4 Transformacja Fouriera 4.1 Wprowadzenie
4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych
4.3.7 Odpowiedź impulsowa filtru
Dość istotną rolę w problematyce filtracji odgrywa pojęcie odpowiedzi impul-sowej filtru. Jak wskazuje nazwa, jest to wynik otrzymany po filtracji danym filtrem danych wejściowych będących impulsem jednostkowym. W przypadku obrazów cyfrowych impuls jednostkowy jest to obraz cyfrowy, posiadający wszędzie wartości zero z wyjątkiem lewego górnego narożnika, o indeksach (0,0), gdzie wartość piksela wynosi jeden - stąd nazwa „impuls jednostkowy”.
Dla rozmiaru obrazu 6x6 pikseli obraz impulsu jednostkowego pokazany jest na rysunku 4.54.
Rys. 4.54. Przykład obrazu cyfrowego, o rozmiarach 6x6 pikseli, będącego impulsem jednostkowym.
Każdy filtr zdefiniowany w dziedzinie Fouriera jest także jednoznacznie okreś-lony przez swoją odpowiedź impulsową. Wynika to choćby z tego, że odpowiedź impulsowa filtru po poddaniu jej transformacji Fouriera daje F-obraz będący definicją filtru w dziedzinie F. Łatwo skojarzyć, że odpowiedź impulsową można wobec tego otrzymać w inny sposób - poddając definicję filtru w dziedzinie F odwrotnej transformacji Fouriera. Opis filtru w postaci odpowiedzi impulsowej jest przydatny do przeprowadzania filtracji bezpośrednio w dziedzinie obrazu, bez przechodzenia do dziedziny F. Taka filtracja nie polega już na mnożeniu punktowym, ale na operacji splatania obrazu filtrowanego i odpowiedzi im-pulsowej filtru. O splocie była już wcześniej mowa, jednak przyjrzymy się temu zagadnieniu jeszcze raz w podrozdziale 4.3.8. Zanim to nastąpi, konieczne będzie zwrócenie uwagi na właściwość okresowości transformacji Fouriera.
Dwuwymiarowy ciąg, będący obrazem cyfrowym, jest zastępowany repre-zentacją pochodzącą z próbkowanych funkcji kosinus. Wszystkie te funkcje są okresowe i jeżeli udało się dany obraz zastąpić odpowiednio skalowanymi i
prze-186 4 Transformacja Fouriera
suniętymi próbkami funkcji kosinus, to można równie dobrze przyjąć, że takie zastąpienie będzie także dokładnie pasować do dowolnej ilości okresów tworzą-cych obraz okresowy. Na rysunku 4.55 pokazano fragment okresowego obrazu powstałego z obrazu „Lena”.
Rys. 4.55. Dwuwymiarowy obraz okresowy i dwa sposoby wyboru jednego reprezentacyjnego okresu.
Jak widać, okresowość dotyczy obu wymiarów. Na rysunku 4.55a zaznaczono sposób wybrania jednego okresu, który jednoznacznie określa cały obraz okreso-wy. W tym przypadku okres ten odpowiada znanemu już nam obrazowi „Lena”.
W ogólności można ten okres wybrać dowolnie. Praktycznie interesujący jest jednak sposób pokazany na rys. 4.55b. Oba obrazy będące równoważnymi jedno-okre-sowymi reprezentacjami obrazu okresowego pokazano na rysunku 4.46. Jeżeli dowolny obraz, który poddajemy transformacji Fouriera można przedstawić w wersji okresowej, to dotyczy to także obrazu będącego odpowiedzią im-pulsową filtru. Okazuje się, że w przypadku odpowiedzi impulsowej przesunięcie ramki wyznaczającej jeden okres z obrazu okresowego, tak by piksel, który był w lewym górnym rogu obrazu, znalazł się jak najbliżej centrum, posiada istotne znaczenie praktyczne. Rysunek 4.57a pokazuje wykres odpowiedzi impulsowej dla filtru dolnoprzepustowego zdefiniowanego w dziedzinie F - zgodnie z rysun-kiem 4.29b - bezpośrednio po odwrotnej transformacji Fouriera. Natomiast rysunek 4.57b przedstawia tę samą odpowiedź impulsową, ale po wyborze okresu podstawowego, tak by piksel będący pierwotnie w lewym górnym rogu znalazł się w centrum obrazu. Takie przesunięcie nie jest niczym nowym - jest to dokładnie to samo, co przesunięcie w dziedzinie F, stosowane dla umieszczenia składowej stałej w centrum F-obrazu, tyle, że tym razem to przesunięcie zostało uzasadnione okresowością obrazu. Analogiczna okresowość w dziedzinie F może posłużyć jako uzasadnienie przesunięcia w tej dziedzinie.
