Hiermit wird
J. Gegenseitige Induktion parallel gesch alteter Leitungen,
W e rd e n a n d em selb en G e stä n g e m e h re re p a ra lle le L e itu n g s s trä n g e g e fü h rt, so in d u z ie re n die S trö m e in d e n L e itu n g e n n ic h t n u r d e n eig en en L e ite r, s o n d e rn a u c h alle ü b rig en .
A llgem ein g ü ltig e F o rm e ln lassen sich fü r die W irk u n g d e r geg en se itig en I n d u k tio n n ic h t au fste lle n , v ie lm e h r m ü sse n die V e rh ä ltn isse v o n F a ll zu F a ll b e re c h n e t w erd en .
W ir w ollen d e n R e c h n u n g sg a n g fü r zwei p a ra lle le D re h s tro m le itu n g e n d u rc h fü h re n . E s is t d a n n le ic h t m öglich, fü r a n d e re V e r
h ä ltn is s e e in en ä h n lic h e n R e c h n u n g sg a n g ein zu sch lag en .
D ie A n o rd n u n g d e r L e itu n g e n is t in F ig. 33 d a rg e s te llt. D ie E ff e k tiv s trö m e des e in en S y ste m s seien J x, 7 2 u n d J 3, die des a n d e re n S y ste m s i1; i2 u n d i3. D ie S trö m e b e id e r S y s te m e m it g leich en I n dizes sollen u n te r sich in P h a s e sein. D ie D u rc h m e sse r d e r L e itu n g e n d es e in en S y ste m s seien d , des a n d e re n <5.
I n je d e m L e ite r, beispielsw eise I F ig. 33, w ird eine S e lb s tin d u k tio n s s p a n n u n g es v o n d e m in ih m fließ en d en S tro m e erzeu g t. Z u r B e re c h n u n g dieser S e lb stin d u k tio n s s p a n n u n g b e n ö tig en w ir des S elb st- in d u k tio n sk o e ffiz e n te n eines einzigen g erad lin ig en L e iters, dessen L än g e l se h r g roß g eg e n ü b er seinem D u rch m esser d ist. F ü r den S e lb stin d u k tio n sk o e ffiz ie n te n g ib t D r. G. B enischke in seinem B u ch e
»Die w isse n sc h a ftlic h e n G ru n d la g e n d er E le k tro te c h n ik « 1907, S. 187, d en allg em ein en W e rt an
H ierin is t ¡u die m ag n etisc h e P e rm e a b ilitä t des L e ite rs v o m D u rc h m esser d. F ü r die in d e r P ra x is g eb rä u c h lic h en L e ite rm a te ria lie n (K u p fer, A lu m in iu m ) k ö n n e n w ir ¡u — 1 setzen u n d e rh a lte n , w enn l u n d d in cm a u sg e d rü c k t sind
L = 2 l ( l n ^ — 0,75 j IO"9 H en ry .
D rü ck en w ir l in k m au s u n d fü h re n B riggsche L o g a rith m e n ein, so e rh a lte n w ir fü r L e ite r I
L i = ¿(km) |o .4 6 log ^ ^(km^ ---0,15^ 10-3 ’H en ry . D a rin is t d er D u rch m esse r des L e ite rs in cm a u sg e d rü c k t.
Die in dem L e ite r I erzeu g te S e lb s tin d u k tio n s s p a n n u n g esI w ird n ach Gl. 130) esi = 2 ^ ^ L l h V o lt.
In e n tsp re c h e n d e r W eise b e stim m e n sich die S e lb stin d u k tio n sk o e ffi
zien ten d er ü b rig e n L e ite r.
Die in diesen fließ en d en S trö m e b eeinflussen L e ite r I ebenfalls, in d em sie in d em selb e n eine G e g e n in d u k tio n erzeugen. U m die G röße de rse lb e n fü r eine Schleife, b e ste h e n d au s d em L e ite r I u n d einem b eliebig z u g e p a a rte n a n d e re n L e ite r, bespielsw eise 1, zu finden, b e d ien en w ir u n s des K o effizie n ten M d er g eg en seitig en I n d u k tio n .1) A llgem ein ist dieser K oeffizient
M = 2
J. Gegenseitige Induktion parallel geschalteter Leitungen. 105
J) B erechnung des K oeffizienten M qler gegenseitigen In d u k tio n zweier paralleler seh r lan g er L eiter I un d 1, deren A b stan d a groß ist im V erhältnis zum D urchm esser.
