Inne przykłady procesów stochastycznych - Nierównowagowa mechanika statystyczna von Gerd Röpke

1.4.1 Procesy jednokrokowe.

Do pojęć jednokrokowych procesów ( procesów typu narodziny –śmierć ) włączamy takie procesy Markowa, którym odpowiada dyskretna zmienna przypadkowa n ( n przyjmuje wartości całkowitoliczbowe, zobacz podrozdział 1.1.1 ) przy czym dopuszczamy tylko przejścia pomiędzy sąsiednimi wartościami n.

Rozpatrzmy jednorodny proces o niezależnej od czasu częstości przejść wnn’

Przy warunku zachowania normalizacji :

∂ ΣΣΣΣ p1(n, t)/ ∂t = 0 n

równanie Master (1.30) zapisujemy w następujący sposób :

Ponieważ dla procesów jednokrokowych macierz wnn’ ma następującą postać :

to otrzymujemy :

Równowagowe rozwiązanie tego równania prówn.1(n) znajdujemy z warunku :

∂p1(n, t) /∂t = 0

które jest spełnione, jeśli : łn prówn.

1(n) = gn–1 prówn.

1(n – 1) (1.116)

Podana zależność wyraża równowagę przejść pomiędzy każdymi dwoma stanami ( w jednym i drugim kierunku).

Wiąże ono częstości przejść i prawdopodobieństwa zasiedlenia w stanie równowagi – nazywa się ją zasadą równowagi szczegółowej. Słuszność zasady (1.116) dla układu znajdującego się w stanie równowagi termodynamicznej, można dowieść, opierając się na inwariantności równań ruchu względem odwrócenia czasu [5].

Rozwiązanie równowagowe istnieje nie dla każdego procesu.

Bardziej ogólnym jest stan stacjonarny, dla którego słuszna jest również zależność :

∂p1(n, t) /∂t = 0

jednakże warunki brzegowe są takie, że z pewnego rezerwuaru następuje pewien przypływ układów w jednym stanie ( np. w stanie n = 0 ) i ubytek układów w drugim stanie ( rys. 1.21). W przypadku stacjonarnym różnica pomiędzy przypływem i ubytkiem w każdym ze stanów n jest równa zero ( przypływ jest równy ubytkowi ).

Stąd otrzymujemy zależność :

gdzie pstac.1(0) – jest prawdopodobieństwem zasiedlenia stanu n = 0.

Rys. 1.21 Stan stacjonarny. Wynikowy strumień skierowany jest z lewej na prawo.

Dla liniowego jednokrokowego procesu, dla którego łn= ł’1n + ł0 , gn = g’1n + g0, można wskazać ogólna metodę rozwiązania. Równanie M ma w tym przypadku postać :

W pierwszej kolejności można pokazać, że z warunku normowalności rozkładu prawdopodobieństw :

∞

ΣΣΣΣ

pstac.1(n) < ∞ n=0

wynika, że rozwiązanie stacjonarne pstac.1(n) istnieje, jeśli g’1/ ł’1 < 1.

Kiedy g’1/ ł’1 = 1, rozwiązanie stacjonarne istnieje przy ł0 > g0.

Ogólne rozwiązanie równania (11.8) można otrzymać z pomocą funkcji tworzącej :

F(z, t) =

ΣΣΣΣ

zn p1(n, t ) (1.119)

( porównaj podrozdział 1.15 ). Na podstawie takiej funkcji tworzącej możemy wyliczyć momenty < N(t) >, < N2(t) >, ...

lub kumulanty. Mnożąc równania (1.118) przez zn i sumując po wszystkich n, znajdujemy :

W celu rozwiązania takiego rrc na płaszczyźnie (z, t) wykorzystamy metodę funkcji charakterystycznych. W wyniku takiego podejścia otrzymujemy :

Funkcja Φ jest określona przez warunki początkowe. W szczególności, jeśli w charakterze warunku początkowego przyjmiemy, że układ w chwili t0 znajduje się w stanie m :

to rozwiązanie przy g’1≠ ł’1 będzie miało postać :

gdzie ε = exp[(g’1– ł’1 ) ( t – t0 )]

Przy g’1 = ł’1 otrzymamy :

Dla nieliniowego jednokrokowego procesu, takiego rozwiązania w postaci zamkniętej nie udało się zbudować. Jednakże można zbudować rozwiązanie przybliżone, jeśli przejdziemy od zmiennej dyskretnej n do zmiennej ciągłej x i

aproksymujemy równanie kinetyczne, równaniem Fokkera-Plancka w sensie rozkładu Kramersa-Moyala.

