kolwiek z jej składników
9. Jeżeli więc mamy sumę divu składników i chcemy, nie zmie niając jednego składnika, do tej sumy dodać, lub od niej odjąć pe
wną liczbę, to, według własności b. i d., należy do drugiego składnika (bo innego już niema) odpowiednio dodać, lub od niego odjąć tę sa rnę liczbę. Tak np. jeżeli mamy sumę dwu składników, 1 3 + 5 = 18, i, nie zmieniając składnika 5, dodajemy do sumy 18 liczbę np. 4, to tymsamym do drugiego składnika, do 13-u, wypadnie dodać tę liczbę 4, t. j. (1 3 + 4 )+ 5 = 1 8 + 4 .
Ponieważ zaś odjemna jest sumą reszty i odjemnika (us. 3), t. j. reszta + odjemnik = odjemnej,
więc
aa. Jeżeli do odjemnej dodajemy, lub od niej odejmujemy pewną liczbę, nie zmieniając odjemnika, to wypadnie odpowiednio do reszty dodać,
*) Łatwo można to i poprzednie rozumowanie przeprowadzić na przykładach li czebnych.
**) Albo opuścić składnik równy tej liczbie, jeżeli taki składnik w sumie danej si§ znajduje.
46 A R Y T M E T Y K A .
lub od niej odjąć tę sarnę liczbę. Tak np., gdy, mając 18— 5 = 13, do odjemnej dodamy np. 4, to do reszty 13 wypadnie także dodać 4, i rzeczywiście: 22— 5 = 17; również, gdy mając 18— 5 = 13, od 18 odej miemy 2, to skutkiem tego od reszty 13 wypadnie także odjąć 2,
i rzeczywiście: 16 — 5 = 11.
Podobnież, gdy sumy dwu składników nie zmieniamy, a do jednego ze składników dodajemy pewną liczbę, to, według własności e., od drugiego składnika wypadnie odjąć tęż sarnę liczbę. W ięc:
bb. Jeżeli odjemnej nie zmieniamy
,
a do odjemnika dodajemy,
lub od, niego odejmujemy pew ną liczbę,
to skutkiem tego tę sarnę liczbę wypadnie odpowiednio od reszty odjąć, lub do niej dodać.Np., gdy, mając 18— 5 = 13, do odjemnika 5 dodamy 1, to od reszty 13 wypadnie odjąć 1, jakoż: 18— 6 = 12; jeżeli zaś, mając 18— 5 = 13, od odjemnika 5 odejmiemy4,
to do reszty 13 wypadnie dodać 4, i rzeczywiście: 18— 1 = 17. Gdy nakoniec, do odjemnej i do odjemnika dodamy jednocześnie tę sarnę liczbę, to wskutek dodania jej do odjemnej, do reszty, we dług własności aa., wypadnie dodać tę liczbę, wskutek zaś dodania jej do odjemnika, wypadnie od reszty, według własności bb., odjąć tę sarnę liczbę, zatym (us. 7) reszta zmianie nie ulegnie. Toż samo ma miejsce, gdy tak od odjemnej, jak i od odjemnika tę sarnę liczby odejmiemy. A więc:cc. Jeżeli jednocześnie albo do odjemnej i odjemnika dodajemy tę sarnę liczbę
,
albo od odjemnej i od odjemnika odejmujemy tę sarnę liczbę,
to reszta się nie zmienia. Np., gdy mamy 18— 5 = 13, to, dodając do od jemnej 18 i do odjemnika 5 tę sarnę liczbę, np. 2, otrzymamy resztę nie zmienioną 13, i rzeczywiście 20— 7 = 13; podobnież, jeżeli 18— 5 = 13 i tak od odjemnej 18 jak i od odjemnika 5 odejmiemy np. 4, to otrzy mamy resztę także 13, i rzeczywiście: 14— 1 = 13. (Tę własność mo glibyśmy taksamo wyprowadzić, jak powyżej własność aa.).Możemy również inaczej wysłowić własności powyższe, mówiąc; ^zmniejszyć o», ^powiększyć o», zamiast «odjąć», «dodać».
Przy pomocy nawiasów (§ 4, us. 9) nasze przykłady możemy wyraźniej przedstawić w ten sposób:
18 — 5=13.
aa. (18 + 4)— 5 = 1 3 + 4 ; (18— 2)— 5 = 1 3 — 2. bb. 18— (5 + 1 ) = 1 3 — 1; 18— (5— 4) = 1 3 + 4. cc. (1 8 + 2 )—( 5 + 2 ) = 1 3 ; (18— 4)— (5—4) = 13.
Z własności bb. wypada, że gdy do odjemnika w odejmowaniu np. 18 — 5 = 13 dodawać będziemy np. naprzód 1, później 4, następnie 3, dalej 2,, to różnica o też liczby odpowiednio będzie się zmniejszała:
O D E J M O W A N IE L I C Z B C A Ł K O W I T Y C H ,— § 5 ; 11.
