Fale akustyczne słyszalne uchem powodują w powietrzu stosunkowo małe wahania ciśnienia atmosferycznego. Ich wartości nie przekraczają tysięcznych części ciśnienia atmosferycznego.
Ponadto, prędkość tych fal nie zależy ani od częstości ani też od amplitudy fal akustycznych.
W wielu sytuacjach mamy do czynienia z silnym (mówimy nieliniowym) zaburzeniem stanu równowagi ośrodka, kiedy to rozchodzą się w nim tzw. fale nieliniowe. Prędkość takich fal zależy zarówno od długości (wykazują one dyspersję) jak i od amplitudy fali63.
Poniżej omówimy krótko dwa typy fal nieliniowych zwanych falami uderzeniowymi oraz pojedyńczymi falami zwanymi także solitonami.
9.1. Fale uderzeniowe
Typowym tego przykładem są fale powstające w czasie eksplozji ładunku wybuchowego
62Cytat pochodzi z książki: Igor Nowikow, Czarne dziury i Wszechświat, Wydawnictwo Prószyński i S–ka, Warszawa 1995.
63Dlatego nazywamy je falami nieliniowymi
(atomowego, termojądrowego64), zgromadzonego w nadmiarze w pomieszczeniu gazu ziemnego lub podczas ruchu w powietrzu samolotów ponaddźwiękowych.
Jeśli obiekt porusza się w ośrodku z prędkością vo większą od prędkości dźwięku c, to powo-duje powstanie fali uderzeniowej. Dobrym przykładem takiego obiektu jest kaczka poruszająca się dostatecznie szybko po powierzchni stawu. Za ogonem kaczki tworzy się fala uderzeniowa w kształcie litery V, która powstaje wskutek tego, że prędkość kaczki jest większa od prędkości fal na powierzchni wody. Podobny efekt możemy obserwować, gdy statek płynie dostatecznie szybko po rzece. Towarzyszy temu także fala uderzeniowa rozchodząca się w kształcie litery V po powierzchni wody65. Warto w tym miejscu dodać, że huk wystrzału lub eksplozji rozchodzie się w powietrzu znacznie szybciej niż odgłos komendy: Ognia!.
Fala uderzeniowa to bardzo złożone zjawisko. Z frontem tej fali związana jest skokowa zmiana gęstości, temperatury i ciśnienia. Gęstość powietrza nie może wzrosnąć powyżej pewnej skończonej wartości. Natomiast wartości temperatury i ciśnienia mogą być ogromne. Przy-kładowo, podczas skoku ciśnienia o 100 atmosfer temperatura frontu fali rośnie do 3500◦C.
W takiej temperaturze część molekuł powietrza rozpada się na atomy (dotyczy to cząsteczek O2) co wywoduje określone reakcje chemiczne. Przy jeszcze wyższych temperaturach powstaje silne świecenie (błysk wybuchu). Apokaliptyczna fala uderzeniowa (ognista kula jaśniejsza od tysiąca słońc) towarzyszy wybuchowi bomby jądrowej.
Kolosalnie silna powietrzna fala uderzeniowa towarzyszyła ponadźwiękowemu ruchowi oraz upadkowi (30 czerwca 1908 roku) meteorytu tunguskiego. Tuż przed jego upadkiem obser-wowano, w przeciągu kilku sekund, oślepiająco jasną kulę. Momentowi uderzenia w Ziemię towarzyszył ogłuszający wybuch słyszalny na odległościach powyżej tysiąca kilometrów66.
Świecenie meteorytów oraz sztucznych sputników Ziemi wchodzących w jej atmosfere tłuma-czymy powstawaniem fali uderzeniowej. W tym drugim przypadku działa ona jak spadochron i zapewnia wyhamowanie sputnika w górnych warstwach atmosfery67.
