Funkcje prawdziwościowe stosunków

Analogicznie do orzeczników złożonych tworzy się relacje złożone, zdefi­

niowane przez funkcje prawdziwościowe teorii zdań.

1. N e g a c ja re la c ji:

5 1 2 -1 „'¡flRxy‘ = „NRxy“

Np. ,,x jest nieszczery względem y , to tyle, co „nieprawda, że x jest szczery względem y . Dcfinictuhim \hRxy jest relacją między członami x, y, definiens zaś — negacją relacji R między tymiż członami.

2. S u m a re la c y j:

512—II ,,‘HRSxy" — „ A R xyS xy'

Np. ,,x jest synem lub córką y " , czyli ,,x jest dzieckiem y , to tyle, co ,,x jest synem y lub z jest córką y . Symbol ,, RS jest złożony z funktora „21“ oraz dwóch argumentów „R “ , „S będących funkto- rami zdaniotwórczymi argumentów x, y i wzięty jako całość jest funktorem od argumentów x, y.

3. Ilo c z y n re la c y j:

512—III

,M S x y “ =„KRxySxy“

" /" *''•/ ' v

Np.

„x

jest kolegą i przyjacielem y , to tyle, co ,,

x

jest kolegą y i * jest przyjacielem y“ .

4. D y s ju n k c ja rela cy j:

512—IV „QRSxy“ — „DRxySxy"

Np. jest z boku od y“, to tyle, co „x jest na lewo od y albo x jest na prawo od y“.

S u b s u m c ja re la c y j:

512—V „&RSxif‘ — „CRxySxy"

Np. ,,x które jest w stosunku R do y, jest w stosunku S do y , to ty e, co „jeżeli x jest w stosunku R do y, to jest też w stosunku S do

y

♦

— ta5 — 6. R ó w n o w a żn o ść r e la c y j:

512—VI „<SRSxy‘ = „ ERxySxy“

Np. „y, które jest w stosunku R do y, i tylko takie jest w stosunku S do y", to tyle, co „zawsze i tylko, jeżeli x jest w stosunku R do y, jest też w stosunku S do y " .

7, R e la c ja u n iw e rs a ln a :

512—VII „Ujty“ = „ A R x y m x y "

„X jsst w stosunku U-do y", to tyle, co „x jest w pewnym stosunku R do y lub też w stosunku SRR do y".

8. R elacja zerow a:

512—V III „ 3 x y ' - „KRxy m x y "

„3*1/“ to tyle, co „x jest w pewnym stosunku R do y i zarazem w sto­

sunku do y " .

Według prawa wyłączonego środka (313,2) jest: — piszemy (x, y)

z a m i a s t (x) ( y ) —

512.1 (x, y) II xy

według zaś prawa sprzeczności (314,2) — (Ex,Ey) zamiast (Ex) (Ey) — 512.2 N (Ex,Ey)Sxy '

3¡%Z / f i )

jest relacją, której zakres obejmuje wszystkie pary xy, czyli która zachodzi między każdym x i każdym y w zakresie zmienności; 3*y jest re­

lacją, która nie zachodzi między żadnym x i żadnym y, jej zakres przeto nie zawiera żadnej pary.

Matryce dla relacji złożonych tworzy się z matryc ich argumentów w spo­

sób podobny, jak zakresy dla analogicznych funkcji orzecznikowych. A zatem matrycę sumy dwóch stosunków tworzy się wypełniając w jej siatce te węzły, które są wypełnione w matrycy przynajmniej jednego z argumentów. W ma­

trycy iloczynu wypełnia się węzły wypełnione w matrycach obu argumentów;

w matrycy negacji wypełnia się jedynie węzły puste relacji negowanej. W ma­

trycy Uxy są wypełnione wszystkie węzły, w matrycy 3 xy wszystkie węzły są puste.

Tezy teorii relacyj dotyczące stosunków złożonych otrzymuje się z tez teorii zdań (podobnie jak to było dla orzeczników) zastępując funkcje prawdzi­

wościowe przez stosunki złożone według definicyj 512—1 —■ 512—VIII.

lak np. teza 221,1 daje praw o id e n ty c z n o ś c i dla relacyj: $RRxy. Wolno według dyrektywy dołączania kwantyfikatora (312) dołączyć kwantyfikator ogólny dla x i dla y; tak iż prawo identyczności brzmi:

512,3 (x ,y )Q R R x y

i /

136

go można wypowiedzieć słowami, że stosunek &RR jest stosunkiem uniwersal­

nym. Prawo sylogizmu (por. 221,7) ma postać 512,4 (x, y) a& RSxyaZSTxy&RTxy

jeżeli * pozostaje w stosunku &RS do y, to jeżeli nadto pozostaje w stosunku

&ST do y, pozostaje także w stosunku &RT do y.

