Index of /rozprawy2/10006

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Matematyki Stosowanej. Dowolne podziały grafów Sylwia Cichacz. Rozprawa doktorska Promotor: prof. dr hab. Mariusz Woźniak. Kraków 2008.

(2) Składam serdeczne podziękowania mojemu promotorowi profesorowi dr. hab. Mariuszowi Woźniakowi za wskazanie tematu oraz za cenne wskazówki, a także za cierpliwość, wyrozumiałość i życzliwą opiekę w trakcie pisania pracy. Dziękuję również profesorom Mirko Horˇ n´ akowi oraz Daliborowi Fronˇckowi za wszelką pomoc i życzliwość..

(3) Spis treści Wstęp. 1. 1 Podstawowe definicje. 6. 2 Podziały drzew 2.1 Stonogi z dwoma pojedynczymi nogami . . . . . . . . . . . . . 2.2 Pająki S(3, a, b) i S(2, 2, a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Stonogi z jedną podwójną i jedną pojedynczą nogą . . . . . .. 13 16 20 25. 3 Podziały grafów unicyklicznych 28 3.1 Realizacje ciągów l-wygodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Podziały słońc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Rozkłady grafów na drogi zamknięte 38 4.1 Rozkład grafów dwudzielnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Rozkład digrafów na drogi skierowane . . . . . . . . . . . . . . 64 5 Rozkłady na drogi otwarte i zamknięte 70 5.1 Rozkład drogi zamkniętej na drogi otwarte . . . . . . . . . . . 71 5.2 Rozkład pewnych rodzin grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Podsumowanie. 79. Bibliografia. 81.

(4) Wstęp Przedmiotem rozprawy jest zagadnienie dowolnej podzielności grafów. W przypadku podziałów grafu ze względu na wierzchołki będziemy używać słowa podział, natomiast dla podziałów grafu ze względu na krawędzie słowa rozkład. Będziemy rozważać wyłącznie grafy skończone. Podziały i rozkłady były rozważane od dawna i literatura na ten temat jest obszerna. Chcielibyśmy jednak rozróżnić klasyczne problemy od problemów prezentowanych w tej rozprawie. Najważniejszą cechą podziałów i rozkładów rozważanych w pracy jest ich dowolność. Zbiór (klasę) grafów P domknięty ze względu na izomorfizm grafów nazywamy własnością grafów. Niech G = (V, E) będzie grafem prostym rzędu |V | = n oraz niech P będzie pewną własnością grafów. W przypadku dowolnego podziału grafów poprzez ciąg dopuszczalny rozumiemy taki ciąg liczb P naturalnych (a1 , . . . , ak ), że ki=1 ai = n oraz dla każdego i istnieje w grafie G podgraf Hi rzędu ai , mający własność P. Mówimy, że ciąg (a1 , . . . , ak ) jest realizowalny przez grafy z P, jeżeli istnieje taki podział (V1 , . . . , Vk ) zbioru wierzchołków V , że: • |Vi | = ai , • grafy G[Vi ] należą do P dla każdego i ∈ {1, . . . , k}. Graf G nazywamy dowolnie podzielnym ze względu na P, jeśli każdy ciąg dopuszczalny jest realizowalny przez grafy z P. W rozprawie będziemy się zajmować podziałami w najbardziej naturalnej sytuacji, kiedy P jest zbiorem grafów spójnych. Stąd, jeśli graf G jest grafem spójnym, to jedynym warunkiem na dopuszczalność ciągu (a1 , . . . , ak ) jest P to, by ki=1 ai = n. Nietrudno zauważyć, że jeśli graf G zawiera drzewo spinające, które jest dowolnie podzielne na podgrafy spójne, to wówczas graf G jest również dowolnie podzielny. Ten fakt okazał się motywacją do rozważania dowolnego podziału drzew. M. Horˇ nák i M. Woźniak dowiedli, że drzewo T ze stopniem maksymalnym ∆(T ) > 7 nie jest dowolnie podzielne [34]. Postawili oni również hipotezę, że drzewo T ze stopniem maksymalnym co najmniej pięć 1.

