Filtracja splotowa

W rozdziale 4.3.5 była mowa o filtracji obrazu w dziedzinie F przez punktowe mnożenie odpowiednich F-obrazów. Jednak obraz jest zwykle określony w dzie-dzinie pierwotnej i również po filtracji interesuje nas raczej jego wygląd w tej samej dziedzinie. Filtr, jak się okazało, może być także określony w dziedzinie pierwotnej przez swoją odpowiedź impulsową. W takiej sytuacji może warto przeprowadzać filtrację bezpośrednio w dziedzinie obrazu, bez stosowania trans-formacji w przód i odwrotnej. Operacją dokładnie równoważną filtracji w dzie-dzinie F, realizowanej za pomocą punktowego mnożenia, jest w dziedzie-dzinie obrazu operacja splatania, przy założeniu okresowości obrazu i tej samej okreso-wości odpowiedzi impulsowej filtru. Przy tym założeniu wynik operacji musi być także obrazem okresowym - o tym samym okresie. Wystarczy zatem wziąć pod uwagę jeden, odpowiednio wybrany okres. Jeżeli odpowiedź impulsowa jest mniejsza niż pojedynczy okres obrazu okresowego - czyli po prostu przetwarzany obraz cyfrowy - to nic nie stoi na przeszkodzie, by uzupełnić tę odpowiedź im-pulsową zerami. Taki iloczyn splotowy, który zakłada okresowość czynników, nazywa się splotem kołowym, w odróżnieniu od splotu liniowego, który wyznacza się teoretycznie w nieskończonym zakresie, a praktycznie tylko tam gdzie wynik może być różny od zera. Splot liniowy nie odpowiada dokładnie iloczynowi transformat, jednak w przypadku odpowiedzi impulsowej o niewielkim rozmiarze pola, zawierającym niezerowe wartości, różnica często nie jest istotna - splot liniowy jest niemal wszędzie równy splotowi kołowemu. Jak już napisano w rozdziale 3, wyliczanie splotu sprowadza się do wymnożenia odpowiedniej maski przez odpowiadające tej masce pole obrazu - punkt po punkcie - dodaniu wyników mnożeń i przypisaniu rezultatu pikselowi obrazu wynikowego znajdu-jącemu się w zaznaczonym na masce splotowej położeniu. Zwykle jest to położenie centralne w masce. Maskę filtru i odpowiedź impulsową filtru można łatwo wzajemnie powiązać. Załóżmy, że dysponujemy odpowiedzią impulsową w postaci otrzymanej po przesunięciu punktu (0,0) do środka obrazu. Należy określić pole - najczęściej prostokątne lub kwadratowe - w którym mieszczą się wszystkie niezerowe wartości tej odpowiedzi. Niekiedy wartości bliskie zeru traktuje się jak zerowe, co, jak pokazano, daje pewne zniekształcenie filtru. Po wyznaczeniu pola niezerowych wartości odpowiedzi impulsowej następuje odwrócenie kolejności wierszy i kolumn. Należy jedynie wyróżnić piksel, który znajdował się pierwotnie w punkcie (0,0) przesuniętym do środka obrazu. Otrzymane w wyniku odwróce-nia kolejności pole pikseli stanowi maskę, a wyróżniony piksel określa, gdzie należy zapisywać wynik operacji mnożenia obrazu i maski. Rysunek 5.59 pokazuje przykładową centralną (czyli nie wyzerowaną) część odpowiedzi im-pulsowej i odpowiadającą jej maskę. Piksel o wartości 5 został wyróżniony.

190 4 Transformacja Fouriera

Rys. 5.59. Przykład odpowiedzi impulsowej filtru i maski do wyznaczania splotu.

Najistotniejsze jednak jest to, że zazwyczaj filtry do przetwarzania obrazów wcale nie są definiowane w dziedzinie F. Opracowuje się maskę i stosuje bezpośrednio do wyznaczania splotu. Odpowiedź impulsową wyznacza się po to tylko, żeby z niej wyznaczyć postać częstotliwościową filtru. Postać ta może niekiedy pomóc w uzasadnieniu, dlaczego dany filtr zachowuje się w taki, a nie inny sposób, choć zwykle nie jest ani niezbędna przy opracowaniu filtru, ani przy jego stosowaniu.