L e ite r I h ab e den D urchm esser d, L eiter 1 den D urchm esser <5. Bezeichnen w ir die S e lb s tin d u k tiv itä t beider L eiter m it L 1 un d L 1 un d ihre gegenseitige In d u k tiv it ä t m it M , so ist der Selbstkoeffizient L der von beiden L eitern gebildeten Schleife
L = L 1 + L 1— 2 M .
w o a d e r A b s ta n d d e r b e tr a c h te te n L e ite r u n d / die L ä n g e je d e s d e r
J. Gegenseitige Induktion parallel geschalteter Leitungen. 107 in d u k tio n s s p a n n u n g a u fg e ste llte n Gl. 130), w en n m a n für L die obigen W e rte M e in se tz t, zu
e — 2 n ~ M i V o l t ... 166) F ü r i sin d d iejen ig en S trö m e ein zu setzen , w elche in d em z u g e p a a rte n a n d e re n L e ite r fließen u n d w elche das F eld zw ischen L e ite r I u n d d em z u g e p a a rte n a n d e re n L e ite r h e rv o rru fe n .
W ir e rh a lte n also fü r d e n L e ite r I In d u k tio n s s p a n n u n g ,
w elche v o n d en fü n f ü b rig e n L e itu n g e n im L e i t e r l h e rv o rg e ru fe n
w ird .
J v J “ii ' ^3)
£ b is 1 = 2 n ~ i l / b i s i
£ b i s 2 — 2 71 ~ 3 / j , j s 2
£ b is 3 = 2 71 ~ 3 / b is 3
£ b is I I = 2 71 ~ 3 / ] , i s ix • ; 2,
£bis i i i== 2 n ~ 3 / i,iS i n - iz.
W ir h a b e n je tz t n u r n o ch die e rh a lte n e n S p a n n u n g e n m it d er S e lb s tin d u k tio n s s p a n n u n g des L e ite rs I v e k to rie ll z u sa m m e n zu setzen , u m die re su ltie re n d e I n d u k tio n s s p a n n u n g im L e ite r I zu fin d en . Die Z u sa m m e n ste llu n g erfo lg t n a c h d er in F ig. 34 g eg eb en en D arste llu n g .
H ierbei ist d a ra u f zu a c h te n , d a ß sä m tlic h e S p a n n u n g e n se n k re c h t au f d e n R ic h tu n g e n d e r S trö m e ste h e n , w elche die S p a n n u n g e n in d u ziert h a b e n . I n gleicher W eise lassen sich die K o effizien ten d er gegen
seitig en In d u k tio n fü r die L e ite r II u n d I I I u n d ebenso die I n d u k tio n s s p a n n u n g e n fü r die L e ite r II u n d I I I b erech n en . M it diesen M e rte n k a n n m a n d as D ia g ra m m F ig. 34 e rw e ite rn u n d fin d e t d a n n die re su l
tie re n d e I n d u k tio n s s p a n n u n g fü r die L e ite r II u n d I I I . Sie w erd en un g leich sein m üssen, w eil bei zwei L e itu n g s s trä n g e n eine S y m m e trie u n te r d e n L e ite rn n ic h t m öglich ist.
W ir w o llen d en in d u k tiv e n S p a n n u n g sa b fa ll im L e ite r I fü r die in F ig. 34 d a rg e ste llte A n o rd n u n g a n einem B eispiel u n te rsu c h e n .
B e i s p i e l : D ie L ä n g e d e r F e rn le itu n g sei l = 20 k m , die P e rio d e n z a h l ~ = 50. D ie Q u e rs c h n itte seien
d = 0,51 cm (16 q m m v e rse ilte L e itu n g ),
<5 = 0,76 cm (35 q m m v e rs e ilte L e itu n g ).
