Rozkłady grafów na drogi zamknięte
Stwierdzenie 4.8 Jeśli G jest grafem pełnym dwudzielnym ze zbiorami
podziału {X, Y } oraz π ⊆ X × X, ρ ⊆ Y × Y są bijekcjami, to odwzorowanie α ⊆ V (G) × V (G) takie, że α|X = π oraz α|Y = ρ, jest automorfizmem G. 2
Stwierdzenie 4.9 Jeżeli π ⊆ {1, . . . , a} × {1, . . . , a} jest bijekcją, to
następujące odwzorowania ¯π, ˜π ⊆ V (K′
a,a) × V (K′
a,a), zdefiniowane przez ¯
π(xji) = xjπ(i) oraz ˜π(xj
i) = x3−jπ(i) dla każdego i ∈ {1, . . . a} oraz j ∈ {1, 2}, są automorfizmami K′
a,a. 2
Dowód twierdzenia mówiącego o tym, że graf K′
a,ajest dowolnie rozkładal-ny na drogi zamknięte, będzie indukcyjrozkładal-ny ze względu na a. Dla a > 7
będziemy rozważać podgraf K′
a−4,a−4grafu K′
a,a, który jest indukowany przez zbiór wierzchołków X1
5,a∪ X2
5,a i eulerowski podgraf Ha := K′
a,a− K′
a−4,a−4, który jest krawędziowo-rozłączną sumą podgrafów K′
5,5 oraz G1
a ∼= G2
a ∼= K4,a−5 grafu K′
a,a, gdzie Gi
a jest podgrafem indukowanym przez zbiór Xi
1,4∪ X6,a3−i, i = 1, 2. Tak więc, definiując Ga := K′
5,5 ∪ G1
a, otrzymujemy Ha = Ga∪G2
a. Będziemy kolejno udowadniać, że grafy K′
5,5 oraz Ga, Ha są dowolnie rozkładalne na drogi zamknięte; ponadto, Ga-realizacja i Ha-realizacja spełnia-ją pewne dodatkowe własności. Zauważmy, że wszystkie omawiane przez nas powyżej grafy są dwudzielne.
Wzmocnienie twierdzeń jest potrzebne, ponieważ będziemy wykorzysty-wać techniki „sklejania dróg” oraz „wymiany krawędzi między drogami”. Dany graf dwudzielny G będziemy rozpatrywać jako krawędziowo rozłączną sumę dwóch grafów dwudzielnych G1oraz G2dowolnie rozkładalnych na drogi zamknięte. Główna idea dowodu polega na tym, że dany dopuszczalny ciąg η = (t1, . . . , tp) dla grafu G, dzielimy na dwa ciągi η1 = (t1, . . . , tq), η2 = (tq+1, . . . , tp) dopuszczalne dla G1, G2, odpowiednio. Następnie rozkładamy te dwa grafy osobno. Oczywiste jest to, że nie zawsze możemy tak łatwo podzielić ciąg η na ciągi η1 oraz η2. W takim przypadku dzielimy tq = t′
q+ t′′ q i znajdujemy realizację ciągów η′
1 = (t1, . . . , tq−1, t′
q) oraz η′
2 = (t′′
q, tq+1, . . . , tp) w G1 i G2, odpowiednio. Ostatecznie, jeśli drogi T′
qoraz T′′
q długości t′
q oraz t′′ q mają wierzchołki, należące do tego samego zbioru podziału grafu G, to je ”sklejamy” i otrzymujemy drogę Tq = T′
q.T′′
q długości tq.
Oprócz sklejania dróg czasami będziemy również korzystać z wymiany krawędzi. Postępujemy tak w sytuacji, gdy podciąg (t1, . . . , tq) ciągu η do-puszczalnego dla G jest taki, iż Pqi=1ti = kG1k − 2 oraz tq+1 >6 (podobnie postępujemy, gdy Pqi=1ti = kG1k + 2 oraz tq > 6). Definiujemy t′
q = tq + 2, t′
q+1 = tq+1−2, otrzymując w ten sposób ciągi dopuszczalne η1 = (t1, . . . , tq−1, t′
q) oraz η2 = (t′
q+1, tq+2. . . , tp) dla grafów G1 oraz G2, odpowiednio. Znajdu-jemy realizację (T1, . . . , Tq−1, T′
q) ciągu η1 w G1 taką, że T′
q = (c1, . . . , ct′ q+1) jest drogą zamkniętą długości t′
q i ma podgraf będący ścieżką P5, oraz G2 -realizację (T′
q+1, Tq+2. . . , Tp) ciągu η2 taką, że T′
q+1 = (b1, . . . , bt′
q+1+1) jest drogą zamkniętą długości t′
q+1. Teraz, jeśli spełnione są pewne dodatkowe warunki (na przykład wierzchołki c1, b1 oraz c5, b3 należą do tego samego zbioru podziału grafu G), to po odpowiedniej permutacji tego zbioru przyjmu-jemy, iż b1 = c1 oraz b3 = c5. Wówczas Tq := (c1, b2, c5. . . , ct′
q+1), Tq+1 := (b1, c2, c3, c4, b3, . . . , bt′
q+1+1) są drogami zamkniętymi długości tq oraz tq+1, odpowiednio (porównaj rysunek 4.2). Stąd (T1, . . . , Tp) jest G-realizacją.
Dla ciągu η = (t1, . . . , tp) i podzbioru I ⊆ {1, . . . , p} przez ηhIi oznaczmy podciąg η taki, że należą do niego tylko te elementy ti, dla których i ∈ I.
Rysunek 4.2: Wymiana krawędzi między drogami T′
q oraz T′ q+1.
Złączeniem ciągów α = (a1, . . . , an) i β = (b1, . . . , bm) nazywamy ciąg ϕ = (a1, . . . , an, b1, . . . , bm). Ciąg ϕ możemy również oznaczyć przez αβ.
Naszą analizę rozpoczniemy od przypadków a 6 5.
Lemat 4.10 ([20]) Graf K′
a,a dla a ∈ {3, 5} jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte.
Dowód. Ponieważ graf K′
3,3 jest izomorficzny z cyklem C6, zatem jedyny dopuszczalny ciąg η = (6) jest trywialnie realizowalny w K′
3,3.
Rysunek 4.3: K′
5,5-realizacje trzech ciągów.
Ciągi (45), (42, 62) oraz (62, 8) są K′
5,5-realizowalne (porównaj rysunek 4.3). Zauważmy również, że w realizacji ciągu (45) każde dwie drogi mają wspólny wierzchołek, a co za tym idzie łatwo stwierdzić, że każdy ciąg dopuszczalny,
w którym wszystkie wyrazy są podzielne przez cztery, jest K′
5,5-realizowalny. Co więcej w realizacji ciągu (42, 62) każda droga długości cztery ma wspólny wierzchołek z drogą długości sześć. Wobec tego otrzymujemy K′
5,5-realizację wszystkich pozostałych ciągów, to jest: (4, 6, 10), (6, 14), (102).
