C ^ 2 -' 224,15 CKCpqCNpqq
C fi Ć ’ p
p r a w o d y l e m a t u d e s t r u k c y j n e g o 222,12
224,16 ' CKCpqCpNqNp , ,
p r a wo k o mp o z y c j i p o p r z e d n i k ó w a l t e r n a t y w y 223,12
C C ffW l+ ę Ą iS ' 224,17 CKCp'c<”CAt"ir
o g ó l n e p r a wo k o mp o z y c j i dl a a l t e r n a t y wy 223,1,3 ' : . , ... U 224,18 CKCprCqsCApqArs
p r a w o k o mp o z y c j i n a s t ę p n i k ó w k o n i u n k c j i 224,10 ( • yj . ' _ ^ 224,19 CKCpqCprCpKqr
o g ó l n e p r a wo k o mp o z y c j i dl a k o n i u n k c j i 224,11 224.20 CKCprCqsCKpqKrs
Tezy powyższe są łatwiejsze do wypowiedzenia w języku potocznym od tez w postaci pierwotnej (brzmią one „jeżeli p i q, to r“ , zamiast jak w postaci pierwotnej — „jeżeli p, to jeżeli q, to r“); jednakże nie są odpowiednie dla ro
zumowań według dyrektywy odrywania. Dyrektywa ta może być bowiem za
stosowana jedynie do implikacji, której poprzednikiem jest teza logiki zdań;
może być zastosowana wielokrotnie, ale odrywamy zawsze tylko od tezy logiki zdań jej następnik: tak w wyrażeniu CpCqr, jeżeli p, q są tezami logiki zdań, stosujemy dyrektywę odrywania dwukrotnie, aby otrzymać tezę r. Jeżeli natomiast tezę CpCqr przekształcimy według dyrektywy włączania na CKpqr, to poprzednikiem tej tezy jest koniunkcja dwóch zdań Kpq, i jeżeli nawet oba te zdania z osobna wzięte są tezami, to brak nam dotąd dyrektywy, która by gwarantowała, że także ich koniunkcja jest tezą — i uprawniała tym samym do zastosowania dyrektywy odrywania (dyrektywy takiej dostarczy dopiero teza 224,22.
224.21 CCKpqrCpCqr
a) p r a w o wy ł ą c z a n i a ( ekspor t acj i ) ; b) jeżeli CKpqr, to CpCqr;
c) jeżeli koniunkcja zdań p i q implikuje r, to p implikuje, że q implikuje r;
d) stąd, że jeżeli x jest podzielne przez 2 i przez 3, to jest podzielne przez 6, wynika, że jeżeli x jest podzielne przez 2, to jeżeli jest podzielne przez 3, fo jest podzielne przez 6 ;
e) prawo wyłączania jest odwrotnością prawa włączania i stanowi pod
stawę dla d y r e k t y w y wy ł ą c z a n i a zezwalającej na rozbicie impli
kacji, która zawiera koniunkcję w poprzedniku na podwójną impli
kację.
Podstawmy w tezie 224,21 r/Kpq, to otrzymamy w poprzedniku tezę 221,1, w której p/Kpq; można więc zastosować dyrektywę odry-' wania, aby uzyskać tezę
224,22 CpCqKpq
c) jeżeli p prawdziwe, to, jeżeli q prawdziwe, prawdziwa jest koniunkcja Kpq;
e) teza 224.2.7 jest podstawy dla dyrektywy wtórnej, według której wolno uznać koniunkcję Kpq za tezę logiki zdań, jeżeli p i ą są tezami. Za
razem tezs. ta wraz z 224,2 i 224,6 charakteryzuje koniu: ¡keję jako funkcję prawdziwościową, której wartością jest prawda zawsze i tylko, jeżeli oba argumenty są prawdziwe.
a) b)
224,23 NKpNp p r a wo s p r z e c z n o ś c i ; nieprawda, że p i Np;
c) nieprawda, że p prawdziwe i p fałszywe (lub Np prawdziwe);
d) nieprawda, że dziś jest wtorek i dziś nie jest wtorek;
e) teza 224,23 wraz z tezą 223,15 (prawem wyłączonego środka) może służyć do scharakteryzowania negacji jako funkcji prawdziwościowej, mianowicie według 224,23 stwierdzamy, że jeżeli p prawdziwe, to Np jest fałszywe; według zaś 223,15, jeżeli p fałszywe, to Nt> jest prawdziwe.
Tezę 224,23 można, podobnie jak tezę 223,15, otrzymać z tezy 221,1 Trzeba w tym celu tezę 221,1 przekształcić za pomocą dyrektywy podwójnego przeczenia na wyrażenie NNCpNNp, a następnie zasco- sować II dyrektywę zastępowania łącznie z podstawieniem q/Np.
