Metody rozwiązywania równania Boltzmanna

3.2.1 Zlinearyzowane równanie Boltzmanna.

Równanie Boltzmanna ma bardzo złożoną strukturę, dlatego też w przypadku ogólnym nie można otrzymać jego rozwiązania f1(x, p, t) w zamkniętej postaci analitycznej. Rozwiązanie można zapisać wprost tylko dla przypadku równowagowego. Takie rozwiązanie przedstawia sobą rozkład Maxwella dla klasycznego gazu idealnego oraz

odpowiednio rozkład Fermiego lub Bosego dla zdegenerowanych gazów idealnych. Przy otrzymywaniu takich rozkładów wykorzystuje się tylko tą okoliczność, ze człon zderzeniowy posiada własność zachowywania liczby cząstek, pędu całkowitego i energii całkowitej.

Takie całki zderzeniowe otrzymujemy przy uśrednieniu początkowo dowolnej funkcji prędkości ψ(v) z boltzmannowską całką zderzeniową :

Przy zamianie numeracji cząstek i odwróceniu kierunku ruchu ( zamianie wartości prędkości cząstek do zderzenia na ich wartości po zderzeniu i odwrotnie ) następuje zmiana argumentu funkcji ψ, jednocześnie pozostałe wielkości, wchodzące do całki zderzeniowej nie zmieniają się ( zobacz (3.39) i rys. 3.2 ) :

Wyrażenie to zeruje się, jeśli :

ψ(v) = a + b • v + cv2 (3.69)

przy dowolnych stałych a, b, c; innymi słowy, mamy następujące zależności dla pięciu funkcji : ψ1 = 1, ψ2 = vx , ψ3 = vy , ψ4 = vz , ψ5 = v2

Podana własność całki zderzeniowej nie jest zależna od postaci potencjału oddziaływania. Stąd wynika, że rozkład równowagowy jako funkcja v zależy od prędkości tylko przez wielkości ψ1 , ... , ψ5

Wtedy to dla przypadku klasycznego otrzymujemy rozkład Maxwella. Parametry a, b, c określone są przez potencjał chemiczny µ, lub gęstość n1, średnią prędkość v i temperaturę T.

Równanie Boltzmanna można bez trudu uogólnić na wieloskładnikowe układy. Stan układu może być scharakteryzowany nie tylko przez pęd cząstek, ale również zmienne wewnętrzne s, takie jak spin, izospin itp.

Do takich zmiennych można włączyć również rodzaj cząstek :

Równanie Boltzmanna można uogólnić również uwzględniając zmianę przy zderzeniu rodzaju cząstek

( reakcja chemiczna ) lub wewnętrznych liczb kwantowych ( przejścia do stanów wzbudzonych dla cząstek związanych ), momenty pędu, spinu itp.

Wyprowadzenie równania kinetycznego z uwzględnieniem procesów nieelastycznych typu reakcji chemicznych, emisji cząstek, wzbudzenia wewnętrznych stopni swobody stanowi ważne zagadnienie nierównowagowej mechaniki statystycznej Zagadnienie to może być rozwiązane analogicznie jak to było zrobione w podrozdziale 3.1.2

Dla rozwiązania równania Boltzmanna należy obliczyć różniczkowy przekrój rozpraszania, który określony jest przez konkretną postać potencjału U( x – x’ )

Takie zagadnienie kwantowo mechaniczne jest rozwiązywane z pomocą szeregu Borna lub rozkładu względem fal parcjalnych.

Istotną trudność przy rozwiązywaniu równania Boltzmanna stanowi jego istotna nieliniowość. Istnieją różnorodne metody przybliżeń, które pozwalają przejść do liniowego równania kinetycznego. Takie zlinearyzowane równanie Boltzmanna może być rozwiązanie z pomocą standardowych metod rozwiązywania równań liniowych.

Równanie to upraszcza się dla układu dwuskładnikowego w którym masa cząstek jednej składowej me ( powiedzmy masa elektronów ) jest mała w porównaniu z masą cząstek drugiej składowej mi ( powiedzmy jonów )

W przybliżeniu zerowym względem stosunku mas me /mi ( przybliżenie adiabatyczne ) lekkie cząstki doznają rozproszenia elastycznego, na potencjale który zadany jest przez centrum siłowe. W takim przypadku, równanie Boltzmanna ma postać ( zderzenia elektron-elektron nie występują, a gęstość jonów jest równa ni ) :

Następne przybliżenie zawierające efekty rzędu (me /mi )½ pozwala uwzględnić dynamikę jonów ( oddziaływanie elektron-fonon )

Linearyzacje omawianego równania można również przeprowadzić, kiedy rozpatrujemy dyfuzję silnie rozrzedzonej składowej zawartej w drugiej składowej – komponencie 1, znajdującej się w stanie równowagi. W takim przypadku otrzymujemy :

W przypadku ogólnym linearyzacje równania Boltzmanna można przeprowadzić, jeśli szukana funkcja rozkładu mało różni się od funkcji rozkładu w określony sposób wybranego rozkładu równowagowego, który zeruje całkę zderzeniową.

