Szeregujące logiki wielowartościowe

Rozróżnienie między klasyfikacją i szeregowaniem jest punktem wyjścia innego uogólnienia logiki dwuwartościowej na logikę w 'clowartościową aniżeli to, które wychodzi od rozróżnienia modalności zdań i o który-n byfa mowa po­

przednio (242). Każde zdanie jednostkowe logiki dwuwartościowej, np. „dziś jest pogoda“ , związane jest z podziałem dychotomicznym przedmiotów pewnej klasy, do której należy desygnat podmiotu zdania, na dwie podklasy takie, iż dla jednej z nich zdanie to jest prawdziwe, dla drugiej — fałszywe; w przyto­

czonym przykładzie klasa dni rozpada się na podklasę dni pogodnych, dla któ­

rych zdanie jest prawdziwe, i podklasę dni niepogodnych, dla których jest ono fałszywe. Jednakże można też klasę dni uszeregować według stanu pogody postępując od zupełnej pogody do zupełnej niepogody i pytać nie o to, czy dzień jest pogodny, lecz w jakim stopniu jest pogodny; wtedy zdanie „dziś jest po­

goda“ może być uważane za prawdziwe w stopniu mniejszym lub większym, zależnie od takiego lub innego stanu pogody. Jego prawdziwość staje się za­

leżna od miejsca, które w szeregu uporządkowanym od zupełnej pogody do zupełnej niepogody zajmuje odpowiadający mu stan rzeczy.

Aby określić stopień prawdziwości zdania przy takim jej pojmowaniu w sposób jak najbardziej naoczny, wyjdziemy od innego przykładu. Przy­

puśćmy, że strzelec strzela do tarczy, i niech prawdziwość zdania (a) „strzał jest celny“ ma stopień zależny od tego, w jakiej odległości od środka tarczy utkwiła kula. Oznaczmy maksymalny stopień prawdziwości zdania liczbą gdy kula utkwi dokładnie w środku tarczy — i mech stopień prawdziwości będzie tym mniejszy, w im większej odległości r od środka tarczy leży miejsce trafienia.

Niech przeto stopień prawdziwości zdania (a) oznaczony symbolem V(a) będzie ułamkiem V(a) — 7 7 , tak iż dla r = 0 mamy V(a) — / , dla r — 0 0 ,

I ~ r r

V(a) - 0, dla wszelkich zaś innych dodatnich wartości r — V(a) jest ułamkiem właściwym przedziału 0 ... 1, przy czym owe liczby pełnią rolę indeksów porządkujących, a można je też uważać za konwencjonalną miarę prawdzi­

wości.

Przejście od tak określonej wielowartościowości do dwu- wartościowości może nastąpić w jeden z dwóch sposobów:

a) Przyjmujemy jakąś wielkość r = r0 (rys. 24), która dzieli wszystkie odległości r na dwie klasy, r < r 0 oraz r > r 0; odpowiednio wartość V»(a) — ~j~T—

dzieli wartości V(a) na V(a)>V0(a) oraz V(a)<V0(a), przy czym przyjmujemy, że zdanie (u) jest prawdziwe, gdy r < r 0 (gdy kula padnie wewnątrz czarnego koła w centrum tarczy) oraz P (a)> Vn(a), natomiast jest fałszywe, gdy r > r ()

i' Y(a) < Fo(a). Przechodzimy w ten. sposób od skali wielowartościowej do dychotomii odpowiadającej dwuwartosciowosci zdań, ze stratą na doiuadnosci wypowiedzi, gdyż nie rozróżnia się teraz między sobą odległości r leżących po jednej stronie koła r0.

b) Drugi sposób przejścia do zdań dwuwartościowych nie pociąga za sobą powyższej niedogodności. Polega on na utworzeniu zdania (a,) o prawdziwości zdania (a) w myśl następującej definicji:

(01) = [ K(a> = ^l -f r ] ’

przy czym zdanie (di) jest zdaniem dwuwartościowym, jest ono prawdziwe, gdy r = r,, fałszywe — w przeciwnym przypadku. Zd .nie (aj) czytamy

1 .

„zdanie (a) jest prawdziwe w stopniu . , , co można też wyrazić

rowno-^ i T l " i ,

ważnie słowami „kula trafiła w odległości rj od środka .

