K apazität verschiedener Kondensatoren und Beanspruchung des Isoliermaterials

P latten k on d en sator.

D ie K a p a z itä t eines P la tte n k o n d e n s a to r s h a t t e n w ir b e r e its e r­

m itte lt. Sie b e tr u g n a c h Gl. 26)

C = ? 4 ^ 9 T I Ö n F a r a d ...’ 3 4 )

H ie rin w a re n s die P la tte n g r ö ß e (in n e re S e ite e in e r B eleg u n g ) in q c m u n d a d e r s e n k re c h te A b s ta n d zw isch en d e n P l a t t e n in cm .

A u s Gl. 10) w issen w ir, d a ß Q = C V is t. W ir e r h a lte n also a ls

L a d u n g e in er P l a tte y . s

Q = e 7---4 n a

D e r g e sa m te v o n d e r L a d u n g Q a u sg e h e n d e K r a ftlin ie n flu ß i s t

e n ts p re c h e n d Gl. 3) y . s

N = i j i Q = Q —^ - ... 35) 1 '■ r A a c h Gl. 30) is t d e r d ie le k trisc h e W id e r s ta n d w — I n

' 6 q

u n se re m F a lle is t die L ä n g e 1 des W id e rs ta n d e s gleich d e m A b s ta n d e a d e r b e id e n P l a t t e n v o n e in a n d e r. D er Q u e r s c h n itt q des W id e r s ta n d e s is t gleich d e r P la tte n g r ö ß e s. W ir k ö n n e n d e n d ie le k tris c h e n W id e r­

s ta n d des K o n d e n s a to ra u fb a u e s also a u s d rü c k e n w — ---1 a

o s

D er W id e r s ta n d e in e r u n e n d lic h d ü n n e n S c h ic h t w ä re d e m n a c h

, 1 d a

d w — ---e s D a n a c h Gl. 29)

vir so k ö n n e n war a u c h se tz e n

V = N ’ W,

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 19 S e tz e n w ir fü r JV d en W e rt au s Gl. 35) ein, so w ird

, 17 V • s d a d 1 = p

---a s - o o d e r

dj ~ = —d a a ...36)' 44 ir se h en also, d a ß die B e a n s p ru c h u n g des Iso lie rm a te ria ls in d e r g a n z e n Iso lie rsc h ic h t in R ic h tu n g des s e n k re c h te n A b s ta n d e s d e r b e id e n P la tte n v o n e in a n d e r k o n s ta n t is t. E s w a r dies zu e rw a rte n , d a d a s e le k trisc h e F e ld zw ischen d en b e id e n P la tte n hom o g en v e r lä u ft u n d d e r Q u e rs c h n itt des D ie le k trik u m s in allen m it d e n P la tte n p a r ­ allelen S c h n itte n d erselb e is t.

W alzenförm iger K ondensator.

B e tr a c h te n w ir z. B. d e n A u fb a u ein es e in fa c h e n K a b els, so h a b e n w ir ein en w a lz en fö rm ig en K o n d e n s a to r v o r u n s, d e ssen eine B eleg u n g v o n d e r K u p ferseele u n d d essen an d e re B eleg u n g v o n d e m B le im a n te l g e b ild e t w ird . D er Z w isc h e n ra u m w ird d u rc h d a s D ie le k trik u m aus- g efü llt. L ä ß t m a n eine S tro m q u e lle a u f die K upferseele u n d d e n B lei­

m a n te l w irk e n , so la d e t sich d e r K o n d e n s a to r m it e in er E le k tr iz itä ts ­ m enge Q, u n d d e r g e sa m te sich zw ischen d e n B eleg u n g en a u s b re ite n d e K ra ftlin ie n flu ß ist n a c h Gl. 28)

N = 4 zxQ.

zieh u n g

iV = A- •

_w

W ir se tz e n n a c h Gl. 30)

_ AA

~

Q 9

’

D er Q u e rs c h n itt q ä n d e r t sich je n a c h seiner

E n tfe rn u n g x (s. F ig. 2) v o m M itte lp u n k t des K o n d e n sa to rs. B e tra c h ­ te n w ir eine u n e n d lic h d ü n n e S c h ic h t des Is o la tio n v o n d e r S tä rk e d x , so is t

, ■ 1 d x 0

d w = — j ...3 /) Q ¿71X1

w e n n l die L ä n g e des K o n d e n sa to rs b e d e u te t. D er G e sa m t­

w id e rs ta n d fin d e t sich d u rc h I n te g ra tio n in d en G ren zen x — r b is x = R.

M ith in ^ a. w =

e 2

^{L 7 1 1 ) i' d xX}

1 . R

w — —k— j ln

q A n l r D a V = N • w, so e r h a lte n w ir

F = 43" ? i A r l n T '

V = 24ln* .

q i r

N a c h Gl. 10) is t Q — C V . W ir e r h a lte n also f ü r die K a p a z itä t

3 8 )

2 ln —

r in e le k tro s ta tis c h e n E in h e ite n o d er

C = e R 9 • 1011 F a r a d ... 39) 2 ln —

r

H ie rin is t l = L ä n g e des K o n d e n s a to rs in cm , R u n d r die R a d ie n d e r B e le g u n g e n in cm .

W ir h a t t e n

V — N • w.

B ild e n w ir

d V = N d w , so w ird u n te r Z u h ilfe n a h m e v o n Gl. 37)

. „

1 d x d V = 4 7iQ — ~^--- ,

x q 2 71X1 m ith in

d V 2 Q

J . K a p a z itä t verschiedener K o n d en sato ren etc. 21

4

D ieser A u sd ru c k w ird ein M a x im u m fü r x = r , d a x n ic h t k lein e r w e rd e n k a n n als r. D ie B e a n s p ru c h u n g is t also in u n m itte lb a re r N ähe des in n e re n L e ite rs a m g rö ß te n u n d b e tr ä g t

... 41)

d x D ’

für 3C = r 1

K ondensator, b estehend au s Zylinder und mit d iesem paralleler E bene.

Bei d e r B e h a n d lu n g des P ro b le m s b e n u tz e n w ir die G esetze ü b e r h a rm o n isc h e T eilu n g en .

1. G e s e t z : Z ie h t m a n v o n ein em P u n k te a u ß e rh a lb eines K reises zwei T a n g e n te n u n d eine S ch n e id e n d e a n ein en K reis, u n d w e rd e n die B e rü h ru n g s p u n k te m ite in a n d e r v e rb u n d e n , so is t die S ch n eid en d e h a rm o n isc h g e te ilt.

