Dochodzimy teraz do punktu kulminacyjnego całej historii. Wymagaliśmy zachowania prądu wektorowego.
Czy jednakże jest zachowany prąd aksjalny ?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy obliczyć wyrażenie :
Wiemy już jak to zrobić :
W istocie, całkowanie to zostało przeprowadzone w (2). W ostatecznym wyniku otrzymujemy :
Zatem prąd aksjalny nie jest zachowany !
I tak dla prostej teorii £ = ψ–iγµ ∂µψ w przypadku klasycznym zachowany jest zarówno prąd wektorowy jak i aksjalny, natomiast w przypadku kwantowym, zachowany jest tylko prąd wektorowy. Zjawisko to nazywa się anomalią – anomalią aksjalną lub anomalią chiralną.
Następstwa anomalii.
Jak już mówiliśmy, anomalia przedstawia sobą nadzwyczaj bogate zjawisko. Dokonajmy krótkiego podsumowania szczegółów, które możecie opracować dokładniej w ramach ćwiczeń.
1) Przypuśćmy, że kalibrujemy naszą prostą teorię :
£ = ψ–iγµ ( ∂µ – ieAµ )ψ
i rozpatrujemy Aµ w charakterze pola fotonowego. Wtedy rysunek IV.7.1 będzie odpowiadał przypadkowi, kiedy dwa linie fotonowe wychodzą z wierzchołka µ i ν. Otrzymany wcześniej wynik (9) można teraz przepisać w postaci dwóch równań operatorowych :
FIZYKA KLASYCZNA : ∂µ J5µ = 0 (10)
FIZYKA KWANTOWA : ∂µ J5µ = [ e2 /(4π)2 ] εµνλσ Fµν Fµν (11)
Pochodna prądu aksjalnego ∂µ J5µ jest nie równa zero, a równa jest operatorowi umożliwiającemu wykreować dwa fotony.
2) Postępując zgodnie z logiką rozdziału IV.2, możemy obliczyć prędkość rozpadu π0 → γ + γ.
Wcześniej fizycy, opierając się na błędnym wyniku (10) przyjmowali, że taki rozpad, możliwy do zaobserwowania eksperymentalnego jest niemożliwy ! ( zobacz ćwiczenie IV.7.2 )
Rozwiązanie takiego paradoksu doprowadziło do poprawnego wyniku (11).
3) Zapisując lagranżjan z użyciem pól lewego ψL i prawego ψR oraz wprowadzając lewy i prawy prąd : JRµ = ψ–
R γµ ψR , JLµ = ψ–
L γµ ψL można sformułować anomalie w postaci :
( stąd właśnie nazwa chiralna ! )
Można przyjąć, że lewe i prawe fermiony biegną po pętli na rysunku IV.7.1, wnosząc przeciwne wkłady do anomalii.
4) Rozpatrzmy teorię :
£ = ψ– ( iγµ ∂µ – m )ψ
Jej inwariantność względem przekształcenia ψ → exp(iθ)γ5 jest naruszana przez człon masowy.
W przypadku klasycznym mamy :
∂µ J5µ = 2mψ– iγ5ψ
tj. prąd aksjalny jest jawnie nie zachowany. Anomalia wyraża się w tym, ze fluktuacje kwantowe generują pojawienie się dodatkowego członu. W teorii :
£ = ψ– [ iγµ ( ∂µ – ieAµ ) – m ]ψ otrzymujemy :
5) Przypomnijmy, że w rozdziale III.7, przy obliczeniu polaryzacji próżni wprowadzaliśmy regulatory Pauliego-Willarsa.
