólna skalarna gęstość lagranżjanu ma postać :

Lg = –λ1g~µν ( Gµνλ Gλσσ – Gµσλ Gνλσ ) + λ2 √–g + λ3 γµν g~µν + λ4 √–γ (4.11) Ostatni człon w (4.11) wprowadziliśmy, aby z jego pomocą wyzerować gęstość lagranżjanu w przypadku nieobecności pola grawitacyjnego. Obcięcie klasy wektorów cechowania w wyniku wprowadzenia członu (4.9) automatycznie prowadzi do tego, że równania (2.3) będą następstwami równań pola grawitacyjnego. O tym przekonamy się bezpośrednio poniżej.

Zgodnie z zasadą najmniejszego działania, równania dla pola grawitacyjnego właściwego maja postać :

δLg / δg~µν = λ1Rµν + ½ λ2 gµν + λ3 γµν = 0 (4.12)

gdzie

δLg / δg~µν = ∂Lg / ∂g~µν – ∂σ( ∂L/ ∂(∂σ g~νµ )) Rµν - tensor Ricciego sprowadzony do postaci :

Rµν = Dλ( Gµνλ DµGνλλ + Gµνσ Gσλλ – Gµλσ Gνσλ (4.13) Ponieważ w przypadku nie występowania pola grawitacyjnego równania (4.12) powinny być spełnione tożsamościowo, stąd wynika :

λ2 = –2λ3 (4.14)

Znajdziemy teraz gęstość TEP pola grawitacyjnego w przestrzeni Minkowskiego :

tgµν = – δLg /δγµν = 2√γ ( γµα γνβ – ½ γµν γαβ ) (δLg/ δg~αβ )+ λ1Jµν – 2λ3g~µν – λ4 γ~µν (4.15)