2. G e s e t z : Die E n tfe rn u n g e n aller P u n k te des K reises v o n d en b e id e n P o len A u n d B (s. F ig. 3) h a b e n ein k o n s ta n te s V e rh ä ltn is. In

d e r F ig. 3 sei r d e r R a d iu s des Z y lin d ers. N ach d em zw eiten G esetz

v e r h ä lt sich ^ p

~ P B = B G '

Die gleiche P ro p o rtio n k a n n m a n fü r je d e n a n d e re n P u n k t des K reises a u f stellen , z. B . fü r U, also

A G a

~BG ~b '

Die v o n d en P u n k te n A u n d B a u f d e n P u n k t U w irk e n d e n K rä fte fallen in die R ic h tu n g e n a u n d b, bzw . au c h in die R ic h tu n g e n U H u n d O H , w e n n O H p a ra lle l zu b gezogen w ird.

D a D reieck O H U ä h n lic h D reieck A U B is t u n d sich d e m n a c h

v e rh a lte n a q h

~b= U~ H

’

so m u ß a u c h die R e su ltie re n d e d e r K rä fte , w elche v o n A u n d B a u s ­ g eh en , n ä m lic h A B , p ro p o rtio n a l d e r R e s u ltie re n d e n a u s d e n K r ä f ­ te n O H u n d U H , n ä m lic h O U sein. D a O U ein R a d iu s des Z y lin d e r­

m a n te ls is t, so m u ß a u c h die R e s u ltie re n d e a u s d e n K r ä f te n a u n d b s te ts in s e n k re c h te r R ic h tu n g z u m Z y lin d e rm a n te l w irk e n .

D e n k t m a n sich d u rc h die P ole A u n d B p a ra lle l m it d e r Z y lin d e r­

ac h se L in ie n g e leg t, so b ild e t die Z y lin d e ro b e rflä c h e a u s d e n se lb e n G rü n d e n eine N iv e a u flä c h e zu a llen v o n d en L in ie n la d u n g e n A u n d B a u sg e h e n d e n K rä fte n .

E in e in d e r M itte d e r S tre c k e A B s e n k re c h t z u r V e rb in d u n g slin ie e r r ic h te te E b e n e is t n a tü r lic h au s S y m m e tr ie g rü n d e n e b en falls eine N iv e a u flä c h e zu allen v o n d e n L in ie n la d u n g e n A u n d B a u sg e h e n d e n K rä fte n .

E s is t also o h n e w e ite re s s t a t t h a f t , d a s zw isch en d e r Z y lin d e r­

o b e rflä c h e u n d d e r E b e n e v e rla u fe n d e e le k trisc h e F e ld a u s d e n fik tiv e n

L in ie n la d u n g e n A u n d B zu b e re c h n e n . D ie d u rc h A u n d B g ele g te n L in ie n n e n n t m a n e le k trisc h e A chsen.

F ü h r t m a n die R e z e ic h n u n g e n r fü r d e n Z y lin d e rra d iu s , z fü r d e n k ü rz e s te n A b s ta n d d e r e le k tris c h e n A chse des Z y lin d e rs v o n se in e r O b e rflä c h e u n d h fü r d e n A b s ta n d d e r Z y lin d e rm itte v o n d e r E b e n e ein, so k a n n m a n alle a n d e re n E n tf e rn u n g e n g e m ä ß d e n E in tr a g u n g e n in F ig. 4 d u rc h diese d rei G rö ß en a u sd rü c k e n .

N ach d em e rs te n h a rm o n is c h e n G esetz is t V

F ig . 4.

J B - G A = B G • J A o d e r

( 2 r — z) ( 2h -j-z — 2 r) — z (r - j - 2 h ~\~z — r).

H ie ra u s fo lg t

42)

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 23

d a h e r V b — F a = 2 ff ln y -)- c o n st.

D a fü r die E b e n e die A b s tä n d e v o n d e n e le k tris c h e n A c h se n e in ­ a n d e r gleich sin d , so is t d a s P o te n tia l d e r E b e n e gleich N u ll, w o ra u s sich e rg ib t c o n st = 0 .

D ie P o te n tia ld iffe re n z zw ischen Z y lin d e r u n d E b e n e is t d a h e r V = 1 Z y l i n d e r— 1 E b e n e = 2 (7 ln — 0 = 2 O ln — • . • 4-i) N u n v e r h ä lt sich a b e r a A G

b ~ B G ' N a c h F ig . 4 is t:

A G = 2 h + z — 2 r

o d e r A G = 2 h — 2 r - f r — h + ~)/h2— r-, A G = y h 2 — r2 + h — r

u n d B G = z = i h 2 — r 2 — h + r,

d a h e r V = 2 a ln + h ~ ? 45)

f h 2 — r 2 — h + r

H a t d e r Z y lin d e r die L ä n g e l u n d is t seine L a d u n g Q, so is t ol = Q

u n d d a h e r a<? + , _ r

1 j h 2 — r2 — h - \ - r

D a die K a p a z itä t n a c h Gl. 25) C = g y , so e r h ä lt m a n

c = e t = ^ = ...47) 21n P k ^ k t —

j h 2 — r 2 — h + r in e le k tro s ta tis c h e n E in h e ite n , o d e r ,

l 1

C — g —--- n * nii F a r a d ... 48) o , i h 2 — r2 + h — r 9 - 1 0 11

2* Jn . ~—

---\ h 2 — r2 — h - ---\ - r

H ie rin sin d h, l u n d r in cm a u s g e d rü c k t. I s t die E n tf e r n u n g zw i­

sc h e n E b e n e u n d Z y lin d e r g ro ß , so k a n n m a n , o h n e e in en n e n n e n s ­ w e rte n F e h le r zu m a c h e n , a n n e h m e n , d a ß die e le k trisc h e A ch se d es Z y lin d e rs m it se in e r g e o m e trisc h e n z u sa m m e n fä llt. E s w ird d a n n (F ig. 4 ) z — r u n d d a h e r A G — 2 h — r o d er, d a r se h r k le in gegen h is t, A G = 2 h u n d G B = r. H ie rm it e r h ä lt m a n d e n se h r e in fa c h e n

A u s d ru c k / 1

6 = Q 0 . 2 h 9 • 1011 4 9 >

2 ln r

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 25 U m die B e a n s p ru c h u n g des Iso lie rm a te ria ls in ein em beliebigen P u n k te X in R ic h tu n g d e r P ro je k tio n d e r Z y lin d e rm itte a u f die E b e n e , also in R ic h tu n g d e r /¿-Achse (F ig. 4) zu fin d en , ste lle n w ir z u n ä c h s t n a c h Gl. 43) A u sd rü c k e fü r die K r ä fte au f, w elche v o n B u n d A au f d e n P u n k t X w irk e n . D er P u n k t X h a t v o n d e r 5 -A c h se d e n A b ­ s ta n d x u n d v o n d e r A -A chse d e n A b s ta n d 2 (h - f z — r ) — x. D ie