Odjęliśmy od wyrażenia podcałkowego takie wyrażenie podcałkowe, w którym masa elektronu zamieniana jest na pewną masę regulatora. Masa elektronu w (1) jest równa zero, dlatego odejmiemy z wyrażenia podcałkowego takie wyrażenie podcałkowe, w którym 0 zamieniamy na masę regulatora M. Zapiszmy :
Zauważmy, że przy p → ∞ wyrażenie podcałkowe dąży do zera szybciej, niż 1/p3, co jest zgodne z filozofią regularyzacji, opisaną ogólnie w rozdziałach III.1 i III.7 : dla p << M, granice całkowania nie są wprowadzone, a wyrażenie podcałkowe pozostaje niezmienione, dla p >> M wyrażenie podcałkowe jest obcinane. W naszym przypadku całka w (14) posiada pozorną rozbieżność logarytmiczną, dlatego możemy dowolnie przesunąć zmienna całkowania p.
Jak pojawia się anomalia chiralna ?
Włączając masę regulatora M, w sposób jawny naruszamy warunek zachowania prądu aksjalnego. Anomalia polega na tym, że podane naruszenie ma miejsce nawet w przypadku M → ∞. Byłoby użytecznym jeśli sprawdzilibyście
samodzielnie to stwierdzenie ( ćwiczenie IV.7.4 ) 6) Rozpatrzmy teorię nieabelową :
£ = ψ– iγµ ( ∂µ – igAµa Ta )ψ
Wystarczy wprowadzić dla wyrażenia dla amplitudy Feynmana czynnik Ta dla wierzchołka µ i czynnik Tb dla wierzchołka ν. Powtarzamy wszystkie powyższe kroki za wyjątkiem tego, że przy sumowaniu po wszystkich różnych fermionach, biegnących po pętlach, otrzymujemy czynnik Tr Ta Tb. Zatem, w nieabelowej teorii cechowania mamy :
gdzie Fµν = Fµνa Ta – jest natężeniem pola macierzowego, zdefiniowanym w rozdziale IV.5
Symetria nieabelowa posiada jedną istotną własność : obiekt εµνλσ Tr Fµν Fλσ zawiera nie tylko człon drugiego rzędu po A, ale również i człon trzeciego i czwartego rzędu po A, dlatego obserwujemy anomalię chiralną z trzema i czterema wchodzącymi bozonami cechowania, tak jak na rysunku IV.7.2a, b
Rys. IV.7.2
Niektórzy anomalię z rysunku IV.7.1 i IV.7.2 nazywają trójkątną, kwadratową i pięciokątną anomalią. Kiedy została ujawniona anomalia trójkątna, rozgorzał spór o to czy ogólnie istnieją anomalię trójkątna i pięciokątna. Widzimy, ze nieabelowa symetria rozwiązuje ten spór w sposób oczywisty, jednakże w owym czasie ludzie obliczali diagramy Feynmana jawnie i dowolny nieostrożny krok mógł doprowadzić do błędu.
7) W rozdziale V.7 zobaczymy, że anomalia jest ściśle związana z topologią.
8) Obliczyliśmy anomalię chiralną w teorii swobodnej :
£ = ψ– ( iγµ ∂µ – m )ψ
Załóżmy, ze fermion oddziaływuje z polem skalarnym za pośrednictwem dodanego członu f ϕψ–ψ lub z polem EM.
Należy obliczyć diagramy wysokiego rzędu, np. diagram trój pętlowy na rysunku IV.7.3. Można założyć, że prawą część równania (9) należy pomnożyć przez :
1 + h(f, e, ... ) , gdzie h – jest pewną nieznaną funkcją od wszystkich stałych sprzężenia, figurujących w teorii.
A teraz niespodzianka ! Adler i Bardeen dowiedli, ze h = 0. Taki zadziwiający fakt, nazywany nierenormalizowalnością anomalii, można wyjaśnić heurystycznie. Przed całkowaniem po pędach propagatorów skalarnych z rysunku IV.7.3 ( oznaczonych jako ( W1 i W2 ), feynmanowskie wyrażenie podcałkowe zawiera siedem fermionowych propagatorów, a zatem jest dobrze zbieżne. To oznacza, że można bezboleśnie przesunąć zmienne całkowania. Zatem, przez całkowaniem po W1 i W2 wypełniamy wszystkie odpowiednie tożsamości Warda, np.
qλ∆3λµν( k1, k2 ; W1, W2 ) = 0
Spróbujcie dokończyć dowód samodzielnie.
