Przykłady obrazów cyfrowych oraz ich F-obrazów

punktowej względem środka F-obrazu. Dzięki temu jednak wszystko się zgadza.

Do określenia rozwinięcia (4.33) potrzebne są amplitudy z jednej ćwiartki F-ob-razu, jednak fazy z jednej ćwiartki nie wystarczyłyby do jednoznacznego okreś-lenia faz kosinusoid jednowymiarowych generujących ciągi bazowe. Uwzględniając zależność (4.37) można otrzymać dwa równania na dwie szukane fazy jednowy-miarowych kosinusoid:

Podsumowując przeprowadzone rozważania można stwierdzić, że do pełnego odtworzenia obrazu oryginalnego w oparciu o jego F-obraz wystarczy, jeżeli znane będą wartości amplitud F-pikseli typu 3 dowolnej ćwiartki oraz wartości faz F-pikseli typu 3 należących do dwóch ćwiartek stykających się ze sobą krawę-dziami, a także dodatkowo wartości wybranych F-pikseli typu 2 i typu 1. Wyboru należałoby dokonać traktując F-piksele typu 1 i typu 2 układające się w wiersze lub kolumny tak jak transformaty Fouriera rzeczywistych ciągów jednowymia-rowych - w oparciu o zachodzące w takim przypadku odpowiednie symetrie.

4.3.2 Przykłady obrazów cyfrowych oraz ich F-obrazów

Dalsze zagadnienia zostaną przedstawione w oparciu o przykłady. Przyjmijmy, że podlegający przetwarzaniu obraz cyfrowy - o nazwie np. „dwie_fale” - powstał w wyniku zastosowania następującej zależności:

( )

158 4 Transformacja Fouriera

a) b)

Rys. 4.13. Obraz cyfrowy „dwie_fale”, 32x32 piksele, opisany zależnością (4.41):

a) treść obrazu ukazana w poziomach szarości, b) obraz pokazany jako wykres funkcji określonej na dziedzinie dwuwymiarowej.

Przed prezentacją na rys. 4.13a elementy ciągu L (4.41) musiały być dodatkowo zaokrąglone do wartości całkowitych nie mniejszych niż 0 i nie większych niż 255. Obraz cyfrowy pokazany na obu rysunkach 4.13a i 4.13b to ten sam obraz.

Rysunki wyglądają jednak inaczej. Po transformacji Fouriera obraz „dwie_fale”

jest nadal tym samym obrazem, jednak w innej reprezentacji, w innej postaci.

W dziedzinie Fouriera reprezentacja, czyli F-obraz, jest już zespolona. Ampli-tuda F-obrazu „dwie_fale” pokazana jest na rysunku 4.14a. Rysunek 4.14b przedstawia amplitudę po przeprowadzeniu przesunięcia w dziedzinie F, a rysu-nek 4.14c po zlogarytmowaniu wartości amplitudy. Operacja logarytmowania amplitudy jest stosowana bardzo często ze względu na dość znaczne różnice w wartościach amplitud poszczególnych F-pikseli dla większości obrazów. Skala liniowa powodowałaby trudności w jednoczesnej interpretacji wartości o tak dużej rozpiętości. Niektóre wartości amplitud mogą mieścić się w przedziale od 0 do 1, co w wyniku logarytmowania mogłoby dać duże wartości ujemne. Aby tego uniknąć przed logarytmowaniem do amplitudy F-obrazu, oznaczonej jako

( )

A i k, - zgodnie ze wzorem (4.35) - dodaje się wartość 1²⁴.

( ) ( ( ) )

LA i k, =log₁₀ A i k, +1 (4.42) Rysunek 4.14d przedstawia fazę F-obrazu po przesunięciu w dziedzinie F.

Na wykresach z rysunku 4.14 i dalszych po przesunięciu w dziedzinie F nie zastosowano zmiany indeksów. Wynika to z tego, że odtąd będziemy traktować operację transformacji Fouriera i przesunięcia w dziedzinie tej transformacji łącznie, jako całość, zmierzającą do otrzymania F-obrazu określonego na tym samym polu indeksów co obraz oryginalny.

24 Od tej pory wszystkie wykresy amplitud F-obrazów będą od razu prezentowane po operacji logarytmowania i nie będzie to więcej podkreślane - analogicznie jak w przypadku przesunięcia w dziedzinie F.

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 159 a) b)

c) d)

Rys. 4.14. Wykresy F-obrazu „dwie_fale”: a) amplituda bezpośrednio po zastosowaniu wzoru (4.26), b) amplituda po przesunięciu w dziedzinie F, c) amplituda po

przesunięciu w dziedzinie F i zastosowaniu operacji (4.42), d) faza po przesunięciu w dziedzinie F.

Rysunki 4.13 i 4.14 mogą sugerować, że transformacja Fouriera może się przydać do wykrywania pewnych charakterystycznych wzorców w obrazie. Gdyby każdy obraz można było przekształcić do postaci tak klarownych wykresów jak na rysunku 4.14, a następnie udało by się powiązać z wybranymi „słupkami” wy-kresów informację wizualną zawartą w obrazie, to można by łatwo wyodrębniać z obrazu wybrane fragmenty informacji. Zatem dla porównania warto obejrzeć bardzo podobny pod względem wizualnym obraz cyfrowy, który stanowi fragment obrazu z rys. 4.13a powiększony do tej samej rozdzielczości co obraz oryginalny.