K r ä f te sin d also 2 o 2 o

— u n d - ^ - , ---x 2 (ft -4- z — r) — x

A d d ie rt m a n diese K rä fte , so e r h ä lt m a n die G e s a m tk ra ft

p 2

o

2 a

x 2 { h - \ - z — r) — x

D iese K r a f t is t a b e r a n d e rs e its n a c h Gl. 6 ) gleich d em n e g a tiv e n D iffe re n tia lq u o tie n te n des P o te n tia ls , also

p d V

d x

D a es u n s n u r a u f d e n a b s o lu te n W e rt des P o te n tia lg e fä lle s a n ­

k o m m t, so is t ^ y / i [

2 o h r +

d x \a ; 2 ( h - \ - z — r) — x W ir h a tte n al — Q, u n d d a n a c h Gl. 25)

1 V ■ 1

Q = - V C

Q |/h* — r* + h — r ’

n f h 2 _ ^ _ h + r so k ö n n e n w ir sch re ib en

1 / i + ____________1_____

d x — r 2 + h — r \ x 2 ( h + z r ) -ih* — r 2 — h + r

d V = y 1

d x , i h 2 — r 2 h — r ln - ---i h 2 — r 2 — h + r

1 , 1

2 (h -j- r — h + f h? — r 2 — r) — x

d V _ 1 / 1 , 1

d x ]n ^ 2 — r2 h — T’ l 21 2 ^ k 2 — r2— ay i h 2 — r2 — h + r

1 6 0 )

d x ! ]/h2 — r 2 -)- h — r x (2 \ h l — r2 — x) 11 f h 2 — r 2 — Ä + 7

U n te rs u c h t m a n die B e a n s p ru c h u n g des Is o lie rm a te ria ls in ein em P u n k te , w elc h er u n m itte lb a r a n d e r Z y lin d e ro b e rflä c h e g elegen is t, so is t in v o rs te h e n d e r G leich u n g x — z (F ig. 4) zu setze n . E s w ird d a n n

<1 V _ y l

d x — r 2- \ - h — r

f ü r x = z i-— ” ;

ih* — r 2 — h - \ - r

2 ijh2 — r 2

(r — h + i h 2 — r 2) (2 ) l r - r 2 — r + h — i h 2 — r 2) ’

d V y 1 2 i h 2 —

d x f h 2 — r2 + h — r h2 — r2 — r2 — h 2 + 2 r h ’ ln

~\/h2 — r'1 — h + r

d V ________ 1__________]'h2 — r2

~dx ~ . fr- r2 4 - h — r r ( h — r ? ln , ---=

—1---]/h2 — r2 — h -f- r

- V- = V - - --- 1/ ", 1 ' ... 51) d x t//j2 — r 2 _|_ h — r »

h-fürx= z r ■ ln l f = - - —--- — }/A2 — r2 — h + r

Die B e a n s p ru c h u n g u n m itte lb a r a n d e r E b e n e fin d e t m a n , w en n m a n in Gl. 50) x — h - \ - z — r s e tz t. M an e r h ä lt d a n n

d V _ y 1

d x V A2 — r2 A - h — r für x = h -j- 2 — r ln---— ---y h2 — r2 —• h + r

2 y h2 ~ 7 2

(h + z — r) (2 ~fh2 — r2 — h — z + r) ’

d V , 1 2

d x j —. r 2 -\- h — r ij h2 — r 2 • y h2 — r'2 h2 — r2 — h + r

^ = V --- . . 1 --- 2 - ... 52) d x j h 2 — r2 + h — r i h 2 — r2

für x = h + 2 — r ln — ---y h 2 — r2 — h + r

Die m a x im a le B e a n s p ru c h u n g e rg ib t sich n a c h Gl. 50) fü r d e n k le in s te n W e r t v o n x, also fü r x = z. E s w ird also die d e m Z y lin d e r am n ä c h s te n lieg en d e S c h ic h t des Is o lie rm a te ria ls a m h ö c h s te n b e ­ a n s p ru c h t.

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 27 K ondensator, b estehend au s zw ei parallelen Zylindern.

D ieser F a ll lä ß t sich a u f d e n v o rh e rg e h e n d e n z u rü c k fü h re n , w en n m a n sich eine E b e n e in d e r M itte des A b s ta n d e s d e r e le k trisc h e n A ch sen s e n k re c h t z u r V e rb in d u n g slin ie d e r e le k trisc h e n A ch sen e r r ic h te t d e n k t.

In F ig . 6 is t diese A n o rd n u n g d a rg e s te llt. In b e z u g a u f d e n lin k e n Z y lin d e r is t die S ch n e id e n d e F D bzw . d e re n V e rlä n g e ru n g d u rc h die P u n k te A u n d B h a rm o n isc h g e te ilt; ebenso is t in b ezu g a u f d e n re c h te n

F ig . 6.

Z y lin d e r die S c h n e id e n d e G J bzw . d e re n V e rlä n g e ru n g d u rc h d ie selb en P u n k te A u n d B h a rm o n isc h g e te ilt. D ie P u n k te A u n d B g eb e n also die L ag e d e r e le k trisc h e n A ch sen d e r Z y lin d e r an.

E s b e s te h e n in fo lg ed essen die G leich u n g en F A - D B = A D - F B

u n d J B - G A = B G - J A

o d e r a n d e rs a u s g e d rü c k t

(2 r — z2) {u — z 2) = z2 (u + 2 r — z2) . . . (2 B — z ±) (u — zx) = zx (u + 2 R — z j . . . A u s d e r e rs te n G leich u n g folgt

2 r u — 2 r z 2 — z 2u - \ - z 22 = z 2u - f - 2 r z 2 — za2, 2 z22 — 4 z2r — 2 z 2u = — 2 r u ,

z22 — 2 z2 r — z 2u — — r u , z22 •— z2 (2 r —(- u) —)— r u — 0 , 2 z2 — u 2 r _+ f u * + 4 r L.