W ćwiczeniu VI.7.13 powinniście podać dowód, oparty na topologii. ( Prosty dowód, bez przywoływania topologii można znaleźć w książce J. Collins Renormalizatoions str. 352 )
Rys. IV. 7.3
9) Otrzymany powyżej wynik miał duże znaczenie dla fizyki cząstek elementarnych, ponieważ jest on związany bezpośrednio z wyobrażeniem o kolorze ( powiemy o tym później w rozdziale VII.3 )
Warunek nierenormalizowalności anomalii pozwolił dokładnie obliczyć amplitudę rozpadu : π0 → γ + γ
pod koniec 1960-tych lat. Chociaż w modelu kwarkowym tego czasu amplituda zadana jest przez nieskończoną liczbę diagramów Feynmana ( rys. IV.7.4), to warunek nierenormalizowalności anomalii mówi o tym, że tylko diagram przedstawiony na rysunku IV.7.4a daje wkład. Mówiąc inaczej, amplituda nie zależy od szczegółów oddziaływania silnego. Fakt, że amplituda okazała się dwukrotnie mniejsza niż wymagana, świadczy o istnieniu trzech egzemplarzy kwarków ( rozdział VII.3 )
Rys. IV.7.4
10) Naturalnie jest zadać pytanie, czy kwarki i leptony są złożone z bardziej elementarnych fermionów, nazywanych preonami ? Warunek nierenormalizowalności anomalii chiralnej przedstawia dla nas mocny fakt dla odpowiedzenia na powyższe pytanie. Nie jest ważne na ile złożone mogą być oddziaływania, ale do póki są one opisywane przez teorię pola, anomalia obliczana na poziomie preonów, powinna pokrywać się z anomalia obliczaną na poziomie
kwarkowo-leptonowym. W ten sposób otrzymujemy tzw. warunek odpowiedniości anomalii, który istotnie ogranicza możliwe teorie preonowe.
( G. T’Hooft et. All Recent developments in gauge theories A. Zee Phys. Lett. 95B; 290 , 1980 )
11) Historycznie teoretycy –polowcy z dużym niedowierzaniem odnosili się do całki po trajektoriach, przychylając się raczej do podejścia kanonicznego. Kiedy odkryto anomalię chiralną, niektórzy fizycy twierdzili, że jej istnienie dowodzi niepoprawności sformułowania całek po trajektoriach. Mówili oni, że całka po trajektoriach :
wydaje się na tyle niepoważna, że w żaden sposób nie może ona służyć jako dowód swojej nieinwariantności względem przekształcenia chiralnego :
Fujikawa rozwiązał ten spór, kiedy dowiódł, że w całce po trajektoriach uwzględnia się anomalię :
przy przekształceniu chiralnym miara Dψ–Dψ zmienia się o jakobian przekształcenia. Właśnie tymi słowami rozpocząłem niniejszy rozdział – działanie może być inwariantne, podczas, gdy całka po trajektoriach nie.
Ćwiczenia.
IV.7.1 Z (9) otrzymajcie (11). Pędy k1λ i k2σ ustalane w (9), stają się w (11) dwoma pędami dowolnymi w wyrażeniu FµνFλσ.
IV.7.2 Opierając się na analizach przeprowadzonych w rozdziale IV.2 oraz stosując błędne równanie (10), pokazać, że amplituda rozpadu :
π0 → γ + γ
zeruje się w idealnym świecie, w którym pole π0 jest bezmasowe. Ponieważ π0 rzeczywiście się rozpada, a nasz świat jest przybliżeniem świata idealnego, otrzymujemy pierwszy dowód niepoprawności równania (10).
