Zajmiemy się obecnie zjawiskami, które można obserwować w ośrodku sprężystym, jeśli roz-chodzą się w nim jednocześnie dwie fale. W takich sytuacjach mamy do czynienia z nakładaniem się fal sprężystych. Zjawisko to nazywamy interferencją fal. W tym rozdziale będziemy mówili o interferencji fal liniowych w ośrodkach liniowych49.
Fale liniowe spełniają zasadę superpozycji
Rwyp(r, t) = R1(r, t) + R2(r, t), (133)
zgodnie z którą zaburzenie wypadkowe Rwyp(r, t) w danej chwili czasu t punktów ośrodka o współrzędnej przestrzennej r jest sumą wektorową zaburzeń docierających do tego punktu ośrodka.
7.1. Interferencja fal monochromatycznych
Niechaj w ośrodku liniowym (np. strunie) rozchodzą się dwie identyczne płaskie fale sinu-soidalne w kierunku dodatnim osi OX, których równania fali mają postać:
y1(x, t) = A0sin(kx − ωt) (134)
i
y2(x, t) = A0sin(kx − ωt − φ). (135)
Wychylenie wypadkowe w punkcie ośrodka o współrzędnej x w chwili czasu t, zgodnie z zasadą superpozycji (133), jest równe
y= y1+ y2 = A0[sin(kx − ωt) + sin(kx − ωt − φ)], (136)
48Cytat pochodzi z książki: Clifford A. Pickover, Czarne dziury, Wydawnictwo Amber Sp. z.o.o, Warszawa 1997.
49W takim ośrodku siła przywracająca (odtwarzająca) stan równowagi jest proporcjonalna do odkształcenia ośrodka. Ośrodki sprężyste spełniające prawo Hooke’a są tego najlepszym przykładem.
które, po skorzystaniu z odpowiedniego wzoru trygonometrycznego50, otrzymujemy
y= 2A0cos(φ/2) sin[kx − ωt − φ/2]. (137)
Wypadkowa fala (137) jest także falą sinusoidalną identyczną z falami interferującymi, której amplituda Awyp = 2A0cos(φ/2), a wypadkowa faza jest równa φ/2.
Jeśli cos(φ/2) = 1, tj. φ/2 = n · π, to wypadkowa amplituda |Awyp| = 2A0. Ma to miejsce wówczas, gdy różnica faz fali
φ = n · 2 · π, n = 0, 1, 2, . . . (138)
Mówimy wtedy, że fale interferują konstruktywnie. Oznacza to, że garby (doliny) nakładają się w fazie jeden na drugi.
Jeśli [cos(φ/2)] = 0, tj. φ/2 = (2n + 1) · π/2, to wypadkowa amplituda |Awyp| = 0. Ma to miejsce wówczas, gdy różnica faz fali
φ = (2n + 1) · π, n = 0, 1, 2, . . . (139)
Mówimy, że fale interferują destruktywnie. W tym przypadku fale wygaszają się, ponieważ garb jednej trafia na dolinę drugiej.
Przykładem tego jest nakładanie się fal biegnących po zamocowanej dwustronnie strunie.
Nałożenie się dwóch przeciwbieżnych fal y1 = A0sin(kx − ωt) oraz y1 = A0sin(kx + ωt) daje w rezultacie falę wypadkową
y(x, t) = 2A0sin(kx) cos(ωt),
nazywaną falą stojącą. Maksymalna amplituda tej fali wynosi ±2A0. Takie wartości przyjmuje ona dla
kx= (2n + 1)π
2 , n= 1, 2, . . . , co z uwagi na związek k = 2π
λ prowadzi do x(s)n = (2n + 1)λ
4 , n = 1, 2, . . .
Punkty x(a)n wyznaczają położenia tzw. strzałek, a więc miejsc na strunie, w których amplituda jest maksymalna.
Położenia x(w)n węzłów, w których amplituda jest równa zeru, określają związki kx= n · π, n = 0, 1, 2, . . . ,
co z uwagi na związek k = 2π
λ prowadzi do x(w)n = nλ
2 , n= 0, 1, 2, . . .