(5) Wstęp. 2. nie jest dowolnie podzielne. Hipoteza ta została udowodniona przez D. Bartha i H. Fourniera [8]. Problem dowolnej podzielności grafu na podgrafy spójne może znaleźć zastosowanie w praktyce dla sieci komputerowych. Załóżmy, że mamy n stanowisk, które chcemy podzielić między dowolną liczbę k użytkowników w ten sposób, że każdemu użytkownikowi przydzielimy ai stanowisk oraz pojedyncze stanowisko może należeć tylko do jednego użytkownika. ZakładaP my, że dysponujemy wystarczającą ilością zasobów, to znaczy ki=1 ai 6 n. Jeżeli założymy dodatkowo, że stanowiska przydzielamy w ten sposób, iż każdy użytkownik ma połączenie między swoimi zasobami i dysponujemy P dokładnie taką liczbą stanowisk, jakie jest zapotrzebowanie, czyli ki=1 ai = n, to w języku teorii grafów problem ten jest równoważny zagadnieniu podziału grafu na spójne podgrafy. W literaturze oprócz własności P, składającej się z grafów spójnych, rozważane były również inne własności. Zagadnienia te co prawda nie były opisywane w języku dowolnej podzielności grafów względem własności P, jednakowoż można je interpretować w tej terminologii. M. Aigner oraz S. Brandt w pracy [1] przyjęli, iż P składa się z grafów Hamiltona. Zacytujemy wpierw twierdzenie w postaci ”klasycznej”. Warto nadmienić, iż oryginalny wynik był nieco silniejszy, pokazali oni bowiem, że graf G zawiera dowolny graf H rzędu n taki, że ∆(H) = 2. Twierdzenie 0.1 [M. Aigner, S. Brandt [1]]Niech G będzie grafem rzędu n > 3. Jeśli δ(G) > 2n−1 , to graf G zawiera dowolny dwuregularny graf 3 H rzędu n. 2 Zauważmy, że powyższe twierdzenie może być sformułowane w języku dowolnej podzielności w sposób następujący: Twierdzenie 0.2 [M. Aigner, S. Brandt [1]]Niech G będzie grafem P , rzędu n. Jeśli n = ki=1 ai , ai > 3 dla każdego 1 6 i 6 k oraz δ(G) > 2n−1 3 to istnieje podział grafu G na k wierzchołkowo-rozłącznych grafów Hamiltona G1 , . . . , Gk rzędu a1 , . . . , ak , odpowiednio. 2 Nieco podobne zagadnienie do problemu dowolnego podziału na podgrafy spójne, związane z podzielnością na z góry zadaną liczbę części (można ją nazwać k-dowolną podzielnością), było rozważane w związku z hipotezą A. Franka postawioną na konferencji Combinatorial Colloquium w Aberdeen. Hipotezę tę udowodnili niezależnie od siebie E. Gy˝ori [30] oraz L. Lovász [41]: Twierdzenie 0.3 [E. Gy˝ ori [30], L. Lov´ asz [41]]Niech G będzie nieskierowanym grafem k-spójnym, v1 , . . . , vk będą dowolnymi wierzchołkami.

(6) Wstęp. 3. grafu G. Jeśli τ = (a1 , ..., ak ) jest k-elementowym ciągiem dopuszczalnym dla grafu G, to istnieje podział (V1 , ..., Vk ) zbioru wierzchołków V grafu G taki, że: (1) |Vi | = ai oraz podgraf G[Vi ] jest spójny dla każdego i ∈ {1, ..., k}, (2) vi ∈ G[Vi ].. 2. Pokazali oni także, iż w ogólnym przypadku wyniku tego nie da się poprawić, czyli że istnieją grafy k-spójne, dla których pewne dopuszczalne (k + 1)elementowe ciągi nie są realizowalne. Takim grafem jest na przykład graf pełny dwudzielny Kk,k+2, gdzie k jest parzyste, który nie ma pełnego skojarzenia, czyli dopuszczalny ciąg (2, . . . , 2) nie jest realizowalny w Kk,k+2. |. {z. k+1. }. Y. Egawa et al. udowodnili zaś analogiczne twierdzenie do powyższego twierdzenia 0.3. Osłabili oni jednak warunek, mówiący o tym, że G[Vi ] jest spójny, przyjmując, iż G[Vi ] nie ma wierzchołków izolowanych. Zagadnienie to było omawiane jeszcze kilkakrotnie (por. [27], [29]). Twierdzenie 0.4 [Y. Egawa et al. [25]]Niech G będzie grafem spójnym rzędu n oraz v1 , . . . , vk będą dowolnymi wierzchołkami grafu G. Jeśli P n = ki=1 ai , ai > 2 dla każdego 1 6 i 6 k oraz δ(G) > 3k, to istnieje podział (V1 , ..., Vk ) zbioru wierzchołków V grafu G taki, że: (1) |Vi | = ai i podgraf G[Vi ] nie zawiera wierzchołków izolowanych dla każdego i ∈ {1, ..., k}, (2) vi ∈ G[Vi ].. 2. Przyjęli oni zatem, że własność P składa się z grafów bez wierzchołków izolowanych. Zauważmy, że założenia powyższego twierdzenia zawierają również warunek nakładany na ciągi dopuszczalne. Warunek ten jest związany z liczbą elementów ciągu (k 6 δ(G) ). W dalszej części rozprawy my również 3 będziemy rozważać sytuacje, gdy ciąg dopuszczalny spełnia pewne dodatkowe warunki. W przypadku dowolnego rozkładu grafu, problem można podobnie sformułować, jak dla dowolnego podziału grafu. R. Häggkvist w [31] omawiał rozkład grafów ze względu na własność P, składającą się z cykli parzystych. Natomiast M. Meszka i Z. Skupień rozważali rozkład multidigrafów na ścieżki skierowane ([43]). D. Bryant, D. Horsley oraz B. Maenhaut przyjęli zaś, że P składa się z grafów dwuregularnych ([13]). W niniejszej rozprawie rozważymy sytuacje, gdy P składa się z dróg zamkniętych lub otwartych. P.N. Balister zajął się problemem rozkładu grafów.

