Rozwiązanie zewnętrzne dla sferycznego symetrycznego ciała statycznego

W niniejszym rozdziale pokażemy, że obecność masy spoczynkowej grawitonu zmienia zasadniczo charakter rozwiązania w otoczeniu sfery Schwarzschilda.

Odejmując równanie (11.14) z równania (11.13) i wprowadzając nową zmienną :

Z = UW2 / Vr^•2 ; r^• = dr/dt ; t = W – W0 /W0 (11.16)

otrzymamy :

Dodając równania (11.13) i (11.14), znajdujemy :

Rozpatrzymy teraz równania (11.17) i (11.18) poza materią w obszarze określonym przez nierówność :

U/V << 1 ; ½ m2 (W2 – r2 ) << 1 (11.19)

W takim obszarze równanie (11.18) ma postać :

U = ½ (W02/W ) dZ/dW = ½ (W0/W )dZ/dt (11.20)

Jak będzie widać w dalszym ciągu ( zobacz (11.40)) takie równanie na mocy dodatniości Z ma miejsce tylko w obszarze fizycznym t ≥ 0.

Przyjmując do wiadomości (11.20), sprowadzimy równanie (11.17) do postaci :

Z (d2Z/dW2 ) – ½ (dZ/dW )2 + ¼ m2 (W3/ W02 ) dZ/dW = 0 (11.21)

Zgodnie z (11.16) wprowadzimy zmienną t. Wtedy równanie (11.21) przyjmuje postać :

ZZ^•• – ½ Z^•2 + α( 1 + t )3 Z^• = 0 (11.22)

Gdzie α = m2 W02/4 ; Z^• = dZ/ dt

Dla wartości t, określonych przez nierówność :

0 ≤ t << 1/3 (11.23)

równanie (11.22) upraszcza się :

ZZ^•• – ½ Z^•2 + αZ^• = 0 (11.24)

Ma ono rozwiązanie :

λ√Z = 2α ln[ 1 + λ√Z/2α ] + ½ λ2t (11.25)

Jednakże takie wyrażenie dla U powinno pokrywać się dokładnie z rozwiązaniem Schwarzschilda :

U = W – Wg / W ; Wg = 2GM/c2 (11.31)

Porównując (11.30) i (11/31) otrzymujemy ( mówiąc ściśle stała λ zależy od parametru α, jednakże w związku z małą wartością α uwzględnienie tej zależności jest nieistotne ) :

λ = 2 , W0 = Wg (11.32)

Zatem znajdujemy :

U = (Wg/ W ) ( α + √Z ) , Vr^•2 = WgW (α + √Z/Z ) (11.33) Teraz powinniśmy określić zależność r od W z pomocą (11.15).

Podstawiając (11.33) do równania (11.15) i przechodząc do zmiennej :

Ł = r/Wg (11.34)

Otrzymamy :

d/d√Z [ ( 1 + t) dZ/dt dł/d√Z ] = 4ł (11.35)

Uwzględniając (11.27) i wykonując różniczkowanie po √Z w wyrażeniu (11.35) znajdujemy :

(1 + t) ( α + √Z ) d2ł/(d√Z )2 + ( 1 + t + √Z ) dł/d√Z – 2ł = 0 (11.36)

Ponieważ interesuje nas obszar wartości t, określony przez nierówność (11.23), to równanie (11.36) w takim obszarze upraszcza się i ma postać :

A, B – dowolne stałe; F – zdegenerowana funkcja hipergeometryczna

Analiza rozwiązania (11.38) prowadzi w obszarze, określonym przez nierówności (11.19) i (11.23) do równości :

r^• = Wg (11.39)

Teraz przejdziemy do analizy rozwiązania (11.25). Rozpatrzmy przypadek graniczny :

√Z >> α (11.40)

W tym przypadku z wyrażenia (11.25) z uwzględnieniem (11.32) otrzymujemy :

√Z = t (11.41)

Podstawiając to wyrażenie do (11.28) i uwzględniając (11.32) i (11.39) otrzymujemy rozwiązanie Schwarzschilda :

U = W – Wg / W ; V = W/ W – Wg (11.42)

które może być zastosowane tylko poza osobliwością.