Zadanie 59. Ile wynosi odległość pomiędzy kolejnymi węzłami lub strzałkami fali stojącej?
W jakiej odległości są rozłożone kolejne węzły i strzałki fali stojącej?
Zadanie 60. Dwie fale y1 = 5, 0 cos(6, 0x−8, 0t) i y2 = 7, 0 cos(20, 0x−4, 0t), gdzie y i x jest dane w centymetrach, a t w sekundach, interferują ze sobą. Wyznaczyć wychylenie w punkcie x= 2, 0 i chwili czasu t = 4.
Zadanie 61. Dwie fale harmoniczne mają postacie: y1 = (6, 0 m) sin(πx/15−πt/0, 005) oraz y2 = (6, 0 m) sin(πx/15 − πt/0, 005 − φ). Ile wynosi amplituda fali wypadkowej jeśli φ = π/6 rad? Dla jakiej wartości φ amplituda fali wypadkowej będzie maksymalna?
7.2. Fale stojące na strunie
Weźmy pod uwagę strunę o długości L zamocowaną obustronnie. Rozpatrzmy najprostrzy przypadek rozchodzenia się w niej dwóch fal monochromatycznych w dodatnim i ujemnym kierunku osi OX. W dowolnym punkcie struny wychylenie wynosi
y(x, t) = A exp[i(ωt − kx)] + B exp[i(ωt + kx)],
50sin(α) + sin(β) = 2 sin[(α + β)/2] cos[(α − β)/2]
przy czym y(x = 0, t) = y(x = L, t) = 0 (warunki brzegowe). Z warunku y(x = 0, t) = 0 wynika, że 0 = (A + B) exp(iωt) co prowadzi do związku A = −B. Jest to zgodne z naszymi wynikami dotyczącymi zachowania się fal sprężystych, gdy Z2 = ∞ (końce struny odpowiadają ośrodkowi z nieskończonym oporem falowym). Równanie fali przyjmie postać
y(x, t) = A exp(iωt)[exp(−ikx) + exp(ikx)] = −2iA exp(iωt)sin(kx).
Drugi warunek brzegowy wymaga, aby sin(kL) = sin(ω · L/c) = 0, co jest spełnione o ile
kL= ωL/c = n · π, gdzie n = 1, 2, 3, . . . .
Zatem
ωn = 2πfn = nπc
L (140)
lub
fn= nc 2L = c
λn
, (141)
co można przepisać w następujący sposób:
L= nλn
2 → λn= 2L
n . (142)
Wyznaczone wyżej częstości fn wzorem (141) oraz długości λn formułą (142) są nazywane normalnymi modami drgań struny zwanymi także drganiami własnymi.
Podstawowym drganiem (harmoniką podstawową) nazywamy modę własną z n = 1.
Jeśli ni1, to na strunie są miejsca, w których dla dowolnego t wychylenie y = 0. Punkty te noszą nazwę węzłów n–tego drgania własnego. Ma to miejsce dla tych punktów na strunie, dla których
sin(nπx/L) = 0, tj. dla
nπx(w)
L = jπ,
gdzie j = 0, 1, 2, . . . , n. Tak więc węzły n–tego drgania własnego są położone w punktach o współrzędnych
x(w)j = L n · j, gdzie j = 0, 1, 2, . . . , n.
Ponadto, całkowite wychylenie punktów struny w pobliżu x wykonującej n–te drganie wła-sne wynosi
yn(x, t) = −i2A[cos(ωnt) + isin(ωnt)] sin(ωnx/c)] =
= [Ancos(ωnt) + Bnsin(ωnt)] sin(ωnx/c)], gdzie An, Bn są liczbami zespolonymi.
Zadanie 64. Ile wynosi energia przenoszona przez stojącą falę w strunie zamocowanej obu-stronnie?
Ze wzoru (142) wynika, że długość fali n–tego drgania normalnego wynosi λn = 2L
n , n= 1, 2, 3, . . . , (143)
zaś częstość tych drgań fn= c
λn
= nc
2L. (144)
Ponieważ c =
sN ρl
, gdzie N – naciąg struny, a ρl jej gęstość liniowa, więc
fn= n 2L
sN ρl
, n= 1, 2, . . . (145)
Jak widzimy najniższa częstość drgań struny wynosi f1 = 1
2L
qN/ρl
, gdzie f1 to częstość tonu podstawowego struny. Inne częstości drgań normalnych są jego wielokrotnością ponieważ fn = n · f1.
