(§ 6, us. 30).
Gdy mamy podzielić liczbę np. 8-cyfrową przez 3-cyfrową, to wra-
zie, gdy początkowe 3 cyfry dzielnej tworzą liczbę nie mniejszą od
dzielnika (us. 18), posłużą już one do wyznaczenia jednej (pierwszej)
cyfry w ilorazie; że zaś w miarę użycia (przypisywania do reszt) nastę
pujących cyfr dzielnej wyznaczamy następujące cyfry w ilorazie (us. 18)?.
więc w tym przypadku, prócz tej 1-ej cyfry, będzie cyfr tyle, ile jeszcze
pozostało cyfr dzielnej, czyli tyle, o ile jest więcej cyfr w dzielnej niż
w dzielniku, t. j. 8—3. Wszystkich więc cyfr w ilorazie będzie
(8 — 3)4-1 = 6. — Jeżeli zaś początkowe 3 cyfry dzielnej przedstawiają
liczbę mniejszą od dzielnika, to dopiero z początkowych 34- 1=4 cyfr
dzielnej (us. 18) wyznaczymy pierwszą cyfrę w ilorazie, a więc w tym
przypadku będzie w ilorazie cyfr o jednę mniej niż poprzednio, t. j.
8 — 3 = 5 cyfr. A więc:
w ilorazie otrzymujemy tyle cy fr,
o ile je st ich wi§cćj w dzielnej niż to dzielniku, cdbo o jednę więcej*). Odrazu jednak,
mając dane liczby, łatwo ściśle oznaczyć możemy, który z tych dwu
przypadków miejsce mieć będzie, t. j. dokładnie powiedzieć, ile cyfr
w ilorazie otrzymamy.
!) W o g ó le : jeżeli liczbę cyfr dzielnej nazwiemy p , a liczbę cyfr dzielnika q, t o w ilorazie otrzymujemy cyfr p —q, albo p — ę j -1 *
D Z IE L E N IE L ICZB C A Ł K O W I T Y C H . § 1 1 7
24. Weźmy dzielenie w przypadku, gdy dzielna nie jest podzielna przez dzielnik, np. 104: 6. Otrzymamy iloraz niezupełny 17 i resztę 2, a więc .{us, 1 1)
1 0 4 = 6 X 1 7 + 2
dzielna = dzielnikowiXiloraz niezupełny + reszta.
.Ponieważ reszta jest mniejsza od dzielnika, więc można znaleść liczbę, którą dodając do reszty, otrzymamy dzielnik: 6 — 2 = 4. Stąd 6 = 4 + 2 i (§ *>» us. 7) 6 4 = 2, Możemy więc tę liczbę 2 zastąpić przez (§ 5, us. 6) różnicę 6 — 4 i napisać
104 = 6 X 1 7 + 6 — 4.
Tu mamy 6 X 1 7 + 6 i od liczby, stąd otrzymanej, odjąć 4. Lecz iloczyn 6XJ-7 jest sumą (§ 6, us. 2) siedemnastu składników 6; do niej mamy tu jeszcze dodać ten sam składnik 6. Liczba więc 6 X 1 7 + 6 przedstawia sumę osiemnastu składników 6, czyli iloczyn 6 X1 8 . Od tej zaś liczby 6 X 1 7 + 6 = ^ = 6 X 1 8 odejmując liczbę 4, otrzymujemy 104, t. j.
104 = 6 x 1 8 — 4.
juę liczbę 4, o którą reszta różni się od dzielnika, t. j. liczbę, którą nale ży dodać do reszty, aby otrzymać dzielnik, nazywać będziemy: dopełnieniem reszty do dzielnika, albo krócej: d o p e ł n i e n i e m r e s z t y . Jest więc:
2 + 4 = 6, reszta + dopełnienie reszty = dzielnikowi.
