Rozdział I.7 Diagramy Feynmana.
Feynman przyniósł kwantową teorię pola masom (* „masy” w znaczeniu masy ludzkie *) - J. Schwinger
(*
Feynman brought quantum field theory to the masses. - J. Schwinger *)Anharmoniczność w teorii pola.
Dla teorii pola swobodnego, którą rozpatrywaliśmy w poprzednich rozdziałach, rozwiązanie można znaleźć łatwo, ponieważ definiująca go całka po trajektoriach (I.3.14) jest całką Gaussa, tak że możemy prosto zastosować (I.2.15) ( Odpowiada to rozwiązaniu zadania o oscylatorze harmonicznym w MQ )
Jak mówiliśmy w rozdziale I.3 w ramach przybliżenia harmonicznego mody drgań na sieci można dodawać liniowo, a zatem przechodzą one przez siebie wzajemnie. Cząstki reprezentowane przez pakiety falowe, zestawione przez takie mody, nie oddziałują ( Potencjalne źródło problemu. Na skutek propagacji ϕ, źródła, związane z ϕ, jak widzieliśmy w rozdziale I.4, oddziaływują, ale cząstki, stowarzyszone z polem ϕ, nie oddziaływują ze sobą. Taka sytuacja jest analogiczna do stwierdzenia, że cząstki naładowane, związane z fotonem, oddziaływują, ale same fotony ( w przybliżeniu głównym) nie oddziaływują ze sobą ) - stąd i nazwa „teoria pola swobodnego”.
Aby mody zaczęły rozpraszać się na sobie, powinniśmy dołączyć do lagranżjanu człony anharmoniczne tak, aby równania ruchu przestały być liniowe. Dla uproszczenia dodamy do naszej teorii swobodnej tylko jeden człon anharmoniczny
− λϕ4 /4!
i z uwzględnieniem (I.3.11) spróbujemy zapisać :
( opuściliśmy zależność Z od λ )
Możecie powiedzieć, że rozwiązać równania KTP nie jest zadaniem zbyt trudnym, wystarczy obliczyć całkę funkcjonalną (1). Jednakże całka ta nie należy do łatwych !
Jeśli moglibyśmy ją obliczyć, to byłoby to sensacyjne.
Diagramy Feynmana ułatwiają zadanie.
Będąc studentem słyszałem o tych tajemnych maleńkich obrazkach, nazywanych diagramami Feynmana i bardzo chciałem je poznać. Wierzę, że i wy zainteresujecie się tymi zabawnymi diagramami.
Pokaże wam, że w diagramach Feynmana nie ma niczego tajemniczego – w istocie już rysowaliśmy maleńkie obrazki czaso-przestrzenne w rozdziałach I.3 i I.4, demonstrujące jak cząstki pojawiają się, propagują i znikają.
Dla tego, kto po raz pierwszy zajmuje się KTP, diagramy Feynmana wydają się bardzo złożone. Dla ich wyprowadzenia w standardowych podręcznikach wykorzystuje się formalizm kanoniczny ( wprowadzę go w następnym rozdziale ), w miejsce formalizmu całek po trajektoriach, wykorzystywanego przez nas obecnie.
Dla wyprowadzenia diagramów Feynmana powinniśmy rozwiązać równania ruchu dla operatorów polowych z zastosowaniem teorii zaburzeń względem λ. W tym celu wymagane jest wprowadzenie bardzo złożonej techniki obliczeniowej.
Według tych, którzy wolą wykorzystywać formalizm całek po trajektoriach, budowa omawianych diagramów jest w nim znacznie prostsza ( i jest to naturalne ! )
Tym niemniej wyprowadzenie diagramów może być i tutaj bardzo złożone i początkujący student może utracić intuicje.
Tak czy inaczej musimy się nieco potrudzić.
Postaram się maksymalnie ułatwić wam zadanie, stosując pewien trik pedagogiczny, polegający na tym, aby dać wam możliwość samodzielnego odkrycia diagramów Feynmana.
Posłużę się przy tym następującą strategią : dam wam do rozwiązania dwa zadania o w wzrastającej trudności, które nazywam zadaniami odpowiednio dla dziecka i dla młodzieńca.
Po tym jak je wykonacie, obliczenie (1) wyda się wam o wiele prostsze.
Zadanie dla dziecka.
Zadanie polega na obliczeniu standardowej całki :
która oczywiście jest prostszą wersją (1).
Na początku dokonajmy trywialnej obserwacji : Zawsze możemy zamienić q → q/m tak, aby : Z = m−1 Ŧ( λ/m4 , J/m )
ale robić tego nie będziemy.
Dla λ = 0 otrzymujemy tylko jedną całkę Gaussa, opisaną w dodatku do rozdziału I.2.
Powiecie zapewne, że Z(J) możemy łatwo obliczyć obliczając ja jako szereg po λ :
całkując człon po członie.