Jeśli struna zostanie odkształcona w taki sposób, że jej kształt odpowiada n–tej harmonice, to będzie ona wydawała dźwięk (zwany tonem) o częstości fn.
Jeśli jednak strunę odkształcimy dowolnie, to będzie wydawała dźwięk będący złożeniem jej wszystkich harmonik.
Jak widzimy, częstość fnmożna zmieniać poprzez zmianę długości struny L lub też poprzez zmianę jej naciągu N51. Zmianę naciągu wykonuje stroiciel (w przypadku fortepianu lub pianina koncertowego) lub wykonawca muzyki gitarowej w celu dostrojenia instrumentu muzycznego.
7.3. Źródła dźwięków
Omówimy krótko najprostsze źródła dźwięków. Na wstępie zauważmy, że jeśli strunę zastą-pimy zamkniętą z obu stron tubą, to fale stojące wzbudzane w słupie powietrza w niej zawartym będą miały prędkość dźwięku c, a długość i częstość tonów podstawowych (drgań normalnych) będą takie same, jak analogiczne wielkości w przypadku fal stojących w strunie zamocowanej na obu końcach, tj.
λ(tuby)n = 2L
n , n= 1, 2, 3, . . . , (146)
fn(tuby)= n 2L
sκP
ρ , n = 1, 2, . . . (147)
Oznacza to, że częstość n(> 1)–tego drgania normalnego jest całkowitą wielokrotnością częstości tonu podstawowego f1.
Zadanie 65. Jakie częstości i długości fal stojących wykazuje tuba otwarta obustronnie? Czy takie same długości drgań normalnych posiada swobodny pręt?
Zadanie 66. Ile wynosi ciśnienie akustyczne w strzałkach a ile w węzłach stojącej fali aku-stycznej?
Jeśli pręt o długości L, zamiast na obu końcach, jest zamocowany tylko na jednym koń-cuu, to posługując się pojęciami strzałki i węzłów możemy określić długość drgań normalnych (tj. fal stojących) takiego układu. Warunki brzegowe wymagają, aby jeden z węzłów był za-wsze umiejscowiony w zamocowanym końcu. Natomiast strzałka powinna zaza-wsze tworzyć się na niezamocowanym końcu. Zatem
L= (2n + 1)λ
4 , n= 1, 2, . . . . (148)
Zadanie 67. Uzasadnić ostatnią równość.
Z tego równania otrzymujemy długości drgań normalnych (fal stojących) rozpatrywanego układu
λn = 4L
(2n + 1), n = 1, 2, , 3, . . . (149)
51Te krótkie rozważania można by tutaj nazwać podstawami fizyki instrumentów muzycznych.
i odpowiadające im częstości tych fal52 fn= c
λn
= (2n + 1)
4L c, (150)
Jeśli strunę zastąpimy tubą (pudłem rezonasowym) jednostronnie zamkniętym, to fale sto-jące wzbudzane w słupie powietrza w niej zawartym będą miały prędkość dźwięku c, a długość i częstość tonów podstawowych (drgań normalnych) będą takie same jak analogiczne wielkości w przypadku fal stojących w strunie zamocowanej na jednym końcu, tj.
λ(tuby)n = 4L
(2n + 1), n= 1, 2, 3, . . . , (151)
fn(tuby) = (2n + 1) 4L
sκP
ρ , n = 1, 2, . . . (152)
Oznacza to, że częstość n(> 1)–tego drgania normalnego jest nieparzystą wielokrotnością czę-stości tonu podstawowego f1.
Jeśli pręt o długości L, zamiast na końcach, jest zamocowany pośrodku, to posługując się pojęciami strzałki i węzłów możemy określić długość drgań normalnych takiego układu.