Zauważmy jeszcze, że ponieważ 18 = 17 + 1, a 17 jest ilorazem niezu pełnym naszego dzielenia, więc liczba 18 przedstawia: iloraz niezupełny + 1. A więc to, cośmy powyżej napisali,
104 = 6 X 1 8 — 4, możemy tak ogólnie przedstawić.
dzielna = dzielnikowi X (iloraz niezupełny + 1) — dopełnienie reszty. Gdy więc, wykonywając dzielenie 1000: 7, otrzymujemy resztę 6, to do pełnieniem reszty będzie tu liczba 1 bo 6 + 1 = 7, i możemy napisać:
1 0 0 0 = 7 X 1 4 2 + 6 i 1000 = 7 X 1 4 3 — 1.
25.
M a j ą c k i l k a l i c z b d a n y c li, m o ż e m y s z u k a ć t a k ie j l i c z b y , k t ó r ą b i o r ą c z a m i a s t k a ż d e j z d a n y c l i l i c z b , o t r z y m u j e m y t ę ż sa rn ę s u m ę , c o z d o d a n i a l i c z b d a n y c h . N p . , g d y m a m y d a n e l i c z b y : 5 , 8 , 2 7 i 1 6 , t o l i c z b a 1 4 j e s t t a k ą w ł a ś n ie l i c z b ą , b o 5 + 8 + 2 7 + 1 6 = 5 6 , 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 5 6 , :a w ię c 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 5 + 8 + 2 7 + 1 6 .T a k ą l i c z b ę , j a k t u 1 4 , t . j . liczbę, Morą biorąc zamiast każdej .z danych liczb, otrzymujemy tę sarnę sumę, co z dodania danych liczb, nazywam y ś r e d n i ą a r y t m e i y c - z n ą }) liczb danych.
’ ) W znaczeniu średniej arytmetycznej odniedawna używają niekiedy wyrazu
•«przeciętna».
118 ARYTMETYKA.
Ponieważ
14-1-14+14+14=: 14X4 (§6, us. 2), więc
14X4 = 5+8+27 + 16,
skąd, uważając ilość
5+ 8+ 27+ 16jako dzielną, a czynnik
4,który
nam przedstawia ilość liczb danych, jako dzielnik, mamy (us.
5)(5+ 8+ 27X16): 4 = 14,
t. j.,
aby otrzymać średnią, arytmetyczną Uczb danych, należy sumę tychliczb podzielić przez ich ilość.
Jeżeli np. było w południe jednego dnia 15° (stopni) ciepła, dru
giego 18°, trzeciego 12°, czwartego 10°, piątego 8°, szóstego 10°, siód
mego 11°, to średnia arytmetyczna stanu ciepła w południe w ciągu
tego tygodnia jest
(15o+ 18o+12o+10o+ 8o+ 10o+ l l ° ) : 7 = 84°: 7 = 12°.
Np. Ktoś skupił cztery kawałki gruntu; za jeden,'mający 4 mor
gi, płacił po 180 rs. za mórg; za drugi, mający 2 morgi, po 240 rs. za
mórg; za trzeci, mający 3 morgi, po 225 rs. za mórg; nakoniec za
czwarty, mający mórg obszaru, zapłacił 315 rs. Po ile płacił średnie
za mórg? — Mamy tu znaleść średnią arytmetyczną 10-u liczb: 4-ch
liczb 180 rs., 2-u liczb 240 rs., 3-ch liczb 225 rs. i liczby 315 rs.,,
a więc:
(180 rs.X 4 + 2 4 0 rs.X 2+ 22 5 rs.X3+ 315 rs.): 10=2190 r s .: 10=219rs*
Odp. Płacił
średnioza
mórg 219 rs.26.
Uzupełnimy nieco to, cośmyw
zakończeniu poprzedzającego §-u mówili o p o t ę g a c h l i c z b .Jeżeli mamy np. 3 °: 34, to z uwagi, że (§ 6, us. 40) 3° = 34X 3 3, może my nasze dzielenia tak przedstawić (34X 3 5) : 34. Mamy tu iloczyn dwu czynni ków 34 i 33 podzielić przez jeden z tych czynników; otrzymamy więc (us. 13) ja ko iloraz czynnik pozostały, t. j. liczbę 33 ; więc 3 °: 34 = 33. Nadto widzimy tu, że wykładnik ilorazu, 5, powstał z wykładników dzielnej i dzielnika, 9 i 5- wskutek odjęcia od wykładnika dzielnej wykładnika dzielnika, 5 = 9 — 4..
