Weźmy pole skalarne ϕ w reprezentacji fundamentalnej danej grupy. W przypadku ogólnym ϕmoże przekształcać się w dowolnej reprezentacji R grupy cechowania G. Zapiszmy pochodną kowariantną w postaci :
Dµϕ =( ∂µ – iAµa Ta(R) )ϕ (20)
Gdzie Ta(R) – przedstawia sobą a-ty generator w reprezentacji R ( zobacz ćwiczenie IV.5.1 )
Oczywiście, że dla przekształcenia globalnie symetrycznej teorii w teorię lokalnie symetryczną należy zamienić standardową pochodna ∂µ , działającą na dowolne pole ( bozon lub fermion ), które należy do reprezentacji R , na pochodną kowariantną :
a Ta
Zatem, oddziaływanie nieabelowego potencjału cechowania z polem fermionowym opisywane jest przez lagranżjan :
£ = ψ-( iγµ Dµ – m )ψ = ψ-( iγµ ∂µ + γµ Aµa Ta(R) – m )ψ (21) Pola należące do reprezentacji R „słyszą” bozony cechowania Y-M, a pola należące do trywialnej reprezentacji
jednostkowej, nie słyszą głosu bozonów cechowania. W przypadku szczególnym teorii cechowania U(1), znanym jako teoria elektromagnetyzmu, R odpowiada ładunkowi elektrycznemu. Pola, przekształcające się względem U(1) trywialnie, są elektrycznie neutralne.
Dodatek.
Rozpatrzmy pojawienie się struktury Yanga- Millsa w innym kontekście, nieco zadziwiającym na pierwszy wzgląd.
( Wilczek and A. Zee, "Appearance of Gauge Structure in Simple Dynamical Systems," Phys. Rev. Lett. 52:2111,1984 ) Rozpatrzmy równanie Schrödingera :
i ∂/∂t Ψ(t) = H(t)Ψ(t) (22)
z zależnym od czasu hamiltonianem H(t). Będziemy trzymali się ogólnego podejścia : można np. mówić o stanach spinowych w polu magnetycznym lub o jednocząstkowym nierelatywistycznym hamiltonianie z funkcją falową Ψ(x ,t) Dalej będziemy opuszczali w oznaczeniach zależność H i Ψ od wszystkich zmiennych, oprócz czasu t.
Na początku rozwiążemy zadanie na wartości własne H(t). Założymy, że na skutek symetrii lub jakieś innej przyczyny, spektrum H(t) zawiera n-krotne zdegenerowanie, innymi słowy, istnieje n różnych rozwiązań równania
H(t) ψa(t) = E(t)ψa(t), gdzie a = 1, ... , n
Zwróćcie uwagę, że E(t) może zmieniać się wraz z upływem czasu, jednakże my zakładamy, że zdegenerowanie jest zachowywane wraz z upływem czasu, tj. zdegenerowanie nie może się pojawić w sposób „przypadkowy” w jakieś chwili czasu. Zawsze możemy zamienić H(t) na H(t) – E(t), dlatego od tej chwili H(t) = 0. Do tego wszystkiego, stany mogą być wybrane jako ortogonalne, tak, że :
< ψb (t) | ψa(t) > = δab
( Dla jasności oznaczeń dogodnie będzie przechodzić pomiędzy oznaczeniami Schrödingera i Diraca. Aby wyrazić się jaśniej zapiszemy :
< ψb (t) | ψa(t) > =
∫
dx ψ*b (x, t ) ψa(x, t ) dla przypadku jednocząstkowej MQ )Teraz zbadamy równanie (22) w granicy adiabatycznej, tj. przyjmiemy, że skala czasowa, w której zmienia się H(t), jest znacznie większa niż 1/∆E , gdzie ∆E – jest szczeliną energetyczną pomiędzy stanami ψa(t) i stanami z nimi sąsiednimi.
Jeśli w tym przypadku funkcja Ψ(t) rozpoczyna ewoluować w przestrzeni utworzonej przez stany {ψa (t)}, to pozostanie ona dalej w niej, dlatego też możemy zapisać :
Ψ(t) = ΣΣΣΣa ca(t) ψa(t)
Podstawiając to wyrażenie do równania (22) otrzymamy : Σa [ (dca/dt ) ψa(t) + ca(t) ( ∂ψa/∂t)] = 0
Jeśli skalarnie pomnożymy przez ψb(t), to dojdziemy do równania :
dcb /dt = – ΣΣΣΣa Aba ca (23)
o macierzy n × n :
Aba(t) = < ψb(t) | ∂ψa/∂t (24)
Przypuśćmy, że ktoś zdecyduje się wykorzystać inna bazę : ψ’a(t) = U*ac(t) (ψc(t))
związaną z nasza bazą poprzez przekształcenie unitarne. ( Macierz zespolenie sprzężona do macierzy unitarnej U, jest nam potrzebna po to, aby nasze ostateczne równanie pokrywało się co do swej formy z równaniem otrzymanym wcześniej;
zobacz dalej )
Dokonałem również sumowania po członach z powtarzającymi się indeksami. Różniczkując otrzymujemy :
∂ψ’a/∂t = U*ac(t) (∂ψc /∂t) + (dU*ac/dt ) ψc(t) Zawężając z ψ’b(t) = Udb(t) ψ*d (t)
Oraz mnożąc przez i, dochodzimy do :
A’ = UAU† + iU (∂U†/∂t) (25)
Niech hamiltonian H(t) zależy od d parametrów λ1 , ... , λd. Zmieniamy wartości parametrów, poruszając się po drodze zadanej jako :
{ λµ(t), µ = 1, ... , d }
w d-wymiarowej przestrzeni parametrów.