Stąd wynika, że ponieważ w Układzie Słonecznym można zaniedbać wpływ masy grawitonu, to w oparciu o (11.42), stosując równanie dla ruchu geodezyjnego ciała próbnego, łatwo wyjaśnić znane efekty występujące w tym układzie ( odchylenie promienia świtała w polu Słońca, lub przesuniecie peryhelium Merkurego )

Teraz przejdziemy do drugiego przypadku granicznego, w którym jednakże wpływ niezerowej masy grawitonu jest istotny.

Niech ma teraz miejsce nierówność :

√Z << α (11.43)

W takim przybliżeniu z wyrażenia (11.25) z uwzględnieniem (11.32) znajdujemy :

Z = 2αt (11.44)

stąd wynika, że :

W > Wg

Nierówność ta w oparciu o (11.45) wynika również z warunku przyczynowości (10.62).

Podstawiając wyrażenie (11.44) do (11.28) i uwzględniając (11.32) i (11.39), otrzymujemy [2] :

U = α( Wg / W ) ; V = ½ ( W/ W – Wg ) (11.45)

Rozwiązanie to zgodnie z (11.43) i (11.44) jest słuszne w otoczeniu osobliwości : t << ½ α tj. W – Wg << ½ Wg [ (mgc/h) ½ Wg ]2

jeśli miałaby ona miejsce w próżni. W oparciu o (11.45) i (11.4) wynika, że inwariant gµνγµν ma osobliwość, która nie może być wyeliminowana poprzez odpowiedni wybór układu współrzędnych.

Z (11.45) wynika, że masa grawitonu mg nie dopuszcza zerowania się wielkości U. Masa spoczynkowa grawitonu ustanawia dla dowolnego ciała własną granicę spowolnienia upływu czasu. Taka granica dla U określona jest poprzez liniową funkcje promienia Schwarzschilda tj. od masy ciała i jest równa :

½ (mgc/h ) Wg

W OTW taka granica nie występuje. Taka własność pola grawitacyjnego prowadzi do zasadniczej zmiany ruchu ciała próbnego w polu grawitacyjnym.

Ruch takiego ciała ma miejsce po linii geodezyjnej w przestrzeni Riemanna :

dvµ /ds + Γµαβ (dxα /ds )(dxβ /ds ) = 0 (11.46) gdzie vµ = dxµ /ds – czterowektor prędkości ; vµ - spełnia warunek :

gµν vµ vν = 1 (11.47) Rozpatrzmy ruch radialny :

vθ = vϕ = 0 , vr = dr/ds (11.48)

Przyjmując do wiadomości, że symbol Christoffela ma postać : Γ0

Jeśli przyjąć iż prędkość spadającego ciała próbnego w nieskończoności jest równa zero, to otrzymamy U0 = 1.

Z zależności (11.47) znajdujemy :

dr/ds = – sqrt( 1 – U/ UV ) (11.53)

Podstawiając do tego wyrażenia, wyrażenie (11.45) i uwzględniając (11.39), otrzymujemy :

dW/ds = – ( h/mgc ) (2/Wg ) sqrt[ 2(W/Wg ) ( 1 – Wg /W) ] (11.54)

Stąd widać, że pojawia się punkt powrotu. Różniczkując (11.54) po s, znajdujemy :

d2W/ds2 = 4( h/mgc ) 1/Wg3 (11.55) Widzimy, że w punkcie powrotu przyspieszenie jest dodatnie tj. ma miejsce odpychanie i jest ono znaczące.

Całkując (11.54) otrzymamy wyrażenie :

W = Wg + 2(h/mgc )2 [ (s – s0 )2/ Wg3 ] (11.56) z którego jest jasne, że ciało próbne nie może przeciąć sfery Schwarzschilda.

Zgodnie z wyrażeniami (11.45) wielkość skalarna g/γ ( g = det gµν , γ = det γµν ) posiada osobliwość w punkcie W = Wg która nie może być wyeliminowana poprzez wybór układu współrzędnych. Właśnie dlatego obecność takiej osobliwości w próżni jest niedopuszczalna, ponieważ w przeciwnym wypadku nie można byłoby zszyć rozwiązania zewnętrznego z rozwiązaniem wewnątrz ciała.