E b e n so e r h ä lt m a n au s d e r zw eiten G leichung 2 z x — u - \ - 2 R _+ y tt2 —(— 4 R 2.

u n d

53) 54)

A d d ie rt m a n die b e id e n le tz te n G leich u n g en , so is t

2 (Zl + z2) = 2 u + 2 r + 2 R ± j/ u 2 + 4 r 2 ± y u 2 + 4 f t 2 . 55 ) N a c h F ig. 6 k a n n m a n die G leich u n g a u f ste lle n

u — z 1 — z2 — d — r — R

o d e r 2 (24 + z2) = — 2 d - \ - 2 r - \ - 2 R - \ - 2 u . . . • o6 ) M an e r h ä lt also a u s Gl. 55) u n d 56)

— 2 d = ± y u2 + 4 r 2 ± i u2 + 4 -R2 o d e r

4 d 2 = u2 + 4 r 2 + u 2 + 4 f t 2 + 2 ] / (w2 + 4 r 2) (w2 + 4 /? 2), (4 d 2 — 2 ii2 — 4 r 2 — 4 .ft2)2 = 4 (w2 + 4 r 2) (n 2 + 4 i?2).

4

¿4

+

U4

+ 4

+

4 f t4 — 4 d 2

u2 — 8

d 2

r2

—

8

d 2 f t 2 + 4

«2 r2

+ 4 u 2 f t 2 + 8 r 2 f t 2 = u 4 + 4 u 2 t f 2 + 4 u 2 r 2 + 16 r2 f t 2 57) S e tz t m a n

(r 2 _|_ i ?2 _ ¿ 2)2 _ 4 r 2 R 7. _ m ... 5 8 ) d a n n is t

m = d4 + r 4 -|- i?4 — 2d 2r 2 — 2 d 2R 2 — 2 R 2r 2.

G le ic h u n g 57) g e h t d a n n ü b e r in 4 m — 4 d 2 u 2,

+ ) m i)

d 59)

W ir b ra u c h e n n u r d a s p o sitiv e V o rz eich en zu b e a c h te n , d a es n u r au f d e n a b s o lu te n W e r t a n k o m m t.

E s w a r:

V

]/~ro -f- 2 f t d _+ y m -j- 4 d 2 .ft2

2 d ’

_ ~fm 2 R d ± (r2 — R 2 — d 2)

Z i— 2 d . . . . W

Ä = f + 2 ■

^■

_ y ? n + 2 r d ^ y m + 4 d 2 r 2 z2 =

2 d

/ r o -f- 2 r d + ( R 2 — r 2 — d 2)

z2 - j d ' • • • • 61)

*) D en gleichen A u sd ru ck g ib t D r.-In g . W . P e t e r s e n in seinem W e rk :

»H o chspannungstechnik« 1911, S. 27, an.

r 2 — # 2 _ d 2 + 2 R d + / m

*1 = P --- 2 T — • ' ‘ • 6 2 ) f t 2 — r2 — d2 + 2 r d + f m

D ie K a p a z itä t d e r in F ig. 6 d a rg e s te llte n A n o rd n u n g b e s te h t in e in e r S e rie n s c h a ltu n g zw eier T e ilk a p a z itä te n ,, v o n w elchen je d e aus e in e m Z y lin d e r u n d ein e r E b e n e b e s te h t. Die T e ilk a p a z itä te n sin d

n a c h Gl. 47) 7

C , = Q ~

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 29

*2 — --- — . . . . 63)

1I h f - R ' + ^ - R ' i h j 2 — R 2 — h x + R

_________________l ________________

2

l n ]/ *** ~ r2 + h 2 — r 1l h . 2 — r 2 — h 2 + r

H ierin is t l die L ä n g e jed e s d e r Z y lin d e r. D ie G e s a m tk a p a z itä t C e rg ib t sich au s d e r B e z ieh u n g

1 _ J _ i _ L

c2

E s is t also

1 2 l j h 12 — R 2 + h l — R f h 22 — r2 + h2 — r \

~ C ~ J J \ i V — R 2 — ' y A22 — r2 — h2 + r j ' } In diesem A u s d ru c k is t h x u n d h 2 a u s z u d rü c k e n d u rc h d, r u n d R.

Z u diesem Z w eck sin d folgende Ililfsre c h n u n g e n zu m a c h e n . N a c h F ig. 6 ist

h x -\~h2 — d o d er A1 = d — h 2 o d e r h 2 — d — h x u n d

h2 + z 2 — r = hx + % — R.

H ie ra u s fo lg t

u n d

h2 - \ - z 2 -— r — d — h 2 -j-Zx — ft,

2

h

2

— d -{-Zx

— z2 + r —

R d — hx + z2 — r = hx + Zx — ft, 2hx = d + z2 — Zx — r -j- ft.

S e tz t m a n fü r zxu n d z2 die W e rte au s d e n G leich u n g en 62) u n d 63) ein , so e rg ib t sich :

2

h x =

2 d 2 + y m + 2 r d + i ?2 — r* — d 2 — 2 r d + 2 Ä d

— }/~m — 2 R d — r2 -\- R 2 d2 2 d

« ,

y m + 2 r d + R 2 — r2 — d2 2 ~d~

2 d 2 + f m + 2 R d + r2 — R 2 — d 2 + 2 r d — 2 R d 0 — |/ m ■— 2 r d — R 2 -\- r2 + d2

■^h2 = ’

d2 + r 2 __ £2

¿2 = 2~rf 66)

Z u r b esseren Ü b e rs ic h t w ollen w ir n o c h einige F a k to r e n d e r Gl. 64 ) fü r sich a lle in a u s w e r te n :

fe rn e r

fe rn e r

fe rn e r

h x — R —

4 d2 2 d

d2 — r 2 + R 2 — 2 R d (d — R ) 2 — r

2 d~~ ~ 2 d

Vfc 2 >.2 / (d2 + r 2 — i ?2)2 — 4 d2 r 2 __ y m

1 h2 [ 4 d 2 2 d

d2 + r 2 — R 2 — 2 r d (d — r)2 — R 2 ho — r — L

2 d 2 d

S e tz e n w ir diese H ilfsw erte in Gl. 64) ein, so e r h a lte n w ir 1 2 y m -f- (d — R ) 2 — r 2 'j m + (d — r)2 — R 2

y = e T ln i m — (d — R )2 + r 2 ' i m - ( d — r )2 + R 2 ’ 6 / ) W e rte n w ir z u n ä c h s t d e n Z ä h le r des B ru c h e s fü r sich a lle in a u s, so e r h a lte n w ir

m -f- /T n (d — r)2 — f m R 2 -f- y m (d — R ) 2 + (d — r )2 (d — R ) 2

— R 2 (d — R ) 2 — r 2 y m — r2 (d — r)2 + r 2 R 2 o d e r

2 ~]l m d2 — 2 d ^ m ( R -\- r) 2 d* ■— 2 d3 ( R r) — 2 r R d ( R -\- r) + 2 d ( R 3 + r 3) — 2 d 2 ( R — r )2

o d e r

2 f m d (d — R — r) + 2 d3 (d — R — r)

+ 2 d [ R 3 + r3 — d ( R 2 — 2 r R + r2) - r R ( R + r)]

o d er

2 d (d — R — r) (j m + d 2)

+ 2 d [ ( R + r ) ( R 2 — r R + r 2 — r R )

— d ( R — r )2]

o d e r

2 d ( d — R — r) ( f ^ + d 2)

-f- 2 d [(Ä — r)- ( R -(- r — d)\

o d er

2 d (d — R — r) (] in + d 2) — 2 d ( R — r)2 (d — R — r) oder

2 d (d — R — /■)[]/m + d 2 — ( R — r)2].