Zadanie 1.18 Otrzymać wyrażenie (1.121) metoda funkcji charakterystycznej.

1.4.2 Przykłady liniowych procesów jednokrokowych.

Rozpatrzymy teraz kilka prostych przykładów procesów jednokrokowych ( zobacz również [5]). Ogólna metoda rozwiązania opisana jest w poprzednim podrozdziale.

a) Rozpad radioaktywny. W tym przypadku ł1= nw, gn = 0. Proces taki rozpatrujemy w podrozdziale 1.15.

b) Fluktuacje gęstości w gazie idealnym. Rozpatrzmy element objętości V. Niech liczba cząstek w tej objętości w chwili t wynosi n. Niech z częstością w ( prawdopodobieństwo przejścia w jednostce czasu ) cząstka wylatuje z objętości V, a z częstością przejść g0 cząstka wpływa do tej objętości z ośrodka otaczającego. Ponieważ w gazie idealnym cząstki poruszają się niezależnie od siebie, ma miejsce proces jednokrokowy :

ł1= nw, gn = g0

Standardowym rozwiązaniem równania M jest rozkład Poissona :

prówn.1(n) = ( µ1n /n!) exp(–µ1) , µ1 = < N >równ. = g0 /w (1.125) ( zobacz również podrozdział 1.1.3)

c) Jednowymiarowy ruch przypadkowy. Niech pewien obiekt przemieszcza się po węzłach dyskretnej sieci n = 0 , ±1, ± 2, ...

przy czym częstość przejścia z węzła n do węzła sąsiedniego po lewej lub prawej jest równa gn= łn = w.

Niech prawdopodobieństwo znalezienia obiektu w chwili t w węźle będzie równe p1(n, t).

Dla tego procesu nie istnieje rozkład stacjonarny pstac.1(n). Rozkład prawdopodobieństwa p1(n, t) „rozpływa” się po całej sieci, co jest charakterystyczne dla procesów typu dyfuzyjnego.

Zadanie 1.19 Znaleźć p1(n, t). Jak wygląda równanie Fokkera-Plancka, odpowiadające podanemu równaniu M ?

d) Szum śrutowy. Niech prawdopodobieństwo tego, że w interwale (t0 , t0 + t ) do anody wpływa n elektronów będzie równe p1(n, t). Przy tym pojawienie się kolejnego elektronu nie zależy od liczby już znajdujących się na anodzie elektronów ( proces Poissona ).

Zadanie 1.20 Pokazać, że rozkład prawdopodobieństwa p1(n, t) otrzymujemy z rozkładu Poissona (1.14) poprzez zamianę µ1 na g0t.

Rozpatrzmy efekt śrutowy dokładniej. Niech średnia liczba elektronów, wychodzących z katody i padających na anodę będzie równa g0. Wtedy dla średniego prądu otrzymamy I– = g0e.

Będziemy rozpatrywali wielkość I’(t) = I(t) – I– jako wielkość związana z procesem stochastycznym.

Dla takiej wielkości mamy < I’(t) > = 0.

Przekazany do chwili t ładunek jest równy :

Zgodnie z prawem wielkich liczb, kwadrat fluktuacji w przypadku zdarzeń niezależnych rośnie proporcjonalnie do wartości średniej ( zobacz rozkład dwumianowy (1.8)) :

< ( N – < N >)2 > = < N > (1.127)

tak, że :

Z pomocą takiego wyrażenia możemy obliczyć funkcje autokorelacyjną dla prądu ϕI’I’ (∆t), jeśli założymy, że korelacja prąd –prąd jest proporcjonalna do δ-funkcji :

ϕI’I’ (∆t) ~ δ(∆t) (1.129)

Z (1.128) z uwzględnieniem (1.126) wynika :

Stąd znajdujemy współczynnik proporcjonalności w zależności (1.129) :

a dla gęstości spektralnej otrzymujemy wyrażenie :

< ... >∆f - oznacza uśrednienie wszystkich składowych spektralnych I’2(ω) po interwale częstościowym ∆f.