Przykładowo, dla spinowego hamiltonianu λµ może odpowiadać zewnętrznemu polu magnetycznemu.
W ten sposób wyrażenie (23) sprowadza się do postaci :
dcb/dt = – ΣΣΣΣa(Aµ )ba ca (dλµ/dt ) (26) jeśli zadamy :
(Aµ )ba ≡ i < ψb | ∂µ ψa >, gdzie ∂µ = ∂/∂λµ
W przypadku ogólnym równanie (25) będzie miało postać :
A’µ = UAµU† + iU∂µU† (27)
Pokrywa się ono a (IV.5.2)
Oto jak na naszych oczach pojawia się potencjał cechowania Y-M Aµ ! Równanie „przesunięcia” (26) można formalinie rozwiązać, jeśli zapiszemy : c(λ) = P exp( –
∫
Aµ dµ )gdzie jednowymiarowa całka brana jest po trajektorii, łączącej punkt początkowy w przestrzeni parametrów z pewnym punktem końcowym λ, P – oznacza uporządkowanie wzdłuż takiej drogi. Rozbijamy trajektorię na nieskończenie małe segmenty i mnożąc pomiędzy sobą niekomutatywne składowe exp( –Aµ ∆λµ ) z każdego segmentu, uporządkowane wzdłuż trajektorii. W szczególności, jeśli trajektoria jest krzywą zamkniętą, po pewnym czasie powrócimy do wartości początkowych parametrów ; funkcja falowa będzie zawierała macierzowy czynnik fazowy, nazywany nieabelową fazą Berrego. Zwróćcie uwagę na ścisły związek z fazą Aharonova-Bohma z poprzedniego rozdziału.
Aby zobaczyć taką nieabelową fazę, wszystko co powinniśmy zrobić to wziąć pewien układ kwantowy ze zdegenerowaniem w swoim spektrum i zmierzyć dowolny zewnętrzny parametr np. pole magnetyczne.
( A. Zee, "On the Non-Abelian Gauge Structure in Nuclear Quadrupole Resonance," Phys. Rev. A38:l, 1988.
Później zaproponowany eksperyment przeprowadził A. A. Pines )
W swojej pracy Yang i Mills mówili o zdegenerowaniu protonu i neutronu z izospinem w idealnym świecie, a następnie rozważają proces przeniesienia protonu z jednego punktu Wszechświata do drugiego. Aby była możliwość interpretowania protonu w jednym punkcie jako neutronu w drugim punkcie, konieczne jest wprowadzenie nieabelowego potencjału cechowania.
Teraz przeprowadzimy porównanie pomiędzy bieżącymi wyjaśnieniami, a tekstem przedstawionym wcześniej, kiedy to otrzymaliśmy równanie (IV.5.2).
Zależne od CP przekształcenie symetrii odpowiada zależnej od parametru zmianie bazy. Kiedy w rozdziale VIII.1 będziemy mówili o grawitacji, przekonacie się, że ruch bazy { ψa } w przestrzeni parametrów jest analogiczny do przeniesienia równoległego lokalnego układu współrzędnych w geometrii różniczkowej i OTW.
W rozdziale VII.1 ponownie spotkamy się z wielkością : P exp( –
∫
Aµ dµ )- będziemy ja tam nazywali pętlą Willsona.
Ćwiczenia.
IV.5.1 Zapisać lagranżjan dla SU(2) w teorii cechowania z polem skalarnym w reprezentacji I = 2.
IV.5.2 Dowieść tożsamości Bianchi : DF ≡ dF + [ A, F ] = 0
Zapisać ją w jawnej postaci z wykorzystaniem indeksów, a następnie dowieść, że w przypadku abelowym sprowadza się ono do połowy równań Maxwella.
IV.5.3 W czterech wymiarach εµνλρ Tr Fµν Fλρ można zapisać jako Tr F2.
Pokazać, że w dowolnej liczbie wymiarów d Tr F2 = 0
IV.5.4 Wykorzystując lemat Poincarego (IV.4.5) oraz wynik ćwiczenia IV.5.3 pokazać, że : F2 = d Tr (AdA + 2/3 A3 )
Zapisać tą zależność w jawnej postaci z indeksami. Zdefiniować te wielkości w przypadku elektrodynamiki.
IV.5.5 Spróbować dowieść, ze wszystkie Tr Fn , które pojawiają się w teoriach o wyższym wymiarze ( np. teorii strun ), są pochodnymi zupełnymi. Innymi słowy, istnieje ( 2π – 1)-forma ω2n–1(A), taka, że :
Tr Fn = dω2n–1(A)
( Podpowiedź. Istnieje krótki zapis wzoru : 1
dω2n–1(A) =
∫
dt f2n–1(t, A) 0Zapisać w jawnej postaci wyrażenie dla ω5(A) i spróbujcie go uogólnić, znając ω3 i ω5.
Znaleźć ( 2n– 1)-formę f2n–1(t, A).
B. Zumino i inni Nucl. Phys. B239 , 447; 1984
IV.5.6 Zapisać lagranżjan dla teorii cechowania SU(3) z polem fermionowym w fundamentalnej reprezentacji trypletowej.
**************************************************************************************************