Więc 3 ° : 34 = 35= 3 9—4, t. j. iloraz dwu potęg tej samej liczby jest także potęgą tej liczby, której wykładnik jest różnicą wykładnikóio dzielnej i dzielnika. 27 28
27.
Jeżeli zastosujemy to do przypadku szczególnego, gdy dzielna i dzielnik są tymi samymi potęgami tej samej liczby, to będziemy mieli w wy kładniku różnicę liczb równych sobie (§ 5, us. 11), t.j. zero, np. 34:34= 34- 4 — — 3°. Z drugiej strony, dzieląc liczbę przez nią sarnę, otrzymujemy (us. 11) je dność 34:34 = 1. Więc 3°jest to samo co 1; również 1 0 ° = 1 i t. d. Jakąkolwiek liczbę z icykładnikiem zero możemy uważać za przedstawienie jedności.2 8. Skutkiem tego możemy liczby np. 30568, 856724 (§, 6, us_ 41) tak przedstawić:
D Z I E L E N I E L IC Z B C A Ł K O W IT Y C H .— § 7 ; 2 9 .
119
30568 = 3 X l 0 ł + 5 X l 02+ 6 X 1 0 , + 8X 10°,
856724 = 8 X 1 05+ 5 X 1 04+ 6 X 1 03+ 7 X 1 02+ 2 X 1 01 + 4 X 1 0°, i podobnie, np. (§ 6, us. 42)
[250413]6 = 2 X 65+ 5 X 6 * + 4 X 62+ 1 X 6 , + 3 X 6 °j i t. d.
29. Jeżeli chcemy liczbę np. 22185 przedstawić w systemacie szóstko- wym, to, ponieważ na pierwszym z prawej strony miejscu ma być postawiona część liczby, jaka się zostanie po oddzieleniu z liczby 22185 wszystkich szós tek, należy wynaleść resztę z podzielenia 22185 przez 6. Iloraz niezupełny orzedstawiać nam będzie szóstki; aby znaleść tę część liczby, którą, wypadnie oznaczyć na miejscu drugim (z prawej strony), trzeba z tych szóstek oddzie lić wszystkie kwadraty liczby sześć, t. j. ten iloraz niezupełny podzielić jeszcze przez 6, a wtedy reszta będzie tym, co na miejscu drugim napisać nam wypadnie, iloraz zaś niezupełny przedstawi nam ile razy w danej liczbie jest wszystkich 62= 3 6 , I t. d. Więc 2 2 1 8 5 . . . . . 3 6 9 7 6 616, 6 3 . . . . . .
Jl 0 2
6 ~T 1 7 T . . . mamy więc tu;22185 = 3 6 9 7 X6 + 3 = ( 6 1 6 X 6 + l ) X6 + 3 = 6 1 6 X 6 2+ l X 6 ,+ 3 = ( 1 0 2 X 6 + 4 ) X 62+ 1 X 6 ‘ + 3 = 1 0 2 X 63+ 4 X 62 + 1 X 6i + 3 = (17 X 6) X 63 + 4 X 62+ l X 6* + 3 = 17 X 64+ 4 X 62+ l X 6' + 3 = (2 X 6 + 5 )X 6 H -4 X 62+ 1 X 6 »+3 = 2 X 65+ 5 X 64+ 4 X 62+ 1 X 6 >+3 = [250413]6.
W podobny sposób, aby liczbę np. 1199801 przedstawić w systemacie np. dwunastkowym, wykonamy kolejne dzielenia przez podstawę 1 2, a oznaczyw szy 10 przez cyfrę np. a i 11 przez cyfrę np. b, mamy 1199801=[49a3&5]i2. W takito sposób możemy l i c z b ę p r z e d s t a w i o n ą , w s y s t e m a c i e d z i e s i ą t k o w y m w y r a z i ć w i n n y m s y s t e m a c i e .
ROZDZIAŁ
I V .M I A R Y . D Z I A Ł A N I A N A L I C Z B A C H W I E L O R A K I C H .