Dla zbudowania logiki wielowartościowej zdań rodzaju (a) należy jeszcze zdefiniować ich funkcje prawdziwościowe metodą matrycową lub aksjomatyczną, podobnie jak to widzieliśmy poprzednio dia logik wiclowartościowycn modal- ności. Uczynimy to tworząc matryce dla negacji oraz implikacji, jak nastę­

puje: Niech p,

q

będą dwiema liczbami oznaczającymi stopnie prawdziwości dwóch zdań; wyrażenia

,,Np“, ,,Cpq

, rozumiemy analogicznie do wyrażeń

„Nv“, „Nf", ,,Cfv“ itp. przy tworzeniu matryc logiki dwuwartościowej (241), tzn. jako wartości negacji lub implikacji dla wartości p,

q

ich argumentów.

Wartość funkcji Np ustala identyczność N p r = l — P, wartość Cpq jest określona jako

Cpq — 1 dla p < q oraz

Cpq

— 1 — p +

q

^dla

p

^>

q

Przy takim określeniu funkcji prawdziwościowych wartości ich dla skrajnych wartości argumentów p,

q,

tj. 0 i /, stają się identyczne z wartościami logiki dwuwartościowej, gdy położymy v 1 i / = 0; jeżeli nadto położymy m /a.

wartości implikacji i negacji dla wymienionych trzech wartości argumentów stają się identycznę z ich wartościami dla trójwartościowej logiki

Powyższe rozważania pouczają nas, że dwuwartościowcść logiki klasycznej jest konsekwencją dychotomicznej zasady podziału, którą wprowadza w ń~ie- dzinę rzeczywistości przyjęte w języku potocznym i w logice pojęcie negacji.

Jeżelibyśmy tę dychotomiczność zastąpili jakąś mną zasadą porząiłowania rzeczywistości, podziałem wieloczłonowym lub szeregowaniem, otrzymalioy^my, jak to okazuje się na omówionym przykładzie, inną wielowartościową ¡og-kę.

Z tego punktu widzenia można zasadę dwuwartościowości porównać z zasadą dziesiątkowego układu liczbowego przyjętego w arytmetyce europejskiej. Jak ów układ liczbowy jest zbudowany na liczbie 10 jako-podstawie, ze wzgiędu na płynące stąd dogodności, lecz z punktu wmzenia teoretycznego wyt>ór taki jest

*

159

konwencjonalny, tak dwuwartościowość w logice, dogodna z wielu względów, a przede wszystkim zgodna z językiem potocznym, mogłaby byę zęstąpiona przez

układ innych wartości logicznych.

6. Strukturalne własności stosunków i liczby porządkowe

Odpowiedniość doskonała między elementami dwóch klas pozwala określić podobieństwo między tymi klasami praż ich liczbę kardynalną (522). Podobnie odpowiedniość doskonała między elementami zakresów dwóch stosunków prowadzi do określenia p o d o b i e ń s t w a lub i z o mo r f i c z n o ś c i s t o s u n k ó w.

Odpowiedniość dcskopałą między zakresami stosunków określamy za pomocą odpowiedniości doskonałej między elementami pól tych stosunków. Niech będą dwa stosunki Pxy, Rwz; zakładamy dla uproszczenia, że oba one są homo­

geniczne. Jeżeli pola obu stosunków są zbiorami równej mocy i jeżeli istnieje jednoznaczny i zar0zem odwrotnie jednoznaczny stosunek S, który każdemu elementowi pola stosunku Px{j przyporządkowuje pewien element pola sto­

sunku Ru z, to zarazem każdej parze uporządkowanej xy zakresu stosunku Pxy zostaje przyporządkowana jednoznacznie i zarazem odwrotnie jednoznacznie para uporządkowana wz elementów pola stosunku Rwz, ta mianowicie, dla której Sxw oraz Syz. Stosunek Pxy jest i z o mo r f i c z n y ze stosunkiem Rwx zawsze i tylko, jeżeli każda taka para wz przyporządkowana parze xy należącej do zakresu Stosunku P x y należy do zakresu stosunku Ribz i odwrotnie. Defi­

nicję można wypowiedzieć jeszcze w słowach następu­

jących: Dwa stosunki Pxy i ,Rwz są podobne lub izo­

morficzne zawsze i tylko, jeżeli istnieie taki korelator S, iż dla każdej pary elementów pola stosunku P, dla któ­

rych Pxy między ich korelatami w i z w polu stosunku Rwz zachodzi Rwz. Izomorficzność sto-sunków P, R według korelatora S jest równoważna równoważności między Pxy i ^ S ^ R ('Sxy, co ilustruje rys. 25.