Zatem, gęstość spektralna szumu śrutowego ( jako miara fluktuacji prądu ) jest proporcjonalna do średniego prądu.

1.4.3 Przykłady nieliniowych procesów jednokrokowych.

Jednokrokowe procesy nieliniowe odgrywają ważną rolę w kinetyce reakcji chemicznych. Nie istnieją dla nich rozwiązania, które wyrażają się w postaci zamkniętej, tak jak to ma miejsce dla liniowych procesów jednokrokowych.

W przybliżeniu można je opisywać z pomocą równania Fokkera-Plancka [5].

W charakterze typowego przykładu rozpatrzymy reakcje w gazie, który składa się z nA atomów rodzaju A i nB atomów rodzaju B, przy czym n atomów każdego rodzaju wchodzi w skład dwuatomowej molekuły AB. Częstość przejść gn dla reakcji postaci A + B = AB ( tworzenia się molekuły z dwóch atomów ) jest proporcjonalna do liczby atomów swobodnych n – nA rodzaju A i liczby n – nB atomów swobodnych rodzaju B :

Przy asocjacji dowolnej molekuły AB → A + B częstość przejść jest proporcjonalna do liczby molekuł łn= łn.

Dla ustanowienia związku pomiędzy współczynnikami g i ł można wykorzystać ogólne wyniki obliczenia stanu równowagowego. Z (1.116) otrzymujemy dla rozkładu równowagowego :

prówn.1(n) = const ( nA ) ( nB ) n! (gł )n (1.134) ( n ) ( n )

Z drugiej strony z rozkładu kanonicznego dla stanu w którym utworzyło się n molekuł i któremu odpowiada energia wiązania – nε, ε - jest energią wiązania dla jednej molekuły ( energia kinetyczna nie jest uwzględniana ), otrzymamy następujące wyrażenie :

prówn.1(n) = const ( nA ) ( nB ) n! exp(nε /kBT ) (1.135)

( n ) ( n )

Czynniki reprezentujące sobą wagi statystyczne podanego stanu, pojawiają się na mocy tego, że z nA atomów rodzaju A i nB atomów rodzaju B, można dowolnie wybrać po n atomów, a pośród wybranych utworzyć dowolne parowanie.

Przy bardziej ścisłych obliczeniach czynnik exp(nε /kBT ) zamieniany jest na relacje odpowiednich sum po stanach, w wyniku czego otrzymujemy prawo mas. Porównanie wyrażeń (1.134) i (1.135) daje zasadę równowagi w postaci : g = ł exp(ε /kBT )

Przy nB >> nA można w przybliżeniu przyjąć : gn = gnB ( nA – n )

tj. rozpatrywać liniowy proces jednokrokowy. Wtedy też w charakterze równowagowego otrzymamy rozkład dwumianowy :

prówn.1(n) = const ( nA ) exp(nε /kBT ) (1.136)

( n )

Analogicznym przykładem jest skompensowany półprzewodnik, w obszarze walencyjnym którego może znajdować się nν elektronów, a w obszarze przewodności nc elektronów.

Prawdopodobieństwo p1(n) znalezienia n ( = 0, 1, ... , nc ) elektronów w obszarze przewodności może się zmieniać przy rekombinacji jednego z n elektronów z jedną z n dziur. ( rys. 1.22).

W równaniu M dla n(t) częstość przejść dla takiego procesu ma postać ł = łn2.

Każdy z nν – n elektronów obszaru walencyjnego może przejść ( zostać wzbudzonym ) do jednego ze stanów swobodnych obszaru przewodności.