(7) Wstęp. 4. pełnych na drogi zamknięte ([3]). Udowodnił on między innymi, że dla n nieparzystego graf pełny Kn jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte. Początki tego problemu związane są z problemem kolorowania (por. [6], [2], [21] oraz [22]). Zwróćmy uwagę na to, że dowód jego twierdzenia liczy około trzydziestu stron. Nie dziwi nas to, ponieważ to twierdzenie implikuje twierdzenia dotyczące trójek Steinera (por. [45]) oraz twierdzenie A. Kotziga o rozkładzie grafu pełnego na cykle C4 ([40]). Zagadnieniem dowolnego rozkładu zainteresowali się również M. Horˇ nák i M. Woźniak. W 2003 roku dowiedli oni, że jeśli a oraz b są parzyste, to graf pełny dwudzielny Ka,b jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte ([35]). Natomiast M. Horˇ nák i Z. Kocková w pracy [32] podali warunki konieczne na to, by graf trójdzielny Kr1 ,r2 ,r3 był dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte. Dowiedli oni, że jeśli graf Kr1 ,r2 ,r3 jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte, to r1 = 1, r2 = 1, r3 = 3 lub r1 = 1, r2 = 1, r3 = 5 lub r1 = r2 = r3 = n. Ponadto pokazali, że jeśli n = 5 · 2a i a ∈ N, to graf trójdzielny Kn,n,n jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte ([32]). E.J. Billington oraz N.J. Cavenagh wykazali zaś, że graf trójdzielny Kn,n,n jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte dla każdej liczby naturalnej n ([11]). M. Horˇ nák i Z. Kocková rozważali również rozkład grafów planarnych na drogi zamknięte ([33]). Przedmiotem niniejszej rozprawy jest przedstawienie wyników dotyczących dowolnego podziału zbioru wierzchołków grafu na części indukujące grafy spójne oraz dowolnych rozkładów grafów na drogi. Myślą przewodnią, łączącą obie części pracy, jest dowolność podziału (rozkładu) dotycząca ilości elementów P. Zanim jednak przejdziemy do głównej części pracy, w rozdziale pierwszym podamy oznaczenia i definicje, których będziemy używać w dalszej części rozprawy. Rozdziały drugi i trzeci dotyczą dowolnego podziału grafów. W rozdziale drugim scharakteryzujemy pewne rodziny drzew dowolnie podzielnych, natomiast w rozdziale trzecim dowiedziemy dowolnej podzielności pewnych rodzin grafów unicyklicznych. Będziemy rozważać również realizacje pewnych specyficznych ciągów dopuszczalnych. W rozdziale czwartym naszej pracy zajmiemy się problemem rozkładu grafów na drogi zamknięte. Rozwiążemy wpierw problem postawiony przez E.J. Billington w [10], dotyczący rokładu grafów dwudzielnych na drogi zamknięte. Następnie dowiedziemy, że digrafy dwudzielne są dowolnie rozkładalne na skierowane drogi zamknięte. Rozdział piąty jest poświęcony rozkładowi grafów na drogi zamknięte i otwarte. Dowiedziemy w nim, że grafy pełne, pełne dwudzielne oraz pełne.

(8) Wstęp. 5. trójdzielne są dowolnie rozkładalne na drogi otwarte i zamknięte. Jeżeli w rozprawie twierdzenie pojawia się bez nazwiska, oznacza to, że jest ono mojego autorstwa (lub współautorstwa). Badania zostały częściowo sfinansowane ze środków na naukę w latach 2006-2008 jako projekt badawczy nr N201 036 31/3064, Visegrad Scholarship nr S-016-2006, które pozwoliło mi na semestralny pobyt w Katedrze Matemaˇ arika w Koszycach oraz Fulbright Scholarship nr tyki na Uniwersytecie Saf´ 15072441, dzięki któremu jeden rok akademicki spędziłam na Uniwersytecie Minnesota Duluth..