Rysunek 4.60 pokazuje często stosowany filtr dolnoprzepustowy.

a) b)

Rys. 4.60. Filtr zdefiniowany za pomocą odpowiedzi impulsowej zawierającej jedynki w centralnym polu 5x5 pikseli, podzielone przez skalującą wartość 25:

a) wykres odpowiedzi impulsowej, b) część rzeczywista F-obrazu filtru.

Ponieważ maska o rozmiarach 5x5 jest symetryczna, więc jest jednocześnie odpowiedzią impulsową. Wartości maski, pierwotnie zawierającej 25 jedynek, zostały przeskalowane, tak aby ich suma była równa 1. Ten bardzo skuteczny i popularny filtr nie jest, jak widać, idealnym filtrem dolnoprzepustowym. Dla przydatności tego filtru o wiele ważniejsze jest uzasadnienie postaci maski oparte na uśrednianiu niż niedoskonała częstotliwościowa postać filtru. Bardzo istotną

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 191 zaletą tego filtru - zdefiniowanego w dziedzinie pierwotnej, bez usiłowań dopa-sowania go do częstotliwościowego ideału - jest brak oscylacji w obrazie będą-cym wynikiem filtracji. Rysunki 4.61 i 4.62 pokazują obraz oryginalny i wynik filtracji tego obrazu za pomocą filtru z rysunku 4.60.

a) b)

Rys. 4.61. Obraz 32x32 piksele do ilustracji filtracji dolnoprzepustowej filtrem uśredniającym: a) w postaci odcieni szarości, b) w postaci wykresu.

a) b)

Rys. 4.62. Obraz z rysunku 4.61 po filtracji filtrem z rys. 4.60:

a) w postaci odcieni szarości, b) w postaci wykresu.

Na zakończenie tego podrozdziału warto zwrócić uwagę na pewien szczegół, który jest tym większy, im większa jest maska filtru. Chodzi o wynik filtracji w okolicy brzegu obrazu. Jeżeli przeprowadzimy filtrację w dziedzinie częstotli-wości (lub też zastosujemy równoważny splot kołowy oparty na okresoczęstotli-wości kosinusoid), to będzie to odpowiadało sytuacji, jak gdyby maska wystająca poza ramkę oryginalnego obrazu „nasunęła” się na kolejny okres tego obrazu. Czyli na

192 4 Transformacja Fouriera

przykład nastąpi uśrednienie elementów znajdujących się po przeciwnych stronach obrazu. Rysunki 4.63 i 4.64 pokazują taką sytuację. Nie jest to zwykle efekt pożądany. Dlatego w trakcie filtracji za pomocą maski zakłada się, że obraz poza ramką jest poszerzony o wartości pikseli znajdujące się na brzegu obrazu oryginalnego. Rysunek 4.65 przedstawia takie poszerzenie obrazu „Lena” o roz-miarach 128x128 pikseli. Rysunek pokazuje powiększenie obrazu z pewną prze-sadą - wystarczyłoby ono do filtracji za pomocą maski o rozmiarach 255x255.

W praktyce maski są znacznie mniejsze, a ponadto nie jest wcale konieczne pamiętanie obrazu tak powiększonego. Wystarczy, jeśli program realizujący fil-trację daną maską wykryje wysunięcie maski poza ramkę i podstawi w miejsce brakujących pikseli wartości pikseli z brzegu obrazu.

a) b)

Rys. 4.63. Obraz oryginalny do ilustracji okresowości filtracji w dziedzinie F:

a) w postaci odcieni szarości, b) w postaci wykresu.

a) b)

Rys. 4.64. Obraz z rys. 4.63 otrzymany po filtracji filtrem uśredniającym przeprowadzonej w dziedzinie częstotliwości (równoważnej splotowi kołowemu,

czyli okresowemu): a) w postaci poziomów szarości, b) w postaci wykresu.