Do tej pory rozpatrywaliśmy głównie fale monochromatyczne typu y(x, t) = y0cos(ωt −kx).
Wyjątkiem był podrozdział dotyczący dudnień, które powstają w wyniku nakładania się dwóch fal o niewiele różniących się częstościach.
Tutaj zajmiemy się innym typem dudnień jakie powstają w wyniku nakładania się dużej liczby (większej niż dwie) fal monochromatycznych o niewiele różniących się częstościach. Wy-tworzony w ten sposób obiekt nazywamy paczką fal, pakietem fal lub grupą fal. Pokażemy, że prędkość z jaką poruszają się takie obiekty jest prędkością grupową vgr, którą zdefiniujemy i omówimy dość szczegółowo. Uzasadnimy, że prędkość grupowa jest prędkością z jaką przeno-szona jest przez falę energia.
Za pomocą fali monochromatycznej nie można przekazać żadnej informacji55. W celu jej wykorzystania do przenoszenia informacji musimy fale modulować, tj. coś w niej zmieniać
54Cytat pochodzi z książki: John D. Barrow, Początek Wszechświata, Wydawnictwo CIS, Warszawa 1995.
55Biegnąca fala o jednej częstości wytwarza w punkcie do którego dociera zawsze ten sam, cyklicznie powta-rzający się efekt, którym jest ruch harmoniczny cząsteczek ośrodka.
w taki sposób, aby odbiorca był w stanie zmiany te odczytać (w procesie demodulacji).
Modulować można amplitudę56, częstość57 lub fazę fali. W takich przypadkach źrodło fali nie wykonuje prostego ruchu harmonicznego, który jak wiemy jest źródłem fal sinusoidal-nych. Generator fali zmodulowanej (np. nadawcze anteny radiowe lub telewizyjne) wytwarza drgania, których zaburzenie y(t) = f(t) nie jest drganiem harmonicznym lecz superpozycją fal typu
yampl(ω, t) = A(ω) cos[ωt + φ(ω)],
gdzie A(ω) i φ(ω) są, odpowiednio, amplitudą i fazą fali składającej się na f(t)58.
W celu zrozumienia podstawowych właściwości paczki fal zajmiemy się superpozycją dwóch fal kosinusoidalnych. Niechaj w x = 0 umieszczony będzie generator (antena) emitujący w pół-przestrzeń h0, ∞i dwie fale kosinusoidalne
y1(t) = A cos(ω1t), y2(t) = A cos(ω2t). (158) Złożenie tych dwóch fal w źródle jest równoważne drganiu
y(t) = Amod(t) cos(ωśrt), (159)
gdzie
Amod(t) = 2A cos(ωmodt), (160)
ωmod = |ω1− ω2|
2 , ωśr = ω1+ ω2
2 . (161)
Zadanie 69. Wyprowadzić powyżej podane związki.
Jeżeli |ω1 − ω2| ≪ ω1 i |ω1 − ω2| ≪ ω2, to ωmod jest o wiele mniejsza od wartości średniej ωśr, tj. ωmod ≪ ωśr. Jak widzimy formuła (159) opisuje drgania prawie(kwazi)harmoniczne z amplitudą Amod zależną od czasu z częstością modulacji proporcjonalną do ωmod. Generator jest więc źródłem dudnień.
Obliczymy obecnie wartość zaburzenia y(x, t) w punkcie x ośrodka, do którego dotrze zmo-dulowany sygnał generatora. Podobne do powyższych przekształcenia prowadzą do
y(x, t) = Amod(x, t) cos(ωmodt− kśrx), (162) gdzie
ωmod = ω1− ω2
2 (163)
kmod = k1− k2
2 (164)
ωśr = ω1+ ω2
2 (165)
kśr = k1+ k2
2 . (166)
Zadanie 70. Wyprowadzić zależności (162 ÷ 166).
Z jaką prędkością rozchodzi się w ośrodku modulacja amplitudy? Jest to pytanie dotyczące prędkości propagowania się w ośrodku stałej fazy amplitudy, która jest równa
φampl= ωmodt− kmodx.
Z warunku φampl= const otrzymujemy59 dφampl= 0 = ωmoddt− kmoddx,
56Symbol AM na odbiornikach radiowych o tym świadczy.
57Producenci odbiorników radiowych używają symbolu FM do wskazania tego typu modulacji.
58Podkreślmy, że f(t) jest sumą yampl(ω, t). Sumowanie przebiega po różnych ω. W tym sensie f(t) jest grupą (zbiorem) różnych fal.
59Obliczamy różniczkę zupełną φampl.
z którego wynika szukana prędkość rozchodzenia się stałej amplitudy
dx dt
ampl
= vmod = ωmod
kmod
= ω1− ω2
k1− k2. (167)
Wprowadzimy obecnie pojęcie związku dyspersyjnego.