(9) Rozdział 1 Podstawowe definicje W niniejszym rozdziale przytoczymy definicje pojęć używanych w rozprawie. W przeważającej części notacja użyta w pracy jest zgodna z książką R. Diestela [24]. Graf prosty G = (V, E) składa się z niepustego zbioru skończonego V , którego elementy nazywamy wierzchołkami oraz rodziny E. W dalszej części tej rozprawy graf prosty G będziemy nazywali krócej grafem G. Elementy rodziny E, zwane krawędziami grafu, są dwuelementowymi podzbiorami zbioru wierzchołków grafu. Krawędź {u, v} będziemy w skrócie oznaczać uv. Mówimy, że krawędź e = uv łączy wierzchołki u i v oraz że wierzchołki u i v są końcami krawędzi e. Moc zbioru V nazywamy rzędem grafu G i oznaczamy przez |V |, a moc zbioru E nazywamy jego rozmiarem grafu G i oznaczamy przez kGk. W literaturze często dla podkreślenia o jakim grafie piszemy w danym momencie, używane jest oznaczenie V (G) i E(G) na zbiory, odpowiednio, wierzchołków i krawędzi grafu G. W dalszej części tej pracy będziemy używać również takiej notacji. Mówimy, że dwa wierzchołki v i w należące do zbioru V (G) są sąsiednie, jeżeli istnieje krawędź e = vw, która je łączy. Mówimy też wtedy, że wierzchołki v i w są incydentne z krawędzią e. Dwie krawędzie są incydentne wtedy, gdy mają wspólny jeden koniec. Zbiór wierzchołków sąsiednich dla wierzchołka v w grafie G będziemy oznaczać przez N(v). Dla dowolnego wierzchołka v w grafie G stopniem d(v) wierzchołka v nazywamy liczbę krawędzi incydentnych z wierzchołkiem v. Wierzchołek stopnia zero będziemy nazywać wierzchołkiem izolowanym. W przypadku, gdy wskazane będzie podkreślenie w jakim grafie rozważamy zbiór wierzchołków sąsiednich, będziemy używać również oznaczenia NG (v) oraz dG (v). 6.

(10) Podstawowe definicje. 7. Dla grafu G = (V, E) liczbę ∆(G) = max{d(v) : v ∈ V } nazywamy stopniem maksymalnym grafu G, natomiast liczbę δ(G) = min{d(v) : v ∈ V } stopniem minimalnym grafu G. Graf G nazywamy r-regularnym, jeśli każdy wierzchołek tego grafu jest stopnia r. Mówimy, że grafy G i H są izomorficzne, jeżeli istnieje bijekcja h : V (G) → V (H) taka, że xy ∈ E(G) wtedy i tylko wtedy, gdy h(x)h(y) ∈ E(H). Jeśli G oraz H są izomorficzne, to będziemy używać następującej notacji: G ∼ = H. ′ ′ Jeżeli V jest podzbiorem zbioru V i E jest podzbiorem zbioru E takim, że para (V ′ , E ′ ) jest grafem, to graf G′ nazywamy podgrafem grafu G. Niech G′ = (V ′ , E ′ ) będzie podgrafem grafu G = (V, E) oraz S = {v ∈ V : dG′ (v) = dG (v)}. Przez G′′ := G − G′ oznaczamy taki podgraf G′′ = (V ′′ , E ′′ ) grafu G, że V ′′ = V \ S oraz E ′′ = E \ E ′ . Podgrafem G[V ′ ] indukowanym przez podzbiór wierzchołków V ′ w grafie G = (V, E) nazywamy graf, którego zbiorem wierzchołków jest zbiór V ′ ⊂ V , a zbiorem krawędzi zbiór E ′ := {xy ∈ E : x, y ∈ V ′ }. Niech W ⊂ V . Rozważając graf G[V \ W ] dla uproszczenia oznaczamy go G − W . Dla podzbioru F ⊂ E przez G − F oznaczamy podgraf G′ := (V, E \ F ) grafu G. Podgrafem spinającym grafu G nazywamy podgraf H taki, że V (H) = V (G). Zbiór (klasę) grafów P domknięty ze względu na izomorfizm grafów nazywamy własnością grafów. Własność grafów będziemy opisywać lub podawać elementy, które do niej należą. Na przykład „zawieranie trójkąta” jest własnością grafu ponieważ, jeśli graf G zawiera trzy wierzchołki parami sąsiednie, wówczas każdy graf izomorficzny z G również ma trzy wierzchołki parami sąsiednie. Na rysunku 1.1 jedynie grafy T1 oraz T3 mają powyższą własność. Drogą między dwoma dowolnymi wierzchołkami v0 i vk w grafie G nazywamy taki ciąg (v0 , v1 , . . . , vk ), w którym każde dwa kolejne wierzchołki są sąsiadami i każda krawędź występuje dokładnie raz. Drogę, która nie używa dwa razy tego samego wierzchołka, nazywamy ścieżką. Liczbę krawędzi drogi nazywamy jej długością. Wierzchołek v0 nazywamy początkiem drogi, natomiast wierzchołek vk końcem drogi. Drogę nazywamy zamkniętą, gdy v0 = vk , otwartą zaś wówczas, gdy v0 6= vk . Na rysunku 1.1 drogi T1 i T2 są dwiema nieizomorficznymi drogami zamkniętymi długości sześć, natomiast drogi T3 oraz T4 są drogami otwartymi długości cztery. Drogę będziemy również utożsamiać z grafem, którego wierzchołki i krawędzie są wymienione w definicji drogi. Graf G nazywamy spójnym, jeżeli dla każdej pary wierzchołków u, v ∈ V , istnieje ścieżka o końcach u i v. Graf spójny rzędu n, w którym dowolny wierzchołek jest stopnia dwa,.