224,24 CKpqNCpNq
b) jeżeli p i q, to nieprawda, że jeżeli p to Nq;
c) Kpq implikuje, że CpNq jest fałszywe;
d) jeżeli środa jest 3 maja, to nieprawda, że jeżeli środa, to nie jest 3 maja;
224,25 CNCpNqKpq
b) jeżeli nieprawda, że jeżeli p, to Nq, to p i </;
c) fałszywość zdania CpNq implikuje Kpq\
d) jeżeli nieprawda, że jeżeli środa, to nie jest 3 maja, to środa jest 3 mija;
e) tezy 224,24 i 224,25, analogicznie jak poprzednio tezy 223,16 i 223,17, można uzyskać z tezy 221,1 według II dyrektywy zastępowania. Okazu
ją one równoważność koniunkcji Kpq z wyrażeniem NCpNg.
224,26 CCpgNKpNg
b) jeżeli prawda, że jeżeli p, to q, to nieprawda, że p i Nq\
c) Cpq implikuje, że nieprawda, by p było prawdziwe i " srywr;
d) jeżeli prawda, że jeżeli dziś środa, to jutro czwarte,., to nieprawi*, że dziś środa i jutro nie czwartek.
— 49
224,27 CNKpNqCpq
b) jeżeli nieprawda, że p i Nq, to jeżeli p, to q;
c) zaprzeczenie KpNq implikuje Cpq;
d) jeżeli nieprawda, że dziś środa i jutro nie czwartek, to prawda,że jeżeli dziś środa, to jutro czwartek;
e) tezy 224,26 i 224,27 wynikają odpowiednio z 224,24 i 224 25 przez zastosowanie podstawienia q/Nq oraz dyrektyw transpozycji i podwój- nego przeczenia. Jak tezy 224,24 i 224,25 pozwalają na wyrażenie koniunkcji przez implikację i negację (p i q, zawsze i tylko, jeżeli nie
prawda, że jeżeli p, to nie ę), tak tezy 224,26 i 224,27 pozwalają wyrazić implikację przez kcniunkcję i negację (jeżeli p to q, zawsze i tylko, jeżeli nieprawda, że p i Nq): związek ten służy często do scharaktery
zowania implikacji i był znany już w logice stoickiej.
¿ ¿ Ą ,Z 7 V r V U p jV C .p « p v p i/
b) jeżeli p i q, to nieprawda, że jeżeli p, to nieprawda, że jeżeli p to ę, jeżeli nieprawda, że jeżeli p, to nieprawda, że jeżeli p, to q, to p i q\
c) Kpq implikuje zaprzeczenie implikacji między p i zaprzeczeniem Cpg, zaprzeczenie implikacji między p i zaprzeczeniem Cpq implikuje Kpq\
e) tezy 224,28 i 224,29 prowadzą do dyrektywy, która pozwala zastąpić ,,Kpq" przez wyrażenie ,,NCpN^pq zbudowane z wyrazów pierwot nych inaczej, niż podaje II dyrektywa zastępowania; są one pod tym względem pokrewne z tezami 223,7 i 223,8, które dają analogiczną swobodę dla alternatywy w stosunku do I dyrektywy zastępowania,
' 224,30 CCKpqrCKpNrNq 224,31 CCKpqrCKNrqNp
?, 1
3 a) r o z s z e r z o n e p r a w o t r a n s p o z y c j i ;b) jeżeli: jeżeli p i q, to r, to jeżeli p i nie r, to nie q, jeżeli: jeżeli p i q, to r, to jeżeli nie r i q, to nie p, v • i*i • » • i / * * 1! 1 1
-c) jeżeli koniunkcja zdań p i q implikuje r, to Nq, a koniunkcja Nr i q implikuje Np:
: jeżeli p i q, to r, to jeżeli p i nie r, to nie q : : jeżeli p i q, to r, to jeżeli nie r i q, to nie p ;
koniunkcja zdań p i q implikuje r, to koniunkcja p i Nr implikuje
to Każde M jest P d) jeżeli: Każde M jest P
Niektóre S nie są P (Baroco) Każde S jest M (Barbara)
Każde S jest P
Niektóre S nie są M lub: Niektóre S nie są P
(Bocardo) Każde S j "St M I
Nieictóre M nie są P
e) Tezy 224,30 i 224,31 dają wtórną d y r e k t y w ę t r a n s p o n o w a n i a i mp l i ka cj i , w której poprzedniku występuje koniunkcja dwóch zdań:
jeden z poprzedników wraz z negacją następnika implikuje negację drugiego z poprzedników. Dyrektywą tą posługiwała się logika kla
syczna przy redukcji trybów sylogistycznych Baroco i Bocardo do Barbara.
224,32 CKNCprNCqsNCKpqKrs
a) d r u g i e p r a wo k o mp o z y c j i dl a k o n i u n k c j i (względem za
przeczenia implikacji — por. 224,20);
b) jeżeli nieprawda, że jeżeli p, to r i nieprawda, że jeżeli q. to 3, to nie
prawda, że jeżeli p i q, to r i s.