O warunku przyczynowości
13. O strumieniu grawitacyjnym w RTG
Dla dalszego wykładu musimy zapisać równanie (8.1) w postaci :
gdzie Dα - pochodna kowariantna w przestrzeni Minkowskiego.
Ponieważ równanie (13.1) rozpatrujemy jako równanie polowe w przestrzeni Minkowskiego, to porządek pochodnych jest nieistotny. Podnoszenie i opuszczanie indeksów realizujemy z użyciem tensora metrycznego γµν.
I tak np. jeśli kontrawariantny pęd grawitonu ma postać : pµ = mg dxµ /ds
to pęd kowariantny jest równy : pν = γνµ pµ
A zatem :
gµν pµ pν = mg2
jednocześnie : gµν pµ pν ≠ mg2 To znaczy, że :
ds2 = gµν dxµ dxν (13.3)
jednocześnie :
ds2 ≠ gµν dxµ dxν gdzie dxµ = γµν dxν (13.4)
przy tym
dσ2 = γµν dxµ dxν = γµν dxµ dxν
Stąd wynika, że kontrawariantny tensor gµν w naszym opisie pola grawitacyjnego φµν nie odzwierciedla własności metrycznych, chociaż jest on określony przez równość :
gµα gαν = δµν
Przy naszym opisie pola grawitacyjnego φµν własności metryczne odzwierciedla tylko kowariantny tensor metryczny gµν.
W dalszym ciągu całą analizę będziemy prowadzili w układzie inercjalnym we współrzędnych Galileusza. Układ równań RTG przyjmuje wtedy postać :
∂α ∂β ( φαβ φελ – φεβ φλα ) = – γαβ ∂α ∂β φελ – m2φελ – 16πg( Tελ + tgελ ) (13.5)
∂µφµλ = 0 (13.6)
gdzie ∂λ = γλν ∂ν
Szczególna własność zgeometryzowanej teorii grawitacji (zarówno OTW jak i RTG ) polega na tym, że w nich gęstość TEP pola grawitacyjnego tελ zdefiniowany przez Hilberta jako wariacja od gęstości lagranżjanu pola grawitacyjnego po tensorze metrycznym gµν w odróżnieniu od innych teorii jest dokładnie równa zero, ponieważ poza źródłem jest ona równaniem pola grawitacyjnego. Jednakże z tego faktu nie wynika, że w teorii nie występuje promieniowanie grawitacyjne.
Ponieważ poza źródłem tελ jest jedyna ogólną tensorową charakterystyką pola drugiego rzędu, to naturalnym jest że z niej wydzielamy tę część, która jest odpowiedzialna za strumień grawitacyjny w obszarze falowym.
Gęstość TEP tελ ma postać:
16π√–g tελ = –γαβ ∂α ∂βφελ – m2φελ – 16πg tgελ – ∂α ∂β ( φαβ φελ – φεβ φλα ) (13.7) Prawa zachowania energii- pędu i momentu pędu określają TEP z dokładnością do tensora Krutkowa, dywergencja od którego po każdym indeksie jest tożsamościowo równa zero [25].
W wyrażeniu (13.7) czwarty człon od prawej reprezentuje szczególną postać tensora Krutkowa. W zgeometryzowanej teorii grawitacji gęstość tego tensora pojawia się z równań (5.19) i (5.20). Gęstość tensora w wyrażeniu (13.7) składa się z dwóch części – do pierwszej części wchodzą pierwsze trzy człony, dywergencja od którego jest równa zero w oparciu o równania (13.5) i (13.6), do części drugiej wchodzi gęstość tensora Krutkowa dywergencja od którego jest równa tożsamościowo równa zero. Właśnie dlatego gęstość tensora Krutkowa sama w sobie nie odzwierciedla ruchu materii, ale wchodzi do równania grawitacji w określonej konkretnej postaci. Zatem, faktycznie tylko pierwsza część od gęstości tensora będzie określała strumień grawitacyjny w obszarze falowym. Właśnie z tą częścią będziemy pracowali, a strumień przez nią określony oznaczymy jako Ji.
Dobrze znane wyrażenie Einsteina dla strumienia promieniowania grawitacyjnego przy masie grawitonu równej zero wynika z Ji, jeśli ją obliczamy w obszarze falowym na rozwiązaniu równania :
γµν ∂µ ∂ν φελ = 0 (13.8)
które otrzymamy, wykorzystując standardową teorię zaburzeń.
Postępując zgodnie z tą procedurą w RTG w celu znalezienia strumienia grawitacyjnego należałoby obliczać wielkość Ji na rozwiązaniu równania falowego :
γµν ∂µ ∂νφελ + m2 φελ = 0 (13.9)
które wynika z standardowej teorii zaburzeń.