Opiszemy krótko propagację fali uderzeniowej w atmosferze. W tym celu rozpatrzymy obiekt poruszający się na wysokości H nad powierzchnią Ziemi z prędkością naddźwiękową. Ruchowi temu towarzyszy fala uderzeniowa (shock wave) w kształcie stożka.
Stosunkowo proste rozważania prowadzą do wniosku, że połowa kąta Θu rozwarcia stożka fali uderzeniowej spełnia związek
sin(Θu) = c vo
= 1
LMacha
, (175)
gdzie stosunek vo
c = LMacha nazywany jest liczbą Macha.
Samolot poruszający się z prędkością ponaddźwiękową jest źródłem zazwyczaj dwóch stoż-ków ponaddźwiękowych związanych z dwoma falami uderzeniowymi, jakie generują w powietrzu dziób samolotu oraz jego skrzydła i ogon. Takie fale uderzeniowe niosą ze sobą ogromną ilość energii i są w stanie nawet burzyć budynki znajdujące się na powierzchni Ziemi (jeśli samolot leci nisko).
64W momencie eksplozji tej bomy ciśnienie w strefie reakcji osiąga wartości 1010atmosfer, a temperatura 107
◦C.
65Jest to w rzeczywistości grupa fal, o czym mówiliśmy wcześniej.
66Falę powietrzną wywołaną tym wybuchem zarejestrowano w Anglii. Siła wybuchu odpowiadała wybuchowi ładunku jądrowego o sile kilku megaton.
67Historia II wojny światowej zna przypadek cudownego uratowania się rosyjskiego lotnika, którego spadochron nie otworzył się i śmierć wydawała się być nieunikniona. Jednak w ostatnim momencie, poprzedzającym upadek, pod lotnikiem wybuchła bomba lotnicza, której fala uderzeniowa wyhamowała jego prędkość i uratowała mu życie.
9.2. Solitony
Do tej pory omawialiśmy liniowe fale lub liniowe paczki falowe68.
Okazuje się, że jeśli amplituda fali jest dostatecznie duża i fala ulega dyspersji69, to w ośrodku sprężystych mogą rozchodzić się zlokalizowane (tj. skoncentrowane (skupione) w ograniczonym obszarze ośrodka) zaburzenia stanu równowagi ośrodka, które nazywamy solitonami.
Solitony są falami nieliniowymi, które wykazują właściwości typowe dla cząstek, ponieważ zderzając się ze sobą zachowują się jak sprężyste kule70. Ta właściwość jest na tyle interesu-jąca, że solitony stały się w latach 70– i 80–tych obiektem71 ogromnego zainteresowania nauk podstawowych i stosowanych.
Po raz pierwszy solitony zaobserwował na powierzchni wody kanału żeglugowego i opisał w 1834 roku angielski inżynier, budowniczego statków z epoki wiktoriańskiej Scott Russel. Oto fragment jego opisu dotyczący obserwacji ruch barek i wody w kanale wodnym.
Śledziłem ruch barki, którą szybko ciągnęła po wąskim kanale para koni, gdy nieoczekiwanie barka zatrzymała się; ale masa wody, którą wprawiła w ruch barka, nie zatrzymała się. Zamiast tego woda zebrała się u dziobu barki w stanie szalonego ruchu i potem nieoczekiwanie zostawiła ją w tyle tocząc się do przodu z dużą prędkością i przyjmując postać dużego pojedynczego wznie-sienia, tj. okrągłego, gładkiego i wyraźnie zaznaczonego wodnego wzgórza, które kontynuowało swój ruch wzdłuż kanału, wcale nie zmieniając swojego kształtu ani nie zmniejszając prędkości.
Podążyłem za nim i kiedy go dogoniłem on tak jak poprzednio toczył się naprzód z prędkością około 8 lub 10 mil na godzinę zachowując swój początkowy kształt wzniesienia o długości około 13 stóp i wysokości od jednej do półtora stopy. Jego wysokość stopniowo malała, i po jednej lub dwóch milach pogoni straciłem go w zakolach kanału. W ten sposób w sierpniu 1834 roku po raz pierwszy przyszło mi zetknąć się z niezwykłym i pięknym zjawiskiem, które nazwałem falą translacji;. . .
