Kwantyfikator ogólny (x)

313,1 C(x)NfxN(x)fx

a) jeżeli dla każdego x : nieprawda, że j x , to nieprawda, że dla każdego x :fx;

b) jeżeli żaden Eskimos nie lubi upałów, to nieprawda, że każdy Eskimos lubi upały;

c) teza 313,1 daje się interpretować jako p raw o p rz e c iw ie ń s tw a ; zdanie ogólne przeczące implikuje negację zdania ogólnego twierdzącego.

Związek odwrotny nie zachodzi, tzn. negacja zdania ogólnego twierdzą­

cego nie implikuje zdania ogólnego przeczącego. Inaczej: kwantyfi­

kator ogólny może być przeniesiony pod znak negacji, lecz nie od

w r o t n i e .

3*1,4

a

; €C y - A a te*? a ï / x

— 8* —

i

313.2 (x)AfxNfx a) dla każdego x : fx lub Nfx;

b) dla każdej liczby naturalnej x : x jest parzyste lub nieparzyste (inaczej:

każda liczba naturalna jest parzysta lub nieparzysta);

ę) p ra w o w y łącz o n eg o ś ro d k a d'a funkcji propozycjonalnych: z dwóch funkcji propozycjonalnych j x i Nj x zawsze, tj. dla każdego x, jedna staje się zdaniem prawdziwym. Prawo to służy zarazem do scharaktery­

zowania przedmiotu indywidualnego x; przedmiot indywidualny x charakteryzuje się tym mianowicie, że jeżeli wypowiadamy o nim dwa zdania sprzeczne, to jedno z nich jest prawdziwe. Tę właściwość przed­

miotu indywidualnego ujmuje się też słowami: przedmiot indywidualny jest całkowicie zdeterminowany.

313.3 C(x)KfxgxK(x)Mx)gx

a) jeżeli dla każdegp x : f x i gx, to dla każdego x : / x i dla każdego

* : gx;

b) jeżeli każda liczba podzielna przez 6 jest podzielna przez 2 i przez 3, to każda liczba podzielna przez 6 jest podzielna przez 2 i każda liczbą

podzielna przez 6 jest podzielna przez 3.

313.4 CK(x)fx(x)gx(x)Kfxgx

a) jeżeli dla każdego x : f x i dla każdego x : gx, to dla każdego x : f x

• gx;

c) pamiętając o pokrewieństwie między kwantyfikatorem ogólnym i ko- niunkcją możemy tezy 313,3 i 313,4 uważać za uogólnienie prawa prze- mienności dla koniunkcji (teza 224,4). Przypuśćmy bowiem, że zakres zmienności zmiennej x obejmuje dwie wartości a, b i że (x) f x jest równoważne iloczynowi Kfc.fb itp., to 313,3 przyjmie postać

CKKfagaKfbgbKKfafbKgagb,3 i 3,4 zaś postać CKKfcfbKgagbKKfagaKfbgb

a) b)

c)

313,5 CA(x)fx(x)gx(x)Afxgx

jeżeli dla każdego x : fx lub dla każdego x : gx, to dla każdego x : fx lub gx;

jeżeli w obrębie określonego zbioru liczb naturalnych x : każde x jest liczbą parzystą lub każde x jest liczbą nieparzystą, to każde x jest liczbą parzystą lub nieparzystą;

przykład b) wykazuje, że teza 313,5 nie może być odwrócona. Teza ta różni się od 313,4 znakiem alternatywy występującym zamiast ko­

niunkcji, jej analogicznym odpowiednikiem w logice zdań jest teza 224,3^ Pozwala ona wyłączyć znajdujący się pizy obu członach alternatywy kwantyfikator ogólny przed znak alternatywy.

