Filtracja obrazów w dziedzinie Fouriera

W wielu dziedzinach bardzo popularnym narzędziem przetwarzania sygnałów są filtry cyfrowe. Również w przypadku przetwarzania obrazów cyfrowych można zdefiniować pojęcie filtru oparte na właściwościach F-obrazów i związkach po-między F-obrazami i obrazami. Filtr cyfrowy przeznaczony do filtracji obrazów można zinterpretować jako F-obraz, a filtrację jako mnożenie punktowe dwóch F-obrazów - jednego, pochodzącego od filtrowanego obrazu, i drugiego, będące-go filtrem. Dla przykładu weźmy obraz „kwadrat”, który wraz z odpowiadającym mu F-obrazem przedstawiono na rysunku 4.16. Sam obraz powtórzono na rysunku 4.29a. Rysunek 4.29b pokazuje wykres amplitudy F-obrazu, który zosta-nie potraktowany jako filtr. Faza filtru jest wszędzie równa zero. Amplituda filtru przyjmuje tylko dwie wartości 0 i 1. Obszar wypełniony jedynkami będziemy dalej nazywali oknem częstotliwościowym. Oznacza to, że po pomnożeniu część F-pikseli obrazu ”kwadrat” pozostanie wyzerowana, a część nie ulegnie zmianie.

Dla filtru z rysunku 4.19b zachowane zostaną tylko składowe obrazu „kwadrat”

otaczające składową stałą, czyli odpowiadające niższym częstotliwościom. Można zatem taki filtr nazwać dolnoprzepustowym. Po wykonaniu mnożenia w dziedzi-nie F powrócono do dziedziny pierwotnej i rysunek 4.30 pokazuje obraz oraz jego wykres, otrzymany po filtracji za pomocą przykładowego filtru dolnoprzepusto-wego. Wartości otrzymanej w dziedzinie pierwotnej funkcji wykraczają poza zakres 0-255 i przed prezentacją w postaci poziomów szarości (rys. 4.30a) wartości prze-kraczające dopuszczalny zakres musiały zostać odpowiednio ograniczone. Charakte-rystyczną cechą idealnych filtrów - określonych w postaci F-pikseli o wartościach 0 i 1 - jest powstanie oscylacji w obrazie otrzymanym po filtracji.

a) b)

Rys. 4.29. Z lewej obraz „kwadrat”, z prawej wykres amplitudy F-obrazu, który został wykorzystany jako filtr dolnoprzepustowy.

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 171 a) b)

Rys. 4.30. Obraz „kwadrat” oraz jego wykres otrzymany po filtracji filtrem z rys. 4.29b.

a) b)

Rys. 4.31. Obraz wraz z wykresem odtworzony z części rzeczywistej powstałej w dziedzinie pierwotnej po filtracji obrazu „kwadrat” filtrem podobnym do przedstawionego na rys. 4.29b, ale z przesuniętym obszarem wypełnionym jedynkami.

a) b)

Rys. 4.32. Obraz wraz z wykresem odtworzony z części urojonej powstałej w dziedzinie pierwotnej po filtracji obrazu „kwadrat” filtrem podobnym do przedstawionego na

rys. 4.29b ale z przesuniętym oknem częstotliwościowym. Rysunek a) powstał po dodaniu stałej 128 do wartości funkcji przedstawionej na wykresie b).

172 4 Transformacja Fouriera

Filtr z rysunku 4.29a spełnia opisane wcześniej warunki symetrii. Stosunkowo łatwo jest jednak pomylić się w położeniu jedynek filtru. Rysunki 4.31 i 4.32 pokazują rezultat filtracji filtrem z celowo przesuniętym oknem częstotliwoś-ciowym o jeden F-piksel w pionie i o jeden w poziomie. W rezultacie w dzie-dzinie pierwotnej powstał obraz zespolony - z częścią rzeczywistą i urojoną.

Powstanie części urojonej obrazu jest zazwyczaj efektem niepożądanym, należy go więc unikać.

