mnożymy mnożną pokolei przez każdą znaczącą cyfrę mnożnika, poczyna
jąc od strony prawej, 'według wiadomego prawidła
(us. 19);otrzymane ilo
czyny częściowe podpisujemy pod kreską jeden pod drugim tak, izby
pierw'sza od strony praiuej cyfra każdego iloczynu częściowego była pod tą
cyfrą mnożnika, przez którą dla otrzymania tego iloczynu mnożyliśmy
mnożną, a następnie tak wypisane iloczyny częściowe do siebie dodajemy,
wyobrażając sobie zera na miejscach niezajętych.
3 0 2 1 7 5 X 1 4 0 2 3 9 0 6 5 2 5 6 0 4 3 5 0 1 2 0 8 7 0 0 3 0 2 1 7 5 4 2 8 7 4 0 0 0 2 5
■78 AKYT.MET y k a.
26.
W razie, gdy w mnożnej, albo w mnożniku, alboteż jednocześnie mnożnej i w mnożniku znajdują się zera na końcu, mamy (us. 22, 10):3 4 2 1 0 0 X 2 1 5 = 3 4 2 1 X 1 0 0 X 2 1 5 = 3 4 2 1 X 2 1 5 X 1 0 0 , 3 4 2 1 X 2 0 5 0 0 0 = 3 4 2 1 X 2 0 5 X 1 0 0 0 = 3 4 2 1 X 2 0 5 X 1 0 0 0 , 3 41 20 0X 2 15 00 0= 3 41 2X 1 00 X 2 1 5X 10 00 = 3 41 2X 21 5 x10 00 0 0, a więc ogólnie (21, 23):
jeżeli mamy pomnożyć przez siebie divie liczby,
z których jedna, lub obie są zakończone zerami, to możemy je naprzód po
mnożyć przez siebie, jakgdyby tych zer nie było, a do otrzymanego iloczynu
dopisać z prawej strony końcowe zera czynników.
Eachunek wtedy zwy kle tak przedstawimy:3 4 2 1 0 0 X 2 1 5 1 7 1 0 5 3 4 2 1 6 8 4 2 7 3 5 5 1 5 0~b~, 3 4 2 1 X 2 0 5 0 0 1 7 1 0 5 6 8 4 2 7 0 1 3 05 oDy 3 4 1 2 0 0 X 2 1 5 0 0 0 1 7 0 6 0 3 4 1 2 6 8 2 4 7 3 3 5 8 0 0 0 0 0 0 , 27o Zdarza się niekiedy, że w m n ożn ej jest znacznie mniej cyfr (zna czących), niż w mnożniku. Prędzej (§ 1, us. 9) wtedy wykonam y m no żenie,mnożąc mnożnik przez cyfry mnożnej ; a ze przez to zachowujemy się tak, jakbyśm y przestawili między sobą czynniki, więc (us. 9) doch o dzimy do tej samej liczby w iloczynie, co wrazie ścisłego trzymania się praw idła (us. 25). Takteź zwykle w tym przypadku postępujemy. N p.
42 1 0 0 2
X 5 1 6 7 X 3 4 1 7 1 0 3 3 4 2 0 6 6 8 6 8 3 4 3 4 1 7 2 1 7 0 1 4 , 3 4 2 3 8 3 4 .W ra zie, gdy mamy pom nożyć przez siebie dwie liczby oderwane i gdy nie mamy potrzeby zaznaczać wyraźnie, która z mnożonych przez siebie liczb jest np. mnożną, to w tym przypadku, jeżeli chcemy, możemy liczbę, w której jest mniej cyfr znaczących, napisać ja k o mnoż nik (us. 9).— Jeżeli jednak rozumowanie, doprowadzające do mnożenia dwu liczb oderwanych przez siebie, wymaga, aby jed n ę z tych liczb uwa żać np. za mnożną (us. 5), albo jeżeli w mnożeniu liczb mianowanych (us. 6) sam charakter dwu liczb mnożonych przez siebie wyraźnie wskazuje, która z nich jest np. mnożną (us. 6), to nie m oin a w rachunku napisać mnożnej zamiast mnożnika i nawzajem.
Z uwagi jednak, że samo wykonanie mnożenia ma na celu tylko ‘ odszukanie iloczynu (tak, iż tego rachunku drobiazgowego nie rob iliby- ,śmy, gdybyśmy byli w stanie odrazu wypowiedzieć szukany iloczyn), jest ■dla nas rzeczą obojętną, czy my tym, czyteź innym sposobem otrzym uje
MNOŻENIU LICZB CAŁKOWITYCH.— § 6; 29.