Jeśli zaniedbamy nielokalność, to taki rozkład równowagowy określony jest przez pięć inwariantów zderzeń. Istnienie takich inwariantów oznacza, że średnia gęstość cząstek n1(x, s, t ), średnia gęstość pędu ρ v0(x, t) i średnia gęstość energii 3/2 kB T(x, t ) ΣΣΣΣ n1(x, s, t )

s

przy zderzeniach nie zmieniają się. Takie uśrednione wielkości można obliczyć z pomocą jednocząstkowej funkcji rozkładu :

W charakterze relewantnej jednocząstkowej funkcji rozkładu, określającej lokalną równowagę przy zadanych warunkach dodatkowych, otrzymamy rozkład Maxwella :

Rozpatrzmy odchylenie funkcji rozkładu od zadanego lokalnego rozkładu równowagowego :

Całka zderzeniowa (3.70) w przybliżeniu liniowym względem takiego odchylenia ma postać :

Taką zlinearyzowaną całkę zderzeniową można otrzymać z rozkładu Chapmana-Enskoga dla równania Boltzmanna.

Wprowadźmy teraz do równania Boltzmanna parametr ε ( 1 = x1, v1, s1 , t ) :

W granicy ε → 0 całka zderzeniowa, której odpowiada ustanowienie lokalnej równowagi, staje się bardzo duża.

Dlatego tez przedstawimy funkcje rozkładu w postaci szeregu potęgowego względem ε :

Podstawiając taki szereg do równania Boltzmanna i porównując współczynniki stojące przy jednakowych potęgach ε z uwzględnieniem tego, ze całka zderzeniowa w przypadku rozkładu równowagowego zeruje się, znajdujemy :

Przy dodatkowym warunku, że inwarianty zderzeniowe (3.73) są otrzymane już z zerowym przybliżeniem f10 dla funkcji rozkładu z równań (3.79) można otrzymać funkcje f1n i w granicy ε = 1 obliczyć funkcje rozkładu. Z drugiego równania (3.79) otrzymujemy zlinearyzowaną całkę zderzeniową (3.76).

3.2.2 Metoda czasu relaksacji.

Przewodność elektryczna σ - jest to współczynnik transportu wiążący średnią gęstość prądu jel , ze średnim natężeniem wewnętrznego pola elektrycznego E :

jel = σE (3.80)

Rozpatrujemy tutaj statyczne i jednorodne pole ( przewodność przy stałym prądzie ). Gęstość prądu określana jest jako średnia wartość mikroskopowego wyrażenia :

Jednocząstkowa funkcja rozkładu :

f1(v, s) = f1(p, s) ms3 /(2πh )3 , p = ms v jest rozwiązaniem równania Boltzmanna.

Rozpatrujemy obecnie przewodność elektryczną, generowaną przez elektrony ( me = m ). Zamienimy sumę po rodzaju cząstek na czynnik 2 ( sumowanie po spinach ). Rozpraszanie ze stanu o pędzie p do stanu o pędzie p’ określone jest przez oddziaływanie z jonami. Możemy przy tym zaniedbać wzajemne oddziaływanie elektronów.

Przy dowolnym stopniu zdegenerowania elektronów dogodnie jest wykorzystywać bezwymiarową funkcje rozkładu f1(p).

Kwantowomechaniczne uogólnienie wyrażenia (3.71) prowadzi do następującego równania Boltzmanna ( zobacz również (3.40), (3.42)) :

W charakterze przykładu zapiszemy wyrażenie dla częstości przejść wp’p z określonego stanu początkowego p do określonego stanu końcowego p’ w przybliżeniu adiabatycznym. Na mocy dużej różnicy mas elektronów i jonów, jony możemy traktować jako centra siłowe, o ustalonym położeniu w przestrzeni. Przy rozpraszaniu elastycznym na potencjale :

gdzie Xi – są ustalonymi współrzędnymi jonów

otrzymamy w przybliżeniu Borna ( lub z pomocą zależnej od czasu teorii zaburzeń ) złotą zasadę Fermiego ( zobacz wzór (2.153)) :

Ten tzw. model Lorentza ( elastyczne rozpraszanie elektronów na centrach sił ) pozwala nam znaleźć rozwiązanie równania kinetycznego w zamkniętej postaci. Może ono być stosowane dla obliczania przewodności metali, plazmy i

półprzewodników [47].

W celu rozwiązania równania Boltzmanna (3.82) ponownie wykorzystamy przybliżenie (3.75) :

Na początku rozpatrzymy ogólny przypadek zderzenia nieelastycznego. Rozkład równowagowy f10(Ep ) otrzymujemy z zasady równowagi szczegółowej :

Wykorzystując takie wyrażenie, z (3.82) otrzymamy :

Zdefiniujemy teraz tensor czasu relaksacji τ^(p) z pomocą zależności :

która pozwoli zapisać wyrażenie (3.87) w następującej postaci :

gdzie eE = E /E

Wyrażenie (3.89) można rozpatrywać jako definicje tensora τ^(p).