Na rysunkach od 4.33 do 4.40 pokazano wyniki filtracji dwóch przykładowych obrazów „Lena” (patrz rys. 4.17a) oraz „dwa_kwadraty” (patrz rys. 4.21a) różnymi filtrami zdefiniowanymi w postaci zero-jedynkowych F-obrazów. Dzięki temu, że filtry są zero-jedynkowe, obrazy otrzymane po filtracji pokazują, jaka za-wartość informacji wizualnej zawarta jest w zachowanej części F-obrazu. Taka obserwacja stanowi ważne uzupełnienie dotychczasowych rozważań na temat związków między obrazem i F-obrazem.

a) b)

c) d)

Rys. 4.33. Filtracja dolnoprzepustowa obrazu „Lena”: a) F-obraz filtru, b) amplituda F-obrazu „Lena” po filtracji, c) faza F-obrazu „Lena” po filtracji, d) obraz po filtracji

otrzymany w dziedzinie pierwotnej.

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 173 Rysunek 4.33a przedstawia F-obraz filtru w postaci poziomów szarości. Ponie-waż F-obraz jest zero-jedynkowy, więc by cokolwiek było widać, wszystkie wartości zostały pomnożone przez stałą 255. Ponadto w przypadku F-obrazu zawierającego wyłącznie 0 i 1 część rzeczywista jest zawsze równa amplitudzie, a faza oraz część urojona są wszędzie równe zero. Dlatego też dla pełnego opisu takiego filtru w postaci F-obrazu wystarczy podać na przykład jego część rze-czywistą - analogicznie jak dla obrazu cyfrowego w dziedzinie pierwotnej. Po wykonaniu filtracji, czyli mnożenia F-obrazów, F-obraz wynikowy będzie zawie-rał zera wszędzie tam, gdzie filtr posiadał wartości zerowe, natomiast F-piksele filtrowanego obrazu (zwykle o wartościach zespolonych) przypadające na obszar okna, mnożone przez wartość 1, pozostaną nie zmienione. Dlatego też, jeżeli przedstawi się amplitudę lub fazę F-obrazu po filtracji, to zwykle od razu widoczne jest, jak musiał wyglądać filtr. Wynika to z faktu, że niezwykle rzadko F-obraz pochodzący z obrazu cyfrowego o sensownej treści wizualnej zawiera obszary o ze-rowej amplitudzie czy fazie.

Zatem wyzerowanie amplitudy lub fazy w danym obszarze F-obrazu filtrowanego jest zwykle wyraźnie widoczne i świadczy o zerach występujących w analogicz-nym obszarze F-obrazu będącego filtrem. Rysunki 4.33b oraz 4.33c w powiązaniu z rys. 4.33a stanowią ilustrację powyższego wywodu. Rysunek 4.33d pokazuje obraz odtworzony po przeprowadzeniu filtracji dolnoprzepustowej, demonstrując jednocześnie, jaka część informacji wizualnej obrazu „Lena” zawarta jest w wy-szczególnionej, dolnopasmowej części F-obrazu.

Dolnoprzepustowa filtracja obrazu „dwa_kwadraty” zilustrowana jest już tylko w postaci amplitudy F-obrazu po filtracji oraz otrzymanego po filtracji obrazu - rysunek 4.34. Z rysunku 4.34a można odczytać postać filtru, z kolei znając F-obraz filtru i fazę pokazaną na rys.4.21c można zobaczyć, jak wygląda zachowana przez filtr część fazy.

a) b)

Rys. 4.34. Filtracja dolnoprzepustowa obrazu „dwa_kwadraty”: a) amplituda F-obrazu po filtracji, b) obraz w dziedzinie pierwotnej otrzymany po filtracji.

174 4 Transformacja Fouriera

a) b)

Rys. 4.35. Filtracja górnoprzepustowa obrazu „Lena”:

a) amplituda F-obrazu po filtracji, b) obraz w dziedzinie pierwotnej otrzymany po filtracji (oraz po dodaniu stałej 128).

a) b)

Rys. 4.36. Filtracja górnoprzepustowa obrazu „dwa_kwadraty”:

a) amplituda F-obrazu po filtracji, b) obraz w dziedzinie pierwotnej otrzymany po filtracji (oraz po dodaniu stałej 128).

