Zależności fazowe w fali głosowej

Obecnie przeanalizujemy nieco dokładniej proces rozchodzenia się fali dźwiękowej w ośrodku sprężystym. Oznaczmy przez V0 = ∆V wyróżnioną objętość ośrodka położoną w odległości x od źródła fali, w którym równowagowe wartości ciśnienia i gęstości wynoszą, odpowiednio, P0 i ρ0. Zauważmy, że wprowadzone wielkości P0 i ρ0 charakteryzują stan równowagi termodynamicznej ośrodka. Jeśli do tego fragmentu ośrodka dociera fala akustyczna, to przejawia się to w ten sposób, że chwilowe wartości wymienionych wielkości zależą od czasu:

P(t) = P0+ p(t), V (t) = V0+ V(t), ρ(t) = ρ⁰+ ρg(t), (97) gdzie p(t), V(t) i ρ^g(t) są dodatkowym ciśnieniem, zmianą objętości i zmianą gęstości wywołaną falą akustyczną.

Wprowadzimy następujące oznaczenia (dotyczące względnych zmian odpowiednich wielko-ści):

ε(t) = V V0

, s(t) = ρg

ρ0

. (98)

W gazach typowe maksymalne wartości wielkości ε oraz s są małe i wynoszą ε ≃ s ≃ 10⁻³. Przykładowo, jeszcze słyszalny przez ucho dźwięk o częstości 10³ Hz rozchodzącym się

w powietrzu (w warunkach normalnych) powoduje zmiany lokalne ciśnienia p, którego wartość jest rzędu 10⁻⁵ Pa, co stanowi 10⁻¹⁰ ciśnienia atmosferycznego.

Pokażemy teraz, że ε ≃ −s. W tym celu zauważmy, że podczas rozchodzenia się fali masa ośrodka w objętości V nie zmienia się. Zatem

ρ0V0 = ρ(t)V (t) = ρ0(1 + s) · V⁰(1 + ε) = ρ0V0(1 + s + ε + s²ε²) ≃ ρ⁰V0(1 + s + ε), skąd wynika, że

ε ≃ −s. (99)

Własności sprężyste ośrodka, jak wiemy, charakteryzujemy za pomocą modułu ściśliwości K = zmiana ciśnienia

względna zmiana objętości, którego wartość wynosi

K = − ∆p

∆V V

. (100)

W rozpatrywanym przypadku K = −p(x, t)

ε(x, t) = κP. (101)

Warto podkreślić, że K zależy od typu procesu termodynamicznego, któremu podlega po-wietrze podczas przechodzenia przezeń fali dźwiękowej. Procesy te powinny być odwracalnymi, ponieważ tylko wtedy nie zachodzi pochłanianie energii fali sprężystej przez ośrodek. Ozna-cza to, że w trakcie propagacji fali możemy zaniedbać dyfuzję, lepkość i przewodnictwo cieplne ośrodka sprężystego. Jeśli więc procesy prowadzące do wzrostu entropii nie występują, to proces termodynamiczny, któremu podlega każdy fragment ośrodka do którego dociera fala akustyczna może być traktowany jako proces adiabatyczny. Wtedy K jest adiabatycznym modułem ściśli-wości, którego wartość wyznaczyliśmy poprzednio (patrz poprzedni podrozdział).

Fala akustyczna wprowadza do ośrodka małe zaburzenia, ponieważ |ε| ≪ 1 i |s| ≪ 1.

Zatem procesy termodynamiczne związane z rozchodzeniem się fali akustycznej są odwracalne co między innymi oznacza, że nie zachodzi pochłanianie energii fali akustycznej.

W przypadku dużych zaburzeń stanu równowagi ośrodka sytuacja wygląda inaczej. Z uwagi na duże wartości |ε| i |s| w gazie tworzą się lokalne obszary o podwyższonej temperaturze (tam, gdzie ciśnienie w ośrodku jest duże) co powoduje odpływ energii z wyróżnionego fragmentu ośrodka. Wówczas mamy do czynienia z przewodnictwem cieplnym. Ponadto, mogą powstawać lokalne gradienty prędkości (w obszarach, gdzie prędkość cząsteczek ośrodka różni się znacznie).