Dla zdefiniowania izomorficzności dwóch stosunków Pxy, Rivz wprowadź­

my skrót „ I z P x y R w z ", zamiast „stosunek P \ y jest izomorficzny ze stosunkiem

R W : _ „

_ 526-1 „IzPxyRwz“ - „(ES)KDoSxy(x,y) CPxy(Ew) ( Ez ) KK S x w S y z R w z '

„IzPxyRwz“ znaczy „dla pewnego S: S jest odpowiedniością doskonałą i dla każdego x oraz każdego y: jeżeli Pxy, to dla pewnego w i pewnego z : KSxwSy- oraz Rwz“.

Stosunek Rwz izomorficzny ze stosunkiem Pxy według korelatora

S

na­

zywa się o b r a z e m ( o d w z o r o w a n i e m ) stosunku Pxy według tegoż korela­

tora. Izomorficzność stosunków jest, analogicznie jak rownoliczność dla klas, równością, tzn. stosunkiem symetrycznym, przechodnim i zwrotnym.

Stn-Rys. 25

i \

- 160

sunki izomorficzne do pewnego stosunku tworzą klasę stosunków scharaktery­

zowanych przez wspólną wlasnośę. Własność tę nazywamy s t r u k t u r ą lub l i c z b ą p o r z ą d k ową (ang. yumber, niem. Ordnungszahl) danych stosunków — analogicznie do liczby kardynalnej przy klasach. Liczby porząd­

kowej nie należy mieszać z kategorią gramatyczną liczebników porządkowych, liczebnik porządkowy jest nazwą kolejnego elementu w szeregu, którego elementy zostały ponumerowane.

Strukturę stosunku otrzymujemy przez abstrakcję zarówno od jakości jego członów, jak też od jakoścj jego samego. Przykładem stosunków izomor­

ficznych są z jednej strony stosunki przestrzenne określające położenie jednostek geograficznych w krajobrazie, z drugiej strony odpowiadające im stosunki prze­

strzenne między punktami oznaczającymi owe jednostki geograficzne na mapie.

Izomorficzność zostaje zachowana nawęt przy odrzuceniu odpowiedniości me­

trycznej (którą określa podziałka mapy); nawet mapy schematyczne zniekształ­

cone w wymiarach, jak np, schematy sieci kolejowych w rozkładach jazdy, przedstawiają odwzorowywane stosunki izomorficznie. Strukturę stosunku przedstawia graficznie'jego d i a g r ą m (podpbnie jak matryca przedstawia jego zakres). Diagram stosunku otrzymujemy przedstawiając elementy jego pola za pomocą punktów na płaszczyźnie i rysując strzałkę od każdego elementu nale­

żącego do zfrrredpof/ ku odpowiedniemu elementowi przeciw|Al^. Jeżeli do zakresu stosunku należy para xx, to zaznacza się ją strzałką zwrotną od ele­

mentu x ku niemu sarńemu; jeżeli należą do zakresu pary xy i yx, to oba ele­

menty łączymy strzałką podwójną. Rys. 26 przedstawia diagramy dla stosunków a, b, c, których matryce podaje rys. 23 (511).

7

I ablice genealogiczne są diagramami stosunków ancestralnych w obrębie pewnego, rodu ludzkiego. Diagram, w którym elementy pola są oznaczone przez zmienne, gdy przyjmiemy, że wartościami ich są odpowiadające sobie według pewnego korelatora S elementy pól stosunków izomorficznych, una­

ocznia strukturę każdego z owych stosunków. Niech będzie AI ojcem, A, 3, C — jego dziećmi; N — nauczycielem, D, E, F — jego jednoczesnymi uczniami;

O — przełożonym, G, H /, — jego równorzędnymi podwładnymi. Stosunki rodzinne w pierwszym, szkolne w drugim i służbowe w trzecim przykładzie są izomorficzne. Strukturę ich otrzymamy oznaczając zmienną r. ojca l\l, nauczy­

ciela N i przełożonego O, zmiennymi zaś y, z, w odpowiednio osoby A, D, G —

»

- \ei ~

B, E H, — C, F, 1. Diagram (rys. 27) przedstawia nam stosunek ojcostwa lub rodzeństwa w pierwszym przypadku, stosunek nauczycielstwa lub kole- żeństwa — w drugim i stosunek przełożeństwa bib

współpracowniętwa zawodowego — w trzecim.