Być może zauważycie nawet jeden z przypadków szczególnych takiego obliczenia :
możemy mianowicie zapisać całkę w postaci :
i zastosować (I.2.11). Zatem :
( istnieje jeszcze inny sposób np. wielokrotne różniczkowanie wyrażenia : +∞
∫
dq exp( − ½ m2 q2 − Jq )−∞
po m2, jednakże chciałbym wykorzystać pewien trik, który pracuje również w teorii pola ) Rozłożymy obie eksponenty otrzymując dowolny człon o dowolnej potędze rozkładu Z(J) po λ i J
( Często ogólny czynnik ( 2π/m2 )½ = Z ( J = 0, λ = 0) ≡ Z(0, 0 ) opuszczamy, ponieważ jest on jednakowy dla wszystkich członów takiego szeregu. Kiedy zachce się wam być dokładnymi, możecie zdefiniować Z~ = Z(J)/ Z(0, 0 ) )
Załóżmy np., ze potrzebujecie członu Z~ rzędu λ i J4. Wydzielimy człon rzędu J8 w wyrażeniu exp( J2/2m2 ), tj.
[ (1/4! )!(2m2 )4 ] J8 , zamienimy exp[ − (λ/4!) (d/dJ )4 ] na − (λ/4!) (d/dJ )4 i zróżniczkujemy, aby otrzymać [ 8( −λ)/ (4! )3 (2m2 )4 ] J4
Drugi przykład : człon rzędu λ2 i J6 jest równy :
½ ( λ/4! )2 (d/dJ )8 [ 1/7! (2m2 )7] J14 = [ 14! (−λ )2 /(4!)2 6!7!2(2m2 )7] J6 Trzeci przykład : człon rzędu λ2 i J4 ma postać :
[ 12! (−λ )2 /(4!)3 2(6! )(2m2 )6] J4
I na koniec, dla członu rzędu λ i J0 otrzymujemy : [ 1/2(2m2 )2] (−λ)
Możecie prowadzić takie rachunki dowoli. Otrzymacie jeszcze kilka członów takiego szeregu i szybko zrozumiecie ich strukturę. Z czasem zrozumiecie, ze możemy utożsamić człony szeregu z pewnymi diagramami i sformułować dla nich odpowiednie zasady. Rozpatrzone przez nas cztery powyższe przykłady prowadzą nas do diagramów przedstawionych na rysunkach I.7.1 – I.7.4. Można zauważyć, że z pewnego powodu który stanie się jasny nieco później, każdy człon może być przyporządkowany kilku diagramom. W charakterze ćwiczenia postarajcie się ściśle sformułować odpowiednie zasady, tak aby otrzymać prawidłowe współczynniki numeryczne ( jednakże możecie mi uwierzyć – jest demokracja i nie są one istotne ).
Odpowiednie zasady powinny mieć następującą ogólna postać :
1) diagramy budujemy z linii i wierzchołków, w których spotykają się cztery linie 2) każdemu wierzchołkowi odpowiada czynnik −λ
3) każdej linii odpowiada czynnik 1/m2
4) każdemu zewnętrznemu końcowi odpowiada J ( np. rysunek I.7.2 posiada 7 linii, dwa wierzchołki i 6 zewnętrznych końców, co daje nam ~ [ (−λ)2 /(m2 )7 ] J6 )
Zapewne zauważyliście, ze podwojona liczba linii jest równa liczbie wierzchołków, pomnożonej przez 4 + liczba zewnętrznych końców. Zależności o takiej postaci spotkamy w rozdziale III.2.
Z oczywistych przyczyn niektóre diagramy ( np. I.7.1a, I.7.2a ) nazywają się diagramami drzewiastymi ( Chiński hieroglif oznaczający drzewo pokazano na rysunku I.7.5. W charakterze ćwiczenia pomyślcie, dlaczego taki diagram nie pojawia się w rozkładzie Z(J)), a pozostałe ( np. rys. I.7.1b i I.7.3a ) nazywamy diagramami pętlowymi.
Rys. I.7.1
Rys. I.7.2
Rys. I.7.3
Rys. I.7.4 Rys. I.7.5
Rozpatrzcie tyle przykładów ile wam potrzeba, aby osiągnąć odpowiednie zrozumienie powyższych wywodów,
wiadomości te będziemy dalej wykorzystywali w KTP. Tam jednakże wszystko będzie wyglądało na bardziej zagmatwane, ale to tylko złudzenie. Zanim przejdziemy dalej, przekonamy się, ze rozumiecie jak wykorzystywać powyższe diagramy dla reprezentacji dowolnego potęgowego rozkładu Z(J).
Ze swojej pedagogicznej praktyki wiem, że studenci, którzy nie opanowali prowadzenia rozkładu Z~(J ), nie mają szans na zrozumienie tego, co zamierzamy robić w kontekście KTP.