C J t y * - f c y i 7 /

;

313.6 C(x)CfxgxC{x)Jx(x)gx

a) jeżeli dla każdego a:: jeżeli /jc, to gx, to jeżeli dla każdego x: fx, tó dla każdego x: gx;

b) jeżeli każdy, kto by wsiadł do starej łódki, zatonąłby wraz z nią, to jeżelibyście wszyscy trzej wsiedli do starej łódki, wszyscy trzej zatonę­

libyście (lecz nie na odwrót: stąd, że jeżelibyście wszyscy trzej wsiedli do starej łódki, to wszyscy trzej zatonęlibyście, nie wynika, że każdy z was, kto by (pojedynczo) wsiadł w tę łódkę, zatonąłby;

c) teza 313,6 nie może być odwrócona, podobnie jak teza 224,20 teorii zdań, (ogólne prawo kompozycji dla koniunkcji), której uogólnieniem jest teza 313,6 (jeżeli tezę ¿-24,20 przekształcimy podstawiając w niej p/fa, q/fb, r/ga, s/gbf to otrzymane wyrażenie będzie rozwinięciem tezy 313,6 przy założeniu, że zakres zmienności zmiennej x obejmuje dwie wartości a b). Teza 313,6 pozwala włączyć stojący przed znakiem implikacji kwantyfikator ogólny do jej wnętrza przez skwantyfikowanie obu jej członów.

313.7 C(x)(y)jxy(y)(x)fxy 313.8 C(y)(x)fxy(x)(y)fxy

c) tezy 313,7 i 313,8, których odczytanie nie przedstawia trudności, mogą być uważane, podobnie jak tezy 313,3 i 313,4, za uogólnienie prawa przemienności dla koniunkcji, a to z uwagi na analogię między tą funkcją prawdziwościową i kwantyfikatorem ogólnym; mianowicie jeżeli dla przykładu przyjmiemy, że x przybiera wartości a, b, zaś y wartości c, d, kwantyfikator ogólny rozwiniemy zaś jako koniunkcję, to 313,7 przechodzi w wyrażenie CKKfacfadKfbcfbdKKjacfbchfacfbd, 313.8 na odwrotną implikację.

4. K w antyfikator szczegółowy (Ex) 314,1 CN{Ex)jx(Ex)Nfx

a) jeżeli nieprawda, że dla pewnego x: fx, to dla pewnego x: nieprawda, że f x ‘,

b) jeżeli nieprawda, że niektóre koty szczekają, to niektóre koty nie szczekają;

c) teza 314,1 daje się interpretować jako praw o p o d p rz e c iw ie ń s tw a , negacja zdania szczegółowego twierdzącego implikuje zdanie szczegółowe przeczące, związek odwrotny nie zachodzi, tzn. zdanie szczegółowe przeczące nie implikuje negacji zdania szczegółowego twierdzącego.

Kwantyfikator szczegółowy może być wyłączony jrrzed znak negacji, lecz nie odwrotnie. Według analogu, jaka istnieje między kwantyfika­

torem ogólnym i koniunkcją oraz kwantyfikatorem szczegółowym i alternatywą, teza 314,1 odpowiada dualnie (223) tezie

3'3,1-— 84 3'3,1-—

.

314.2 N(Ex)KfxNfx

a) nieprawda, że dla pewnego x : f x \ AJfx;

b) nieprawda, że dia pewnych liczb naturalnych ar: x jest parzyste i x jest nieparzyste;

c) teza

314,2

przedstawia p raw o sp rz e c z n o ś c i dla funkcji prawdzi­

wościowych i odpowiada dualnie tezie

313,2;

uzupełnia ono charaktery­

stykę indywiduów daną przez tezę

313,2

stwierdzając, iż nie ma takiego przedmiotu indywidualnego, aby z dwóch zdań o nim sprzecznych oba były prawdziwe — żaden przedmiot indywidualny nie posiada cech sprzecznych.

314.3 C(Ex)AfxgxA(Ex)fx(Ex)gx

a) jeżeli dla pewnego x : / x lub gx, to dla pewnego ar; f x lub dla pewnego x : gx\

b) jeżeli niektóre koty są czarne lub białe, to niektóre koty są czarne lub niektóre koty są białe.

314,4 CA(Ex)fx{Ex)gx(Ex)Afxgx

c) tezy 314,3 i 314,4 są odwrotne względem siebie, przy czym teza 314,3 odpowiada dualnie tezie 313,4, teza 314,4 — tezie 313,3. Analogicznie do tamtych tezy 314,3 i 314,4 mogą być uważane za uogólnienia prawa przemienności dla alternatywy (tezy 223,4); przy analogicznym zało­

żeniu, jak to, które uczyniliśmy dla ilustracji stanu rzeczy przy tezie 313,3, teza 314,3 przyjmie postać CAAfagaAfbgbAAjafbAgagb.