Częstość przejść dla takiego procesu jest równa : gn = g ( nν – n ) ( nc – n )

Jeśli dla uproszczenia przyjmiemy, że interwał energetyczny pomiędzy stanami obszaru walencyjnego i obszaru przewodności można scharakteryzować jedną wartością średnią ε, to z rozkładu kanonicznego otrzymamy :

prówn.1(n) = const ( nν ) ( nc ) exp(εn /kBT ) (1.137)

( n ) ( n )

Taki wynik równowagowej termodynamiki statystycznej można ponownie wykorzystać w celu otrzymania związku pomiędzy częstościami przejść w równaniu M.

Rys. 1.22 Obszar przewodnictwa (C ) i obszar walencyjny (V) w półprzewodniku.

Z zasady szczegółowej równowagi znajdujemy : g/ł = exp( –ε/kBT)

Zadanie 1.21 Zapisać równanie M dla półprzewodnika typu n ( nc >> nν )

W charakterze następnego przykładu rozpatrzymy prawo wzrostu Malthusa, zgodnie z którym prędkość rozpadu zależy od gęstości. Prawo to opisuje autokataliczne reakcje chemiczne, może być jednakże stosowane również dla opisu rozwoju populacji. Do równania M (1.113), (1.114) dla p1(n, t) podstawimy następujące wielkości :

co daje nam następujące równanie ( zobacz [5] ) :

Odpowiednie równanie makroskopowe ma postać [5] :

n^• = ( β– α )n – γn2 (1.140)

Równanie to ma rozwiązanie o postaci :

n(t) = nstac. / { 1 – ( 1 – nstac. )/ n0 exp[ –( β – α )t ]} (1.141)

Wraz z rozpatrzonymi tutaj procesami jednokrokowymi istnieją również procesy, w których dopuszczalne są nie tylko przejścia pomiędzy stanami – bezpośrednimi sąsiadami, ale również pomiędzy stanami, różniącymi się od siebie o kilka kroków. Przykładami takich wielokrokowych procesów jest proces rozczepienia jądra, przy którym jednocześnie wyswobadza się kilka neutronów lub kreacja jąder bliźniaczych. Zarówno proces jednokrokowy jak i wielokrokowy, mówiąc ogólnie są również możliwe również przy tworzeniu się nowej fazy (nukleacji) ( zobacz podrozdział 2.4.4) Równanie M dla procesu jednokrokowego lub, w ogólnym przypadku dla procesów wielokrokowych można rozwiązać w przybliżeniu poprzez przejście do równania Fokkera-Plancka ( zobacz podrozdział 1.3.3). Przy tym należy przejść od zmiennej dyskretnej n do zmiennej ciągłej a. Załóżmy, że prawdopodobieństwa zmieniają się wolno przy zmianie a, jednocześnie częstości przejść szybko zanikają wraz ze zwiększaniem się różnicy a – a’.

Wtedy w rozkładzie Kramersa-Moyala można ograniczyć się tylko do pierwszych dwóch momentów. Jeśli takie momenty nie są zależne od a, tj. :

α1(a) = α1,0 , α2(a) = α2,0 ; gdzie α1,0 , α2,0 – stałe

otrzymamy proces Wienera. Jeśli α1(a) – będzie liniową funkcją a, tj. : α1(a) = α1,0 + α1,1a , α2(a) = α2,0 – stała

dochodzimy do procesu Ornstein’a–Uhlenbeck’a ( zobacz podrozdział 1.3.5) Jeśli rozpatrujemy przypadek procesu jednokrokowego, to otrzymamy :

przy czym dla wykorzystywania równania Fokkera-Plancka należy ponownie przejść od zmiennej dyskretnej (n) do zmiennej ciągłej (a). Jeśli współczynniki α1(a) i α2(a) ponownie przedstawiają sobą odpowiednio funkcje liniową i stałą, to równanie Fokkera-Plancka można rozwiązać w zamkniętej postaci, a proces jest procesem Gaussa. W przypadku ogólnym współczynniki α1(a) i α2(a) należy rozłożyć w szereg w pobliżu pewnej wartości a i zbudować lokalny proces Gaussa, który można rozpatrywać jako przybliżone rozwiązanie równania Fokkera-Plancka.

Zadanie 1.22 Wyprowadzić zależność (1.142).