Z tego płynie wniosek, że promień ciała mniejszy od promienia Schwarzschilda, a zatem i osobliwość w rozwiązaniu (11.45) nie realizuje się w przyrodzie.

Tak więc w ramach RTG pojawia się samoograniczenie nakładane na wielkość pola i tym samym znika sama przyczyna pojawiania się „osobliwości Schwarzschilda”, co jest w pełni zgodne z poglądem A. Einsteina, który wyraził on już w 1939 roku w artykule [27] :

„Podstawowym wynikiem przeprowadzonej analizy jest wyraźne zrozumienie tego, że w realnym świecie nie występują

„osobliwości Schwarzschilda””

I dalej :

„Osobliwości Schwarzschilda nie występuje, ponieważ materia nie może koncentrować się w dowolny sposób; w przeciwnym wypadku cząstki tworzące skupiska, osiągały by prędkość światła”

Einstein jak czytamy, z rozważań fizycznych dochodzi do wniosku iż nie może występować w przyrodzie taki rodzaj osobliwości.

Z drugiej strony, widział on iż obecność osobliwości Schwarzschilda narusza jego podstawową zasadę :

„przyznać wszystkim myślowo ( nie poruszamy tutaj zagadnień pewnych ograniczeń, wynikających z wymagania jednoznaczności i ciągłości ) dopuszczalnym układom współrzędnych zasadniczą równoprawność w opisie przyrody”

( Einstein A. Prace zebrane ; Nauka 1965 tom I, str. 38 )

Stad oczywistym jest, że droga ku „czarnym dziurom”, po jakiej postępowaliśmy, prowadzi do konieczności odejścia od tego ważnego fizycznego stanowiska Einsteina.

Zatem zgodnie z RTG dzięki własności „samoograniczenia pola” w przyrodzie mogą istnieć obiekty o dużych masach, które charakteryzują się nie tylko dużą masa i gęstością, ale i innymi własnościami fizycznymi.

Własność „samoograniczenia pola” wyklucza jednakże możliwość tworzenia się CD.

W charakterze przykładu rozparzymy teraz pole grawitacyjne w kurczącym się (synchronicznym ) UW.

Przejście do takiego UW od IUW realizuje się z pomocą przekształcenia :

dt = (1/U)[ dτ – dR( 1 – U)] ; dW = sqrt( 1 – U /UV~ ) ( dR – dτ ) ; V~ = V(dr/dW )2

Zauważmy, że w OTW w metryce Schwarzschilda takie przekształcenia stają się osobliwe i dlatego nie zapewniają one odwzorowania wzajemnie jednoznacznego. Właśnie dlatego przy wykorzystaniu metryki Schwarzschilda nie można ich stosować. Standardowa eliminacja osobliwości Schwarzschilda [48, 51] realizowane są poprzez syngularne

przekształcenia z naruszeniem dyfeomorfizmu, co jest niedopuszczalne. W naszym przypadku, w oparciu o (11.45) takie przekształcenia nie są syngularne.

W synchronicznym układzie współrzędnych interwały czasoprzestrzeni Riemanna i pseudoeuklidesowej mają postać :

gdzie X = R – τ ; r^• = dr/dX Równania RTG :

Rµν = 8πG ( Tµν – ½ gµνT ) + ½ m2 ( gµν – γµν ) (a) Dν g~µν = 0

dla zagadnienia określonego przez interwały ds2 i dσ2 prowadzą poza materią do równań o postaci :

R01 = 2 (W^••/W ) + [ 1/ ( 1 – UW )] U^•W^• = ½ m2 [ ( 1 – U/U2 ) – r^•2] (b) R00 – R01 = ( 1/1 – U ) { ½ U^•• + [ U^•2 / 4(1 –U)] + (1/W) U^•W^• } = – ½ m2 ( 1 – U/U ) (c)

W obszarze stosowania zmiennej X, gdzie można zaniedbać masę grawitonu z takich równań znajdujemy : W = Wg1/3 [ 3/2 X ]2/3 ; 1 – U = [ 2/3 Wg ]2/3 X–2/3 (d)

Z wyrażenia (d) dla funkcji U wynika, że zmniejsza się ona wraz ze zmniejszaniem się X, a jej pochodna U^• jest dodatnia.

