Pole Diraca

Rozdział II.2 Kwantowanie pola Diraca.

Antykomutacja.

W celu skwantowania pola Diraca wykorzystamy formalizm kanoniczny przedstawiony w rozdziale I.8.

Długotrwałe i szczegółowe badania spektroskopii atomowej pokazały, że funkcja falowa dwóch elektronów powinna być antysymetryczna ze względu na przestawienie ich liczb kwantowych. Stąd wynika, że nie możemy umieścić dwóch elektronów na jednym i tym samym poziomie energetycznym, tak aby miały one te same liczby kwantowe.

W 1928 roku Jordan i Wigner zademonstrowali jak można sformalizować podane wymaganie antysymetryczności funkcji falowej za pomocą operatorów kreacji i anihilacji elektronów, spełniających zależności antykomutacyjne, a nie zależności komutacyjne takich jak w (I.8.12).

Analizę całego zagadnienia rozpoczniemy od rozpatrzenia stanu bez elektronu | 0 > i jako bα† oznaczymy operator kreacji elektronu o liczbach kwantowych α. Innymi słowy stan bα† | 0 > jest stanem z jednym elektronem, posiadającym liczby kwantowe α. Załóżmy dalej, że chcemy mieć drugi elektron z liczbami kwantowymi β i dlatego tworzymy stan

bβ† bα† | 0 >. Aby stan ten był antysymetryczny względem przestawienia α i β powinniśmy zażądać aby :

{ bα† , bβ† } ≡ bα† bβ† + bβ† bα† = 0 (1)

Dokonując sprzężenia hermitowskiego, otrzymujemy :

{ bα , bβ } = 0. W szczególności bα† bβ† = 0 tak, że nie możemy wykreować dwóch elektronów o jednakowych liczbach kwantowych.

Do otrzymanej zależności antykomutacyjnej dodamy zależność o postaci :

{ bα† , bβ† } = δαβ (2)

Jednym z argumentów popierających taką zależność jest nasze wymaganie posiadania operatora liczby cząstek, równego : N =

ΣΣΣΣ

α

tak jak w przypadku bozonowym.

Można pokazać, że :

[ AB, C ] = A[B, C ] + [ A, C]B lub [AB, C ] = A{B, C} − {A, C }B

( Fakt, że w przypadku antykomutatora mamy znak minus, można zapamiętać heurystycznie – aby antykomutować C i A powinniśmy przeciągnąć C przed B )

Aby podany operator liczby cząstek pracował jak należy, koniecznym jest spełnienie warunku : [

ΣΣΣΣ

( tak aby : N | 0 > = 0 i N b↠| 0 > = b↠| 0 > ) W wyniku czego dochodzimy do (2).

Pole Diraca.

Powróćmy teraz do swobodnego równania Diraca :

£ = ψ−( i∂ − m )ψ (3)

Pęd sprzężony z ψ ma postać : πα = δ£/δ∂t ψα = iψα†

Można przewidzieć, że poprawna procedura kanoniczna wymaga nałożenia zależności antykomutacyjnej postaci :

Wyprowadzimy ją w dalszej kolejności.

Swobodne pole Diraca spełnia warunek :

( i∂ − m )ψ = 0 (5)

Podstawiając fale płaskie u(p, s) exp( −ipx ) , v(p, s) exp(ipx ) w miejsce ψ, otrzymujemy odpowiednio :

Indeks s = ± 1 wskazuje na to, że każde z tych dwóch równań posiada dwa rozwiązania : jedno o spinie skierowanym w górę i jedno o spinie skierowanym w dół.

Oczywiście, że przy przekształceniu Lorentza dwa spinory u i v przekształcają się tak jak ψ. Zatem, jeśli zdefiniujemy wielkości :

u− ≡ u†γ0 , v− ≡ v† γ0

to u−u i v−v będą skalarami lorentzowskimi.

Dla takich wielkości charakterystyczne jest pojawiania się „własnych” indeksów, dlatego będę postępował bardzo ostrożnie i postaram się przedstawić sens każdego z nich.