1.4.4 Szum biały i twierdzenie Nyquista.

Opisany w podrozdziale 1.3.1 proces Langevina nazywa się również szumem białym. Jest to stacjonarny gaussowski proces Markowa. Funkcja autokorelacyjna jest proporcjonalna do δ-funkcji, dlatego nie istnieje skończony czas korelacji τ.

Gęstość spektralna nie jest zależna od częstości, skąd pochodzi nazwa – szum biały.

Pojęcie szumu białego reprezentuje sobą idealizacje, która może być zastosowana np. dla opisu ruchu Browna.

W procesach rzeczywistych czas korelacji τ, jest oczywiście skończony, co przejawia się w istnieniu w spektrum

energetycznym częstości granicznej ωc = 1/τ. W charakterze przykładu w podrozdziale 1.3.5 zapoznaliśmy się z procesem Ornstein’a–Uhlenbeck’a ( zobacz rys. 1.13).

Jak pokazano w podrozdziale 1.3.2 czas korelacji 1/γ z jednej strony określa procesy dyssypacyjna w układzie, a z drugiej strony - jest on związany z fluktuacjami. Zagadnienie związku fluktuacji z procesami dyssypatywnymi rozpatrujemy dokładnie w rozdziale 4. Teraz w charakterze konkretnego przykładu otrzymamy wzór Nyquista, opierając się na prostym modelu.

Niech w przewodniku o oporze R, długości L ( w kierunku z ) i przekroju poprzecznym A, znajduje się N elektronów ( gęstość elektronów n ). Elektrony będziemy opisywali jako cząstki klasyczne. Ich rozkład równowagowy spełnia prawo Maxwella. Niech elektrony poruszają się niezależnie od siebie, a ich ruch można scharakteryzować czasem korelacji τ.

Składową z prędkości i-tego elektronu ( vz(i) ) będziemy rozpatrywali jako funkcje przypadkową. Z taką fluktuującą prędkością elektronu związana jest fluktuująca gęstość prądu je(t) :

a zatem mamy również fluktuujący prąd całkowity I(t), którego fluktuacje nie są generowane przez przyłożone napięcie, a przez nieuporządkowany, przypadkowy ruch elektronów. Prądowi temu odpowiada przypadkowy spadek napięcia U(t) = RI(t)

Który można wprowadzić w celu opisania wskazanego prądu termicznego, z wykorzystaniem prawa Ohma.

Równowagowa funkcja korelacyjna :

sprowadza się do funkcji korelacyjnej dla prędkości :

Symbol Kroneckera δij pojawia się na mocy założenia wzajemnej niezależności ruchu elektronów.

Zanik funkcji autokorelacyjnej ϕvv(∆t ) można w przybliżeniu przedstawić przez zależność ekspotencjalną z czasem charakterystycznym τ ( czas korelacji ) ( zobacz również wzór (1.51)). W przypadku równowagowego rozkładu Maxwella otrzymamy :

< V2 > = kBT/m

( prawo równomiernego rozkładu energii po stopniach swobody )

Z elementarnej teorii kinetycznej łatwo otrzymać związek pomiędzy przewodnością σ i średnim czasem drogi swobodnej τ, która określa zanikanie prędkości :

Stąd dla gęstości spektralnej funkcji korelacyjnej ϕUU(∆t ) otrzymamy ( zobacz wzór (1.52)) :

Przy ωτ << 1 dla kwadratu fikcyjnego napięcia U(ω) w interwale częstości ( ω, ω + ∆ω ) otrzymujemy zależność :

lub, jeśli w miejsce częstości kołowej ω przyjmiemy częstotliwość f = ω/2π :

Podana zależność pomiędzy charakterystyką dyssypatywną (R) i wielkością fluktuującą (U) nazywa się wzorem Nyquista i jest on przypadkiem szczególnym twierdzenia fluktuacyjno-dyssypacyjnego ( zobacz również (1.72)) Prosty wywód wzoru Nyquista można otrzymać z równania Langevina dla prądu i obwodu elektrycznego :

Obwód rezonansowy można rozpatrywać dokładnie w ten sam sposób, jak oscylator harmoniczny ( zadanie 1.14).

Dla gęstości spektralnej fluktuacji prądu otrzymujemy :

gdzie :

z(ω) = R – i( Lω – 1/Cω) – jest zespoloną impedancją obwodu.