Ponieważ rozkład równowagowy f10(Ep ) jest parzystą funkcją p, to gęstość prądu jest określona tylko przez odchylenia od rozkładu równowagowego :

Zatem, przewodność wyraża się przez tensor czasowej relaksacji :

Przyjęliśmy tutaj iż σ jest skalarem, a wektory jel , E , ez – są równoległe.

Obliczenie tensora τ^(p) jest szczególnie proste, jeśli możemy go zamienić na skalarny czas relaksacji τ(p).

Taka zamiana jest możliwa np. w tym przypadku, kiedy rozpraszanie elektronów jest elastyczne i izotropowe, tak że częstość przejść :

zależy jedynie od kąta rozpraszania θ = ∠ (p, p’ ) oraz wielkości absolutnej pędów p

Wtedy to z (3.89) dla czasu relaksacji odpowiada wyrażenie :

o czym można się łatwo przekonać przez podstawienie p = pez do wyrażenia (3.89). Zatem, dla przewodności w przybliżeniu Borna znajdujemy ( porównaj z (2.153)) :

W charakterze przykładu rozpatrzymy rozpraszanie na ekranującym potencjale coulombowskim :

gdzie κ–1 – promień Debye’a.

Dla potencjału (3.83) otrzymamy :

( p’ – p = hq ) przy czym :

- jest statystycznym czynnikiem strukturalnym, określonym przez rozkład jonów ( podrozdział 2.2.1)

Przy statystycznie niezależnym rozkładzie jonów do sumy podwójnej dają wkład tylko człony z i = j, przy tym :

< S(q) > = 1

Człony z i ± j zawierają czynniki fazowe, które są wydalane przy uśrednieniu po rozkładzie jonów.

Wykorzystując zależność pomiędzy wektorem q i kątem rozpraszania θ przy zderzeniu elastycznym : hq = 2p sin( ½θ) , 1 – cos(θ) = 2sin2( ½θ )

otrzymujemy dla czasu relaksacji wyrażenia o postaci :

Stąd w granicy klasycznej (f10(Ep ) << 1 ) przy Ni = N znajdujemy :

Całkowanie po p można wykonać numerycznie dla znanej funkcji Λ(p). Podane wyrażenie dla przewodności w modelu Lorentza w przybliżeniu Borna nie zawiera oddziaływania elektron-elektron. Chociaż takie oddziaływanie pomiędzy elektronami nie zmienia całkowitego pędu układu elektronów, to zmienia ono funkcje rozkładu elektronów, a zatem okazuje pośredni wpływ na przekaz całkowitego pędu od układu elektronów do układu jonów. Ponieważ mówimy nie o rozpraszaniu elastycznym na określonym potencjale, przybliżenie czasu relaksacji nie daje ścisłego wyrażenia dla przewodności. Ściślejsze przybliżone metody obliczania przewodności będziemy rozpatrywali w podrozdziałach 3.2.4 i 4.2.4.

Przybliżenie Borna dla rozpraszania elektron-jon można bez trudności ulepszyć na drodze wprowadzenia różniczkowego przekroju rozpraszania lub faz rozpraszania dla potencjału oddziaływania ( zobacz podrozdział 4.2.4)

Dodatkowe przybliżenie, wykorzystane przy otrzymywaniu wyrażenia (3.96), polega na tym, że oddziaływani coulombowskie pomiędzy elektronami i jonami zamieniamy na statyczny potencjał ekranujący (3.93). W ten sposób osiągamy zbieżność przy obliczaniu wielkości Λ(p) (3.95), kiedy q → 0. Poprawne wielocząstkowe podejście, który powiedzmy, że daje teoria liniowej odpowiedzi ( zobacz rozdział 4), prowadzi do dynamicznie ekranującego potencjałowi.

Jednakże takie podejście wychodzi poza ramy zderzeń binarnych, które leżą u podstaw rozpatrywanego obecnie równania Boltzmanna.

Założenie związane ze skalarnym czasem relaksacji, mówiąc ogólnie, również jest przybliżeniem, zgodnie z którym czasowa zmiana jednocząstkowej funkcji rozkładu jest proporcjonalna do odchylenia od stanu równowagi. Z zależności (3.82), (3.85), (3.88) otrzymujemy :

Tylko dla rozpatrzonego powyżej przypadku szczególnego elastycznego izotropowego rozpraszania potencjalnego podane założenie o czasie relaksacji pozwala otrzymać ścisłe rozwiązanie równania Boltzmanna.

Obliczenie przewodności dla przypadku silnie zdegenerowanego układu elektronów (metale) prowadzi do wzoru Zimana :

Gdzie EF – energia Fermiego, kF – pęd Fermiego, Uei(q) – obraz Fouriera pseudopotencjału elektronowo-jonowego : Uei(q) =

∫

d3x exp(iqx) Uei(x)

Zadanie 3.7 Wyprowadzić wzór Zimana dla silnie zdegenerowanego układu elektronów ( elektronów przewodności w

W dokumencie Nierównowagowa mechanika statystyczna von Gerd Röpke (Stron 118-125)