Po pierwsze ponieważ (6) i (7) są liniowe powinniśmy ustalić określoną normalizacje u i v. Na mocy tego, że

u−(p, s)u(p, s) oraz v−(p, s )v(p, s) są skalarami lorentzowskimi, warunek normalizacji który nakładamy na te wielkości w układzie spoczynkowym, będzie słuszny również w dowolnym innym układzie.

Nasza strategia polega na tym, aby wykorzystując szczególną bazę, przeprowadzić konieczne rachunki we własnym układzie spoczynkowym, a następnie zastosować warunek inwariantności lorentzowskiej i niezależność od wyboru bazy.

W układzie spoczywającym (6) i (7) sprowadzają się do : ( γ0 − 1 )u = 0 , ( γ0 + 1)v = 0

W szczególności w bazie Diraca γ0 = ( I 0 )

( 0 −I )

i dlatego, dwa niezależne spinory u ( o spinie s = ±1 ) mają postać :

a dwa niezależne spinory v :

Wtedy warunkami normalizacji wybranymi przez nas niejawnie będą : u−(p, s)u(p, s) = 1 oraz v−(p, s )v(p, s) = −1

Zwróćcie uwagę na znak minus. Oczywiście, że mamy również warunek ortogonalności : u−v = 0 oraz v−u = 0.

Lorentzowska inwariantność i niezależność od wyboru bazy zapewniają słuszność takich czterech zależności również dla przypadku ogólnego.

Dalej – w spoczywającym układzie współrzędnych :

Zatem dla przypadku ogólnego :

oraz

Istnieje również inny sposób otrzymania (8).

W tym celu należy zauważyć, że lewa cześć tego wzoru jest 4 ×4-macierzą ( podobną do wektora kolumnowego pomnożonego przez wektor wierszowy ) i dlatego powinna być ona liniową kombinacją 16 macierzy o wymiarze 4×4 wymienionych w rozdziale II.1. Można przy tym dowieść, że γ0 i γµγ5 nie mogą występować pośród nich na mocy parzystości, a σνµ – na mocy lorentzowskiej inwariantności i tego faktu, że do dyspozycji mamy tylko jeden lorentzowski wektor - pµ. Zatem prawa część tego wzoru powinna być liniową kombinacją p i m.

Przyjmijmy ogólny współczynnik poprzez lewostronne działanie p − m. Normalizacja ustalana jest poprzez warunek α = β i sumowanie po α. Analogiczna sytuacja ma miejsce dla (9). W szczególności przyjmując α = β i sumując po α,

otrzymamy v−(p, s )v(p, s) = −1

Teraz jesteśmy gotowi przekształcić ψ(x) w operator. Analogicznie do (I.8.11) rozłożymy pole na fale płaskie : ( oznaczenie standardowe, zobacz np. „Relatywistyczna teoria kwantów” - J. D. Bjorken, S. D. Drell ; PWN 1985 )

( gdzie Ep = p0 = + sqrt( p2 + m2 ) , px = pµxµ )

Czynnik normujący (Ep/ m )½ jest nieco inny od czynnika normującego występującego w (I.8.11) z przyczyn, które staną się jasne nieco dalej. W całej dalszej rozciągłości argumentacja na korzyść (10) jest analogiczna do tej jaką zastosowaliśmy dla umotywowania (I.8.11). Całkujemy po pędzie p sumujemy po spinie s, rozkładamy po falach płaskich i wprowadzamy współczynniki takiego rozkładu. Na mocy tego, że ψ jest wielkością zespoloną, występują operator b i operator d† tak jak w ćwiczeniu I.8.3, jednakże są one różne od (I.8.11).

Tak jak w ćwiczeniu I.8.3, operatory b i d† powinny nieść jednakowy ładunek. Zatem, jeśli b anihiluje elektron o ładunku e = − | e |, to operator d† powinien wnosić ładunek e, tj. kreować pozyton o ładunku −e = | e |.