Zanim jednak sformułujemy ostateczny wynik rozważań w niniejszym paragrafie, podamy i udowodnimy kilka lematów i twierdzeń.
Lemat 4.11 ([20]) Jeśli T1, T2 są krawędziowo-rozłącznymi drogami w K′
5,5 oraz k ∈ {1, 2}, to |(V (T1) ∪ V (T2)) ∩ Xk
1,5| > 3.
Dowód. Jeśli |E(T1) ∪ E(T2)| > 10, to wówczas krawędzie E(T1) ∪ E(T2) muszą być incydentne z co najmniej ⌈10
4 ⌉ = 3 wierzchołkami Xk
1,5 (zauważmy, że ∆(K′
5,5) = 4). Podobnie jest w przypadku, gdy T1 oraz T2 są drogami długości 4, ponieważ gdyby tak nie było, to podgraf grafu K′
5,5 indukowany przez osiem krawędzi incydentnych z xk
i lub xk
j, i, j ∈ {1, . . . , 5}, i 6= j, ma dwa wierzchołki stopnia jeden (powiedzmy x3−ki i x3−kj ), zatem nie jest on sumą dwóch dróg zamkniętych długości cztery.
Twierdzenie 4.12 ([20]) Graf Gajest dowolnie rozkładalny dla każdego nieparzystego a > 7. Ponadto, dla danego s ∈ {4, 5}, każdy dopuszczalny ciąg η = (t1, . . . , tp) długości p > 2 ma taką Ga-realizację (T1, . . . , Tp), że T1
zawiera jako podgraf trzy wierzchołkową ścieżkę z wierzchołkami końcowymi x2
1 i x2
s, oraz T2 zawiera wierzchołek x2 2.
Dowód. Oznaczmy przez G1 graf K′
5,5 oraz przez G2 graf G1
a.
W pierwszej kolejności opiszemy, jak postępować w pewnych określonych przypadkach:
(C1) Istnieje zbiór I1 taki, że {1, 2} ⊆ I1 ⊆ {1, . . . , p} oraz Pi∈I1ti = kK′
5,5k = 20.
Niech I2 := {1, . . . , p} \ I1 oraz ηl := ηhIli, l = 1, 2. Na podstawie lematu 4.10 w grafie K′
5,5 istnieje realizacja ciągu η1 taka, że T1 oraz T2 są drogami zamkniętymi długości t1 oraz t2, odpowiednio. Korzystając z lema-tu 4.11 i stwierdzenia 4.9, drogi zamknięte T1, T2 mają szukane własności. Z twierdzenia 4.2 istnieje G1
a-realizacja ciągu η2.
(C2) Istnieją podzbiór I1 oraz indeks j ∈ {1, . . . , p} \ I1 takie, że {1, 2} ⊆ I1 ∪ {j}, Pi∈I1ti 616 i Pi∈I1ti+ tj >24. Oznaczmy przez I2 := ({1, . . . , p} \ I1) \ {j}, t1 j := 20 −Pi∈I1ti i t2 j := tj − t1 j. Zaobserwujemy, że t1 j, t2
Rysunek 4.4: Graf Ga
lub twierdzenia 4.2 istnieje Gl-realizacja ciągu (tl
j)ηhIli, l = 1, 2; Dla i ∈ {1, 2} \ {j} ⊆ I1 przez Ti oznaczmy drogę długości ti. Korzystając ze stwier-dzeń 4.8, 4.9 oraz lematu 4.11, otrzymujemy, że droga T1 (lub T1
1, jeśli j = 1) zawiera podgraf będący trzy wierzchołkową ścieżką z wierzchołkami końcowymi x2
1i x2
s, natomiast droga T2 (lub T1
2, jeśli j = 2) zawiera wierzcho-łek x2 2 i V (T1 j) ∩ V (T2 j) ∩ X1 1,4 6= ∅. Droga Tj := T1 j.T2
j jest drogą długości tj, otrzymaliśmy zatem szukaną realizację ciągu η.
(C3) Istnieją I1 oraz {j, k} ⊆ {1, . . . , p} \ I1 takie, że {1, 2} ⊆ I1 ∪ {j, k}, min{tj, tk} > 8, Pi∈I1ti 612 i Pi∈I1ti+ tj+ tk >28.
Niech I2 := ({1, . . . , p} \ I1) \ {j, k}, t1
j := min{16 − Pi∈I1ti, tj − 4}, t1 k := max{4, 24 −Pi∈I1ti − tj}, t2 j := tj − t1 j oraz t2 k := tk − t1 k. Wówczas tl j + tl
k +Pi∈Ilti = kGlk i istnieje Gl-realizacja ciągu (tl j, tl
k)ηhIli, l = 1, 2 (z lematu 4.10 lub twierdzenia 4.2); Dla i ∈ {1, 2} \ {j, k} ⊆ I1 niech Ti będzie drogą długości ti. Na podstawie stwierdzeń 4.8, 4.9 oraz lematu 4.11 bez straty ogólności możemy przyjąć, że droga T1 (lub T1
1, jeśli 1 ∈ {j, k}) zawiera podścieżkę P3 z wierzchołkami końcowymi x2
1 oraz x2
s, droga T2 (lub T1
2, jeśli 2 ∈ {j, k}) zawiera wierzchołek x2
2 oraz V (T1 m) ∩ V (T2 m) ∩ X1 1,4 6= ∅ dla m ∈ {j, k}. Niech Tm := T1 m.T2
m dla m = j, k. W ten sposób otrzymaliśmy szukaną Ga-realizację ciągu η.
Niech i1, i2 ∈ {1, 2}. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że ti1 6 ti2 oraz t3 6 . . . 6 tp. Dla przejrzystości dowodu rozpatrzmy następujące przypadki:
Przypadek 1. t1+ t2 >24.
Jeśli ti1 >18, wówczas niech I1 := ∅, j := i1, k := i2 → (C3), co oznacza, że warunek (C3) jest spełniony z określonymi I1, j oraz k. Jeśli zaś ti1 616, to niech I1 := {i1}, j := i2 → (C2).
Przypadek 2. t1+ t2 = 22.
Wynika stąd iż ti1 6 10, ti2 > 12 oraz Ppi=3ti = 4a − 22 ≡ 2 (mod 4), a co za tym idzie, istnieje l > 3 takie, że tl ≡ 2 (mod 4). Jeśli tp > 8, to niech I1 := {i1}, j := i2, k := p → (C3). Natomiast w przypadku, gdy tp(= tl) = 6, to niech I1 := {i1, p}, j := i2 → (C2).