4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 187 a) b)
Rys. 4.56. Jeden okres obrazu okresowego: a) odpowiadający pierwotnemu obrazowi cyfrowemu, b) po przesunięciu okresu reprezentacyjnego tak, by lewy górny narożnik
obrazu pierwotnego znalazł się w centrum nowego obrazu.
a) b)
Rys. 4.57. Odpowiedź impulsowa filtru dolnoprzepustowego z rysunku 4.29b: a) po wyznaczeniu odwrotnej transformacji Fouriera z F-obrazu filtru, b) po przesunięciu lewego, górnego narożnika do centrum, przy wykorzystaniu okresowości obrazu.
Jak widać z wykresu na rysunku 4.57b, pewne fragmenty odpowiedzi impul-sowej - skupione po przesunięciu wokół centrum - są wyraźnie większe od pozo-stałych. Dlatego też często po prostu pomija się wartości oddalone nieco od centrum odpowiedzi impulsowej - tak jakby miały wartość zero. Prowadzi to do znacznego zmniejszenia pola odpowiedzi impulsowej, które trzeba uwzględniać przy wyznaczaniu splotu, co poważnie redukuje ilość wykonywanych obliczeń.
Takie ograniczenie odpowiedzi impulsowej musi jednak wpłynąć na postać filtru w dziedzinie F. Rysunek 4.58 pokazuje, jak obcięcie pola odpowiedzi impulsowej do rozmiaru 5x5 pikseli - pozostałe wartości wyzerowano - wpłynęło na postać F-obrazu filtru. Jak widać z wykresu amplitudy, na rysunku 4.58b, filtr nie jest
188 4 Transformacja Fouriera
już zero-jedynkowy, podział na pasmo przepustowe i zaporowe nie jest ostry, pojawiły się też pewne zafalowania. Zafalowania te, powstałe z obcięcia odpo-wiedzi impulsowej, znane są pod nazwą efektu Gibbsa. Rysunek 4.58c pokazuje wykres fazy. Wygląda on bardzo chaotycznie i nieczytelnie, istotne jest jednak, że wartości, jakie przyjmuje faza, pochodzą - z niewielkim błędem - wyłącznie ze zbioru
{
−π, ,0 +π}
. Gdyby komputer liczył dokładnie, to zbiór ten zawierałby tylko dwa elementy 0 i na przykład −π. Po przypomnieniu sobie sposobów zapisu liczb zespolonych - wzór (4.18) lub (4.35) - można skojarzyć, że faza plus lub minusπ świadczy o zmianie znaku części rzeczywistej oraz o zerowej war-tości urojonej. W takim przypadku o wiele czytelniejsze jest przedstawienie F-obrazu w postaci wykresu części rzeczywistej, jak na rys. 4.58d. Niekiedy może się okazać, że F-obraz posiada jedynie niezerową część urojoną - wtedy jej wykresem należy się posłużyć zamiast dwóch wykresów: amplitudy i fazy.a) b)
c) d)
Rys. 4.58. Obcięcie pola odpowiedzi impulsowej z rys. 4.57b do obszaru 5x5 pikseli:
a) wykres odpowiedzi impulsowej po redukcji pola, b) amplituda F-obrazu filtru wynikająca z redukcji pola odpowiedzi impulsowej, c) faza F-obrazu filtru po zredukowaniu pola odpowiedzi impulsowej, d) część rzeczywista F-obrazu filtru
opisanego amplitudą b) i fazą c).
4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 189