IV.7.3Powrórzcie wszystkie obliczenia w tekście dla teorii :
£ = ψ– ( iγµ ∂µ – m )ψ
IV.7.4 Weźcie regularyzacje Pauliego –Willarsa amplitudy ∆λµν( k1, k2 ) i zawęźcie ją z qλ. W analogiczny sposób w rozdziale II.7 człon q γ5 zapisywaliśmy w postaci :
[ 2M + (p – M ) – ( p – q + M )]γ5
Teraz można swobodnie przesunąć zmienne całkowania.
Pokazać, że :
Obliczyć ∆µν i pokazać, ze w granicy M → ∞ ∆µν zachowuje się jak 1/M, a prawa cześć równania (17) dąży do skończonej granicy. Anomalia polega na tym, że po swoim zniknięciu z niskoenergetycznego spektrum, regulator pozostawia pewien ślad. ( Nawet nie przystępując do obliczeń, możemy faktycznie twierdzić, że ∆µν będzie równe 1/M.
Na skutek lorentzowskiej inwariantności i obecności γ5, wartość ∆µν powinna być proporcjonalna do εµνλσk1λ k2σ , jednakże analiza wymiarowa pokazuje, że ∆µν jest równe wielkości εµνλσk1λ k2σ / M, pomnożonej przez pewną stałą.
Zapewne jesteście zdziwieni, dlaczego nie można w miejsce 1/M wykorzystać 1/ (k12 )½ , tak aby w wyniku wymiar okazał się prawidłowy. Problem jednakże w tym, że doświadczenie obliczeń diagramów Feynmana w (3 +1)- wymiarowej CP mówi o niemożliwości otrzymania czynnika 1/ (k12 )½ ).
IV.7.5 Istnieje dosłownie N sposobów wyprowadzenia równania anomalii. Oto jeszcze jeden. Obliczcie :
dla przypadku masywnego fermionu, ale nie bezpośrednim rachunkiem, a wykorzystując na początku inwariantność lorentzowską, tak aby zapisać :
gdzie Ai = Ai ( k12 , k22, q2 ) – osiem funkcji od trzech lorentzowskich skalarów.
Poprzez podliczenie stopni w duchu rozdziałów III.3 i III.7, pokazać, ze w dwóch z ośmiu funkcjach pojawiają się całki z pozornymi logarytmicznymi rozbieżnościami, podczas gdy w pozostałych sześciu – całki zbieżne.
Następnie stosując statystykę Bosego oraz warunek zachowania prądu wektorowego :
k1µ ∆λµν = 0 = k2ν ∆λµν pokazać, ze możemy uniknąć obliczenia z całkami zawierającymi pozorną rozbieżność.
Obliczyć całki zbieżne i znaleźć wielkość : qλ ∆λµν( k1, k2 )
IV.7.6 Rozpatrzyć anomalię z punktu widzenia analizy amplitudy :
w niższym rzędzie zadanego diagramu trójkątnego z prądami aksjalnymi w każdym z wierzchołków.
( Podpowiedź. Wykorzystać amplitudę w przestrzeni pędów :
∆5λµν (k1, k2 ) )
Dla warunku ( γ5 )2 = 1 oraz symetrii Bosego dowieść, że :
Teraz wykorzystać (9), aby obliczyć qλ ∆5λµν( k1, k2 ).
IV.7.7 Zdefiniować poprawnie miarę fermionową Dψ w (16), przechodząc do przestrzeni Euklidesa.
Obliczyć jakobian przy przekształceniu chiralnym i wyprowadzić anomalię ( Podpowiedź. K. Fujikawa Phys. Rev. Lett.
42 ; 1195, 1979 )
IV.7.8 Obliczyć pięciokątną anomalię z pomocą diagramów Feynmana dla sprawdzenia uwagi nr 6 podanej w powyższym tekście. Mówiąc inaczej, znaleźć współczynnik c w równaniu :
∂µ J5µ = ... + cεµνλσTr Aµ Aν Aλ Aσ