(11) Podstawowe definicje. 8. Rysunek 1.1: Drogi.. nazywamy cyklem rzędu n i oznaczamy przez Cn . Usuwając z cyklu Cn jedną krawędź, otrzymujemy ścieżkę Pn długości (n − 1). Na rysunku 1.1 droga zamknięta T2 jest cyklem C6 , zaś droga otwarta T4 jest ścieżką P5 . Graf spójny rzędu n i rozmiaru n nazywamy grafem unicyklicznym. Graf eulerowski to taki graf G, który jest drogą zamkniętą (cyklem Eulera), to znaczy, że w grafie G jest droga zamknięta, w której występuje każda krawędź grafu. Zacytujemy teraz słynne twierdzenie Eulera: Twierdzenie 1.1 [L. Euler; 1736] Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by graf G był grafem eulerowskim jest to, by G był spójny, a stopnie wszystkich wierzchołków grafu były parzyste. 2 Wnioskiem z tego twierdzenia jest to, iż jeżeli dwa i tylko dwa wierzchołki w grafie G są stopnia nieparzystego, to wówczas można przeprowadzić przez graf drogę, w której każda krawędź grafu G występuje dokładnie raz, zaczynając ją w jednym z nieparzystych wierzchołków i w drugim kończąc. Graf G nazywamy wówczas grafem prawie eulerowskim. Drogę w grafie G w sposób oczywisty możemy interpretować jako eulerowski podgraf grafu G. Cykl Hamiltona to taki cykl w grafie G, w którym każdy wierzchołek grafu występuje dokładnie jeden raz. Sam graf G nazywamy wówczas grafem hamiltonowskim. Mówimy, że graf G jest trasowalny, jeżeli w grafie G istnieje ścieżka przechodząca przez każdy wierzchołek. Mówimy, że dwa grafy G i H są homeomorficzne, gdy istnieje graf F taki, że zarówno G jak i H można otrzymać z F poprzez zastąpienie pewnych krawędzi ścieżkami. Grafem pełnym Kn nazywamy graf na n wierzchołkach, w którym każdy wierzchołek sąsiaduje ze wszystkimi pozostałymi. Jeśli zbiór wierzchołków V grafu G może być podzielony na dwa rozłączne zbiory A i B w taki sposób, by każda krawędź e ∈ E(G) łączyła wierzchołek zbioru A z wierzchołkiem zbioru B, to taki graf G nazywamy grafem dwudzielnym. Graf ten oznaczamy przez G(A, B; E), a zbiory A oraz B nazywamy zbiorami podziału grafu G(A, B; E). Jeśli |A| = |B| to graf dwudzielny.

(12) Podstawowe definicje. 9. G(A, B; E) nazywamy zrównoważonyn. Graf dwudzielny pełny Ka,b to graf dwudzielny, w którym dowolny wierzchołek z jednego podzbioru o mocy a jest połączony krawędziami ze wszystkimi wierzchołkami z drugiego podzbioru o mocy b. W szczególności, graf K1,n nazywamy gwiazdą. Ogólnie grafem r-dzielnym (r > 2) nazywamy graf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na r rozłącznych podzbiorów V1 , . . . , Vr , zwanych zbiorami podziału, w taki sposób, że nie istnieje krawędź łącząca wierzchołki należące do tego samego podzbioru, i oznaczamy (V1 , . . . , Vr ; E(G)). Graf r-dzielny nazywamy r-dzielnym pełnym i oznaczamy przez K|V1 |,...,|Vr | , jeśli każde dwa wierzchołki znajdujące się w dwóch różnych zbiorach podziału są połączone krawędzią. Krawędzie e′ , e′′ nazywamy niezależnymi, jeśli nie są one incydentne (nie mają wspólnego końca). Skojarzeniem M w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. Wierzchołki będące końcami krawędzi należących do skojarzenia M są M-skojarzone. Wierzchołki niebędące końcami krawędzi należących do M nazywamy M-wolnymi. Pełne skojarzenie grafu G to podzbiór M krawędzi grafu G taki, w którym każdy wierzchołek grafu G jest M-skojarzony, natomiast prawie pełne skojarzenie grafu G, to taki podzbiór M krawędzi grafu G, że każdy wierzchołek grafu G oprócz dokładnie jednego jest M-skojarzony. Pary wierzchołków połączone krawędzią należącą do M są skojarzone przez M. Pełne skojarzenie w grafie G będziemy oznaczać przez I. Zwróćmy uwagę na to, że w grafie pełnym Kn (n jest parzyste) pełne skojarzenie I ma n2 krawędzi, natomiast w grafie pełnym dwudzielnym Ka,a skojarzenie I ma a krawędzi. Krawędzią wiszącą w grafie G nazywamy krawędź, która jest incydentna z wierzchołkiem stopnia jeden. Lasem nazywamy graf niezawierający cykli, a drzewem las spójny. Drzewem spinającym K grafu spójnego G nazywamy drzewo, powstałe z grafu G poprzez usuwanie krawędzi, takie że V (G) = V (K). Niech T = (V, E) będzie drzewem. Wierzchołek v ∈ V nazywamy. Rysunek 1.2: Drzewo T ..