Warunki brzegowe wymagają, aby jeden z węzłów był umiejscowiony zawsze w środku pręta, natomiast strzałki tworzą się na jego końcach. Zatem ton podstawowy ma długość
λ1 = 2L, (153)
zaś n–ty ton ma długość λn = 4L
2(2n + 1) = 2L
2n + 1, n = 1, 2, 3, . . . . (154)
Ile wynoszą, w tym przypadku, częstości drgań podstawowych? Odpowiedzi na to pytanie powinien udzielić sobie samodzielnie Czytelnik.
7.4. Dudnienia
Zajmiemy się obecnie interferencją fal akustycznych, która ma miejsce w czasie (poprzednio omówiliśmy przykłady interferencji przestrzennej). Wyobraźmy sobie, że do naszego ucha do-cierają z dwóch różnych źródeł fale akustyczne, których częstości różnią się niewiele. Nasze uszy będą odbierały w takim przypadku okresowe wzmocnienia i osłabienia, które przyjęto nazywać dudnieniami.
Opiszmy to zjawisko ilościowo. Niechaj interferują ze sobą fale53 sinusoidalne
y1 = A0sin(2πf1t) oraz y2 = A0sin(2πf2t). (155) Z zasady superpozycji (133) otrzymujemy
y= y1+ y2 = A0[cos 2πf1t+ cos 2πf2t]
oraz
y= 2A0cos2πtf1− f2 2
cos2πtf1+ f2
2
t
.
Oznacza to więc, że wypadkowa częstość fali jest równa fw = (f1+ f2)/2, zaś amplituda zależy od czasu jak
A(t) = 2A0cos 2πf1 − f2
2 .
(156)
52Wyprowadzone związki często zapisuje się w postaci L = mλ
4 , m = 1, 3, 5, . . .., tj. λn = 4L/m. Drganie podstawowe ma fale o długości λ1= 4L. Częstości fal stojących wynoszą fm= c/λm= m c
4L = mc
4l = mf1, tj.
częstość drgań normalnych jest obecnie nieparzystą wielokrotnością tonu podstawowego f1= c/(4L).
53Pomijamy zależność od x.
Tak więc częstość zmian amplitudy jest równa (f1− f2)/2. Ponieważ w ciągu jednego okresu A2(t) wykazuje dwa maksima, to częstotliwość dudnień wynosi
fd= |f1− f2|. (157)
Zadanie 68. Wyznaczyć fw oraz fd jeśli nakładają się dwie fale o częstościach f1 = 438 Hz i f2 = 442 Hz.
7.5. Rezonans
W układach mechanicznych, o których mówiliśmy do tej pory, można obserwować zjawisku resonansu, jeśli zewnętrzne zaburzenie będzie zmienne w czasie, a częstość tych zmian bliska jednej z częstości drgań własnych układu. W takiej sytuacji mówimy o zjawiska rezonansu częstości.
Można to zjawisko obserwować w wielu sytuacjach. Śpiewak (śpiewaczka) o dużej sile głosu, na skutek resonsu, może powodować pękanie szklanych ścianek kieliszków lub szklanek.
Jeśli do zamocowanej jednostronnie struny dołączyć drgającą harmonicznie żyletkę, to przy zmianie częstości drgań tejże żyletki możemy obserwować rezonans częstości, który przejawia się w tym, że jeśli częstość ruchu harmonicznego żyletki staje się równa częstości drgań normalnych, to struna zaczyna intensywnie drgać (wówczas wykonuje jeden z dopuszczalnych typów drgań normalnych).
Podobne zjawisko obserwujemy w układzie złożonym z kilku wahadeł matematycznych pod-wieszonych na jednym pręcie. Wprawienie jednego z nich w ruch powoduje drgania innych.
Największe wychylenia można obserwować dla wahadła (początkowo spoczywającego), którego długość jest najbardziej zbliżona do długości wahadła wprawionego w ruch jako pierwsze.
Penrose wykazał, że jeśli siły grawitacyjne wywierane przez materię we Wszechświecie były zawsze i wszędzie przyciąga-jące i jeśli we Wszechświecie jest dostatecznie dużo materii, to oddziaływanie grawitacyjne sprawia, że przedłużenie wszyst-kich promieni świetlnych wstecz aż do nieskończoności jest niemożliwe.
John D. Barrow54