Związkiem dyspersyjnym nazywamy zależność pomiędzy częstością kołową ω i wektorem falowym fali, co zapisujemy w postaci ω(k).
Jeśli w danym ośrodku ω(k) = const · k, to mówimy, że dyspersja jest liniowa.
Zauważmy, że wszystkie rozpatrzone do tej pory fale sprężyste były falami wykazującymi liniową dyspersję60.
Rozpatrzymy dokładniej prędkość vmod. Jeśli ω(k), to ω1 = ω(k1), ω2 = ω(k2). Niechaj k2 = k1+ ∆k. Rozwiniemy ω2 = ω(k2) na szereg Taylora wokół punktu k1
ω(k2) = ω(k1) +dω dk
k=k1
∆k + . . . .
Po podstawieniu tego związku do wzoru (167) otrzymujemy vmod = vgr = dω
dk. (168)
Prędkość vmod będziemy nazywali prędkością grupową i oznaczali symbolem vgr.
Jak widzimy prędkość rozchodzenia się stałej amplitudy vmod = vgr. Zauważmy jeszcze, że wyznaczona prędkość grupowa vgr jest prędkością rozchodzenia się w ośrodku energii stowarzy-szonej z falą, ponieważ ilość energii transportowanej przez falę jest proporcjonalna do kwadratu jej amplitudy Amod (patrz relacja (62)).
8.1. Modulacja amplitudowa fal radiowych
Jako przykład modulacji omówimy krótko fale radiowe o modulowanej amplitudzie AM61. Napięcie wyjściowe anteny radiowej ma określoną częstość zwaną częstością nośną (odpo-wiada to wartości ωśrw przypadku składania dwóch fal monochromatycznych), a jego amplituda jest zmodulowana i ma postać
Amod(t) = A0+ X
ωmod
A(ωmod) cos[wmodt+ φ(ωmod)]. (169) Przy czym różnica amplitud Amod(t) − A0 jest proporcjonalna do ciśnienia fali towarzyszączej mowie, tj. dźwiękowi, którego źródłem jest osoba mówiąca (na to ciśnienie czuły jest mikrofon).
Częstości ωmod leżą w zakresie częstości fal akustycznych, tj. od 20 Hz do 20 kHz. Napięcie całkowite przyłożone do anteny ma więc postać
U(t) = Amod(t) cos(ωśrt) =
= A0cos(ωśrt) + X
ωmod
A(ωmod) cos[ωmodt+ φ(ωmod)] cos(ωśrt), które można przepisać jako
U(t) = A0cos(ωśrt) + 1 2
X
ωmod
A(ωmod) cos[(ωmod+ ωśr)t + φ(ωmod)]+
+ 1 2
X
ωmod
A(ωmod) cos[(ωśr− ωmod)t − φ(ωmod)]. (170)
60Przykładowo, dla fal poprzecznych rozchodzących się w strunie ω = k ·pN/ρ.
61Ten typ modulacji jest wykorzystywany na falach długich.
Zadanie 71. Wyprowadzić wzór (170).
Napięcie przyłożone do anteny jest więc złożeniem kilku drgań, którymi są:
1. Drgania harmoniczne o częstości ωśr = 2πfśr zwanej częstością nośną; jest to częstość na której nadaje dana radiostacja.
2. Suma drgań harmonicznych 1
2
X
ωmod
A(ωmod) cos[(ωmod+ ωśr)t + φ(ωmod)]
zwanych górnym pasmem bocznym.
3. Suma drgań harmonicznych 1
2
X
ωmod
A(ωmod) cos[(ωśr− ωmod)t − φ(ωmod)]
zwanych dolnym pasmem bocznym.
Napięcie U(t) jest więc superpozycją składowych harmonicznych o częstościach kątowych spełniających nierówności
ωśr− ωmaxmod ≤ ω ≤ ωśr+ ωmodmax, (171)
co można zapisać dla częstości w postaci
fśr− fmodmax ≤ f ≤ fśr+ fmodmax. (172)
Wartość
∆f = fmax− fmin = 2fmodmax
nazywamy szerokością pasma. Zatem jedna radiostacja zajmuje w widmie fal radiowych prze-dział hfśr− fmodmax, fśr+ fmodmaxi. Dla fal akustycznych fmodmax= 20 kHz. W rzeczywistości, na mocy odpowiednich umów, fmodmax = 5 kHz i w sygnale podawanym na antenę znajdują się częstości z przedziału hfśr− 5 kHz, fśr+ 5 kHzi.
Napięcie podawane na antenę radiową, która emituje biegnące fale elektromagnetyczne i ma postać (170). Fale te są superpozycją składowych fal harmonicznych zajmujących określony wyżej przedział częstości.
W przypadku fali AM o częstości nośnej fśr = 103 kHz, pasmo częstości radiowych rozciąga się od 995 kHz do 1005 kHz. Jak widzimy częstość nośna jest o wiele większa od częstości modulacji.