Jedno z najprostszych zastosowań izomorficzności dotyczy ciągów (523)

Dwa ciągi są izomorficzne zawsze i tylko, jeżeli między ięh elementami daje się ustalić korelator, przy którym związki porządkowe między odpowiednimi

elementami w obu ciągach są jednakowe. Jeżeli x i y są jakimikolwiek dwoma elementami ciągu P, zaś w i z — ich korektami w ciągu izomorficznym Q oraz x jest wcześniejsze od y w ciągu P, w jęst wcześniejsze od z w ciągu Q — i odwrotnie.

Wszystkie ciągi skończone o tej samej liczbie n elementów są izomorficzne.

Albowiem elementy każdego takiego ciągu dają się ponumerować, tzn. upo- porządkować tak, jak ciąg pierwszych n liczb naturalnych, każdy taki ciąg jest więc izomorficzny z ciągiem n pierwszych liczb naturalnych. Dla zbiorów skończonych zatem istnieje całkowity paralelizm między liczbami kardynal­

nymi i liczbami porządkowymi. Natomiast równoliczne zbiory nieskończone nie muszą być izomorficzne. Każdy taki zbiór może dać po uporządkowaniu różne ciągi nieizomorficzne między sobą. Tak np. nie są izomorficzne szereg liczb całkowitych dodatnich 1, 2, 3 ... i ten sam szereg uporządkowany od­

wrotnie ... 3, 2, 1, albowiem w pierwszym szeregu istnieje element pierwszy, nie ma zaś ostatniego, w drugim natomiast, przeciwnie, nie ma elementu pier­

wszego, istnieje zaś ostatni. Przypi śćmy, że elementowi 1 z pierwszego szeregu został przyporządkowany element k z drugiego szeregu; w tym drugim szeregu istnieje zawsze element k wcześniejszy od elementu ki natomiast w pierwszym szeregu element 1 jest wcześniejszy od wszystkich innych, a zatem i od ele­

mentu, który jest korelatem elementu k ■ w

Podobne do powyższego rozumowania okazują, że struktury ciągów nie­

skończonych scharakteryzowane są przez następujące własności; a) posiadanie lub nieposiadanie elementu pierwszego; b) posiadanie lub nieposiadanie elementu ostatniego; c) różnice przekrojów. P r z e k r o j e m zbioru uporządkowanego U nazywa się każdy podział wszystkich elementów tego zbioru na dwie klasy

A

i B niepuste i takie, iż każdy element klasy

A

jest wcześniejszy od każdego elementu B. Może być przy tym, że klasa A posiada element ostatni lub go nie posiada, klasa B natomiast posiada element pierwszy lub go nie posiada.

Jeżeli w danym przekroju klasa A posiada element ostatni, a zarazem klasa B posiada element pierwszy, to mówimy, że przekrój ów daje skok. Jeżeli natomiast ani A nie posiada elementu ostatniego, ani B — elementu pierwszego, to mówimy, że przekrój daje l ukę. Zbiór uporządkowany nie mający skoków

Rys. 27

162 —

nazywa się g ę s t y m, nie pający skoków ani luk — ci ą g ł y m. Tak.np. zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich 1, 2, 3 ... posiada element pierwszy, nie posiada elementu ostatniego, nie jest gęsty ani ciągły. Zbiór zaś liczb wymier­

nych a takich, iż O ^ a K l jest równoliczny z poprzednim (posiada tę samą liczbę kardynalną), lecz posiada inną liczbę porządkową, gdyż różni się od po­

przedniego tym, że jest gęsty. Gdy nadto zbiór liczb wymiernych przedziału 0 < a < 7 uzupełnimy dołączając doń liczby niewymierne w typże przedziale, powstanie zbiór ciągły.