Russel ustalił kilka podstawowych właściwości odkrytych fal nieliniowych:
1. Prędkość i kształt fali nieliniowej pozostaje niezmienny w czasie.
2. Prędkość fali zależy od głębokości kanału h oraz od wysokości fali A (tj. jej amplitudy):
v(h, A) =qg(h + A), gdzie g – przyspieszenie ziemskie i Ahh/3.
3. Dostatecznie duże fale rozpadają się na dwie mniejsze, z których jedna porusza się z więk-szą prędkością od drugiej.
4. Obserwowano tylko fale o kształcie wzniesienia (garbu) powierzchni wody.
5. Fale translacji zderzały się ze sobą przenikając jedna przez drugą bez zauważalnych zmian kształtu (wyglądało to tak jakby zderzały się sprężyście dwie cząstki).
Okazuję się, że istnienie tych fal, które dzisiaj nazywamy solitonami72 jest konsekwencją zrównoważenia się dwóch przeciwstawnych efektów (mechanizmów), którymi są:
1. Nieliniowość — powoduje wzrost wysokości i zwężenie się fali nieliniowej; efekt ten deter-minuje zachowanie się fal morskich, które najpierw rosną (wtedy obserwujemy, że wyso-kość i szerowyso-kość fali morskiej rośnie), a potem załamują się i przelewają się z hukiem (w postaci bałwanów morskich) na powierzchni morza.
2. Dyspersja — dąży do uczynienia fali bardziej łagodną i rozmytą; przypomnijmy, że fala nieliniowa jest zbiorem różnych fal (o różnych długościach), a więc o innych prędkościach co sprzyja rozmywaniu się tej fali (patrz wzór (174)).
68Uwaga ta nie dotyczy fal uderzeniowych.
69Wtedy prędkość grupowa takiej fali zależy od amplitudy oraz od długości fali.
70Pokazali to numerycznie w 1965 roku N.J. Zabusky i M.D. Kruskal.
71Zainteresowanie nimi trwa do dzisiaj.
72Termin powstał w 1965 roku. Pierwotnie zaproponowano nazwę solitron (bardzo podobną do elektron), ale z uwagi na to, że na rynku amerykanskim istniała firma o nazwie Solitron, zgubiono jedną literkę i przyjęto ostatecznie nazwę soliton.
Obecnie pod pojęciem solitonu rozumie się każdą zlokalizowaną nieliniową falę, która od-działywuje z dowolnymi zaburzeniami lokalnymi ośrodka i odtwarza swoją pierwotną postać.
Matematyczne podstawy fal nieliniowych podali holenderscy matematycy Diderick Johannes Korteweg i Gustaf de Vries, którzy sformułowali równanie, zwane równaniem Kortiewieg–de Vries’a (w skrócie KdV) opisujące fale Russela
∂y
Jego rozwiązanie, opisujące soliton KdV, ma postać y(x, t) = A
Jak widzimy równanie (176) jest nieliniowym równaniem różniczkowym (ponieważ wystę-puje w nim człon y2), które ma bardzo specyficzne rozwiązanie dane formułą (177). Podane rozwiązanie ma charakter zlokalizowanego zaburzenia stanu ośrodka (można mówić o impulsie), które rozchodzi się w ośrodku zachowując swój kształt z prędkością zależną od amplitudy fali (patrz relacje (177) i (178)).
Badania fal nieliniowych doprowadziły do bardzo interesująch rezultatów. Poniżej przedsta-wiamy wybrane wyniki.