314,5 C(Ex)KfxgxK(Ex)fx(Ex)gx

a) jeżeli dla pewnego x : f x i gx, to dla pewnego x: f x i dla pewnego ar; gx; > r ■ , b) jeżeli niektórzy mieszkańcy Północy są ponurzy i małomówni, to nie-

którzy mieszkańcy Północy są ponurzy i niektórzy mieszkańcy Północy są małomówni;

c) teza ta odpowiada dualnie tezie 313,5 i, podobnie jak tarrta, nie może być odwrócona. Możemy ją uważaćj pcdchnie jak tezę 313,5, za uogól­

nienie tezy 224,37 teorii zdań, która dualnie odpowiada sama sobie.

Teza 314,5 pozwala włączyć kwantyfikator szczegółowy pod znak ko- niunkcji podobnie, jak teza 314,3 czyni to dla alternatywy.

314,6 CC(Ex)fx(Ex)gx(Ex)Cfxgx

a) jeżeli prawdą jest, że jeżeli dla pewnego x : f x , to dla pewnego x: gx, to prawdą jest dla pewnego x: że jeżeli f x, to gx;

b) przypuśćmy, że w pewnym towarzystwu grają w karty; jeżeli prawdą jest, iż jeżeli ktoś gra w karty, tc ktoś (ten lub inny) przegra, to prawdą jest też o kimś, iż jeżeli gra w karty, to przegra;

4

t

jt/i-U * o b u t y •V"

4

\ 3 $ cVXfy 4 / p Ą

'h, <•* P s ł Ą t ^ l ć S f , . ^

_____________

— 86

) teza ta odpowiada dualnie tezie 313,6 i jest uogólnieniem tezy 223,14 teorii zdań. Pozwala ona wyłączyć kwantyfikator szczegółowy z obu członów implikacji przed znak implikacji.

Tezy 314,6 nie można odwrócić, co objaśnia następujący przykład:

niech zbiór x-ów zawiera tylko trzy przedmioty; czerwony, żółty i niebieski. Zdanie „jeżeli d a pewnego x :x jest czerwone, to dla pewnego or: x jest zielone“ jest fałszywe, bo istnieje x czerwone, lecz nie ma ar zielonego. Natomiast zdanie „dla pewnego ar: jeżeli x jest czerwone, to jest zielone“ jest prawdziwe, mianowicie zarówno żółte, jak i niebieskie ar są takie, iż nie spełniają ani jego poprzednika, ani jego następnika, implikacja zcś przy fałszywym poprzedniku i fał­

szywym następniku jest prawdziwa. Implikacja, w której pierwsze z obu zdań (fałszywe) jest poprzednikiem, a drugie (prawdziwe) — następ­

nikiem, jest prawdziv/a i jest przykładem dla tezy 314,6; implikacja odwrotna, jako przykład dla odwrócenia tej tezy, jest fałszywa.

314.7 C(Ex)(Ey)fxy(Ey)(Ex)fxy 314.8 C(Ey)(Ex)fxy(Ex)(Ei,-)fxy

odczytanie tych tez nie przedsi&wia trudności, możemy je uważać, podobnie jak tezy 314,3 i 314,4, za uogólnienia prawa przemienności dla alternatywy z teorii zdań; mianowicie, jeżeli — dla przykładu — ar przyjmuje wartości a, b, zaś y wartości c, d, to levca strona implikacją 314,7 (i prawa strona implikacji 314,8) porządkuje wartości funkcji f x y w kolejności fac, jad, jbc, fbd, strona zaś prawa implikacji 314,7

(i lewa 314,8) w kolejności fac, jbc, jad, fbd.

5. Z w ią z k i m ię d z y o b u k w a n t y f ik a t e r a m i (ar), (£ar) 3.15,1 CN(x)fx(Ex)Nfx

a) jeżeli nieprawda, że dla każdego ar :/ar, to dla pewnego x : N f x ; b) jeżęli nieprawda, że wszystkie koty są szare, to niektóre koty nie są

szare.