E b en so k ö n n e n w ir d e n N e n n e r fü r sich b e h a n d e ln : [ f m — (d — R ) 2 + r-]

[/in

— (d — r )2 + i?2],

J . Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 31

oder

oder

oder

oder

o d e r oder o d er

m — | m (d — r ) 2 -f- R 1 1 m — ] m (d — R ) 2

+ (d — R ) 2 (d — r)2 — (d — Ä )2 i ? 2 + r 2 J rri — r 2 (d — r )2 -f- r 2 R 2,

— 2 d 2 ) m + 2 d / ^ ( Ä + r) + 2 d 4 — 2 d 3 ( R + r)

— 2 d? r d (Ä + r) + 2 d { R 3 + r3)

— 2 d 2 ( R — r)2

— 2 d i ~ m {d — R — r) + 2 d3 ( d — R — r)

— 2 d [r d?2 + r 2 d? — R 3 — r3 + d {R — r ) 2]

— 2 d ( d — R — r) ( f m — d 2) — 2 d [— ( R + r) (r2 — r R + R 2 — r R) + d ( R — r ) 2]

— 2 d ( d — R — r) (}' m — d2) — 2 d [(R — r)2 (d — R — r)]

— 2 d (d — R — r) [ ) m — d2 + ( R — r ) 2]

2 d ( d — R — r) [d2 — ( R — r)2 — f m \ .

S e tz e n w ir die fü r Z ä h le r u n d N e n n e r e rm itte lte n W e rte in Gl. 67) ein, so e rh a lte n w ir ^ ^ ^ y— + d , _ { R _ r)2

C Ql d 2 — ( R — r)2 — / m

o d e r C — q — — --- —--— = - . . . . 6 8 )

2 ]n

d

— (

R

—

>')" ■ ] »<

d2 — (i? — r )2 — )' m in e le k tro s ta tis c h e n E in h e ite n , o d er

C = o 1 = ^ n ! n r r F a r a d ■ • ^ 9 )

2 in di — ( R — r f + j m 9 • 1011 n d 2 — (R — r)2 — y m

H ie rin s in d : Z = L ä n g e je d e s Z y lin d e rs in cm , d — A b s ta n d d e r Z y lin d e ra c h s e n in cm , R — R a d iu s des s tä r k e r e n Z y lin d e rs in cm ,

r = R a d iu s des s c h w ä c h e re n Z y lin d e rs in cm , f m = i (r- + R 2 — d y — 4 r 2 R 2.

H a b e n die Z y lin d e r gleiche D u rc h m e sse r, so w ird R = r u n d n a c h F ig . 6 Zix = h 2 = - j '

S e tz t m a n diese W e rte in Gl. 64) ein, so e rh ä lt m a n 1 _ 2 l n [ i d 2 — 4 r 2 + d — 2 / 2 C qI \ i d 2 — 4 r 2 — d + 2 r 1 4 1 f d 2 — 4 r 2 d — 2 r

"C 7 7 n }/d2 — 4 r 2— d + 2 r ’

G = o * ... 70)

y ]/d2 — 4 r 2 + d — 2r_

]/d'2

—-

⁴

r2 —

d+ 2 r in e le k tro s ta tis c h e n E in h e ite n , o d er

Z 1

C — q , „ - F a r a d . . 71)

4 ln 4 r 2 + rf — 2 r 9 ' 10

* n }/d2 — 4T 2 — d + 2 r

I s t d gegen r se h r g ro ß , so v e re in fa c h t sich sc h lie ß lich v o rs te h e n d e

G le ich u n g in / -i

c = e , , i G . i o ^ F a r a d ... 72) 4 ln —

r

U m die B e a n s p ru c h u n g des Is o lie rm a te ria ls in e in e m b e lie b ig e n P u n k te X des s e n k re c h te n A b s ta n d e s zw isch en d e n b e id e n Z y lin d e rn zu fin d e n , ste lle n w ir z u n ä c h s t die A u sd rü c k e fü r die K r ä f te au f, w elche v o n d e n in die e le k tris c h e n A ch sen d e r Z y lin d e r v e r le g te n L a d u n g e n a u f eine E in h e its la d u n g im P u n k te X (F ig. 6 ) a u s g e ü b t w e rd en . D er A b s ta n d des P u n k te s X v o n d e r A chse A sei x, d a n n

is t d e r A b s ta n d des P u n k te s X v o n d e r A chse B gleich u — x. N a c h

R e c h n e n w ir d e n N e n n e r des B ru c h e s a u c h fü r sich u m , so e r ­

h a lte n w ir z2 ( i ~ m — d z 2) =

/ ? 2 _ r 2 _ d2 + 2 r d + |/m / ^ R 2 — r 2 — d2 + 2 r d + f m

~ 2 d V m 2

}frn ( R 2 — r2 — d2 -f- 2 r d) f m — (R 2 — r 2 — d 2 + 2 r d)

= 2 d “ 2

m — ( R 2 — r2 — d 2 + 2 r d)2

= 4 d

di J r r i J r R i — 2 d 2 r2 — 2 d 2 R 2 — 2 r 2 R 2

~ 4 d

R i -f- r4 + d4 -(- 4 r 2 d2 — ‘I R 2 r2 — 2 i ?2 d2 -f- 4 i ?2 r d -)- 2 r 2 d2

— 4 r3 d — 4 r d3 4 d

— 8 r 2 d2 — 4 / ? 2 r d - ( - 4 r d 3 - ) - 4 r 3 d 4 d

i d r ( d 2 — 2 r d — R 2 + r2)

~ 4 d

= r (d2 — 2 r d — R 2 -|- r2).