Z uwzględnieniem zależności : SII(ω) = SUU(ω)/ | z(ω) |2

otrzymujemy wzór Nyquista dla elektrycznego obwodu rezonansowego.

Wzór Nyquista można uogólnić na przypadek kwantowy. Przy tym już nie można wykorzystywać prawa o równomiernym rozkładzie energii po stopniach swobody i zamienić wielkości < V2 > na wielkość kBT/m.

Dla oscylatora harmonicznego mamy wzór Plancka :

Z wyrażeń (.44) – (1.146) otrzymujemy kwantowe uogólnienie wzoru Nyquista (1.148) :

1.4.5* Szum 1/f.

Fluktuacje natężenia (szum ) w obwodzie elektrycznym przy wystarczającym wzmocnieniu można zmierzyć bezpośrednio.

Poziom szumu określany jest przez kilka składowe. W równowadze, kiedy nie przyłożono stałego napięcia zewnętrznego ( U0 = 0 ) i nie występuje stały prąd ( I0 = 0 ), na elementach obwodu elektrycznego istnieją fluktuacje napięcia U(t), które określane są przez wzór Nyquista.

Jak pokazano w poprzednim podrozdziale, w przypadku klasycznym ( hω << kBT ) dla gęstości spektralnej przy częstościach poniżej częstości granicznej (1.148) otrzymujemy :

SUU(f) = 4πkBTR (1.53a)

Wykorzystaliśmy tutaj częstotliwość f = ω/2π w miejsce częstości kołowej ω.

Przy stałym prądzie I–0 ≠ 0 poziom szumu wzrasta. Wraz z szumem śrutowym, który jest proporcjonalny do prądu I i nie zależy od częstości ( wzór (1.132)), w spektrum szumu obserwujemy składową proporcjonalną do 1/f, a zatem istotny jest dla tego przypadku obszar niskich częstości.

Szum tego typu obserwuje się w m.in. w monokryształach półprzewodnikowych, szkłach, elektrolitach itp.

Jego istnienie stwierdza się również w układach nieelektrycznych ( biologicznych, geofizycznych, astrofizycznych itp. ) Stanowi on zatem zjawisko o charakterze uniwersalnym. Dalej ograniczymy się do analizy układów elektrycznych [19].

Ważną cechą szumu 1/f jest to, że jego spektrum nie posiada ograniczenia w obszarze niskich częstości. Z tego powodu gęstość spektralna jest rozbieżna przy f = 0, jest również rozbieżna całka od tej gęstości po wszystkich częstościach.

Z fizycznego punktu widzenia to oznacza, że odpowiedni proces nie posiada stanów stacjonarnych. Spektrum szumu 1/f jest rozbieżne logarytmicznie :

Chociaż pomiary, prowadzono aż do częstotliwości 5 • 10-7 [Hz], nie stwierdzono granicy spektrum energetycznego szumu 1/f, rozbieżność logarytmiczna jest ograniczona w skrajnym przypadku częstościami, odpowiadającymi wiekowi

Wszechświata ( ~ 1017[s] ). W obszarze wysokich częstotliwości częstości spektralne szumu 1/f nie przewyższają częstości charakterystycznych procesów atomowych. Całościowo energia szumu 1/f nie jest duża, dlatego omawiana rozbieżność nie ma praktycznego znaczenia.

Podstawowy problem matematyczny – obliczenie funkcji autokorelacyjnej zgodnie z twierdzeniem Wienera-Chinczyna (1.49) :

Przy tym pod znakiem całki pojawia się parzysta względem f funkcja, która pozwala tylko w przybliżeniu odtworzyć zależność o postaci S(f) ~ 1/f. Próby aproksymowania 1/f-spektrum spektrum lorentzowskim (1.52) :

S(ω) ~ τ/ ( 1 + ω2τ2 )

z odpowiednią funkcją rozkładu g(τ) ~ τ–1, zgodnie z zależnością :

trudno jest uzasadnić dla dużych częstości, dla których ustanowiono zależność postaci 1/f.