4:7
18 — (5 + 1) — 13 — 1,
18 — (5 + 1 + 4) = 13 — 1 — 4 ,
18 — ( 5 - f 1 + 4 + 3) = 13 — 1 — 4 — 3 , 18 — (5 + l - f - 4 + 3 + 2) = 13 — 1— 4 — 3 — 2.
Jeżeli tu zamiast 13 napiszemy tę sarnę liczbę, przedstawioną (us. 6)’ przez różnicę 18— 5, to mieć będziemy
18 — (5 + l-j-4 :+ 3 + 2) == 18 — 5 — 1 — 4 — 3 — 2 ,
t j. gdy °d pewnej liczby mamy odjąć sumę kilku składników, to możemy od liczby danej odjąć naprzód jeden składnik, od otrzymanej liczby drugi skład nik i t. d., czyli: gdy mamy od pewnej liczby odjąć sumę dwu lub więcej składnikówT
to możemy to odejmowanie wykonać, uskuteczniając odejmowania częściowe oddzielnych
składników.
10.
Gdybyśmy np. mieli od 59 odjąć 24, to zgodnie z tym, cośmy zauważyli o wykonywaniu pierwotnym odejmowania (us. 1, 2), należałoby do 24 doliczać po jedności dopóty, dopókibyśmy niedoszli do liczby 59; zebranie zaś wszystkich doliczonych jedności przedsta wiłoby szukaną resztę.Takie postępowanie byłoby zbyt długie i łatwoby do omyłek
prowadziło. •
Gdy idzie o rachunek pamięciowy (który się zawsze wyrabiał przed piśmiennym), to do krótszego wykonania tego odejmowania do prowadziła nas myśl dodawania do odjemnika odrazu całych dzie siątków, a więc: 24 i 10 jest 34; 34 i 10 jest 44; 44 i 10 jest 54; teraz już nie możemy dodać całego dziesiątka (bo wypadłoby 64, więcej niż odjemna 59); dodaliśmy 30 i mamy 54; aby z 54 otrzy mać 59, trzeba do 54 doliczyć 5 jedności; więc szukana liczba składa się z 30 i 5, czyli jest nią 35. — To postępowanie jeszcze skracamy, skutkiem nabytej wprawy, i mówimy tak: mam odjąć 24 od 59; 24 od 54 jest 30; 54 od 59 jest 5 ; 30 i 5 jest 35. — Podobnie, gdy mamy od 887 odjąć 564, to: 564 od 864 jest 300; pozostaje odjąć 864 od 887; 864 od 884 jest 20 (zatym 300 i 20 jest 320); 864 od 887 (albo krócej: i 4 od 7) jest 3; razem 323. — W przypadku, gdy mamy od 132 odjąć 47, tak rozumujemy: (nie mogąc powiedzieć 47 od 137, bo 137 większe od odjemnej 132, mówimy) 47 od 127 jest 80; 127 od 132 jest 5; razem 85.
11.
Aby obmyśleć krótsze postępowanie przy piśmiennym wyko nywaniu odejmowania, łatwo, wobec związku zachodzącego między odejmowaniem a dodawaniem, chcieć, podobnie jak to robiliśmy w dodawaniu ‘), odejmowanie zadane zastąpić p rzez odejmowania częściowe: 94 8 A R Y T M E T Y K A .
jedności od jedności, dziesiątków od dziesiątków i t. d. — Aby te części odjemnej i odjemnika, które oddzielnie będziemy od siebie odejmować, mieć blisko siebie *), podpisujem y odjemniJc p o d odjemną
tak, żeby jedności b y ły pod jednościami, a tymsamym dziesiątki pod
•dziesiątkami i t. d., podobnie jak to robiliśmy w dodawaniu. — Co się tyczy pisania reszt z odejmowań częściowych, to, również jak w dodawaniu, będzie najzręczniej i najwyraźniej, gdy resztę z częścio
w ego odejmowania jedności napiszemy p o d jednościam i i t. d. — Aby zaś
oddzielić dane liczby od szukanej, p o d odjem nikiem prow adzim y kreskę
poziom ą, pod którą pisać będziemy to, co z odejmowań częściowych
otrzymamy. — Wykonajmy więc np. odejmowania 59 — 24; 887 — 564, 6829 — 3128,
59 8 8 7 6 8 2 9
— 24 — 5 6 4 — 3 1 2 8
Tutaj wypadki odejmowań częściowych, czyto wykonywać je będzie my od strony prawej, czyteż od strony lewej, razem uważane, wprost ^przedstawią szukaną resztę
5 9 88 7 6 8 2 9
4 — 24 — 5 6 4 — 3 1 2 8
35 32 3 3 7 0 1 .
Zauważymy tu, że, podobnie jak w dodawaniu, zamiast mówić:
2 dziesiątki od 5 dziesiątków jest 3 dziesiątki; lub 5 setek od 8 se