D er B ru c h e r h ä lt d a n n die F o rm

| r mT / (r2 -)- d2 — /?2 -f- 2 r d) (r2 -)- d 2 — R 2 — 2 r d) z2 ( f r n — d z 2) J/ r 2 (d2 — 2 r d — R 2 r2)2

u n d d a h e r d V _ j r 2 — R 2 4 - d2 + 2 r d 2 a

l ü ~ I r2 — R 2 + d2 — 2 r d ' ~ 7 ~ ’ ‘ ‘ ' ’

X = Z 2

U m die B e a n s p ru c h u n g u n m itte lb a r a n d e r O b e rflä c h e des g rö ß e re n Z y lin d e rs zu fin d en , se tz e n w ir in d e r a llg em ein en Gl. 74)

x — u — z v N a ch Gl. 62) w a r

_ r 2 — R 2 — d2 + 2 R d + f m

Z l ~ 2 d

W ir e rh a lte n d a n n

d V i m

; — I O

d x z1 ( f m — d zx)

X = U — Z \

W ir b e h a n d e ln z u n ä c h s t w ied er d e n Z ä h le r des B ru c h e s fü r sich allein u n d sch re ib e n

f V i = y # + r 4 + J24 — 2 d 2r2 — 2 d2 R 2 — 2 R 2 r 2

= j (d 2 + R 2 — r2)2 — 4 d R 2

=

y

(d2 + R 2 — r2 + 2 d R) (d2 + R 2 — r 2 — 2 d R) .

F ü r d e n N e n n e r des B ru c h e s k ö n n en w ir sch reib en z1 ( f m — d z 1) =

7-2 6‘2 — d 2 -}- 2 /? d -)- I /— r2 — R 2 — d2 + 2 R d -)- /w i \

2 d 2---“ --- 1

m — (r2 — R* — d2 + 2 R d)2

~ 4 d

d4 -j- r 1 -f- /f 4 — 2 d2 r2 — 2 d 2 R 2 — 2 r 2 R 2

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 35

4 d

r 4 + Z?4 + d4 + 4 i ?2 d 2 — 2 r 2 R 2 — 2 r 2 d2 + 4 r 2 d + 2 / i 2 d2

— 4 i ?3 d — 4 R d3 4 d

_ — 8 # 2 d 2 — 4 r 2 Ä d + 4 Z?3 d + 4 R d3 4 d

4 d (d2 + R 2 — r2 — 2 R d )

= 4 d

= (d2 + /?2 — r 2 — 2 Ä d).

D er B ru c h e rh ä lt d a n n die F o rm

j m = / (d2 + /?2 — r 2 + 2 i? d) (d2 + R 2 — r 2 — 2 R d ) z1 ( i m — d z 1) I i ?2 (d2 + R 2 — r 2 — 2 R d)2

u n d d a h e r

d V = ¡ W - r 2 + d2 + 2 R d 2!o

d a : I' i ?2 — r 2 + d 2 — 2 i ? d ‘ ü ...

X = U — Z i

N ach D e fin itio n is t oZ = (?, w en n Z die L ä n g e d e r Z y lin d e r u n d Q die L a d u n g eines je d e n ist. D a fe rn e r Q = — F C , so h a b e n w ir u n te r B e n u tz u n g d er Gl. 6 8 ) fü r die g efu n d e n e n G leich u n g en 74), 75) u n d 76):

A llgem eine G leich u n g fü r die B e a n sp ru c h u n g des Iso lie rm a te ria ls a n einem b elieb ig en P u n k te X in d e r E n tfe rn u n g x v o n d er e le k tri­

sc h e n A chse A des k le in e re n Z y lin d ers (Fig. 6 )

= 1 . . . 77)

d x d2 — ( R — r )2 -|- ~(m x ( f m — d x) d2 — ( R — r)2 —

B e a n sp ru c h u n g u n m itte lb a r a n d er O b erfläch e des k le in e re n Z y lin ­ ders, zugleich als M a x im u m d e r B e a n sp ru c h u n g

d V V f r 2 — R 2 -f- d 2 + 2 r d

B e a n s p ru c h u n g u n m itte lb a r a n d e r O b e rflä c h e des g rö ß e re n Z y ­

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 37 E r s e tz t m a n in diesen G leich u n g en h d u rc h die sich au s Fig. 7 e rg e b e n d e n B ezieh u n g en , so e rh ä lt m a n

h = -$- + R - ° ii

^ + r — z2.

(2 r z 2) (u — z2) = z2 (u -j- 2 r — z2) (2 7? — zx) (u — zx) = zx (u + 2 7? — Zj)

83) 84)

D iese b e id e n G le ich u n g en stim m e n m it d en G leich u n g en 53) u n d 54) g e n a u ü b e re in . W ir e rh a lte n also au ch

2 z 1 = n + 27? + i / n 2 + 4 7?2 ... 85) 2 z 2 = n + 2 r + ]/ u 2 + 4 r 2 ...8 6 ) S u b tr a h ie r t m a n die le tz te v o n d er v o rle tz te n G leichung, so w ird

2 (Zl — z 2) = 2 7? — 2 r + }/ n 2 + 4 7?2 + ) / n 2 + 4 r 2

0 27),

N a c h d e r F ig. 7 k a n n m a n fe rn er die G leichung a u fstellen G D = G J — J Ox — Ox0 2

zx — z2 — 2 R — 7? — d — r, 2 (Zj — z2) = 2 7? — 2 r — 2 d

87)

88)

A u s d e n G le ich u n g e n 87) u n d 8 8 ) e rh ä lt m a n

— 2 d = ± f u 2 + 4 ß 2 =F V m2 + 4 r 2

4 rf2 = w2 + 4 ß 2 + « 2 - f 4 r 2 — 2 y (w2 + 4 ß 2) (u2 + 4 r 2) (4 d2 — 2 n 2 — 4 r 2 — 4 ß 2)2 = 4 («2 + 4 ß 2) (u2 + 4 r 2).

S e tz t m a n

(r2 -4- ß 2 — d2)2 — 4 r 2 ß 2 = m ... 89) so w ird

u = t ™ - ... 90) a

E s k a n n h ie r n u r d a s p o s itiv e V o rz eich en in B e tr a c h t k o m m e n , d a es sich n u r u m d e n a b s o lu te n W e r t v o n u h a n d e lt.