Przypadek 3. t1+ t2 = 20. Wówczas, niech I1 := {1, 2} → (C1). Przypadek 4. t1+ t2 = 18.
Wówczas ti1 68, ti2 >10 i istnieje tl ≡ 2 (mod 4) dla l > 3. Jeśli tl >10, to niech I1 := {i1}, j := i2, k := l → (C3). Jeśli z kolei tl = 6, to niech I1 := {i1, l}, j := i2 → (C2).
Przypadek 5. t1 + t2 6 16. Niech q będzie takie, że Pqi=1ti 6 22 oraz
Pq+1
i=1 ti >24. Przypadek 5.1. Pq
i=1ti = 22. Zatem q > 3 oraz istnieje tl ≡ 2 (mod 4) dla l > q.
W przypadku gdy tq >6 i jeśli tp >tq+ 2, to niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := p → (C2). Jeśli zaś tp = tq, to wówczas tq = tp ≡ 2 (mod 4). Jeżeli teraz tq>10, to niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := q, k := q + 1 → (C3).
Natomiast w przypadku gdy tq = 6, to zastosujemy opisywaną wcześniej wymianę krawędzi. Niech t′
q = 4, t′ q+1 = 8 η1 := (t1, . . . , tq−1, t′ q), η2 := (t′ q+1tq+2, . . . , tp). Z lematu 4.10 otrzymujemy K′ 5,5-realizację (T1, . . . , Tq−1, T′ q) ciągu η1 oraz na postawie twierdzenia 4.7 G1
a-realizację (T′
q+1, Tq+2, . . . , Tp) ciągu η2. Stąd drogi zamknięte T′
q oraz T′
q+1 możemy zapisać jako T′ q = (b1, . . . , b5) z b1 = b5 ∈ X1 1,5 oraz T′ q+1 = (c1, . . . , c9) z c1 = c9 ∈ X1 1,4. Ponieważ T′ q+1jest cyklem, to V (T′ q+1)∩X1 1,4 = X1
1,4. Możemy tak spermutować wierzchołki zbioru X1
1,5, że b1 = c1 oraz b3 = c5. Teraz niech Tq := (c1, b2, c5, . . . , c9) oraz Tq+1 := (c1, c2, c3, c4, c5, b4, b5). Zatem (T1, . . . , Tp) jest Ga -realiza-cją ciągu η. Stąd iż q > 3 oraz z lematu 4.11, po odpowiedniej permutacji zbioru wierzchołków X2
1,5, otrzymujemy, że drogi T1 i T2 spełniają opisane w twierdzeniu warunki.
Natomiast jeśli tq = 4, to t1 + t2 ≡ 2 (mod 4), a co za tym idzie q > 4 i Pq−2i=1 ti = 14. Jeśli teraz tp > 10, to niech I1 := {1, . . . , q − 2}, j := p
→ (C2). Jeżeli zaś tp 6 8, to istnieje tl = 6 i wówczas przyjmujemy I1 := {1, . . . , q − 2} ∪ {l} → (C1).
Przypadek 5.2. Pq
i=1ti = 20. Wówczas niech I1 := {1, . . . , q} → (C1). Przypadek 5.3.Pq
i=1ti = 18. Zatem q > 3 i istnieje tl ≡ 2 (mod 4) dla l > q+1. Przyjmijmy wpierw, że tq >6, wówczas Pq−1i=1 ti 612. Teraz w przypadku tp > tq+ 6, to niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := p → (C2). Jeśli zaś istnieje m ∈ {q + 1, . . . , p} takie, że tm = tq+ 2, to niech I1 := {1, . . . , q − 1} ∪ {m} → (C1). Jeżeli natomiast ti ∈ {tq, tq+ 4}, dla każdego i > q + 1, to tq ≡ tl≡ 2 (mod 4), stąd i ponieważ t1+ t2 616 mamy, że tq∈ {6, 10}.
Jeśli teraz tq = 10, to q = 3 i niech I1 := {1, 2}, j := 3, k := 4 → (C3). Jeżeli z kolei tq = 6, to niech t′
q = 8 i t′
p = tp−2 oraz η1 := (t1, . . . , tq−1, t′ q) i η2 := (tq+1, . . . , tp−1, t′
p). Korzystając z lematu 4.10, otrzymujemy K′
5,5 -realizację (T1, . . . , Tq−1, T′
q) ciągu η1, a z twierdzenia 4.2 G1
a-realizację (Tq+1, . . . , Tp−1, T′
p) ciągu η2. Wobec tego T′
q = (b1, . . . , b9) dla b1 = b9 ∈ X1 1,5 oraz T′ p = (c1, . . . , ctp−1) z c1 = ctp−1 ∈ X1 1,4. Mamy |V (T′ q) ∩ X1 1,5| > 3 (jeśli T′ q nie jest cyklem, to jest sumą dwóch dróg zamkniętych długości cztery, wówczas korzystamy z lematu 4.11 oraz stwierdzenia 4.9), zatem możemy założyć b5 6= b1. Co więcej, po odpowiedniej permutacji wierzchołków ze zbioru X1
1,5, otrzymamy c1 = b1 oraz c3 = b5. Niech teraz Tq := (b1, c2, b5, . . . , b9) i Tp := (c1, b8, b7, b6, c3, . . . , ctp−1). Korzystając z tego, iż q > 3 oraz lematu 4.11, otrzymujemy, że (T1, . . . , Tp) jest szukaną Ga-realizacją ciągu η.
W sytuacji, gdy tq = 4, to jeśli tl > 10, to niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := l → (C2). Jeżeli natomiast tl = 6, to niech I1 := {1, . . . , q − 1} ∪ {l} → (C1).
Przypadek 5.4.Pq
i=1ti 616. W tej sytuacji niech I1 := {1, . . . , q}, j := q + 1 → (C2).
Twierdzenie 4.13 ([20]) Dla nieparzystego a > 7 graf Ha jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte. Co więcej każdy dopuszczalny ciąg η = (t1, . . . , tp) długości p > 2 ma taką Ha-realizację (T1, . . . , Tp), że istnieją indeksy (ir, jr) ∈ {5, . . . , a} × {1, 2}, spełniające xjr
ir ∈ V (Tr), r = 1, 2, oraz i1 6= i2.
Dowód. Postępujemy podobnie jak w dowodzie twierdzenia 4.12, traktując
graf Ha jako krawędziowo-rozłączną sumę G1 := G2
a(twierdzenie 4.2) i G2 := Ga (twierdzenie 4.12). Graf Ha jest przedstawiony na rysunku 4.5.