8.2. O przekazie obrazu telewizyjnego
Ekran telewizyjny stanowi prostokątną siatkę złożoną z pikseli (inaczej plamek). Pojedynczy piksel jest odwiedzany przez wiązkę elektronową co 1
30 sekundy. Typowy ekran posiada około 25 · 104 plamek. Wynika stąd, że w ciągu jednej sekundy nadajnik telewizyjny musi wysłać około N = 30 · 25 · 104 ≃ 107 impulsów. Zatem częstość napięcia w antenie telewizyjnej musi być równa co najmniej 107 Hz= 10 MHz. Jeśli przyjąć, że częstość telewizyjnych fal nośnych mieści się w granicach od 50 do 200 MHz, to w podanym zakresie może się zmieścić jedynie 15 kanałów telewizyjnych. W rzeczywistości szerokość pasma może być zmniejszona o połowę, co oznacza, że liczba kanałów jest dwukrotnie większa.
Gdyby zastosować, jako nośnik, fale widzialne, których częstości mieszczą się w granicach 4, 6÷6, 6·108 MHz, to liczba kanałów staje się astronomiczna i osiąga wartość 2 · 1014
5 · 106 = 4·107 kanałów.
8.3. Prędkość grupowa a prędkość fazowa – dyspersja fal
Pokazywaliśmy niejednokrotnie, że ω = c · k.
Z definicji prędkości grupowej (patrz wzór (168)) wynika, że vgr = dω
dk = c + kdc
dk. (173)
Z uwagi na to, że k = 2π
λ więc dk = −2π λ2dλ i vgr = c − λdc
dλ. (174)
Jak widzimy prędkość rozchodzenia się energii fali zależy od długości fali. Otrzymane for-muły (173), (174) opisują dyspersję fali.
Prędkość fazowa i grupowa są sobie równe pod warunkiem, że prędkość fazowa c nie zależy od wektora falowego k, tj. dc
dk = 0.
W wysokich warstwach atmosfery (w tzw. jonosferze) zależność dyspersyjna ma postać ω2 = ω2p+ c2k2,
dla ωiωp = 2 · 107 Hz; c – prędkość światła. Z tego związku wynika, ze 2ωdω
dk = 2c2k, zatem
ω k
dω dk
= cvg = vfvg = c2. Ostatecznie
vf =
s
c2+ ωp2 k2 ≥ c i
vg = c c vf
!
≤ c.
Widzimy, że prędkość fazowa takich fal jest zawsze większa od prędkości światła. Natomiast prędkość grupowa jest nie większa od c.
Inny przykład dotyczy fal powierzchniowych rozchodzących się po powierzchni wody (do-statecznie głębokiej wody), dla których
ω2 = gk + N ρ k3,
gdzie g – przyspieszenie ziemskie, ρ – gęstość wody, N = 72·10−7N/m – napięcie powierzchniowe wody.
Zadanie 72. Wyznaczyć prędkość fazową i prędkość grupową dla fal powierzchniowych na wodzie.
Dane dotyczące fal powierzchniowych na głębokich wodach.
λ f c vgr
vgr
cm Hz cm/s cm/s c 0,10 675 67,5 101,4 1,50 0,25 172 43,0 63,7 1,48 0,5 62,5 31,2 44,4 1,42 1.0 24,7 24,7 30,7 1,24 2.0 11,6 23,2 21,4 0,92 8.0 4,52 36,2 19,6 0,54 16.0 4,14 50,3 25,8 0,51 100.0 1,25 125 62,5 0,50 400.0 0,625 250 125 0,50 1600.0 0,313 500 250 0,50 3200.0 0,221 708 354 0,50 6400.0 0,156 1000 500 0,50
Zadanie 73. Przypuśćmy, że jesteś na rozpalonej plaży i sprawdziłeś (jak?), że na sekundę do brzegu przybywa 12 fal na minutę. Oznacza to, że częstość fal f ≃ 0, 2 Hz. Wyznaczyć przybliżoną wartość długości tych fal na otwartym morzu. Jaką odległość przebyła ta fala w ciągu godziny poprzedzającej moment jej zetknięcia się z plażą? Skorzystać z powyższej tabeli.
Dodajmy, że paczka falowa rozmywa (rozpływa) się po upływie dostatecznie długiego czasu.
Dzieje się tak wskutek dyspersji, ponieważ fale monochromatyczne tworzące paczkę poruszają się z różnymi prędkościami (patrz wzór (174)). Oznacza to, że jedne fale z paczki fal uciekają do przodu (są to te, których prędkość grupowa vgr jest największa), a inne pozostają w tyle.
Skoro rozszerzanie się Wszechświata jest faktem, w przeszło-ści musiał on wyglądać zupełnie inaczej niż obecnie.
Igor Nowikow62