E s w a r

2 z1 = ^ + 2 ß ± ] J + 4 ß l + 2 . R d ± y m -j- 4 d2 ß 2

% — 2 d

f m + 2 ß d — r 2 + ß 2 + d 2

Zl — 2 d ... 91)

2 % = ß L + 2 r ± ) / £ + 4 , l[rn -f- 2 r d +. } m -j- 4 d 2 r 2

/n T - f - 2 r d -j- r 2 — ß 2 -f- d 2

2 d 92)

D ie K a p a z itä t d e r in F ig . 7 d a rg e s te llte n A n o r d n u n g b e s te h t in e in e r S e rie n s c h a ltu n g zw eier T e ilk a p a z itä te n , v o n w e lc h e n jed e au s ein em Z y lin d e r u n d e in er E b e n e b e s te h t. D ie T e ilk a p a z itä te n sin d n a c h Gl. 47)

^

1

C i = Q

-2 ln V V — ß 2 + f t i — ß

y kj2—ß2—äj + ß

C 2 = Q --- . 1 - ---2 ln i h22 — r 2 J r h 2 — r

y

h

2 —

r

2 — ä2 -f r

H ie rin i s t / die L ä n g e je d e s d e r Z y lin d e r. D ie G e s a m tk a p a z itä t C e rg ib t sich au s d e r B e zie h u n g

c cx 1 c2

E s ist also

± = ± \ n ( j h i 2 - R i + h i - R \ h 2* - r 2 + h2 - r \ ( e l \ i h 1* — R* — hl + R i h . 2 — r2 — h, + r l

l n d iesem A u sd ru c k is t h x u n d h2 zu erse tz e n d u rc h d , r u n d R.

Z u diesem Z w eck sind folgende H ilfsre c h n u n g e n zu m ach en . N ach

F ig. 7 is t ,,

d k y - + R - * i ,

u n d d a n a c h Gl. 91)

V » T + 2 ß d — r 2 + ß 2 + d 2

Zl — 2 d

ist. so folgt

u ( y m -f- 2 R d — r 2 -f- ß 2 -(- d 2

h 2 d ’

r2 R2 _ d 2

K = --- 94)

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 39

N a c h F ig. 7 ist

u n d d a n a c h Gl. 92)

u 11 .

«2 — vy i r — ?2 >

— 2 d

so folgt

7 V - , . / w T -)- 2 r d - j - r 2 — ß 2 - j - d 2

2 = T d “ + '' 2 d

ß 2 — r 2 — d 2

Ä2 = --- 2 d 95)

Z u r b e sse re n Ü b e rsic h t w ollen w ir noch einige F a k to r e n d e r Gl. 93) f ü r sich a lle in a u sw e rte n

, n r ö ™ , (r2 — ß 2 — d 2)2 4 ß 2 d 2 f m

I V - ß = ] ---^ ~ ~ 2 d '

fe rn e r

fe rn er

fe rn e r

— F J ( R 2 — r2 — d 2)2 — 4 r 2 d 2 I m

1 - — r~ — \ 4 ¿2 - 2 d ’

n r 2 — ß 2 — d 2 — 2 ß d _ r 2 — ( ß + d )2

1 — 2 d ” 2 d

R 2 — r 2 — d 2 — 2 d r ß 2 — (r + d)²

S e tz e n w ir diese H ilfsw erte in Gl. 93) ein, so w ird

1 2 f m + r2 — ( R + d)2 R 2 — (r + d)2 _ gß) C ~ g l n | ~^— rz + {R + d)2 ' i~m — R 2 + { r + d )2

W e rte n w ir z u n ä c h s t d e n Z ä h le r des B ru c h e s fü r sich allein a u s, so e r h a lte n w ir

R i ri 4 - d x — 2 r 2 d 2 — 2 R 2 d 2 — 2 r 2 R 2 + R 2 / m — r 2 f m

— 2 r d y m — d 2 ^ m r- f m -f- r 2 R 2 — r 4 — 2 r " d — r2 d 2 _ ^ 2 y — _ 2 R d f n — d 2 f m — R i — 2 R 3d — R 2 d 2

+ R 2 r 2 2 R 2 r d - \ - R 2 d 2 2 R r 2 d - \ - i r R d 2

+ 2 / ? d 3 + d2r 2 + 2 r d 3 + d4

o d er

— 2i~>^{d2 + r d + R d ) + 2 d i — 2r°-d2 — 2 R 2 d 2

— 2 r3d — 2 R 3 d + 2 R r d ( R + r) + 4 r R d 2 + 2 d 3 ( R + r) o d e r__________ __

— 2 d i m ( d + R + r) + 2 R r d ( R + r + d) + 2 d z ( d + R + r)

— 2 d ( R + r) ( R 2 - r R - f r 2) — 2 d 1 ( R 1 — r R + r 2) o d e r

— 2 d (i? + r + d) [ f m — d 2 — R r]

— ( R 2 - r R + r 2) 2 d { R f r + d) o d er

— 2 d ( R + r + d) ( f m — d 2 + ( R — r ) 2).

E b e n so k ö n n e n w ir d e n N e n n e r fü r sich b e h a n d e ln ( j m — r 2 -\- ( R + d)2) (]' m — R 2 + (r + d)2).

r4 + ü 4 + d4 — 2 r 2 R 2 — 2 r 2 d 2 — 2 R 2 d 2 — /?2 f ^ T + r 2 y+ T -f- 2 r d y m + d 2 / m — r 2f m - { - r 2 R 2 — r 4 — 2 r 3 d — r2 dr + R 2 f m - \ - 2 R d f m + d 2f m — R i — 2 R 3 d — R 2 d 2 + R 2 r 2 + 2 R 2 r d + R 2 d 2 + 2 R r2 d + 4 r R d 2 + 2 R d 3 + d 2r 2 + 2 r d 3 + d i

o d er

2 f m d (r + R + d) + 2 d i — 2 d 2 ( R 2 + r 2)

— 2 d { r 3 + R 3) + 2 R r d ( R + r - \ - d ) + 2 r R d 2 + 2 d3 ( R + r)

o d e r

2 ]' m d ( r -f- R + d) + 2 d 3 ( R r d) 2 R r d ( R -\- r -\- d)

— 2 d 2 ( R 2 + r 2 — r R ) — 2 d { R + r ) ( R 2 + r 2 — r R )

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 41 o d er

o d e r o d e r

2 d (/• + R + d) (V m + d 2 + R r)

— (R«- + r 2 _ R r ) . 2 d ( R + r + d)

2 d ( r + R + d ) ' ( f ^ + d2 + R r — R* — r * ' + R r )

— 2

d ( r + R + d) ((R — ry - ~ d

2

— f m ) .