(13) Podstawowe definicje. 10. istotnym, jeśli stopień wierzchołka v jest co najmniej trzy, natomiast liściem w drzewie T nazywamy wierzchołek stopnia jeden. Wierzchołki stopnia dwa nazywamy wewnętrznymi. Drzewem istotnym nazwiemy graf indukowany przez zbiór Vi zawierający wierzchołek istotny. Na rysunku 1.2 wierzchołki x oraz c są wierzchołkami istotnymi, liśćmi są na przykład wierzchołki y1 i y2 , a wierzchołkiem wewnętrznym z2 . Podgraf T ′ drzewa T nazwiemy gałęzią, jeśli T ′ jest izomorficzne ze ścieżką, w której przynajmniej jeden z liści jest liściem w T oraz wierzchołki wewnętrzne w T ′ są również wewnętrzne w T . Jeżeli drzewo T posiada wierzchołek istotny to ramieniem drzewa T nazwiemy taką gałąź Te drzewa T , w którym jednym z jego liści będzie wierzchołek istotny w T . Na rysunku 1.2 podgrafy A1 , A2 drzewa T są gałęziami, lecz tylko gałąź A1 jest ramieniem drzewa T . Drzewo T nazywamy stonogą, jeśli podgraf indukowany przez podzbiór. Rysunek 1.3: Stonoga T . zbioru wierzchołków stopnia co najmniej dwa jest ścieżką (porównaj rysunek 1.3). Oprócz grafów będziemy rozważać również nieco bardziej skomplikowane struktury, takie jak multigrafy i digrafy. Uogólnieniem pojęcia grafu jest multigraf, w którym różne krawędzie mogą mieć te same końce (por. rysunek 1.4). Krawędzie takie nazywamy równoległymi. Formalnie, multigraf M jest uporządkowaną trójką M = (V, E, ρ), gdzie V jest skończonym zbiorem wierzchołków, natomiast E jest zbiorem krawędzi grafu, zaś funkcja ρ : E → {{x, y} : x, y ∈ V } przyporządkowuje każdej krawędzi e ∈ E dwuelementowy podzbiór wierzchołków grafu. Jeśli e = {x, y} ∈ E, to wierzchołki x, y nazywamy końcami krawędzi e i podobnie jak w przypadku grafów krawędź e = {x, y} oznaczamy przez e = xy. Drogą między dwoma dowolnymi wierzchołkami v0 i vk w multigrafie M nazywamy taki ciąg wierzchołków i krawędzi (v0 , e1 , v1 , e2 , . . . , vk−1 , ek , vk ), że dla każdego 1 6 i 6 k krawędź ei ma końce vi−1 oraz vi . Analogicznie jak dla grafów prostych liczbę krawędzi drogi nazywamy jej długością. Mówimy,.