Zależność tą należy rozpatrywać jako własność ansamblu statystycznego. Przykładowo, dla błądzenia przypadkowego w ośrodku doznającego fluktuacji, prawdopodobieństwa przy każdym kroku nie są równe ½, ale doznają przypadkowych drgań o spektrum ~ ( ln(f ))α /f , α = 4. W miejsce zależności ~ ln(t), charakterystycznej dla funkcji korelacyjnej czystego 1/f-procesu, dla danej zmodyfikowanej gęstości spektralnej otrzymamy następująca asymptotykę funkcji korelacyjnej przy dużych czasach :

~ ( ln(t))–1 ( jeśli α = – 2 )

Proces stochastyczny, odpowiadający szumowi 1/f, nie jest procesem stacjonarnym. Im dłuższy czas obserwacji, tym większe są fluktuacje. Aby scharakteryzować ten proces, wykorzystamy dyspersje według Allena :

gdzie MT(1) , MT(2) - całki po czasie od funkcji przypadkowej po interwale, odpowiednio ( t, t + T ) i ( t + T , t + 2T ) Uśrednienie prowadzimy po wystarczająco dużej liczbie punktów czasowych.

Taka definicja dyspersji pozwala rozróżnić różne składowe gęstości spektralnej na drodze analizy jej zmienności w zależności od T :

Przykładowo, dyspersja według Allena wykorzystywana jest w analizie prędkości zliczania rozpadu radioaktywnego pierwiastków transuranowych.

Dla szumu 1/f o gęstości spektralnej postaci C/ | f | taka dyspersja jest równa 2CT2 ln(2), dla poissonowskiego szumu śrutowego o średniej prędkości zliczania m i gęstości spektralnej (1.132) dyspersja według Allena jest równa mT, tak że przy nałożeniu obu tych procesów otrzymamy :

Dla spektrum szumu 1/f istnieje empiryczna zależność Hoge’a :

która wyraża ta okoliczność, że gęstość spektralna szumu 1/f dla napięcia, prądu i oporu jest proporcjonalna do kwadratu odpowiedniej wielkości i odwrotnie proporcjonalna do liczby nośników ładunku N, uczestniczących w danym procesie.

Liczbowa wartość stałej Hoge’a α, jest często wykorzystywana dla scharakteryzowania szumu 1/f, dla układu w którym proces rozpraszania elektronów na fononach dominuje nad innymi procesami, wynosi ona wtedy 2 • 10-3 jednakże dla wielu układów zmierzona została znacznie mniejsza wartość ~ 10-6 W półprzewodnikach, gdzie ma miejsce rozpraszanie elektronów na sieci i domieszkach, z eksperymentem dobrze zgadza się zależność

α = ( µ /µsieć )2 α0

przy czym ruchliwość elektronów µ ma postać : µ–1 = µsieć–1 + αdomieszki–1

Szereg zagadnień związanych z fizycznymi przyczynami pojawiania się szumu 1/f nie jest jeszcze znane.

Chodzi o efekt wymiany, który jednocześnie zależy od własności powierzchniowych danego materiału. Oporność sama podlega fluktuacją, o czym świadczy zmierzona intensywność szumu termicznego ( zobacz (1.148)) w przypadku nie występowania przepływu prądu. Wyniki otrzymane przy obecności takiego przepływu tylko potwierdzają istnienie podobnych fluktuacji :

SII(f) ~ I2

Pozostaje również niejasne czym generowane są fluktuacje oporu – czy przez fluktuacje liczby nośników ładunku czy przez fluktuacje ich ruchliwości. Nie jest jasne również czy można opisywać 1/f –szum z pomocą procesu Gaussa. Oprócz tego dane eksperymentalne, wiążące się z możliwymi fluktuacjami temperatury są również sprzeczne.