Czy jednakże możemy go wykorzystywać w tym przypadku ?
Zgodnie z równaniem falowym (13.9), fala grawitacyjna w wyniku o obecności przed drugimi pochodnymi tensora γµν przestrzeni Minkowskiego propaguje się właśnie w tej przestrzeni. Jednakże w rzeczywistości nawet w przybliżeniu liniowym tak nie jest, ponieważ w wyniku działania pola grawitacyjnego tensor metryczny gµν efektywnej przestrzeni Riemanna jest równy :
gµν = γµν – φµν + ½ φγµν ; φ = φµνγµν (13.10)
i dlatego ruch fali grawitacyjnej następuje w przestrzeni Riemanna, której krzywizna skalarna :
R = ½ m2φ
To oznacza, że ruch fali grawitacyjnej w obszarze falowym podlega nie równaniu falowemu (13.9) przestrzeni Minkowskiego, a równaniu falowemu w przestrzeni Riemanna z metryką gµν :
gµν ∂µ ∂ν φελ + m2 φελ = 0 (13.11)
W tym równaniu uwzględniono zmiany metryki w wyniku działania pola grawitacyjnego.
Uwzględnienie członów poprawkowych, liniowych po polu, przed drugimi pochodnymi nie jest możliwy do otrzymania z wykorzystaniem standardowej teorii zaburzeń. Jednakże właśnie uwzględnienie takich członów, jak się przekonamy dalej pozwala wykluczyć możliwość emisji z ujemną energią, co standardowo ma miejsce w liniowej teorii pola tensorowego z masa spoczynkową grawitonu.
Jeśli chodzi o teorie zaburzeń, to w pracy : Moller C. Max Planck Festschrift; Berlin 1958 S. 139 – 153. pokazano, że już drugie przybliżenie może „dowolnie wzrastać w przeciwieństwie do założenia poczynionego w schemacie
aproksymacyjnym” ... „ Zatem, w drugim przybliżeniu gik zawiera, oprócz członów periodycznych, również i człony kwadratowo wzrastające z x. W dalszych przybliżeniach pojawiają się człony z jeszcze wyższymi rzędami”
Na tej podstawie Moller wnioskował, że „przybliżenie słabego pola” nie jest użyteczne dla analizy takich rozciągłych rozwiązań równań pola, jak fale grawitacyjne”
Właśnie dlatego przy obliczaniu strumienia grawitacyjnego promieniowania należy ostrożnie wykorzystywać standardową teorię zaburzeń, szczególnie w tym przypadku, kiedy należy uwzględnić wpływ nawet słabe pole grawitacyjne na zmianę metryki przestrzeni.
Na podstawie powyższych analiz wynika, że strumień grawitacyjny Ji należy obliczać w obszarze falowym nie na rozwiązaniu równania (13.9), które wynika z teorii zaburzeń, a na rozwiązaniu równania falowego (13.11), w którym uwzględniamy wpływ pola grawitacyjnego na propagacje fali. W przypadku nie występowania masy spoczynkowej grawitonu wykorzystanie równania (13.11) w miejsce równania (13.9) prowadzi do tego wyniku, co zastosowanie równania (13.9).
Zatem, gęstość strumienia Ji obliczana w obszarze falowym na rozwiązaniu równania (13.11), jest równa :
16πJi = –φαβ ∂α ∂βφ0i + ½φγαβ∂α ∂βφ0i – 16πgtg0i (13.12) Stąd całkowity strumień promieniowania grawitacyjnego jest równy :
J = –
∮
{ – gtg0i – (1/16π)φαβ ∂α ∂βφ0i + (1/32π) φ γαβ∂α ∂βφ0i } dσi (13.13) Zatrzymując po prawej stronie (13.13) tylko człony kwadratowe po polu, z (13.2) znajdujemy wkład do gęstości potoku pochodzący od pierwszego członu :Wkład do gęstości strumienia pochodzący od drugiego członu w oparciu o (5.20) jest równy zero. Wkład od członu trzeciego jest równy :
–(1/32π) m2φφ0i = –(1/16π) Rφφ0i (13.15) Zatem, sumaryczna gęstość potoku grawitacyjnego promieniowania będzie określona przez wielkość [15, 16, 39] :
(1/32π)[ γ0αγiβ ( γαφτν ∂βφντ – ½φ ∂αφ ∂βφ ) – m2 φφ0i ] (13.16) która jak pokazano w [tam że] prowadzi do dodatnio określonemu potokowi energii grawitacyjnej :