Treścią obu obrazów jest zatem ten sam wzorzec, obrazy różnią się jedynie dopasowaniem ramki do powtarzalności wzorca. W przypadku obrazu z rysunku 4.13a oba okresy - pionowy i poziomy - mieszczą się w obrazie całkowitą ilość razy, czego nie da się powiedzieć o obrazie z rysunku 4.15a. Niestety zazwyczaj relacja pomiędzy występującymi w obrazie okresowymi wzorcami i ramką

160 4 Transformacja Fouriera

obrazu jest dość przypadkowa, nie jesteśmy zatem w stanie przewidzieć, czy o występowaniu danego wzorca będzie świadczyć postać F-obrazu taka jak na rysunku 4.14, czy taka jak na rysunku 4.15.

a) b)

c) d)

e)

Rys. 4.15. Obraz „dwie_fale2”: a) prezentacja obrazu w poziomach szarości, b) obraz w postaci wykresu funkcji, c) amplituda F-obrazu (po przesunięciu w dziedzinie F), d) amplituda F-obrazu (po przesunięciu w dziedzinie F i operacji logarytmowania

według (4.42)), e) faza F-obrazu.

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 161 a) b)

c) d)

e) f)

Rys. 4.16. Obraz „kwadrat” o rozdzielczości 32x32 piksele: a) prezentacja obrazu w poziomach szarości (ramka nie należy do treści obrazu), b) obraz w postaci wykresu

funkcji, c) amplituda F-obrazu w postaci wykresu funkcji, d) faza F-obrazu w postaci wykresu funkcji, e) amplituda F-obrazu w poziomach szarości f) faza F- obrazu

w poziomach szarości.

Zawartości obrazów „dwie_fale” i „dwie_fale2” są dla obserwatora raczej mało inte-resujące. Zanim jednak zostanie pokazany F-obraz standardowego obrazu „Lena”,

162 4 Transformacja Fouriera

zostanie wykorzystany jeszcze jeden sztuczny obraz „kwadrat” (rysunek 4.16a).

Treść obrazu nie jest już tak trudna w interpretacji wizualnej jak w dotychcza-sowych obrazach („dwie_fale” i „dwie_fale2”). Za to F-obraz, pomimo stosunkowo prostej zawartości obrazu, jest już dość skomplikowany - patrz rysunek 4.16c i 4.16d oraz 4.16e i 4.16f. Na rysunku tym - części „e” i „f” - zaprezentowano kolejną możliwość: prezentację F-obrazu w postaci takiej samej jak obrazu ory-ginalnego, czyli po zastąpieniu liczb poziomami szarości. Ponieważ F-obraz jest zespolony, zatem w miejsce jednego obrazu o 256 poziomach szarości otrzy-muje się dwie części F-obrazu, których przybliżeniem są obrazy o 256 poziomach szarości. Obraz amplitudy F-obrazu można traktować ponownie jako nowy obraz oryginalny i oczywiście dla niego też można znaleźć postać F-obrazu. Tak samo reprezentacja w poziomach szarości fazy F-obrazu może być od tego momentu traktowana jak kolejny obraz cyfrowy. Trzeba jednak pamiętać, że dla przed-stawienia amplitudy lub fazy w postaci poziomów szarości konieczne są dwie dodatkowe operacje:

1) dostosowanie zakresu do przedziału od 0 do 255, indeks p oznacza wartość przeznaczoną do prezentacji w postaci poziomów szarości:

dla amplitudy:

2) zaokrąglenie tak otrzymanych liczb z zakresu od 0 do 255 do posta-ci całkowitej.

Jeżeli wynik operacji 1) nie jest nigdzie zapamiętywany, to po operacji 2) obraz oryginalny nie może już być dokładnie odtworzony, ponieważ po operacji 2) reprezentacja w postaci F-obrazu jest nieodwracalnie zniekształcona. Często jednak można szybko zorientować się w pewnych cechach F-obrazu właśnie korzystając z wizualizacji w postaci poziomów szarości (lub wizualizacji różno-kolorowej). W przypadku amplitudy zazwyczaj minimalna wartość przed ska-lowaniem (4.43) niewiele różni się od zera, więc zależność (4.43) zastępuje się uproszczoną:

4.3 Transformacja Fouriera dla obrazów cyfrowych 163 W przypadku fazy, ze względu na odpowiednie symetrie, średnia wartość znajduje się dokładnie w środku przedziału, zatem poziom szarości odpowiadający liczbie 127 reprezentuje zerową fazę. Rysunek 4.17 pokazuje po raz kolejny obraz

„Lena” w rozdzielczości 128x128 pikseli oraz reprezentację tego obrazu w dzie-dzinie F, w postaci dwóch obrazów: dla amplitudy i dla fazy. Warto i tu zaobser-wować symetrie w obu częściach F-obrazu.

a)

b) c)

Rys. 4.17. Obraz „Lena”, o rozdzielczości 128x128:

a) obraz oryginalny, b) amplituda F-obrazu, c) faza F-obrazu.

164 4 Transformacja Fouriera

4.3.3 Przykłady charakterystycznych związków pomiędzy treścią