(14) Podstawowe definicje. 11. że droga jest ścieżką, jeśli nie używa dwa razy tego samego wierzchołka. Drogę nazywamy zamkniętą, gdy v0 = vk , otwartą natomiast dla v0 6= vk . Na rysunku 1.4 droga (y, e1, z, e2 , y) jest drogą zamkniętą, natomiast droga (y, e1 , z, e2 , y, e3, x) jest otwarta. Drogę utożsamiamy z multigrafem, którego wierzchołki i krawędzie są wymienione w definicji drogi. Definicje podgrafu, grafu izomorficznego, spójności dla grafów prostych pozostają w mocy również dla multigrafów.. − → Rysunek 1.4: Multigraf M oraz digraf D . − → Graf skierowany lub digraf D = (V, A) składa się z niepustego zbioru skończonego V elementów nazywanych wierzchołkami i rodziny A elementów iloczynu kartezjańskiego V × V , nazywanych łukami. Jeżeli u, v są wierzchoł− → → przy czym kolejność kami digrafu D , to łuk (u, v) zapisujemy zwykle jako − uv, wierzchołków (orientacja) w danym łuku jest wskazana na rysunku za pomocą strzałki (patrz rysunek 1.4). → wierzchołek u jest jego początkiem, a wierzchołek v jego Dla łuku g = − uv, końcem. Mówimy, że wierzchołki u i v są incydentne z tym łukiem. Jeżeli → oraz − → to mówimy, że wierzchołki u i v są połączone łukiem istnieją łuki − uv vu, − → symetrycznym. W digrafie D na rysunku 1.4 wierzchołki a, b są połączone − → łukiem symetrycznym. Jeśli digraf D ma tylko łuki symetryczne to oznaczamy ← → go przez D . Analogicznie jak dla grafów prostych będziemy używać również oznaczeń − → − → V ( D ) i A( D ) dla podkreślenia o jakim digrafie mówimy w danym momencie. + Dla dowolnego wierzchołka x przez N + (x) (lub N→ − (x)) oznaczamy zbiór D − → takich wierzchołków w grafie skierowanym D , że są one końcem łuku o po− czątku w wierzchołku x. Analogicznie, zbiór N − (x) (lub N→ − (x)) oznacza D zbiór wierzchołków będących początkami łuków, kończących się w wierzchołku x. Zbiór wierzchołków sąsiednich z wierzchołkiem x oznaczamy przez N(x) i jest on sumą zbiorów N + (x) ∪ N − (x). − → Stopniem wyjściowym d+ (x) wierzchołka x w grafie skierowanym D nazywamy moc zbioru N + (x), a stopniem wejściowym d− (x) nazywamy moc.

(15) Podstawowe definicje. 12. − → zbioru N − (x). Stopniem d(x) wierzchołka x w grafie skierowanym D nazywamy sumę stopnia wejściowego i wyjściowego wierzchołka x. Zauważmy, że definiowane wcześniej dla grafów prostych pojęcia podgrafu lub podgrafu indukowanego, grafów izomorficznych oraz własności grafów możemy naturalnie odnieść również do grafów skierowanych. − → Drogą skierowaną między dwoma wierzchołkami v0 i vn w digrafie D −→ nazywamy taki ciąg wierzchołków (v0 , v1 , . . . , vn ), że − v− i−1 vi ∈ A i żaden łuk się nie powtarza. Liczbę łuków drogi skierowanej nazywamy jej długością. Wierzchołek v0 nazywamy początkiem drogi, natomiast wierzchołek vn końcem drogi. Drogę skierowaną, która nie używa dwa razy tego samego wierzchołka − → nazywamy ścieżką skierowaną. Skierowaną drogą zamkniętą w digrafie D nazywamy taką drogę skierowaną, której początek jest jednocześnie jej końcem − → (digraf D na rysunku 1.4 jest skierowaną drogą zamkniętą długości pięć), dla skierowanej drogi otwartej koniec jest różny od początku. Podobnie jak w przypadku grafów i multigrafów drogę skierowaną będziemy utożsamiać z digrafem, którego wierzchołki i łuki są wymienione w definicji drogi. − → Szkieletem digrafu D nazywamy graf powstały przez pominięcie orientacji, czyli łuki zastępujemy krawędziami. Powstałe w wyniku tej procedury − → krawędzie wielokrotne zastępujemy krawędzią pojedynczą. Digraf D jest − → silnie spójny, jeżeli dla każdej pary x, y ∈ V ( D ) istnieje ścieżka skierowana − → − → o początku w x i końcu w y. Digraf D jest spójny, jeżeli szkielet D jest spójny. ← → Grafem skierowanym pełnym K n nazywamy digraf na n wierzchołkach, w którym każdy wierzchołek jest połączony ze wszystkimi pozostałymi łukiem symetrycznym. ← → Jeśli zbiór wierzchołków V grafu skierowanego D może być podzielony na dwa rozłączne zbiory A i B w taki sposób, by każdy wierzchołek zbioru A był połączony z każdym wierzchołkiem ze zbioru B łukiem symetrycznym, ← → to taki digraf D nazywamy digrafem pełnym dwudzielnym. Graf ten oznacza← → my przez K a,b , gdzie |A| = a i |B| = b. Permutacja jest to wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru na siebie. Dla transpozycji, tj. permutacji σ zbioru {1, 2, . . . , k}, takiej, że σ(i) = j, σ(j) = i, i 6= j oraz σ(p) = p dla p 6= i, p 6= j będziemy używać oznaczenia t(i, j)..