Podobnie otrzymuje się prawa tautologii, komutacji, symplifikacji, sprzecz­

ności j wyłączonego środka, prawa De Morgana i in.

Tezy 221,2 i 222,6 pozwalają udowodnić własności stosunków Uxy, $ xy analogiczniei^Sb własności orzeczników U i Z (142,5 421,6)

512,5 (x, y, R) CRxyl\xy 512,6ł (x, y, R) CQxyRxy

Z lA t h

Teza 22J, 1 teorii zdań (prawo identyczności) podaje własność stosunku implikacji polegającą na tym, iż każde zdanie pozostaje w tym stosunku do siebie samego. Stosunki posiadające tę własność, iż każdy przedmiot należący do pola stosunku pozostaje w tym stosunku do siebie samego, nazywamy zwrotnymi (ang. reflexive). Wprowadźmy skrót „ZwrRyx“ zamiast „Rxy jest stosunkiem zwrotnym“ ; kreska pozioma nad literami „Zwr“ wskazuje,

że tworzą one łącznie jeden znak. Definicja s t o s u n k u z wr o t n e g o brzmii 512—IX „ZwrRxy“ = „(*) C (Ey) R xyR xx“,

czyli „R jest stosunkiem zwrotnym“ , to tyle, co „dla wszelkich x, jeżeli istnieje takie y, iż x pozostaje w stosunku R do y, to x pozostaje w stosunku R do x“.

Nie każdy jednak stosunek posiada własność zwrotności:

512,7 N ( R ) ( x ) C ( E y ) RxyRxx

nie dla każdego R jest, że dla każdego x, jeżeli (Ey) Rxy to Rxx.

■ Stosunki równości arytmetycznej, przystawania trójkątów, podobieństwa są przykładami stosunków zwrotnych. Stosunek, który nie jest zwrotny, nazywa się niezwrotnym. Jeżeli s t o s u n e k jest ni e zwr ot ny, to jednak zwrotność może zachodzić dla niektórych, lecz nie dla wszystkich przedmiotów jego pola, np. stosunek ,,x chwali y jest stosunkiem niezwrotnym, niektórzy jednak ludzie chwalą siebie samych.

512 X „ NZwrRxy ‘ ~ „ N (x) C (Ey) RxyRxx

Jeżeli natomiast dla żadnego elementu pola stosunku zwrotność nie za­

chodzi, stosunek nazywa się p r z e c i w z w r o t n y m (irreflexive). Definicja stosunku przeciwzwrotnego:

512—XI „PZwrRxy“ = „(*) C (Ey) Rxy‘DlRxx>‘

Przykładami stosunków przeciwzwrotnych są nierówność liczbowa, po­

przedzanie czasowe, prostopadłość odcinków itp.

137

-3. O r z e c z n ik i w z g lę d n e

Związki między stosunkami i orzecznikami otrzymuje się wprowadzając orzeczniki względne, czyli relatywy:

„R >yx ‘ = „ R x y \ 5 1 3 -1

czyli „x jest H-owym poprzednikiem ygreka", to tyle, co „x po ostaje w sto­

sunku R do y“. Np. „Kratylos jest nauczycielem Platona“ to ryle, co „Kra-tylos nauczał Platona“ . Orzecznik względny „R (czytamy: ,,/?-owy poprzed­

nik ygreka“) posiada zakres obejmujący przedmioty, które są f\-owymi po­ Definicje 513—I i 513—11 przekształcają stosunki dwucibnowe, czyli

funkcje propozycjonaine dwóch argumentów, na funkcje orzecznikowe (por.

tw 411 1) w‘ ^

Niech S będzie orzecznikiem, np. „wybitny mąż“ , a stosunek xRy niech J4

¿ t-iy ^ ))S,, . , ' j t ^

brzmi ,,x jest zoną y " . Wprowadzamy symbol „R “ jako orzecznik, którego desygnatami są przedmioty x pozostające w stosunku R do któregokolwiek z elementów zakresu orzecznika S. Przy wskazanych wyżej przykładowo Znaczeniach dla „R “ i „S “ funkcja ,,x jest R»S„ występuje nie wprost jako termin, lecz jako przydawka lub uzupełnienie orzecz­

nika względnego. Takim rozumowaniem jest np. :

Wielokrotności liczby parzystej są liczbami parzystymi 6 jest liczbą parzystą

1 0 ,

Wielokrotności 6 są liczbami parzystymi.

/ ‘cW îm o

V 4to< f «-M C<xa V u * u

( J y J

Graphischer Großbetrieb Deutsthe Rundschau, Bromberg

W dokumencie Logika. Podręcznik dla studiujących nauki filozoficzne. Korekta II (Stron 134-138)