Analogicznie jak poprzednio opiszemy wpierw, jak postępować w pewnych ściśle określonych sytuacjach:
Rysunek 4.5: Graf Ha
(C4) Istnieje podzbiór I1 ⊆ {1, . . . , p} taki, że |{1, 2} ∩ I1| > 1 oraz
P
i∈I1ti = kG1k = 4a − 20.
Niech I2 := {1, . . . , p} \ I1 oraz ηl := ηhIli, l = 1, 2. Na podstawie twierdzenia 4.2 istnieje G1-realizacja ciągu η1, a na podstawie twierdzenia 4.12 mamy G2-realizację ciągu η2. Niech Ti będzie drogą zamkniętą długości ti. Jeżeli {1, 2} ⊆ I1,wówczas tak możemy tak spermutować wierzchołki zbioru grafu G1, by x1
5+i ∈ V (Ti), i = 1, 2; w takim przypadku otrzymaliśmy tezę twierdzenia z następującymi wartościami (i1, j1) := (6, 1) oraz (i2, j2) := (7, 1). Jeżeli istnieje m ∈ {1, 2} takie, że m ∈ I1oraz 3−m ∈ I2, to korzystając z twierdzenia 4.12 oraz stwierdzenia 4.8, otrzymujemy szukaną realizację z (im, jm) := (6, 1) oraz (i3−m, j3−m) := (5, 2).
(C5) Istnieją I1 oraz j ∈ {1, . . . , p} \ I1 takie, że |{1, 2} ∩ (I1 ∪ {j})| > 1,
P
i∈I1ti 64a − 24 orazPi∈I1ti+ tj >4a − 16. Oznaczmy przez: I2 := ({1, . . . , p} \ I1) \ {j}, t1
j := 4a − 20 −Pi∈I1ti, t2
j := tj − t1
j oraz m := min({0} ∪ I2). Łatwo stwierdzić, że t1
j, t2
j > 4 są parzyste, istnieje zatem G1-realizacja ciągu (t1
j)ηhI1i z twierdzenia 4.2. Przez Tioznaczmy drogę długości ti. Poprzez odpowiednią permutację wierzchołków otrzymujemy, że x2 2 ∈ V (T1 j) oraz jeśli j ∈ {1, 2}, to x1 5+j ∈ V (T1 j); x1 5+i ∈ V (Ti) dla każdego i ∈ ({1, 2} \ {j}) ∩ I1.
Jeśli I2 6= ∅ (zatem m > 1), to dzięki twierdzeniu 4.12 istnieje G2 -realizacja ciągu (tm, t2j)ηhI2i taka, że {x2
1, x25} ⊆ V (Tm) oraz x22 ∈ V (T2
j). Wówczas Tj := T1
j.T2
szukaną realizacją ciągu η. Druga część tezy twierdzenia ma następujące wartości, jeśli m ∈ {1, 2}, to (im, jm) := (5, 2) oraz (i3−m, j3−m) := (8 −m, 1); jeżeli m /∈ {1, 2}, to (ir, jr) := (5 + r, 1), r = 1, 2.
Jeżeli I2 = ∅ (zatem m = 0), to Tj := T1
j.G2 jest drogą długości tj i otrzymujemy szukaną Ha-realizację ciągu η.
(C6) Jeżeli istnieją I1 oraz {j, k} ⊆ {1, . . . , p} \ I1 takie, że {1, 2} ⊆ I1 ∪ {j, k}, min{tj, tk} > 8, Pi∈I1ti 6 4a − 28 oraz Pi∈I1ti+ tj + tk > 4a − 12 (możemy założyć, że j < k).
Niech I2 := ({1, . . . , p} \ I1) \ {j, k}, t1
j := min{4a − 24 −Pi∈I1ti, tj− 4}, t1 k:= max{4, 4a − 16 −Pi∈I1ti− tj}, t2 j := tj− t1 j oraz t2 k := tk− t1 k. Wówczas tl j + tl
k +Pi∈Ilti = kGlk oraz ciąg ηl := (tl j, tl
k)ηhIli, jest Gl-realizowalny l = 1, 2. Niech Ti będzie drogą długości ti. Możemy przyjąć, iż x2
1 ∈ V (T1 j), x2 2 ∈ V (T1 k), m ∈ {1, 2} ∩ {j, k} ⇒ x1 5+m ∈ V (T1 m) oraz x1
5+i ∈ V (Ti) dla każdego i ∈ {1, 2} \ {j, k}. Twierdzenie 4.12 implikuje nam, że x2
1 ∈ V (T2 j) oraz x2 2 ∈ V (T2 k). Niech Tm := T1 m.T2
m dla m = j, k, jest to droga długości tm. Otrzymujemy stąd szukaną Ha-realizację ciągu η; dodatkowe własności są spełnione, ponieważ (ir, jr) := (5 + r, 1), r = 1, 2.
Bez straty ogólności możemy założyć, iż t1 6t2 oraz ti 6ti+1 dla każdego i ∈ {3, . . . , p − 1}.
Dla przejrzystości dowodu rozpatrzmy następujące przypadki: Przypadek 1. t1+ t2 >4a − 16.
Jeżeli t1 6 4a − 24, to niech I1 := {1}, j := 2 → (C5). Jeżeli zaś t1 >4a−22, to wówczas t1 >6. Jeśli teraz a > 9, to t1+t2 >8a−44 > 4a−12, t1 >14 i I1 := ∅, j := 1, k := 2 → (C6). Jeżeli natomiast a = 7, to kG1k = 8. W sytuacji, gdy t1 >8, to t1+ t2 >4a − 12 = 16 i I1 := ∅, j := 1, k := 2 →
(C6).
Przyjmijmy teraz, że t1 = 6. Zdefiniujmy t′
2 = t2 − 2. Na podstawie twierdzenia 4.12 otrzymujemy G2-realizację (T′
2, T3, . . . , Tp) ciągu (t′
2, t3, . . . , tp) taką, że droga T′
2 zawiera jako podgraf ścieżkę P3 z wierzchołkami końco-wymi x2
1 oraz x2
4. Zapiszmy drogę T′
2 jako następujący ciąg wierzchołków (c1, . . . , ct2−1), gdzie c1 = ct2−1 = x2 1 oraz c3 = x2 4. Teraz niech T1 := (x2 1, c2, x2 4, x1 7, x2 3, x1 6, x2 1) i T2 := (c1, x1 7, x2 2, x1
6, c3, . . . , ct2−1). Tak więc wykaza-liśmy, że (T1, . . . , Tp) jest szukaną realizacją taką, że (ir, jr) := (5 + r, 1), r = 1, 2.