S e tz e n w ir die fü r Z ä h le r u n d N e n n e r e rm itte lte n W e rte in Gl. 96) ein, so e rh a lte n w ir

1 2

(R — r)2 — d2+ f ^

— — ln

C o l { R — r) 2— d 2— f r n oder

c = o _________________L _ =

Mn [ R - r ) - - d * + j m ^

( R — r)2 — d2 — y1 m in e le k tro s ta tis c h e n E in h e ite n , o d er

C = g = a l,,ii F a r a d . . . . 97)

o l n r )2 ~ rf2 + l m 9 ' ° ( R — r )2 — d 1 — } m H ie rin s in d :

l = L ä n g e jed es Z y lin d e rs in cm , d = A b s ta n d d e r Z y lin d e ra c h se n in cm , R = R a d iu s des ä u ß e re n Z y lin d ers in cm ,

r — R a d iu s des in n e re n Z y lin d ers in cm , 1 ni = }/ (r2 + R 2 — d 2)2 — 4 r 2 R 2.

U m die B e a n s p ru c h u n g des Iso lie rm a te ria ls in ein em b elieb ig en P u n k te des k ü rz e s te n s e n k re c h te n A b sta n d e s d e r b e id e n Z y lin d e r zu fin d e n , ste lle n w ir z u n ä c h s t die A u sd rü c k e fü r die K rä fte auf, w elche v o n d e n in die e le k trisc h e n A chsen d e r Z y lin d e r v e rle g te n L a d u n g e n a u f eine E in h e its la d u n g in d er E n tf e r n u n g x v o n d e r A chse B (Fig. 7) a u s g e ü b t w e rd e n . N a ch Gl. 43) sin d die a u f die E in h e its la d u n g w ir­

k e n d e n K rä fte , w e n n die spezifische L a d u n g d e r e le k trisc h e n A ch sen m it a b e z e ic h n e t ward, 2 a

Fa ~~ u — x 5 2 o

x

Die G e s a m tk ra ft is t d a h e r gleich d er S u m m e

D iese K r a f t is t a b e r n a c h Gl. 6 ) gleich d e m n e g a tiv e n D ifferen- tia lq u o tie n te n des P o te n tia ls d e r E in h e its la d u n g in d e r E n tf e r n u n g x,

also _ d V

i = d x

D a es u n s n u r a u f d e n a b s o lu te n W e rt des P o te n tia lg e fä lle s a n ­ k o m m t, so k ö n n e n v o r sc h re ib e n

d V 2 J l • 1

d x ~ \ x u — x

i m , ,

S e tz e n v i r n a c h Gl. 90) u so e rh a lte n w ir:

d V 2 a u 2 a ] m

98) d x x ( u — x) x ( i tn — d x )

l n d iesem A u s d ru c k is t n a c h Gl. 89) m == (r2 -)- R 2 — d 2)2 — 4 r 2 R 2.

E s sin d r = R a d iu s des in n e re n , R = R a d iu s des ä u ß e re n Z y ­ lin d e rs u n d d d e r k ü rz e ste A b s ta n d d e r Z y lin d e ra c h se n v o n e in a n d e r in cm .

D ie g rö ß te B e a n s p ru c h u n g lie g t u n m itte lb a r a n d e r O b erfläch e des in n e re n Z y lin d e rs, w eil h ie r die K ra ftlin ie n d ic h te a m g rö ß te n ist.

Z u r B e re c h n u n g dieses M a x im u m s se tz e n w ir

= j m + 2 r d + r 2 — « 2 + d ^ (g_ Q1 9 2 )_

W ir- e rh a lte n also

X — Z2, W O 1— 2 ^

d V f m

— 2 a

d x 22 ( / n! — d z 2)

X = Z a

W ir w ollen z u n ä c h s t d e n Z ä h le r des B ru c h e s u m g e s ta lte n . f m = i d l + r 4 + R i — 2 d 2 r2 — 2 d 2 R 2 — 2 R 2 r2

= i ( r 2 + d 2 — R 2) 2 — 4 r 2 d 2

== y (r2 + d 2 — R 2 + 2 r d) (r2 + d 2 - R 2 — 2 r d).

R e c h n e n w ir d e n N e n n e r des B ru c h e s fü r sich u m , so e r h a lte n w ir

= - g + H + j + w + f i r

d?2 + /’2 + d 2 + 2 r d + | ' m \

2 /

_ i m + (2 r d + r2 + i?2s+ d 2) p n — (2 E d j + r2 — R 2 + d 2)

2 d ‘ 2

_ m — (2 r d + r 2 — d?2 + d 2)2 4 d

o d e r

rf4 + r 4 + /?4 — 2 r 2 R 2 — 2 r 2d 2 — 2 R 2d 2— i r 2d 2 — r 4 — i ?4 — dl — ¿tr3d 4 d

¿ t r R 2d — i r d 3 + 2 r 2R 2 — 2 r 2 d 2 + 2 / ? 2d 2 4 d ~

J. Kapazität verschiedener Kondensatoren etc. 43

o d e r

o d e r

8 r2 d 2 — 4 r3d — 4 r d 3 -(- 4 r R 2 d 4 T

— 4 d r ( 2 r d + r 2 + d 2 — jR2) i d

o d e r — r (2 r d r 2 d 2 — R 2).

D er B ru c h e rh ä lt d a n n die F o rm

]/ rn / (r2 d 2 — R 2 + 2 r d) (r2 + d 2 — i ?2 — 2 r d ) z2 ( f m - d z 2) ~ I r2 ( 2 r d + r2 + d 2 - R 2)2

u n d d a h e r

d V r 2 -)- d 2 — R 2 — 2 r d 2 a „„

- f o — i r2 + d2 — R 2 + 2 r d ~ ... '

X = Z 2

U m die B e a n s p ru c h u n g u n m itte lb a r a n d e r in n e re n O b erfläch e d es ä u ß e re n Z y lin d e rs zu fin d e n , setzen w ir in d er allg em ein en Gl. 98)

x = zv N a ch Gl. 91) w a r

_ i m + 2 R d — r 2 + R 2 + d 2

Zl

=

Y d

W ir e rh a lte n d a n n

d V _ i m

: 2 G ---zx (V m — d z x)

X = Z i

W ir b e h a n d e ln z u n ä c h s t w ied er d e n Z ä h le r des B ru ch es fü r sich a lle in u n d sch re ib e n

i m = }rd4 + 7 4 + i ?4 — 2 d 2 r2 — 2 d 2 R 2 — 2 R 2r2

= i [d2 — r2 + R 2)2 — k R 2 d 2

= i ( R 2 — r2 + d 2 + 2 R d) ( R 2— r2 + d2 — 2 R d).

F ü r d en N e n n e r des B ru c h e s k ö n n e n w ir sch reib en

,— i ~ Y + 2 R d - r 2 + R 2 + d 2

_ m — (2 f l d — r2 + f l 2 + d 2)2

W dokumencie Die Theorie moderner Hochspannungsanlagen : mit 152 Abb. im Text (Stron 27-54)