315,2 C(Ex)NfxN(x)jx

c) tezy 315,1 i 315,2 tworzą łącznie p raw o n e g a c ji zd tw ie rd z ą c e g o : negacją zdania ogólnego twierdzącego szczegółowe przeczące.

rtli.

a n ia o g ó ln e g o ,

:ego jest zdanie / 0 ^ * *

315.3 CN(Ex)fx(x)Nfx 315.4 C(x)NfxN(Ex)fx

c) praw o n e g a c ji z d a n ia szcze g ó ło w eg o tw ie rd z ą c e g o : negacją zdania szczegółowego twierdzącego jest zdanie ogólne pizeczące.

...

-— 87 ^— 315,5 C{x)fx(Ex)fx

a) jeżeli dla każdego * :fx, to dla pewnego x :fx; _

b) p raw o s u b a lte r n a c ji (podporządkowania) zdań,a szczegółowego twierdzącego pod zdanie ogolne twierdzące.

a) b)

Mik

315,6 C{x)CjxgxC(Ex)fx{Ex)gx

jeżeli dla każdego x: jeżeli fx, to gx, to jeżeli dla pewnego x :/x. to dla pewnego x : gx;

jeżeli o każdym zwierzęciu parzystokopytnym jest prawdą, ze jest zwierzęciem przeżuwającym, to jeżeli pewne zwierzę jest parzysto- kcpytne, to także pewne zwierzę jest przeżuwające;

teza ta jest uogólnieniem tezy 224,18, czyli ogólnego prawa kompo­

zycji dla alternatywy, podobnie jak teza 313,6 jest uogólnieniem tezy 224,20, a teza 314,6 uogólnieniem tezy 223,14. Łączy się w mej prawo włączania kwantyfikatora pod znak implikacji (teza 313.6) z prawem

subalternacji (teza 315.5).

a)

b)

315,7 C(Ey)(x)fxy(x)(Ey)fxy

jeżeli dla pewnego y: przy każdym x : f x y . ' t o dla każdego x. przy

pewnym y :fxy; n , • ,

niech x, y reprezentują liczby naturalne wraz z liczbą O fxy znaczy nie jest mniejsze od y" i otrzymujemy przykład dla tezy 315,7: jeżeli dla pewnego y, przy każdym x, * me jest mniejsze o y (takim y jest O), to dla każdego x przy pewnym y, x me jest mniejsze od y (inaczej: jeżeli istnieje liczba, od której żadna me jest mniejsza, to dla każdej liczby można dobrać taką, od której me będzie ona

j, mniejsza); ,,

/ r c> tcza 315’7 jeSt u°8ólnieniem tezy 3I3’5 (kwantyfikator szczegółowy r L ^ r l uvvaźamy za uogólnienie alternatywy); podobnie jak teza 313,5, me daje się ona odwrócić. Jeżeli w przykładzie b) funkcji f x y nadamy znaczenie

,,x jest mniejsze od y , to poprzednik implikacji staje się a s _y_ y’

fałszem mianowicie jest, że dla pewnego y przy każdem x, x jest mniejsze od y, albowiem nie ma w szeregu naturalnym liczby największej, na­

tomiast następnik pozostaje prawdziwy: dla każdego x przy p-wny y , x jest mniejsze od y, ponieważ dla każdej liczby natuia ncj x P' tr _ dobrać większą od niej y. Przykład ten sprawdza przeto tezę natomiast teza odwrotna byłaby w tym przypadku fałszywa^ Kwanty- fikator ogólny i kwantyfikator szczegółowy me są względem sie le przemienne, tak jak przemienne są kwantyfikrtory ogólne między sobą (tezy 313,7 i 313,8) i kwantyfikatory szczegółowe między sobą t ezy 314,7 i 314,8); porządek ich można zmienić tylko wtedy, jeżeli kwan­

tyfikator ogólny następuje po szczegółowym.

/

88

W dokumencie Logika. Podręcznik dla studiujących nauki filozoficzne. Korekta II (Stron 82-88)