To z kolei prowadzi do dyfuzji i strat energii z uwagi na lepkość (tarcie wewnętrzne pomiędzy cząsteczkami ośrodka; patrz podrozdział poświęcony falom nieliniowym, gdzie omawiamy fale uderzeniowe). My ograniczamy nasze rozważania do przypadków, gdy |ε| ≪ 1 i |s| ≪ 1.

Zadanie 53. Fala akustyczna biegnąca przez powietrze powoduje na swej drodze lokalne zmiany ciśnienia akustycznego dane wyrażeniem p(x, t) = 1, 27P a sin π(x − 340t) (w jed-nostkach SI). Wyznaczyć: (a) amplitudę ciśnienia akustycznego, (b) częstość (c) długość (d) prędkość tej fali w powietrzu.

Oznaczmy przez

u(x, t) = u0exp[i(ωt − kx)] (102)

równanie fali akustycznej biegnącej w dodatnim kierunku osi OX.

Wtedy

1. Prędkość podłużna cząstek ośrodka ut(x, t) = ∂u

∂t = iωu(x, t).

Prędkość tę możemy zapisać w postaci ut(x, t) = ωu0exp[i(ωt − kx + π/2)],

gdzie wykorzystano wzór Eulera (27).

2. Odkształcenie względne ε= ∂u

∂x = V

V = −iku(x, t) = ku⁰exp[i(ωt − kx − π/2)].

3. Względna zmiana gęstości ośrodka sprężystego s= ρd

ρ = −ε = iku(x, t) = ku⁰exp[i(ωt − kx + π/2)], gdzie skorzystano z relacji (99).

4. Dodatkowe ciśnienie, zwane jest ciśnieniem akustycznym, jest równe p(x, t) = −Kε = Ks = Kk exp[i(ωt − kx + π/2)],

gdzie skorzystano z wyrażenia (101).

Z otrzymanych wyników możemy wyciągnąć następujące wnioski. Podczas rozchodzenia się fali dźwiękowej w ośrodku:

Prędkość cząsteczek ośrodka ut(x, t), względna zmiana gęstości s(x, t) = ρd/ρ oraz ciśnie-nie akustyczne p(x, t) wyprzedzają w fazie o π/2 wychylenia u(x, t) cząsteczek ośrodka.

Pochodna ∂u

∂x oraz względna zmiana objętości ε(x, t) są opóźnione w fazie o π/2 względem u(x, t). Ilustruje to odpowiedni rysunek.

Jak widzimy, w przypadku fali biegnącej w dodatnim kierunku osi OX, wartości u = 0 przy maksymalnej dodatniej wartości prędkości ut odpowiada dodatnia maksymalna wartość p = pmax, P = P0+ pmax ciśnienia akustycznego (ściskanie) oraz maksymalne gęstość s = smax, ρ= ρ0(1 + smax) i minimalna wartość objętości ε = −ε^max, V = V0(1 − ε^max).

Zadanie 54. Pokazać, że w przypadku fali akustycznej u(x, t) = u0exp[i(ωt+kx)] rozchodzą-cej się w ujemnym kierunku osi OX spełnione są relacje: ut= ∂u/∂t = ω exp[i(ωt + kx + π/2)], ε(x, t) = ∂u/∂x = k exp[i(ωt + kx + π/2)] = −s, p(x, t) = Ks(x, t) = K exp[i(ωt + kx − π/2)].

Sporządzić odpowiednie wykresy.

W przypadku fali biegnącej w ujemnym kierunku osi OX, wartości u = 0 przy maksymalnej dodatniej wartości prędkości ut odpowiada ujemna maksymalna wartość p = −p^max, P = P0− pmax dodatkowego ciśnienia (rozrzedzenie) oraz minimalna gęstość s = smax, ρ = ρ0(1 − s^max) i maksymalna wartość objętości ε = εmax, V = V0(1 + εmax).

Zajmiemy się jeszcze zjawiskiem transportowania energii przez falę akustyczną postaci⁴⁴ u(x, t) = u0cos(ωt − kx).