Przypadek 2. t1+ t2 = 4a − 18. Wtedy Ppi=3ti = 4a − 2 ≡ 2 (mod 4) i istnieje l > 3 spełniające tl≡ 2 (mod 4).
wówczas I1 := {1}, j := 2, k := p → (C6). Następnie niech tp(= tl) = 6. Wtedy, jeśli t1 6 4a − 30, to niech I1 := {1, p}, j := 2 → (C5). Jeżeli zaś, t1 = 4a − 28, to t2 = 10, a 6 9, t1 = 8, a = 9 oraz I1 := {2, p} → (C4).
Jeśli natomiast t1 > 4a − 26, to łatwo sprawdzić, iż t1 = 4, t2 = 6 oraz a = 7. Jeżeli tp >8, to niech I1 := {1}, j := p → (C5), w przeciwnym razie, ponieważ kHak = 36, istnieje t3 = 4 i wówczas niech I1 := {1, 3} → (C4). Przypadek 3. t1+ t2 = 4a − 20. Niech I1 := {1, 2} → (C4).
Przypadek 4. t1+ t2 = 4a − 22.
Wówczas a > 9, t2 > 8 oraz istnieje l > 3 takie, że tl ≡ 2 (mod 4). W przypadku, gdy t1 6 4a − 34, to t2 > 12. Jeśli teraz tl > 10, to niech I1 := {1}, j := 2, k := l → (C6). Jeżeli natomiast tl = 6, to I1 := {1, l}, j := 2 → (C5).
W sytuacji, gdy t1 > 4a − 32, to wówczas a = 9 oraz t2 ∈ {8, 10}. Jeśli teraz tl > 10, to niech I1 := {1}, j := 2, k := l → (C6). Jeżeli zaś tl = 6, to ti ∈ {4, 6} dla każdego i > 3, Ppi=3ti = 38 i ciąg (t3, . . . , tp) zawiera co najmniej dwa elementy równe cztery i co najmniej jeden równy sześć. Tak więc, istnieje I1 ⊆ {2, . . . , p} taki, że 2 ∈ I1, Pi∈I1ti = 16 i warunek (C4) jest spełniony.
Przypadek 5. t1+ t2 64a − 24
Niech q ∈ {2, . . . , p − 1} będzie takie, żePqi=1ti 64a − 18 oraz Pqi=1+1ti > 4a − 16.
Przypadek 5.1. Jeżeli Pq
i=1ti = 4a − 18, to q > 3 i istnieje l > q + 1 takie, że tl ≡ 2 (mod 4).
Przyjmijmy wpierw, że tq > 6. Wówczas jeśli tp > tq + 2, to niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := p → (C5). Jeżeli teraz ti = tq dla każdego i > q + 1, to tq = tl ≡ 2 (mod 4). W sytuacji, gdy tq > 10, to niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := q, k := q+1 → (C6). Natomiast w przypadku, gdy tq = 6, to kG2k−2 = 4a − 2 = 6(p − q), a co za tym idzie a ≡ 5 (mod 6) oraz p − q > 7. Jeżeli t2 >12, to niech I1 := {1} ∪ {3, . . . , q + 1}, j := 2 → (C5). Możemy zatem przyjąć, iż t2 6 10. Teraz zaś, gdy t2 = 10, to niech I1 := {q + 5, . . . , p}, j := 2 → (C5). Niech I1 := {1} ∪ {3, . . . , q + 1} → (C4), gdy t2 = 8. Jeżeli natomiast t2 = 6, to niech I1 := {2} ∪ {q + 5, . . . , p} → (C4).
Rozpatrzmy sytuację, gdy t2 = 4. Jeżeli t3 = 4, to niech I1 := {1, 2, 3} ∪ {q + 6, . . . , p} → (C4). Jeśli natomiast t3 = 6, to η = (42, 6p−2), 6p − 4 = kHak = 8a − 20 oraz p ≡ 0 (mod 2). Niech t1,2 := 8, η1 := (8, 62), η2 := (6p−42 ) =: η3 i rozważmy K5,5′ -realizację (T1,2, T3, T4) ciągu η1 przedstawioną
na rysunku 4.3, G1 a-realizację (T′ 5, T6, . . . , Tp+4 2 ) ciągu η2 oraz G2 a-realizację (Tp+6
2 , . . . , Tp) ciągu η3. Droga zamknięta T1,2 jest cyklem C8, zatem możemy tak spermutować wierzchołki, że V (T1,2) ∩ X1
1,5 = X1
1,4 oraz T1,2 = (b1, . . . , b9) z b1 = b9 ∈ X1
1,4. Po odpowiedniej permutacji wierzchołków możemy przyjąć, iż T5 = (c1, . . . , c7) oraz c1 = c7 = b1, c3 = b3, c5 = b7, c2 = x2
6 i c6 = x2 7. Wówczas (T1, . . . , Tp) z T1 := (b1, b2, b3, c2, b1), T2 := (b9, b8, b7, c6, b9) oraz T5 := (b3, c4, b7, b6, b5, b4, b3) jest szukaną realizacją ciągu η. Wartości z drugiej części twierdzenia to (ir, jr) := (5 + r, 2), r = 1, 2.
Rozważmy teraz przypadek dla tq = 4. Zatem q > 4 i Pq−2i=1 ti = 4a − 26. Jeśli teraz tp >10, to I1 := {1, . . . , q − 2}, j := p → (C5). Jeżeli zaś tp 68, to tl = 6 i niech I1 := {1, . . . , q − 2} ∪ {l} → (C4).
Przypadek 5.2. Pq
i=1ti = 4a − 20. Niech I1 := {1, . . . , q} → (C4). Przypadek 5.3. Pq
i=1ti = 4a − 22. Wówczas q > 3.
Rozważmy wpierw sytuację, gdy tq > 6. Jeżeli dodatkowo tp > tq + 6, to I1 := {1, . . . , q − 1}, j := p → (C5). Jeśli zaś istnieje m > q + 1 takie, że tm = tq+ 2, to niech I1 := {1, . . . , q − 1} ∪ {m} → (C4). Pozostaje nam zatem rozważyć sytuację, gdy ti ∈ {tq, tq+ 4} dla każdego i > q + 1.Wówczas zaś tq≡ tl≡ 2 (mod 4), (p − q)(tq+ 4) > kG2k + 2 = 4a + 2 =Pqi=1ti+ 24 > tq+ 24, zatem p − q > tq+24
tq+4 > 1 i ostatecznie mamy, że p − q > 2. Jeżeli teraz tp−1 > 10, to niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := p − 1, k := p → (C6). Jeżeli natomiast tp−1 = 6, to również tq = 6.