Fale nieliniowe:
1. Opisują rozchodzenie się impulsów elektrycznych w komórkach układu nerwowego czło-wieka i zwierząt.
2. Dają poprawny opis fal przypływowych w rzekach, zwanych także ścianami wodnymi, do których okresowo wlewa się woda mórz i oceanów wywołana falami przypływów. Od-nosi się to także do przemieszczania się fal powodziowych w rzekach. Pokazano, że pręd-kość vs ruchu ściany wody, tj. lokalnej różnicy poziomów h1ih0 wody w rzece jest równa
vs=
sgh1(h0+ h1) 2h0
. Dla h1 > h0 mamy vs > v0 = √
gh0 co oznacza, że ściana wody porusza się po rzece szybciej niż jakakolwiek fala powierzchniowa w rzece o głębokości h0.
3. Mają zastosowanie do oceanicznych solitonów zwanych tsunami. Takie nieliniowe fale tworzą sie najczęściej podczas podwodnego trzęsienia Ziemi. Powstają wówczas oce-aniczne tsunami mające długości dochodzące do 500 km i wysokości h = 10 m. Prędkość tsunami jest rzędu v ≃ √
g· h, co dla h = 1 km daje prędkość rzędu 100 m/s. Fale te stają się szczególnie niebezpieczne przy podchodzeniu do brzegów. Wtedy ich prędkość maleje, wysokość rośnie73 zaś długość maleje74.
Największe spustoszenia i ofiary ponoszą kraje nadmorskie.
W szczególności Japonia i Chile. W 1896 roku tsunami dosięgło brzegów Japonii. Miało wysokość 30 m. Zginęło około 30 tys. ludzi.
W dniu 28 grudnia 1908 roku na południu Włoch miało miejsce katastrofalne trzęsie-nie ziemi. Zginęło ponad 82 tys. ludzi. Część z nich na skutek ogromnych fal wodnych
73Można pokazać, że wysokość A tsunami zależy od głębokości h jak L2/h, gdzie L jest rzędu kilkudziesięciu metrów.
74Można pokazać, że długość l tsunami zależy od głębokości h jak h2/L. Podane w dwóch ostatnich stopkach oszacowania są słuszne dla L < h
(tsunami) wywołanych trzęsieniem ziemi. Wybuch wulkanu Krakatau w 1883 roku spowo-dował powstanie tsunami o wysokości 45 m, które dotarły do brzegów Indonezji. Liczba ofiar sięgnęła 36 tys. osób75.
Oceany są naturalnym środowiskiem, w którym powstają, żyją i zanikają różne typy fal nieliniowych, których badania są prowadzone przez instytuty naukowe krajów nadmor-skich.
W dniu 26 stycznia 2004 roku w wybrzeża południowo-wschodniej Azji uderzyło potężne tsunami wywołane trzęsieniem dna morskiego. Zginęło około 290 tys. ludzi, a ucierpiało w przybliżeniu 5 mln.
Więcej w Internecie na m.in. następujących stronach:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tsunami,
http://www.ess.washington.edu/tsunami/index.html,
http://en.wikipedia.org/wiki/2004−Indian−Ocean−earthquake, http://www.pmel.noaa.gov/tsunami/,
http://www.digitalglobe.com/tsunami−gallery.html, http://www.asiantsunamivideos.com/.
4. Są pożyteczne do interpretacji grupy fal, jakie powstają na głębokich wodach pod wpły-wem wiatrów. Stabilne grupy fal, zwane grupowymi solitonami, zawierają od 14 do 20 grzbietów fal, z których najwyższe (tj. najsilniejsze) mają numery od 7 do 9. Jest to znana marynarzom morskim reguła, zgodnie z którą, najwyższe fale w grupie fal morskich mają numery od 7 do 9.
5. Mogą być wykorzystywane do przesyłania sygnałów w światłowodach. W 1988 roku w laboratoriach firmy Bell (USA) skonstruowano solitonowy telegraf.
75Z godnie z jedną hipotez, wybuch podwodnego wulkanu na Morzu Egejskim, wywołał tsunami, które zniszczyło Atlantydę.