Gdy więc marny np. podzielić 52 przez 6, to mieć będziemy jako ilo
raz niezupełny liczbę 8; aby otrzymać resztę dzielenia, wypadnie ilo
czyn
6X8,t. j. liczbę 48, odjąć od dzielnej 52; z odjęcia wypadnie
nam reszta 4. Napiszemy * 2) więc:
ł) W tym ustępie, gdy byt a mowa o dzieleniu pewnej liczby przez inną liczbę,
przyjmowaliśmy na uwagę tylko przypadek, w którym odpowiednie dzielenie uskutecznia się
bez reszty. O uogólnieniu własności, wyprowadzonych w tym ustępie, mówić będziemy
w § 17, us. 7 i w § 20, us. 6.
2) Niektórzy jednak, osobliwie w Niemczech, piszą dzielnik z lewej, a iloraz z prawej strony dzielnej, oddzielając te liczby od siebie kreskami pionowymi:
102 ARYTMETYKA, 52
48
4.
_6
8W podobny sposób przedstawimy i dzielenie w przypadku, gdy dzielna
jest podzielna przez dzielnik (us. 11), a dla wyraźności w przedstawie
niu, na tym miejscu, na którym w poprzednim przypadku postawiliśmy
resztg, piszemy 0 (por. § 5, us. 11), co jest dla nas widoczną właśnie
wskazówką, że dzielna dzieli się przez dzielnik bez reszty. Napiszemy
więc, gdy mamy np. 48 : 6,
48
_6_—48 8
0.
17. Gdy znajomość tabliczki mnożenia nie wystarcza nam dla
wykonania dzielenia, t. j. gdy widzimy, że otrzymać powinniśmy liczbę
większą od dziewięciu, np, gdy mamy 25438 : 6, to należałoby (us. 1, 2)
próbować pokolei liczb 10, 11, 12 i t. d. Postępowanie jednak takie
byłoby zbyt długie i nużące—należy obmyślić inne. Zauważmy, że gdy
mamy zgadnąć jakąś liczbę, to naprzód staramy się wyrozumieć, między
jakimi liczbami szukana liczba może się zawierać, to jest wybadujemy,
od jakiej liczby jest większa i od jakiej mniejsza. Naturalnie, że przy
tym wyznaczaniu liczby mniejszej i większej od szukanej, staramy się
wybierać takie liczby, iżby przekonanie się o tym, czy one są mniejsze
lub większe od szukanej, niewiele nas pracy kosztowało. Oczywiście,
najdogodniejszymi będą liczby przedstawione przez jedność z zerami,
bo właśnie najłatwiej jest mieć iloczyn takiej liczby i dzielnika.
P r ó b u jm y w ięc. G d y b y śm y , m a ją c
25438
6wzięli jako iloraz liczbę 10, byłoby *) 10X6 = 60, mniej niż dzielna, więc 10 jest zamało; gdybyśmy wzięli 100, to 1 0 0 X 6 ™6 0 0 , mniej niż dzielna, więc 100 jest zamało; gdybyśmy wzięli 1000, to 1000X6=6000, mniej niż dzielna, więc 1000 jest zamało; gdybyśmy wzięli 10000, to 10000X6 =60000 jest już więcej niż dzielna, więc 10000 jest zawiele. Szukana więc liczba jest większa niż 1000, a mniejsza niż 10000, skąd zarazem wypada, iż szukana liczba jest czterocyfrowa, t. j. złożona z tysięcy, setek, dziesiątków i jedności.
dzielnik dzielna iloraz; więc np. 6 52
48 T .
(Wprowadzała to swego czasu do nas A r y t m . d la ss. n a r .)
') Starając się o bezwzględną dokładność powinniśmy tu (i podobnie dalej) mówić
byłby iloczyn 10-u i 6-u równy 6 0 - u. Z uwagi jednak, że idzie nam tu tylko o liczebną war tość ilorazu, możemy (us, 3, 6) w tym postępowaniu tak się wyrażać, ja k nam dogodniej.