Takie zmniejszanie się funkcji U kontynuowane jest w obszarze mniejszych wartości X, ponieważ wielkość U^• pozostaje dodatnia.

W przybliżeniu (11.19) z równania (a) poza materią znajdujemy :

R22 = – [(UW/ 1– U )W^•• ] – [ U/ (1 – U) W^•2] – ½ W[ (2 – U )/ (1 – U )2 ] U^•W^• + 1 = 0 W obszarze małych wartości 0 < U << 1równanie to nieco się upraszcza i przyjmuje postać : UWW^•• + UW^•2 + WU^•W^• – 1 = 0

Równanie to ma rozwiązanie : W^• = X/UW

W punkcie zatrzymania : W^• = 0

zgodnie z równaniami (b) i (c) druga pochodna W^•• przy małych wartościach U jest dodatnia, co świadczy o obecności siły odpychającej. Właśnie od tego punktu rozpoczyna się proces rozszerzania, który zatrzymuje się w obszarze X, gdzie spełnione są równania (d). W tym obszarze W^•• jest ujemna :

W^•• = – ½ Wg1/3 [ 3/2 X ]–4/3

a zatem, ma miejsce przyciąganie. Zatem, jeśliby punkt zatrzymania znajdował się poza materią, to po rozszerzaniu rozpoczęłoby się kurczenie, a następnie punkt zatrzymania i ponownie rozszerzanie itd.

Jednakże realne pole grawitacyjne taki reżim ruchu wyklucza.

Jeśli w OTW dla spadającego ciała próbnego, kiedy dR/dτ = 0 ma miejsce wzór : W = [ 3/2 (R – cτ) ]2/3 Wg1/3

to w danym przypadku otrzymujemy wyrażenie : W = Wg + 2(h/mgc )2 ( R – cτ)2 / Wg3

Które wyklucza ruch ciała próbnego ku punktowi W = 0. To oznacza, że pojawia się siła odpychająca : d2W/dτ2 = (4c2 /Wg3 ) ( h/mgc )2

Ponieważ pole grawitacyjne jest generowane przez materię i samo pole grawitacyjne ogranicza swój potencjał z podanego przykładu wynika, że dla otrzymania rozwiązania fizycznego należy zszyć rozwiązanie wewnątrz materii z rozwiązaniem zewnętrznym, jednakże aby to zrobić wymagane jest, aby potencjał pola grawitacyjnego na powierzchni ciała był co do wartości absolutnej ograniczony przez nierówność :

|ϕ | /c2 < 1

Właśnie takie rozwiązanie, które odpowiada realnemu polu grawitacyjnemu prowadzi do tego, że punkt zatrzymania nie może znajdować się w próżni. Dlatego też linie świata cząstek, spoczywających względem kurczącego się układu współrzędnych, będą zderzały się z materią źródła pola. Przy czym takie zderzenia będą zachodziły w przeciągu skończonego czasu dla dowolnego obserwatora. Wszystko to wyklucza reżim ruchu o którym pisaliśmy powyżej.

Jednocześnie wyklucza to i możliwość pojawiania się „czarnych dziur”.

Ponieważ wnioski RTG dotyczące zachowania się dużych mas zasadniczo różnią się od wniosków OTW, to dla ich sprawdzenia wymagane są bardziej szczegółowe dane z obserwacji.

Przykładowo w RTG sferycznie – symetryczna akreacja materii na ciało o dużej masie, znajdujące się na końcowym stadium swej ewolucji ( kiedy zasoby jądrowe zostały wyczerpane ) będzie charakteryzowała się znaczną emisją energetyczną w wyniku spadku materii na powierzchnię ciała. Jednocześnie w OTW przy sferycznie –symetrycznej akreacji materii na „czarną dziurę” taka emisja będzie skrajnie mała, ponieważ spadająca materia unosi energię do „czarnej dziury”.

Szczegółowe obserwacje za takimi obiektami mogłyby dać odpowiedź na pytanie co ma miejsce z gwiazdami o dużych masach na końcowym stadium ewolucji.

Dalej przejdziemy do analizy rozwiązania wewnętrznego.