Strukturą stpsunku określa całkowicie jego własności formalne, tzn. za­

leżne jedynie od identyczności lub różności jego członów, z pominięciem wszelkich innych różnic między nimi. Wszystkie własności stosunków, jakie poprzednio były omawiane, symetryęzność, przechodnio^, spójność, zwrotność, jednoznaczność, zależą wyłącznie od struktury stosunku, tak iż stosunki izomor­

ficzne mają jednakowe z wymienionych własności. Własności te noszą nazwę s t r u k t u r a l n y c h . Każda z nich jest określona całkowicie przez własności dające się uzmysłowić w diagramie strukturalnym stosunku; diagramy zaś takie dla stosunków izomorficznych są identyczne. Natomiast nie są strukturalnymi te własności stpsunków, według których dzielimy je np. na geometryczne, lo­

giczne, przęstrzennę, spo(eęzne itp.

Pojęcie własności strukturalnych posiada doniosłość poznawczą w nastę­

pującym jeszczę związku. Wrażenia zmysłowe, jako elementy poznania rzeczy­

wistości empirycznej, są subiektywne i wewnętrzne, zbudowana na nich wiedza posiada również te właściwości: jest subiektywna, tzn. związana z doznaniami podmiotu poznającego, i jest wewnętrzna, tzn..właściwa każdemu poznającemu umysłowi z osobna, niekomunikowalna i nieporównywalna między nimi, Czer­

wień jest treścią mego wrażenia zmysłowego, czerwieni doznawanej przeze mnie nie potrafię nikomu innemu przekazać ani też porównać jej z czerwienią doznawaną przez kogokolwiek innego. Jednakże jeżeli stoimy w teorii poznania na stanowisku realizmu, które jest na ogół stanowiskiem praktyki naukowej, to przyjmujemy, że między dziedziną obiektywnych przedmiotów wiedzy

i dziedziną wrażeń zmysłowych istnieje izomorfizm, a wobec przechodmości izomorfizmu także obrazy świata w poszczególnych umysłach są izomorficzne.

Przy tym założeniu powstaje zagadnienie zbudowania systemu wieazy, który by był pozbawiony subiektywnych i wewnętrznych elementów zmy ło- wych i zawierał jedynie to, co należy do własności izomorficznych i co wskutek tego byłoby intersubiektywnie porównywalne i komunikowalne. Należulo by w tym celu wszelkie opisy zawierające elementy zmysłowe zmienić na opisy strukturalne, tj. opisy, w których przedmiot opisywany byłby scharakteryzowany wyłącznie przez strukturalne własności stosunków łączących go z innymi przed­

miotami. Wyobraźmy sobie w tym celu diagram wszechświata jako mapę, w której poszczególne punkty przedstawiające oddzielne indywidua byłyby połączone ze sobą strzałkami oznaczającymi stosunki, podobnie j~k na schematach

163 —

'V

sieci kolejowych w rozkładach jazdy stacje kolejowe połączone są liniami kole­

jowymi. Mapę tę należy pomyśleć jako ślepą, poszczególne jej punkty nie są oznaczone nazwami ani też w żaden inny sposob wyróżnione i zadaniem naszym jest rozróżnić je między sobą wyłącznie według strukturalnych różnic wśród połączeń między mmi. Możliwość naukowego poznania rzeczywistości zależy od tego, czy i w jakim stopniu wspomniane rozróżnienie da się wykonać. Je­

żeliby wszystkie własności strukturalne stosunków, w których dwa jakieś indy­

widua pozostają do wszystkich innych indywiduów, były identyczne, to owe dwa indywidua byłyby w danym systemie wiedzy (w myśl zasady identitatis indis- cernibilium) nierozróżnialne i identyczne.

Naukami, w których wyeliminowane są wszelkie dane zmysłowe, są nauki matematyczne wraz z logiką. Zajmują się one wyłącznie strukturalnymi włas­

nościami przedmiotów swej dziedziny badania, a każdy występujący w nich związek jest zdefiniowany przez własności strukturalne, tak iż nauki te — można powiedzieć operują nie stosunkami indywidualnymi, lecz zbiorami stosun­

ków izomorficznych; rozróżnienie między poszczególnymi stosunkami należą­

cymi do takiego zbioru odbywa się drogą interpretacji (212). Postawione wyżej zagadnienie wyeliminowania z nauki elementów zmysłowych jest równo­

znaczne z zagadnieniem przekształcenia nauk empirycznych na nauki typu matematycznego, czyli ich sformalizowania.

'?v f

. 2 ę sś ć 6

W dokumencie Logika. Podręcznik dla studiujących nauki filozoficzne. Korekta II (Stron 164-171)