Kilka słów o oznaczeniach : b(p, s), d†(p, s), u(p, s) i v(p, s) występujące w (10) zapisane są jako funkcje od 4-pędu p, jednakże mówiąc ściśle, zależne są one tylko od p ,a p0 zawsze przyjmujemy równe + sqrt( p2 + m2 ).

Zatem, niech b†(p, s) i b(p, s) będą operatorami kreacji i anihilacji elektronu o pędzie p i spinie s. Z naszych analiz wynika, ze powinniśmy nałożyć warunki :

Dla operatorów kreacji i anihilacji pozytonu d†(p, s) i d(p, s) istnieje odpowiedni zbiór zależności, np. :

Teraz należy dowieść, ze w istocie otrzymujemy (4). W tym celu zapiszemy :

I dalej :

- jeśli wprowadzimy b i b† antykomutujące z d i d†.

Wykorzystując (8) i (9), otrzymamy zależność :

która jest nieco zamaskowaną zależnością (4).

Analogicznie, zapisując schematycznie { ψ , ψ } = 0 i { ψ†, ψ† } = 0.

Czynnik normujący (Ep/ m )½ występujący w (10) możemy zmodyfikować poprzez dołączenie odpowiednich czynników w u i v. Niektórzy spostrzegawczy studenci pytają, co ma miejsce w przypadku bezmasowej cząstki o spinie ½ ?

W tym przypadku moglibyśmy wykorzystać czynnik normujący (2Ep )½ ( podobny do czynnika normującego występującego w (I.8.11)) i jednocześnie zamienić (8) i (9) na Σuu− = p i Σvv− = p.

Energia próżni.

Na obecnym etapie można rozważać zagadnienie polegające na obliczeniu hamiltonianu, rozpoczynając od gęstości hamiltonianu o postaci :

Ħ = π (∂ψ/∂t ) − £ = ψ−( iγγγγ•∂∂∂∂ + m )ψ (15)

Podstawiając do niego (10) i całkując, otrzymamy :

co dalej możemy przekształcić do postaci :

Rozpatrzymy teraz schematycznie pojawienie się w zależności (17) znaku minus : ψ− w (16) daje czynnik ~ ( b† + d ), podczas gdy ∂/∂t działając na ψ, wprowadza znak minus, dając wyrażenie ~ ( b − d† ), to wszystko razem daje nam

~ ( b† + d ) ( b − d† ) ~ b†b− d†d

( ortogonalność pomiędzy spinorami v−u = 0 skraca odpowiednie człony ) Aby przepisać drugi człon w (17) w prawidłowym porządku, antykomutujemy :

−d(p, s)d†(p, s) = d†(p, s) d(p, s) − δ(3)(0 ) tak, aby :

Pierwsze dwa człony wskazują na to, że wszytskie elektrony i wszytskie pozytony o pędzie p i spinie s posiadają

jednakową energię Ep. Jednakże co z członem ostatnim ? Wyrażenie δ(3)(0) może budzić pewne obawy.

Wszystko jest jednakże w porządku- zauważając, że : δ(3)(p ) = [ 1/(2π)3 ]

∫

( analogiczny manewr wykorzystujemy w ćwiczeniu I.8.2 )

( ponieważ w jednostkach naturalnych ħ = 1, zatem h = 2π )

Otrzymaliśmy energię − ½ Ep przypadającą na każdą elementarną komórkę przestrzeni fazowej (1/h3 ) d3x d3p z punktu widzenia mechaniki statystycznej – na każdy spin i na każdy elektron i pozyton w oddzielności ( stad czynnik 2 ).

Taki nieskończony addytywny człon E0 jest analogiem energii drgań zerowych ½ hω oscylatora harmonicznego, znany wam zapewne z wykładu MQ. Jednakże taka energia pojawia się tutaj ze znakiem minus, co wydaje się dziwne i niestandardowe !

Każdy mod pola Diraca daje wkład − ½ hω do energii próżni. W przeciwieństwie do tego każdy mod pola skalarnego, jak to widzieliśmy w rozdziale I.8 daje wkład ½ hω. Fakt ten ma zasadnicze znaczenie dla budowy teorii supersymetrii, o której powiemy w rozdziale VIII.4.