79
się oprzeć na tym,że liczba oderwana, zachodząca w iloczynie, jest nie zależna od nazwania jednostki i powstaje z pomnożenia liczby oderwa nej mnożnej przez mnożnik (us. 6.) Nie przestawiając więc w rachunku mnożnej z mnożnikiem między sobą, możemy jednak wykonywać mnoże nie, m nożąc mnożnik przez cyfry znaczące mnożnej (według odpowied nio zmienionego prawidła us. 25), gdyż skutkiem tej zmiany w postępo waniu nie zmieni się liczba oderwana w iloczynie (us. 9 ); przy mnożeniu liczb mianowanych do tak otrzymanego iloczynu dopiszemy nazwanie jedn ostki mnożnej (us. 6).i N p. stopa ma 12 cali; ile 4356 stóp ma cali? Ponieważ jedn a stopa ma 12 cali, to 4356 stóp ma cali 4356 razy więcej, i dlatego należy 12 ca li pom nożyć przez (liczbę oderwaną) 4356; napiszemy:
1 2 cali zamiast jednak mnożyć (us. 25) kolejno 1 2 X 6 , 1 2 X 5 , 1 2 X 3 i 1 2 X 4 i zająć tymi iloczynami 4 wiersze, możemy wykonać 4 3 5 6 X 2 , 4 3 5 6 X 1 (us. 3) i otrzymane iloczyny częściowe pom ieścić 5 2 2 7 2 cale w dwu tylko wierszach (§ 1, us. 9). D o otrzy manej z dodania liczby: 522272 dopiszem y nazwanie jednostki mnożnej
(us. 6), t. j. cale. O dpow iedź: 4356 stóp ma 52272 cale.
28. Samo się przez się rozumie, że próbę mnożenia m oglibyśm y wykonać przez dodawanie (us. 1, 3) i robim y to, ale tylko wtedy, gdy m nożnik jest bardzo małą liczbą.
M ożemy jednak sprawdzenie liczby, otrzymanej jak o iloczyn, oprzeć na tym, że iloczyn nie zależy od porządku czynników (us. 9). B ędzie to więc p r ó b a m n o ż e n i a p r z e z m n o ż e n i e . M ianow icie: licz bę, która w mnożeniu sprawdzanym była m nożnikiem , pomnożymy według prawidła podanego w us. 25, przez poprzednią m nożną; jeżeli ’w iloczynie otrzymamy tę sarnę co poprzednio liczbę, to jest praw dopo d obn e, żeśmy sprawdzane mnożenie dobrze wykonali. Np.
3 4 2 1 2 1 5 X 2 15 X 3 4 2 1 X 4 3 5 6 8 7 1 2 4 3 5 6 1 7 1 0 5 3 4 2 1 6 8 4 2 7 3 5 51 5, 2 1 5 4 3 0 8 6 0 6 4 5 7 3 5 5 1 5 (dobrze). 29. Weźmy dwa iloczyny, każdy złożony z dwu czynników, i niech te iloczyny mają po jednym czynniku spólnym— pozostałe zaś ich czynniki niech będą od siebie różne. Np. 2 3 5 X 7 9 i 4 5 X 2 3 5 . Przestawmy np.1) czynniki
0 M oglibyśm y przestawić między sobą czynniki pierwszego iloczynu; wtedy rozumo wanie b y ło b y nieco odmienne.
8 0 a r y t m e t y k a.
drugiego iloczynu (us. 9); wtedy oba iloczyny 2 3 5 X 7 9 i 2 3 5 X 4 5 mieć będą tę sarnę liczbę 235 jako mnożną. Pierwszy iloczyn przedstawia sumę, którą otrzymalibyśmy, gdybyśmy liczbę 235 wzięli 79 razy jako składnik (us. 3), drugi zaś iloczyn przedstawia sumę, którą otrzymalibyśmy, biorąc tę sarnę licz bę 235 tylko 45 razy jako składnik. Ponieważ zaś suma jest zebraniem je dności składników (§ 4, us. 6), więc w pierwszej sumie, prócz jedności 45-u składników 235, t. j. prócz wszystkich jedności drugiej sumy, są jeszcze je dności 46-ego składnika 235, 47-ego składnika 235 i t. d,, czyli pierwsza suma jest większa od drugiej, a tymsamym iloczyn 2 3 5 X 7 9 jest większy od iloczynu 4 5 X 2 3 5 . Czyli: 2 dwu iloczynów diouczynniJcowych, mających jeden czynnik spoiny,
ten jest większy, którego pozostały czynnik jest większy.
Jeżeli zaś mamy dwa iloczyny dwuczynnikowe i oba czynniki jednego iloczynu są większe od czynników drugiego iloczynu tak, iż większy czynnik pierwszego ilo- czynu jest większy od większego z czynników drugiego iloczynu i pozostały czyn nik pierwszego iloczynu większy od pozostałego czynnika drugiego iloczynu, np. 2 3 5 X 4 7 9 i 3 7 5 X 2 2 8 (tu 479 większe od 375 i 235 większe od 228), to możemy utworzyć iloczyn pomocniczy, powstały z pomnożenia mniejszego czyn
nika iloczynu większych czynników przez większy czynnik iloczynu mniejszych czynników, t. j. 2 3 5 X 3 7 5 . A wtedy, na mocy poprzedniego, iloczyn 2 35 X 4 79 jest większy od iloczynu 235 X 3 75 , ten zaś iloczyn 2 3 5 X 3 7 5 jest większy od iloczynu 3 7 5 X 2 2 8 , a więc tymsamym iloczyn 2 3 5 X 4 79 jest większy od ilo czynu 375 X 228, t. j . jeżeli mamy dwa iloczyny dwuczynnikowe i większy czynnik np.
pierwszego iloczynu jest większy od większego z czynników drugiego iloczynu, a pozosta
ły czynnik pierwszego iloczynu jest większy od pozostałego czynnika drugiego iloczynu,
to iloczyn czynników większych jest większy od iloczynu czynników mniejszych.
3 0 .