D Z IE L E N IE L IC Z B C A Ł K O W IT Y C H . — § 7; 17. 103
Starajmy się bliżej podejść clo liczby szukanej, próbując liczb
większych od 1000, a mniejszych od 10000. Wybierając z nich, podo
bnie jak poprzednio, liczby, których iloczyny przez dzielnik łatwo się
otrzymują, weźmiemy pod uwagę liczby przedstawione przez cyfrę zna
czącą z zerami. Gdybyśmy wzięli *) 2000, to 2000X6 = 12000, mniej
niź dzielna, więc 2000 zamało; gdybyśmy wzięli 3000, to 3000 X 6 — 18000,
mniej niż dzielna, więc 3000 zamało; gdybyśmy wzięli4000, to 4000X6 =
— 24000, mniej niź dzielna, więc 4000 zamało; gdybyśmy jednak wzięli
5000, to 5000X6 = 30000, jest już więcej niź dzielna, więc 5000. zawiele.
Szukana zatym liczba jest większa od 4000, a mniejsza od 5000, — jest
więc ona złożona z liczby 4000 i pewnej liczby mniejszej od tysiąca (t. j.,
wogóle mówiąc, z setek, dziesiątków i jedności), czyli: jesteśmy pewni,
że w liczbie szukanej tysięcy mamy 4.
Wyznaczyliśmy więc tysiące ilorazu — w sposób dość dogodny.
Chcielibyśmy móc w ten sam sposób znaleść następującą część liczby,
t. j. setki.
Zważmy, że w dzielnej zawarty jest iloczyn ilorazu przez dzielnik
(us. 3, 11). Ponieważ w ilorazie mieć mamy liczbę czterocyfrową, któ
rą możemy rozłożyć na tysiące, setki dziesiątki i jedności, więc (§ 6, us.
20) w dzielnej zawarte są iloczyny częściowe: tysięcy ilorazu przez dziel
nik, setek ilorazu przez dzielnik, dziesiątków ilorazu przez dzielnik
i jedności ilorazu przez dzielnik. Powyżej wyznaczyliśmy tysiące ilora
zu, t. j. największą część ilorazu. Jeżeli więc chcemy w ten sam sposób
wyznaczyć setki ilorazu, to należy nasze dzielenie sprowadzić do innego,
w którymby największą częścią ilorazu były setki. To zaś osiągnąć
jesteśmy w stanie, zmniejszając dzielną o część zależną od tysięcy ilora
zu, czyli odejmując od dzielnej iloczyn częściowy tysięcy ilorazu przez
dzielnik, t. j. liczbę 400x6 = 24-000. W pozostałej z tego odejmowania
reszcie, t. j. w liczbie 1438, jest zawarty tyl-
2 54 3 8 6 ko iloczyn setek ilorazu przez dzielnik, dzie*
— 24 0 0 0 400 0 siątków ilorazu przez dzielnik i jedności
ilo-143 8 razu przez dzielnik, czyli ta reszta 1438 jest
nową dzielną, po podzieleniu której przez
dzielnik 6, otrzymamy w ilorazie liczbę trzycyfrową. Postępując więc
podobnie jak poprzednio, w celu wyznaczenia największej części, t. j. se
tek, weźmiemy naprzód w ilorazie 100, wtedy 100X6 = 600, mniej niż
1438, więc 100 jest zamało; gdybyśmy wzięli 200, to 200X 6 = 1200, za
mało; gdybyśmy wzięli 300, to 300
X6 = 1800, zawiele; więc szukana
teraz liczba trzycyfrowa jest zawarta między 200 i 300; jest przeto ona
*) Możemy nie próbować ponownie liczby 1000, bo z poprzedniego wiemy, że iloraz: jest większy od 1000.
1 0 4 ARYTMETYKA.