Rysunki 4.35 i 4.36 pokazują zastosowanie filtru górnoprzepustowego. Jest to filtr komplementarny w stosunku do wykorzystanego powyżej filtru dolnoprze-pustowego. Oznacza to, że w F-obrazie filtru dolnoprzepustowego zamieniono zera na jedynki, a jedynki na zera. Jak widać, dodanie F-obrazów obu komple-mentarnych filtrów da F-obraz zawierający same jedynki. Taki filtr nie zmieniłby nic w filtrowanym F-obrazie. Wynika z tego, że cała informacja wizualna zawarta w obrazie może być rozłożona na dwie (lub więcej) części w oparciu o wybór fragmentów F-obrazu. W przypadku gdy filtr eliminuje składową stałą,

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 175 do prezentacji w postaci odcieni szarości obraz odtworzony musi mieć wartości wszystkich pikseli powiększone o pewną stałą - gdyby ten zabieg pominąć, to około połowa wartości byłaby ujemna i musiałaby zostać zaokrąglona do zera.

W praktyce, w przypadku 8-bitowego zapisu pikseli, do wszystkich pikseli dodaje się wartość 127 lub 128.

Nazwy filtr dolno- i górnoprzepustowy pochodzą z przetwarzania sygnałów jednowymiarowych, gdzie wystarczy podać jedną wartość oddzielającą pasmo dolne i górne. W przypadku obrazów, czyli ciągów dwuwymiarowych, można rozmaicie wybierać rozkład dolnych i górnych częstotliwości. Na rysunkach od 4.29 do 4.36 filtry określane były w postaci kwadratowych pól zer lub jedynek.

Można jednak część dolnopasmową określić w postaci koła, elipsy, rombu, pro-stokąta itd. Za każdym razem obraz po filtracji dolnoprzepustowej będzie nieco inny. Pewnym szczególnym przypadkiem może być filtr o jakimś wyróżnionym kierunku (filtry kwadratowe wyróżniają kierunki wzdłuż przekątnej obrazu, ale w bardzo niewielkim stopniu). Można się umówić, że jeżeli obszar jedynek F-obrazu filtru będzie figurą wypukłą i będzie zawierał składową stałą, to będzie to filtr dolnoprzepustowy, natomiast filtr będący dopełnieniem filtru dolnoprze-pustowego można nazwać filtrem górnoprzepustowym. Jest to jednak podział bardzo umowny.

Rysunek 4.37 pokazuje wynik filtracji obrazu „Lena” filtrem dolnoprzepustowym o wyraźnej preferencji jednego kierunku oraz filtrem do niego komplementarnym.

Tak określony filtr górnoprzepustowy eksponuje krawędzie poziome. Jeszcze wy-raźniej jest to widoczne dla takiej samej filtracji obrazu „dwa_kwadraty” przed-stawionej na rysunku 4.38. Dla porównania rysunki 4.39 i 4.40 pokazują wynik filtracji dla obróconej o kąt prosty orientacji filtru.

a) b) c)

Rys. 4.37. Filtracja obrazu „Lena” z wyróżnionym kierunkiem poziomym: a) amplituda F-obrazu po filtracji dolnoprzepustowej, b) odtworzony obraz po filtracji

dolnoprzepustowej, c) odtworzony obraz po komplementarnej filtracji górnoprzepustowej (oraz dodaniu stałej 128).

176 4 Transformacja Fouriera

a) b) c)

Rys. 4.38. Filtracja obrazu „dwa_kwadraty” z wyróżnionym kierunkiem poziomym:

a) amplituda F-obrazu po filtracji dolnoprzepustowej, b) odtworzony obraz po filtracji dolnoprzepustowej, c) odtworzony obraz po komplementarnej filtracji

górnoprzepustowej (oraz dodaniu stałej 128).

a) b) c)

Rys. 4.39. Filtracja obrazu „Lena” z wyróżnionym kierunkiem pionowym: a) amplituda F-obrazu po filtracji dolnoprzepustowej, b) odtworzony obraz po filtracji

dolnoprzepustowej, c) odtworzony obraz po komplementarnej filtracji górnoprzepustowej (oraz dodaniu stałej 128).

a) b) c)

Rys. 4.40. Filtracja obrazu „dwa_kwadraty” z wyróżnionym kierunkiem pionowym:

a) amplituda F-obrazu po filtracji dolnoprzepustowej, b) odtworzony obraz po filtracji dolnoprzepustowej, c) odtworzony obraz po komplementarnej

filtracji górnoprzepustowej (oraz dodaniu stałej 128).