W przypadku gdy t2 >8, to I1 := {1} ∪ {3, . . . , q + 1}, j := 2 → (C5). Natomiast dla t2 66, opierając się na twierdzeniu 4.7, otrzymujemy G1 -realizację (T1, . . . , Tq−1, T′
q) ciągu (t1, . . . , tq−1, t′
q) (dla t′
q = 8) taką, że T′ q jest cyklem C8. Co więcej bez straty ogólności możemy przyjąć, iż x1
5+i ∈ V (Ti), i = 1, 2, oraz T′
q = (b1, . . . , b9) dla b1 = b9 = x2
1 oraz b5 = x2 4. Na podstawie twierdzenia 4.12 istnieje G2-realizacja (Tq′+1, Tq+2, . . . , Tp) ciągu t′
q+1, tq+2, . . . , tp (dla t′
q+1 = 4) taka, że droga T′
q+1 zawiera podgraf będący ścieżką P3 z wierzchołkami końcowymi x2
1 oraz x2
4. Tak więc, niech T′ q+1 = (c1, . . . , c5), gdzie c1 = c5 = x2
1 i c3 = x2
4. Zatem (T1, . . . , Tp) dla Tq := (b1, b2, b3, b4, b5, c4, c5) i Tq+1 := (b1, c4, b5, . . . , b9) jest szukaną realizacją η; szukane pary indeksów to: (ir, jr) := (5 + r, 1), r = 1, 2.
Przyjmijmy teraz, że tq = 4. Jeśli tp > 10, to I1 := {1, . . . , q − 1}, j := p → (C5). Natomiast w przypadku, gdy tp 6 8, to tl = 6 i niech I1 := {1, . . . , q − 1} ∪ {l} → (C4).
Przypadek 5.4. Pq
i=1ti 64a − 24. Przyjmijmy I1 := {1, . . . , q}, j := q + 1 →
(C5).
Dowiedziemy teraz twierdzenia, mówiącego o rozkładzie grafu K′ a,a. Ze względu na metodę dowodu tego wyniku, oprócz tezy, że graf K′
a,a jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte, będzie on również zawierał nieco mocniejszy warunek.
Twierdzenie 4.14 ([20]) Jeśli a > 1 i a jest nieparzyste, to graf
dwu-dzielny K′
a,a jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte. Ponadto, jeśli r = a(a−1)−2
6 ∈ N, to istnieje taka K′
a,a-realizacja (T1, . . . , Tr) ciągu dopuszczalnego (6r−1, 8), że Tr ma podgraf będący pięciowierzchołkową ścieżką, gdzie Tr jest drogą zamkniętą długości osiem.
Dowód. Dowód będzie przebiegał ze względu na indukcję na a. Grafy K′ a,a dla a 6 5 są dowolnie rozkładalne, co wynika z lematu 4.10. Co więcej K′
5,5 -realizacja ciągu dopuszczalnego (62, 8), w której droga długości osiem ma podgraf będący ścieżką P5, jest przedstawiona na rysunku 4.3.
Przyjmijmy zatem, że a > 7. Z założenia indukcyjnego graf G1 = K′ a−4,a−4 jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte i jeśli istnieje s := (a−4)(a−5)−26 ∈ N, to istnieje G1-realizacja (T1
1, . . . , T1
s) ciągu (6s−1, 8) taka, że T1
s ma pod-ścieżkę P5 (kTsk = 8).
Po raz kolejny użyjemy metody wykorzystywanej w dwóch poprzednich twierdzeniach 4.12 oraz 4.13. Stąd graf K′
a,a(porównaj rysunek 4.6) rozpatru-jemy jako krawędziowo-rozłączną sumę dwóch grafów dowolnie rozkładalnych na drogi zamknięte: G1 := K′
a−4,a−4 (indukcja) oraz G2 := Ha (twierdze-nie 4.13). Niech η = (t1, . . . , tp) będzie ciągiem dopuszczalnym dla K′
a,a. Rozważmy wpierw pewne ogólne sytuacje:
(C7) Istnieje I1 ⊆ {1, . . . , p} taki, że Pi∈I1ti = a2− 9a + 20 = kG1k. Niech I2 := {1, . . . , p} \ I1, ηl := ηhIli. Z indukcji istnieje Gl-realizacja ciągu ηl, l = 1, 2.
(C8) Istnieją I1 oraz j ∈ {1, . . . , p} − I1 takie, że Pi∈I1ti 6 a2 − 9a + 16 orazPi∈I1ti+ tj >a2− 9a + 24. Niech I2 := ({1, . . . , p} \ I1) \ {j}, t1 j := a2 − 9a + 20 −Pi∈I1ti, t2 j := tj − t1 j. Zauważmy, że t1 j, t2 j > 4 są parzyste. Zatem ηl := (tl j)ηhIli jest dopuszczalny dla Gl, l = 1, 2. Na podstawie twierdzenia 4.13 istnieje G2 -realizacja ciągu η2 taka, że istnieje (i1, j1) ∈ {5, . . . , a} × {1, 2} i xj1
i1 ∈ V (T2
j). Z indukcji otrzymujemy, że istnieje G1-realizacja ciągu η1; bez straty ogólności możemy przyjąć, iż xj1
i1 ∈ V (T1
j). Niech Tj := T1
j.T2
Rysunek 4.6: Graf K′ a,a
tj), tym sposobem otrzymujemy K′
a,a-realizację η.
(C9) Istnieją I1 oraz {j, k} ⊆ {1, . . . , p} \ I1 takie, że min{tj, tk} > 8,
P
i∈I1ti 6a2− 9a + 12 oraz Pi∈I1ti+ tj + tk >a2− 9a + 28. Niech I2 := ({1, . . . , p}\I1)\{j, k}, t1
j := min{a2−9a+16−Pi∈I1ti, tj−4}, t1 k := max{4, a2 − 9a + 24 − Pi∈I1ti − tj}, t2 j := tj − t1 j i t2 k := tk − t1 k. Stąd tl j + tl
k+Pi∈Ilti = kGlk oraz ciąg ηl := (tl j, tl
k)ηhIli jest dopuszczalny dla Gl, l = 1, 2. Twierdzenie 4.13 prowadzi do otrzymania G2-realizacji ciągu η2 takiej, że istnieje (ir, jr) ∈ {5, . . . , a} × {1, 2}, r = 1, 2, i xj1
i1 ∈ V (T2
j), xj2
i2 ∈ V (T2
k) oraz i1 6= i2. Z indukcji istnieje G1-realizacja ciągu η1i bez straty ogólności możemy przyjąć, że xj1
i1 ∈ V (T1 j) oraz xj2 i2 ∈ V (T1 k) (zauważmy, że obie T1 j oraz T1
k mają co najmniej dwa wierzchołki w obu zbiorach X1 5,a
i X2
5,a). Niech Tm := T1
m.T2
m, m = j, k. Stąd istnieje K′
a,a-realizacja ciągu η. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że η jest ciągiem niemalejącym. Niech q ∈ {0, . . . , p − 1} będzie takie, że Pqi=1ti 6 a2 − 9a + 22 i Pqi=1+1ti > a2 − 9a + 24. Rozpatrzmy teraz następujące przypadki:
Przypadek 1. Pq
i=1ti = a2− 9a + 22. Stąd, Ppi=q+1ti = 8a − 22 oraz istnieje l > q + 1 takie, że tl≡ 2 (mod 4).