W elemencie ∆V = S∆x ośrodka sprężystego (w którym rozchodzi się fala akustyczna) zgromadzona jest energia kinetyczna w ilości (patrz formuła (55))

∆Ekin(x, t) = 1

2ρ0S∆x^∂u

∂t

²

= 1

2ρ0S∆xu²_t

Średnia wartość tej energii (patrz równiez wzory (59) i (60)) h∆E^kin(x, t)i = 1

T

Z T 0

1

2ρ0S∆xu²_tdt, która z uwagi na

ut= −ωu⁰sin(ωt − kx) wynosi

h∆Ekin(x, t)i = 1 T

Z T 0

1

2ρ0S∆x[−ωu⁰sin(ωt − kx)]²dt.

44Jest to część rzeczywista wzoru (102).

Ponieważ średnia wartość funkcji [sin²(ωt − kx)] po podanym przedziale jest równa 1/2 (patrz uzasadnienie zawarte poniżej wzoru (68)), to

h∆Ekin(x, t)i = 1

4ρ0S∆xω²u²₀ = 1

4ρ0· S · ∆x · (u^(max)t )², (103) gdzie

u^(max)t = ω · u⁰

jest maksymalmą wartością prędkości ut cząsteczek ośrodka.

Ilość energii potencjalnej zgromadzonej w objętości ∆V = S · ∆x jest dana wyrażeniem

∆Epot(x) = −^Z pdV.

Zgęszczenie ośrodka wyraża się wzorem s =

R dV V0

= VV0

,

gdzie ^R dV = V jest małą zmianą wartości objętości fragmentu ośrodka o objętości V⁰ = ∆V = S∆x. Zatem gdzie zastosowano relację ε = −s. Skorzystajmy również z tego, że

ε = ∂u

∂x = ku0sin(ωt − kx).

Wtedy chwilowa wartość energii potencjalnej

∆Epot(x, t) = 1

2 ·K·[ku0sin(ωt−kx)]²·S ·∆x = 1

2 ·K·k²·∆x·S ·u²0·[sin(ωt−kx)]².(104) Stąd możeny policzyć średnią ilość energii potencjalnej zgromadzonej w objętości V0 = S∆x

h∆E^pot(x)i = 1

Ponieważ średnia wartość funkcji [sin²(ωt − kx)] po podanym przedziale jest równa 1/2, to h∆E^pot(x)i = 1

4S∆xKk²u²₀. Ostatecznie, z uwagi na związek

c² = ω² Jak widzimy średnie energie dane formułami (103) oraz (105) są sobie równe.

Ponadto, w objętości ∆V ośrodka sprężystego jest zgromadzona średnia wartość energii mechanicznej równa

h∆Emech(x)i = h∆E^kin(x)i+h∆E^pot(x)i = 1

2ρ0·S·∆x·ω²·u²0 = 1

2ρ0·S·∆x·(u^(max)t )²(106) Dodajmy, że rozkład (czasowy i przestrzenny) wartości energii mechanicznej w ośrodku sprężystym, w którym rozchodzi się płaska fala akustyczna w dodatnim kierunku osi OX opisuje funkcja

∆Emech(x, t) = ∆Ekin(x, t)+∆Epot(x, t) = 21

2 ·ρ0·∆x·S ·u²t = ρ0·∆x·S ·u²t(x, t),(107)

co ilustruje kolejny rysunek. Jak widzimy dany element objętości ∆V ośrodka uzyskuje jedno-cześnie maksymalne (minimalne) wartości energii potencjalnej i kinetycznej⁴⁵.

Związki energetyczne w polu fali akustycznej opisuje się wielkością zwaną intensywnością⁴⁶ fali akustycznej

hIi := h∆W^mechi S⊥

= h∆Emechi

∆t · S^⊥ , (108)

gdzie S⊥= S jest powierzchnią ustawioną prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.

Jak widzimy wielkość ta jest równa

hIi = h∆E^mechi gdzie skorzystano z relacji (105) Jednostką intensywności jest W

m².