Oryginalne podejście do analizy szumu 1/f w ramach MQ przedstawiono w pracy [19g]. Podejście takie oparte jest na rozbieżnym w obszarze IR oddziaływaniami układu z polem EM lub innymi wzbudzeniami elementarnymi ( fononami, eksitonami, stanami związanymi itd. )

Każda cząstka naładowana, która doznaje rozpraszania, generuje promieniowanie hamowania. Przypadająca na

jednostkowy interwał spektralny intensywność takiego promieniowania W(f) przy niskich częstotliwościach dąży do stałej wartości W, a przy częstotliwościach rzędu E/h ( E – energia kinetyczna elektronu ) zeruje się. Zatem,

prawdopodobieństwo emisji fotonu w pewnym interwale częstotliwości określone jest przez zależność : N(f ) = W/hf

tzn. jest proporcjonalna do 1/f. Przykładowo, wiązka elektronowa doznająca rozpraszania na układzie cząstek

naładowanych, zawiera istotny wkład pochodzący od procesów, różnych od promieniowania hamowania. Jednakże wiązka taka będąc niekoherentną mieszaniną fal o amplitudzie b(ε) ( | b(ε) |2 ~ 1/ε , ε = hf – strata energii quasi elastycznie

rozpraszanego elektronu ) i przypadkowej fazie doznaje fluktuacji o spektrum częstotliwościowym proporcjonalnym do 1/f.

Intensywność promieniowania hamowania zadana jest przez zależność : W = 4e2 | ∆ν |2 / 3c2

Gdzie ∆ν- oznacza zmianę prędkości ładunku e w procesie rozpraszania.

Stąd możemy otrzymać wyrażenie dla stałej Hoge’a w wyrażeniu dla spektrum szumu 1/f :

Zmierzona prędkość zliczania dla rozpadu radioaktywnego pierwiastków transuranowych, jak się wydaje potwierdza otrzymaną wartość α.

W teorii ciała stałego szum 1/f często wiąże się z „wolnymi” procesami relaksacyjnymi. Do takich procesów zalicza się np.

migracja defektów, ruch dyslokacji, relaksacja strukturalna w układach amorficznych, procesy tunelowania w układach dwupoziomowych ( potencjał z dwoma jamami ) i inne. Ważną rolę odgrywają wolne procesy relaksacyjne w przejściach z stan szklisty ( podrozdział 4.4.3 ) oraz w anomalnym zachowaniu szkieł i polimerów. Ponieważ przyczyny fizyczne szumu śrutowego nie są do końca jasne, omawiane zjawisko stanowi odpowiedni obiekt badaη dla fizyków teoretyków.

1.5 Ku teorii stochastycznych równań różniczkowych (* srr *)

1.5.1 Stochastyczne równania różniczkowe.

Srr ustanawia związek pomiędzy procesem stochastycznym A(t) i innym procesem stochastycznym B(t). Typowym przedstawicielem takich równań jest równanie reprezentujące sobą uogólnienie równania Langevina :

funkcje f(b, t ) , g(b, t ) – przyjmujemy jako zadane – charakteryzują one zdeterminowaną część równania (1.155).

Równaniu takiemu możemy nadać następujące wyjaśnieni – każdej realizacji a(t) procesu stochastycznego A(t) przyporządkowana jest realizacja b(t) pewnego nowego procesu stochastycznego B(t).

W charakterze konkretnego procesu A(t) rozpatrzymy szum biały tj. zdefiniowany w podrozdziale 1.31 proces R(t).

Wprowadzając następujące oznaczenia :

możemy zapisać formalne rozwiązanie równania (1.155) w postaci stochastycznego równania całkowego :

gdzie W(t’ ) – oznacza proces Wienera.

Stochastyczne równanie różniczkowe (1.155) i stochastyczne równanie całkowe (1.157) są nowymi obiektami

matematycznymi wymagającymi odpowiedniego sformułowania. Realizacjami procesu Wienera W(t) są funkcje w(t), które są prawie wszędzie nie różniczkowalne ( zobacz podrozdział 1.3.5). Zatem, klasa funkcji analitycznych, które z definicji mogą być przedstawione za pomocą szeregów potęgowych, powinna być rozszerzona. Z drugiej strony, proces Wienera można rozpatrywać jako całka od szumu białego R(t), to oznacza, ze realizacje szumu białego, a zatem i równanie Langevina matematycznie są źle określone, jeśli tylko ograniczmy się do zwykłych funkcji. Można zakładać, ze

W dokumencie Nierównowagowa mechanika statystyczna von Gerd Röpke (Stron 33-48)