Przyjmijmy wpierw, że tq > 6. Jeśli tp >tq+ 2, to I1 := {1, . . . , q − 1}, j := p → (C8). Możemy zatem założyć, iż ti = tq dla każdego i > q + 1,
zatem tq = tl ≡ 2 (mod 4). Jeśli teraz tq > 10, to niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := q, k := q + 1 → (C9). W sytuacji, gdy tq = 6, to łatwo sprawdzić, iż 6q > Pqi=1ti > 8, q > 2, 8a − 22 = 6(p − q), 4a − 11 ≡ 0 (mod 3), a ≡ 5 (mod 6), a(a − 1) ≡ 2 (mod 6). Zatem ciąg η musi zawierać co najmniej dwa elementy równe 4, stąd niech I1 := {3, . . . , q + 1} → (C4).
Dla tq = 4, mamy 4q > 8 i q > 2. Jeśli teraz tl >10, to I1 := {1, . . . , q−2}, j := l → (C8). Gdy tl = 6, to I1 := {1, . . . , q − 2} ∪ {l} → (C7).
Przypadek 2.Pq
i=1ti = a2−9a+20. Jeśli η 6= (62, 8), to niech I1 := {1, . . . , q} → (C7).
Zauważmy, że jeśli a(a−1)−26 ∈ N, to a(a − 1) ≡ 2 (mod 6), a ≡ 5 (mod 6), a2− 9a + 20 ≡ 0 (mod 6), 4a − 20 ≡ 0 (mod 6), i stąd, iż η = (6p−1, 8), mamy 8a−20 = 6(p−q−1)+8, p−q−1 > 10, 6(p−q−1) ≡ 0 (mod 4) oraz p−q−1 ≡ 0 (mod 2). Graf G2 jest krawędziowo-rozłączną sumą dowolnie rozkładalnych na drogi zamknięte grafów G2
1 := G1 a, G2 2 := G2 a oraz G2 3 := K′ 5,5. Niech η1 := (6q), η2 1 := (6p−q−32 ) =: η2 2, η2 3 := (62, 8), z indukcji otrzymujemy G1 -realizację ciągu η1, z lematu 4.10 G23-realizację ciągu η32, a z twierdzenia 4.2 G2
m-realizację ciągu η2
m, m = 1, 2. G2
3-realizacja (Tp−2, Tp−1, Tp) ciągu η2 3
jest przedstawiona na rysunku 4.3 (kTpk = 8). Otrzymaliśmy zatem K′ a,a -realizację ciągu η = (6p−1, 8) taką, że droga Tp długości 8 (która jest cyklem C8) ma podścieżkę P5.
Przypadek 3. Pq
i=1ti = a2− 9a + 18. Istnieje zatem l > q + 1 takie, że tl ≡ 2 (mod 4).
Załóżmy wpierw, że tq >6. Jeśli teraz tp >tq+6, to niech I1 := {1, . . . , q− 1}, j := p → (C8). W przypadku gdy istnieje tm = tq+ 2, to niech I1 := {1, . . . , q − 1} ∪ {m} → (C7).
Możemy zatem przyjąć, iż ti ∈ {tq, tq+ 4} dla każdego i > q + 1, a co za tym idzie tq ≡ tl ≡ 2 (mod 4).
Załóżmy, że p > q + 2. Jeśli tp−1 >10, to I1 := {1, . . . , q − 1}, j := p − 1, k := p → (C7). Rozważmy sytuację, gdy tp−1 = 6. Jeżeli teraz t1 = 4, to I1 := {2, . . . , q + 1} → (C7). Przyjmijmy zatem, że t1 = 6, a co za tym idzie a2 − 9a + 18 = 6q, a ≡ 3 (mod 6), Ppi=q+1ti = 8a − 18 ≡ 0 (mod 6), tp = 6, η = (6p), 8a − 18 = 6(p − q), p − q > 9, 6(p − q) ≡ 6 (mod 48) oraz p−q−1 ≡ 0 (mod 8). Graf G2 jest krawędziowo-rozłączną sumą dwóch grafów G2
1 := Ga oraz G2 2 := G2
a ∼= K4,a−5. Zauważmy, że kG1k ≡ 2 (mod 6), kG2 1k ≡ 0 (mod 6) oraz kG2
2k ≡ 4 (mod 6). Niech teraz η1 := (8, 6q−1), η2
1 := (6p−q+32 ) oraz η2
2 := (4, 6p−q−52 ). Na podstawie twierdzenia 4.7 istnieje G1-realizacja ciągu η1 taka, że droga zamknięta T′
q długości osiem ma podgraf będący ścieżką P5 (ponieważ T′
T′
q zapisać jako ciąg b1, . . . , b9, gdzie dodatkowo b1 = b9 ∈ X1
5,a i b1 6= b5. Z twierdzenia 4.13 istnieje G2 1-realizacja ciągu η2 1. Ponadto, twierdzenie 4.2 implikuje istnienie G2 2-realizacji ciągu η2 2, w której niech T′ q+1 = (c1, . . . , c5) będzie drogą zamkniętą długości 4. Po koniecznej permutacji wierzchołków niech c1 = c5 = b1oraz c3 = b5. Teraz przyjmijmy Tq := (b1, c2, b5, b6, b7, b8, b9) i Tq+1 := (b1, b2, b3, b4, b5, c4, c5) i tym sposobem otrzymaliśmy szukaną K′
a,a -realizację ciągu η = (6p).
W sytuacji, gdy p = q + 1, to tp = 8a − 18, tq > 8a − 22 i niech I1 := {1, . . . , q − 1}, j := q, k := p → (C9).
Rozważmy ostatnią możliwość, czyli tq = 4. Jeśli tl > 10, to I1 := {1, . . . , q − 1}, j := l → (C8). Jeżeli zaś tl= 6, to I1 := {1, . . . , q − 1} ∪ {l} → (C7).
Przypadek 4.Pq
i=1 6a2−9a+16. Niech I1 := {1, . . . , q}, j := q+1 → (C8). Zwróćmy uwagę, iż na podstawie dowodu powyższego twierdzenia 4.14 możemy wyciągnąć wniosek, iż dla a nieparzystego w grafie K′
a,a istnieją drogi zamknięte długości 2j, dla każdego j ∈ {2, 3, . . . ,a(a−1)−42 ,a(a−1)2 }.