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 177 Filtracja zero-jedynkowa nie musi być dolno- lub górnoprzepustowa. Można wybrać dowolny fragment dwuwymiarowej dziedziny F, jako obszar jedynek lub zer filtru, pamiętając jedynie o zachowaniu odpowiednich symetrii. Rysunek 4.41 pokazuje w postaci poziomów szarości (po pomnożeniu przez 255) filtr zero-jedynkowy, który zachowuje wybrane pasmo F-obrazu. Wyniki filtracji obrazów „Lena” i „dwa_kwadraty” za pomocą tego filtru oraz filtru komplemen-tarnego pokazują rysunki 4.42 i 4.43.

Rys. 4.41. F-obraz przykładowego filtru pasmowego (po pomnożeniu przez 255).

a) b)

Rys. 4.42. Wynik filtracji obrazu „Lena”: a) filtrem z rys. 4.41, b) filtrem komplementarnym do filtru z rys. 4.41.

Warto jeszcze raz podkreślić, że w każdym przedstawionym przykładzie filtracji za pomocą filtrów komplementarnych dwa odtworzone obrazy zawierają łącznie pełną informację cyfrową, jaka była zawarta w obrazie pierwotnym przed filtracją. Jeżeli dodamy oba obrazy odtworzone w dziedzinie pierwotnej, zanim przeprowadzimy niezbędne do wyświetlenia w postaci poziomów szarości ope-racje, to otrzymamy obraz oryginalny. Jeżeli natomiast oba obrazy zostały już

178 4 Transformacja Fouriera

dostosowane do wymogów prezentacji w postaci odcieni szarości (liczby całko-wite z przedziału 0-255 w przypadku reprezentacji 8-bitowej), to po ich dodaniu obraz będzie bardzo podobny do oryginalnego, jednak mogą wystąpić widoczne różnice. Trzeba także pamiętać, że obraz w postaci poziomów szarości powstały po odfiltrowaniu składowej stałej musi zawierać dodaną wartość stałą np. 128.

Zatem po dodaniu go do drugiego obrazu, powstałego po filtracji komplemen-tarnej, trzeba tę stałą odjąć.

a) b)

Rys. 4.43. Obraz „dwa_kwadraty” po filtracji: a) filtrem z rys. 4.41, b) filtrem komplementarnym do filtru z rys. 4.41.

Zestaw filtrów, tworzących po dodaniu F-obraz zawierający same jedynki, może składać się z większej ilości zero-jedynkowych F-obrazów. Rysunek 4.44 poka-zuje przykład zestawu trzech filtrów zero-jedynkowych rozkładających obraz cyfrowy na trzy składowe podobrazy - patrz rysunki 4.45 i 4.46. Każdy z filtrów określa wybrane podpasmo.

a) b) c)

Rys. 4.44. Zestaw filtrów do rozkładu obrazu cyfrowego na trzy podpasma: a) filtr dolnoprzepustowy, b) filtr eksponujący krawędzie ukośne, c) filtr powstały jako

uzupełnienie filtrów a) i b).

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 179 a) b)

c) d)

Rys. 4.45. Rozkład obrazu „Lena” na trzy podobrazy w oparciu o filtry podpasmowe z rys. 4.44: a) obraz oryginalny, b) obraz otrzymany po filtracji filtrem z rys. 4.44a, c) obraz otrzymany po filtracji filtrem z rys. 4.44b (plus stała 128), d) obraz otrzymany

po filtracji filtrem z rys. 4.44c (plus stała 128).

Łatwo sobie wyobrazić rozkłady w oparciu o rozmaite geometryczne (odpo-wiednio symetryczne) podziały pola F-obrazu. Trzeba jednak przestrzec opty-mistów, że w przypadku obrazów o wiele łatwiej jest wymyślić sobie podział obszaru na filtry podpasmowe niż uzasadnić jego użyteczność. Podział na podpasma znajduje zastosowanie głównie w dziedzinie kompresji obrazów cy-frowych.

180 4 Transformacja Fouriera

a) b)

c) d)

Rys. 4.46. Rozkład obrazu „dwa_kwadraty” na trzy podobrazy w oparciu o filtry podpasmowe z rys. 4.44: a) obraz oryginalny, b) obraz otrzymany po filtracji filtrem

z rys. 4.44a, c) obraz otrzymany po filtracji filtrem z rys. 4.44b (plus stała 128), d) obraz otrzymany po filtracji filtrem z rys. 4.44c (plus stała 128).