§ 8 . M l i E Y .
!• R z e c z y do w ażenia m o g ą b yć cięższe, a lb o lżejsze; m ierzyć p rzyp a d a czasem m n iej, a czasem w ięcej; je d n e rz e czy trzeb a p ła cić d io ż e j, inne ta n ie j. Z te g o p ow od u rozm a ite w agi, m ia ry i p ien iąd ze p o sta n o w io n o . D r o b n e n ap rzy k ład p ien iąd ze w y godn e są d o w y płacan ia sum m a ły ch , nie zaś w ielkich . W a g i, d osta teczn e na p om ia rk ow a n ie cięża rów w p ro sty c h tow arach , nie są d osta teczn e *) na zw ażenie rz e czy d ro ższy ch , g d z ie u ch y b ien ie m ałe szk od ęb y zn aczn ą kupującem u, a lb o p iz e d a ją ce m u p rz y n io sło . T r z e b a w ięc b y ło w ielorak ie m ieć p ien iąd ze, w a g i i m iary; trzeb a b y ło p o d z ie lić najw yższe ga tu n k i na niższe, k tó ry ch w ięcej a lb o m n iej je d e n wyższy gatunek sk ła d a ło b y , a b y tym s p o sobem w y g o d z ie i p o trz e b ie ludzkiej d o g o d z ić .» * 2)
R o z m a ite n a rod y w ytw arzały sob ie dla sw ych p o trz e b różn e m ia- i } . P o c z ą tk o w o od n oszon o w ym iary ró ż n y ch rz e c z y do pew nych p rz e d m iotów p ow szech n ie znanych, ja k np. do ziarn zboża , do d łu g o ści w zię- t) ch z cia ła lu d z k ie g o i t. d. Poniew aż je d n a k te p rz e d m io ty m o g ły się o d sieb ie ró ż n ić, a r o z w ija ją c e się stosu n k i w y m a g a ły m iar je d n o s ta j ni ej szych, w ięc staran o się określić d o k ła d n ie j to, w e d łu g czeg o m ierzyć m iano w pew nym k ra ju . T a k w ięc np. p rz y w ym iarach , w ziętych z cia ła lu d zk ie g o , m iano na uw adze osoby, ważne stan ow isko w n a rod zie z a j m u ją ce, k tó re zw ykle fizyczn ie b y w a ły w ów czas siln ie rozw in ięte; dla- te g o to np. s t o p a , m iara od n a jd a w n iejszy ch czasów używ ana, u ro z m a ity ch lu d ów n ieco odm ienna, je st je d n a k zawsze w iększa od zw yk łej teraz stop y lu d zk iej 3).
*) «nie są dosyć».
2) Arytm . dla sz. nar., str. 79.
i \ Y Egipeyjan i Żydów np. były między innymi miary: p a l e c (t. j . szerokość
palca), p i ę d z (szerokość dłoni), s t o p a , k r o k , d r o g a j e d n e g o d n i a i t. d. - P o dobnież w A n g in , według postanowienia Henryka I z r. 1101, gyrd (odpowiadający te raźniejszemu y a r d o w i ) , miara długości do powszechnego użycia, jest d ł u g o ś c i ą r a m i e n i a tego kro'la do końca trzeciego palca. M iara ta dzieli się na trzy s t o p y , stopa na 12 c a l i, wielkość zaś cala wyznacza długość trzech wzdłuż ustawionych z i a r n
j ę c z m i e n i a . W e d łu g różnych postanowień (ostatnie z r. 1494), ciężar 32 suchych
M IA R Y .— § 8 ; 1 . 1 2 1
Z czasem coraz w ięcej uczuw ać się d aw ała w każdym sp o łe cz e ń stwie p otrzeb a u jed n osta jn ien ia m iar, t. j. p osiad a n ia p ew nych stałych w zorów i ro zcią g n ię cia k o n tro li n ad k o p ija m i ty ch w zorów , b ęd ą cy m i w p ow szech nym użyciu. M im o, że w o d d z ie ln y ch państw ach takie w zory m iar ustanaw iano, że starano się o w yrób k o p ij d ok ła d n y ch , że za u ży w anie m iar n ied ok ła d n y ch ok reśla n o k ary, d o sz ło w w ieku X V I I I do te g o . że w każdym praw ie m ieście o d d z ie ln e g o państw a *) zn a jd ow a ły się in n e m iary, a n iekiedy naw et w tym sam ym m ieście b y w a ły różne m iary d o rozm a ity ch p rzedm iotów * 1 2). B y ło to bardzo n ied og od n e dla h a n d lu ją cy ch : rach u n k i staw ały się k ło p o tliw y m i, a n ad u życia łatw ym i. N ie d o g o d n o ś c i te w ięcej się je sz cz e u czu w a ć d a w a ły w stosun k ach w zajem n ych ró ż n y c h n arodów , ch ocia ż n iek ied y p orów n yw an o ze sob ą d ość starannie m iary uważane za o b o w ią z u ją c e w różn y ch państw ach i o g ła szano ta b lice zam iany m iar.