Zauważmy, że jeśli a jest nieparzyste, to graf Ka,a+2 ma tylko jeden minimalny nieparzysty podgraf spinający F . Z dokładnością do izomorfizmu możemy przyjąć, że E(F ) = {x1
1x2 1, x1 2x2 2, . . . , x1 ax2 a, x1 ax2 a+1, x1 ax2 a+2}.
W naszych dalszych rozważaniach przydatne okaże się następujące stwier-dzenie i lemat:
Stwierdzenie 4.15 Jeżeli ¯π ⊆ {1, . . . , a−1}×{1, . . . , a−1}, ˜π ⊆ {a, a+ 1, a + 2} × {a, a + 1, a + 2} są bijekcjami, to odwzorowania π1, π2 ⊆ X1,a−1j × X1,a−1j , π3 ⊆ X1
a,a+2× X1
a,a+2, zdefiniowane przez πj(xji) = xjπ¯(i) dla każdego i ∈ {1, . . . a − 1}, j = 1, 2, oraz π3(x1 i) = x1 ˜ π(i) dla i = a, a + 1, a + 2, są automorfizmami K′ a+2,a. 2
Niech a > 5 będzie nieparzyste, przez Ga,5oznaczmy podgraf grafu Ka,a+2
ze zbiorami podziału {X1 1,a, X2
a−2,a+2}, zdefiniowany następująco: niech graf pełny G∗ = Ka−1,4ma zbiory podziału {X1
1,a−1, X2
a−1,a+2}, wówczas E(Ga,5) = (E(G∗) ∪ {x1 a−1x2 a−2, x1 ax2 a−2, x1 ax2 a−1}) \ {x1 a−1x2 a−1}.
Lemat 4.16 ([17]) Każdy ciąg η = (t1, . . . , tr) dopuszczalny dla Ga,5
jest Ga,5-realizowalny. Co więcej możemy zdeterminować, czy x1
a−2 ∈ V (T1) lub x1
Dodatkowo, jeśli η = (t+2, tr−1), t > 10, t ≡ 2 (mod 4) oraz a ≡ 1 (mod t), to istnieje taka Ga,5-realizacja ciągu η, że jeśli T1 jest drogą zamkniętą długości t + 2, to {x1 1, x2 2, x1 a−3, x1 a−2, x1 a−1, x1
a} ⊂ V (T1) oraz droga T1 ma podścieżki długości cztery o końcach x1
a−3 oraz x1 1, x1 a−2 oraz x1 a, x1 1 oraz x1 a−1.
Dowód. Zauważmy, że kGa,5k = 4(a − 1) + 2. Stąd w ciągu dopuszczalnym η = (t1, . . . , tr) istnieje tw ≡ 2(mod 4). Niech t′
w = tw − 2 > 4. Ciąg η′ = (t1, . . . , tw−1, t′
w, tw+1, . . . , tr) jest dopuszczalny dla G∗ = Ka−1,4, zatem na podstawie twierdzenia 4.2 istnieje G∗-realizacja (T1, . . . , Tw−1, T′
w, Tw+1, . . . , Tr) ciągu η′. Stwierdzenie 4.8 implikuje, że możemy tak spermuto-wać wierzchołki grafu G∗, iż {x1
a−1x2
a−1} ⊂ E(T′
w). Co więcej, możemy również określić, czy x1
a−2 ∈ V (T1) lub x1
a−3 ∈ V (T1) (nawet jeśli w = r, ponieważ t′ w > 4). Zdefiniujmy Tw następująco: V (Tw) = V (T′ w) ∪ {x1 a, x2 a−2} oraz E(Tw) = (E(T′ w)∪{x1 a−1x2 a−2, x1 ax2 a−2, x1 ax2 a−1})\{x1 a−1x2
a−1}. Łatwo sprawdzić, że Tw jest drogą zamkniętą długości tw. W ten sposób otrzymaliśmy Ga,5 -realizację ciągu η, spełniającą żądaną przez nas własność.
Załóżmy teraz, że η = (t + 2, tr−1), t > 10, t ≡ 2 (mod 4) oraz a ≡ 1(mod t). Niech η1 = (t1 1, t1 2, t1 3, t1 4, t5, . . . , tr), gdzie t1 i = t − 4 > 6 dla i = 1, 2, 3, 4 oraz ti = t dla i > 5. Zauważmy, że dla a = t + 1, mamy η1 = (t1
1, t1 2, t1
3, t1
4). Korzystając z twierdzenia 4.2 otrzymujemy Ka−5,4-realizację (T1
1, T1 2, T1
3, T1
4, T5, . . . , Tr) ciągu η1. Możemy przyjąć, że graf Ka−5,4 ma zbiory podziału {X1
5,a−1, X2
a−1,a+2}. Stąd iż t ≡ 2 (mod 4) wynika, że |T1
i ∩ X1
5,a−1| > 3 oraz |T1
i ∩X2
a−1,a+2| > 3 dla każdego i. Jak powyżej, na podstawie stwierdzenia 4.8 możemy spermutować wierzchołki grafu Ka−5,4w ten sposób, że {x1 a−1x2 a−1, x1 a−1x2 a, x1 a−2x2 a} ⊂ E(T1 1) oraz x1 a−3 ∈ V (T1 1). Przez v oznaczmy wierzchołek, należący do NT1 1(x1 a−3).
Niech K4,4 będzie grafem dwudzielnym ze zbiorami podziału {X1
1,4, X2
a−1,a+2}. Zdefiniujmy ciąg η2 = (t2 1, t2
2, t2 3, t2
4), gdzie t2
i = 4 dla i = 1, 2, 3, 4. Po odpowiedniej permutacji wierzchołków grafu K4,4 otrzymujemy, że {x1
1, x1 2, x2
a−1, v} ⊂ V (T2
1). Niech graf T1 będzie zdefiniowany następująco: V (T1) = V (T1
1)∪V (T2 1)∪{x1
a, x2
a−2} oraz E(T1) = (E(T1
1)∪E(T2 1)∪{x1 a−1x2 a−2, x1 ax2 a−2, x1 ax2 a−1}) \ {x1 a−1x2
a−1}. Łatwo stwierdzić, że T1 jest drogą zamkniętą długości t + 2, mającą podścieżki długości cztery o końcach x1
a−3 oraz x1 1, x1 a−2 oraz x1 a, x1 1 oraz x1 a−1.
Zauważmy, że dla i = 2, 3, 4 drogi T1
i i T2
i mają co najmniej jeden wspólny wierzchołek w zbiorze X2
a−1,a+2. Zatem, niech Ti = T1
i.T2
i dla i = 2, 3, 4.
Twierdzenie 4.17 ([17]) Jeśli a, b są nieparzyste, to istnieje taki
mini-malny nieparzysty podgraf spinający F grafu Ka,b, że graf K′