A us d er G e s tä n g e k o n s tr u k tio n e rg ib t sich D = 40 cm ,
a = 56 cm , b = 83 cm , c = 50 cm . D ie S trö m e seien
J 1 — J 2 = J 3 = 30 A m p ., ij — i2 = i3 = 13,7 A m p.
D er S e lb stin d u k tio n sk o e ffiz ie n t des L e ite rs I is t
U = /(km) (o,46 log 0 ,1 5J 10-3 H e n ry ,
U = 20 jo ,46 log 4 ' o 5 11QO---° - 15) 10-3 = °>063 H e n ry-D ie S e lb s tin d u k tio n s s p a n n u n g im L e ite r 1 w ir d h ie rm it
esl = 2 n ~ L x Q,
esI = 2 7i 50 • 0,063 • 13,7 = 271 V o lt.
D ie K o e ffiz ie n ten d e r g eg e n se itig e n I n d u k tio n w e rd e n A/bis i = /(km)(o,46 log 2 ^ 1QJ - 0 , 2 ) 10- 3 H e n ry ,
(
0,46 log2 .2 0
56 •105
0 ,2 ) W " 3 = °>0406 H e n ry ,\ A/bis 2 = /(km) [0 ,4 6 log 2/(kl^)1U- - 0 ,2j IO" 3 H e n ry ,(
0,46 log2
.2 0
3 3 .105
° , 2) IO“ 3 = 0,039 H e n ry ,\ A/bis 3 = /(km) (o ,4 6 log 2 / <k™)1Q-- — 0 ,2) 10-3 H e n ry ,/ 2 . 2 0 . 1 05 \
M bis 3 = 20 i 0,46 log bQ - - 0 ,2 j IO"3 = 0,041 H e n ry ,
A/bis 11 = W ) (o ,4 6 log — (-kg - 0-O- 0 , 2) IO“3 H e n ry ,
/ 2 . 2 0 . 1 05 \
A/bis 11 = 20 (0 ,4 6 l o g --- 0 ,2 1 1 0 -3 = 0 ,042 H e n ry ,
Iv. Ermittelung des Ladestromes der mit Kapazität behalt. Leitungen. 109
Die G e g e n in d u k tio n ssp a n n u n g e n , w elche v o n d e n fü n f ü b rig e n L e ite rn in L e ite r I h e rv o rg e ru fe n w erd en , sind
£bisi = 2 ? r ~ d / bisl J x = cl n - 5 0 • 0 ,0 4 0 6 • 30 = 3 8 2 , 4 4 V o lt,
£bis 2 = 2 Tr ~ A/bis 2 j 2 = 2 71 ■ 50 • 0,039 -30 = 3 6 7 ,3 8 V olt,
£bis 3 = 2 7t ~ d/bis 3 «7a = 2 n -5 0 -0,041 -30 = 3 8 6 ,2 2 V olt,
£ b is u = 2 71 ~ d / b i s I I ¿ 2 = 2 7 1- 5 0 -0,042 -1 3 ,7 = 180,68 V olt,
£bis in = 2 Ti ~ 3 / bis in i3 = 2 Tr • 50 • 0,042 • 13,7 = 180,68 V eit.
A us dem D ia g ra m m F ig. 34 e rg ib t sich als re su ltie re n d e r in d u k tiv e r S p a n n u n g s a b fa ll im L e ite r I 96,5 V olt.
N ach A u sfü h ru n g e n v o n H erzog u n d F e ld m a n n 1) lä ß t sich die gegenseitige In d u k tio n in ih re r W irk u n g a u fh eb en , w en n ein L e i
tu n g s s tra n g u n te rw e g s eine v o llstä n d ig e V e rd rillu n g u n d d er a n d ere au f d erse lb e n S tre c k e eine d reim alig e v o llstä n d ig e V e rd rillu n g e rfä h rt.
E s m ag n o ch a n dieser S telle e rw ä h n t w e rd en , d a ß eine U n te r te ilu n g s ta r k e r Q u e rs c h n itte in zwei p a ra lle le L e itu n g ssträ n g e die In d u k tio n s s p a n n u n g h e ra b s e tz t, a b e r eine ungleiche I n d u k tio n der einzelnen P h a se n infolge d er d a n n ein se tz e n d e n gegenseitigen I n d u k tio n im G efolge h a t.