2. P o trz e b a b yło m ieć m iary d ok ła d n e i stałe, niezm ienne, a n ad to tak d ogod n e, iż b y w iele n arod ów , je ż e li n ie wszystkie, p rz y ją ć je z e ch cia ły za sw oje. N a le ża ło w ię c ob m yśleć m iary takie, żeby zasa d a , na której m iary są oparte, zm ianie n ie u leg a ła , tak iż, w razie za tra ce n ia w y rob ion y ch w zorów , m o źn a b y j e zaw sze n an ow o odtw o iz } ć d ok ła d n ie, a n ad to, żeby ta zasada b y ła tak w y bran ą, iżb y nie b y ła w zięta z w arunków w łaściw y ch pew nem u jed n em u k ra jo w i, ale m og ła b y ć uw ażana za od n oszą cą się rów nie d ob rze do w arunków ja k ie g o k o l w iek k ra ju i narodu.
T aki w łaśnie u k ła d m iar op ra co w a li w o sta tn ich lata ch X V I I I stu lecia uczeni francu scy. O parli oni ten u k ła d na n iezm ien ia ją cych się w y m ia ra ch ziem i. W y m ierzy w szy część łu k u p ołu d n ik a ziem skiego, w n ieśli z n iej o d łu g o ści ca łe g o p ołu d n ik a . Ć w ierć tej d łu g o ści p o łu d nika w ystaw ić sobie należy p o d z ie lo n ą na 10 000 000 rów n ych części. T ę cz ę ść n azw ali
me t r e m* ) .
A b y zaś jed n ocześn ie w p row ad zić u łatw ien ie we w szelkie rach u n k i z m iaram i, p osta n ow ion o, że p rz y p o d z ia ła c h w szędzie u żytą będzie
zaś uncyj f u n t (pound); miara objętości: g a l i o n zawierała 8 funtów pszenicy czyli mieściła 61440 z i a r n p s z e n i c y . — S t o p a f r a n c u s k a dawna, t. z. p i e d d u r o i , albo «paryska», ma być, według podania, długością stopy K arola W ielk iego.
1) M ia ło to miejsce nietylko w Niemczech, we W łoszech , w Polsce, we brancy^
i t. d., ale nawet w A n g lii, w której jeszcze Charta magna libertatuin (r. 1215) zastrzegła jednakowe wagi w całym państwie, co różnymi czasy było ponawiane, i w której wyrabianie wiarogodnych kopij wzorów miary długości i ciężaru (odlanych z rozkazu Elżbiety i w r. 1588 złożonych w skarbcu) dozwalane było tylko za osobnym przywilejem.
2) W Paryżu np., prócz zwykłego łokcia («au n e»), istniał inny dla jedwabiu,
mniejszy dla sukna, a jeszcze mniejszy dla płótna.— Liczba różnych miar do mieizenia po wierzchni gruntu, używanych w północnej Francyi, wydawaćby się dziś m ogła prawie ba
jeczn ą: były wsi, które miały po kilka własnych miar. _ . .
* ) Należy uczniom pokazać wielkość metra i jego części (por. str. 83) Kowmez dalej
1 2 2 A R Y T M E T Y K A .