(16) Rozdział 2 Podziały drzew Niech G = (V, E) będzie grafem prostym rzędu n, a P pewną własnością. Powiemy, że ciąg τ = (a1 , ..., ak ) liczb naturalnych jest dopuszczalny dla grafu G ze względu na własność P, jeżeli spełnia poniższe warunki: • a1 + . . . + ak = n, • dla każdego i istnieje w grafie G podgraf Hi mający własność P taki, że |V (Hi )| = ai . Oznaczmy przez (a1 w1 , ..., al wl ) ciąg (a1 , ..., a1 , ..., al , ..., al ). |. {z. w1. }. |. {z wl. }. Mówimy, że dopuszczalny ciąg (a1 , . . . , ak ) jest realizowalny w grafie G przez grafy z P, jeżeli istnieje taki podział (V1 , . . . , Vk ) zbioru wierzchołków V , że |Vi | = ai oraz grafy G[Vi ] należą do P dla każdego i ∈ {1, . . . , k}. Graf G nazywamy dowolnie podzielnym ze względu na P, jeśli każdy ciąg dopuszczalny jest realizowalny przez grafy z P. W tym rozdziale P będzie rodziną grafów spójnych. W dalszej części tego rozdziału zatem, jeżeli τ = (a1 , ..., ak ) jest ciągiem dopuszczalnym dla grafu G i istnieje podział (V1 , ..., Vk ) zbioru wierzchołków V grafu G taki, że jeśli i ∈ {1, ..., k}, to |Vi| = ai i podgraf G[Vi ] jest spójny, to wówczas ciąg τ będziemy nazywać realizowalnym w G. Ciąg (V1 , ..., Vk ) nazywamy Grealizacją τ . Graf G jest dowolnie podzielny, jeżeli każdy ciąg dopuszczalny τ dla grafu G jest realizowalny w G. Jeśli nie będzie prowadziło to do nieporozumień, tzn. będzie wiadomo jaki graf mamy na myśli, będziemy w skrócie pisać: ciąg realizowalny, realizacja ciągu. Łatwo zaobserwować następujące fakty: Stwierdzenie 2.1 Ścieżka Pn jest dowolnie podzielna 13.

(17) Podziały drzew. 14. Stwierdzenie 2.2 Graf trasowalny jest dowolnie podzielny. Drzewo T jest pająkiem, jeśli T jest homeomorficzne z gwiazdą K1,q . Jeśli q > 2, wówczas pająk ma jeden wierzchołek istotny c i q ramion (ramiona oznaczamy przez Bi , i ∈ 1, ..., q, c ∈ V (Bi )). Niech bi = |V (Bi )| (b1 6 . . . 6 P bq ). Rozmiar pająka S(b1 , ..., bq ) jest równy 1 + qi=1 (bi − 1) (rysunek 2.1).. Rysunek 2.1: Pająk S(3, 5, 6, 7). Łatwo zauważyć, że jeśli dowolna podzielność drzewa spinającego T grafu G pociąga dowolną podzielność samego grafu G. Z tego powodu problemem dowolnej podzielności drzew zajęli się D. Barth, O. Baudon i J. Puech [7] i, niezależnie M. Horˇ nák oraz M. Woźniak [34]. Opiszemy poniżej pewną transformację (używali jej D. Barth et al. oraz M. Horˇ nák i M. Woźniak), która pozwala na redukcję dowolnego drzewa do pająka. Niech x będzie wierzchołkiem istotnym drzewa T takim, że x należy do ramion A1 i A2 drzewa T . Niech xi będzie sąsiadem x i yi będzie liściem ramienia Ai . Przez T (A1 , A2 ) oznaczmy drzewo takie, że V (T (A1 , A2 )) = V (T ) i E(T (A1 , A2 )) = E(T ) − {xx2 } ∪ {y1 y2 } (porównaj rysunek 2.2). Nietrudno stwierdzić, że poprzez ciąg takich transformacji dowolne drzewo T można przekształcić w pająka, dla którego wierzchołkiem istotnym będzie wierzchołek o największym stopniu w drzewie T . W naszych rozważaniach będziemy się zajmować w dużej mierze podzielnością pająków, ponieważ są one podstawową klasą grafów dla problemu podzielności drzew. D. Barth, O. Baudon i J. Puech ([7]) oraz M. Horˇ nák i M. Woźniak ([34]) wykazali bowiem, że każde drzewo T można poddać wyżej opisanej transformacji do pająka S(a1 , . . . , aq ) takiego, że dowolna podzielność S(a1 , . . . , aq ) jest konieczna do tego, by drzewo T było dowolnie podzielne..

(18) Podziały drzew. 15. Rysunek 2.2: Konstrukcja drzewa T (A1 , A2 ).. Twierdzenie 2.3 [D. Barth, O. Baudon i J. Puech [7], M. Horˇ n´ ak, M. Woźniak [34]] Jeśli drzewo T jest dowolnie podzielne i A1 , A2 są ramionami tego drzewa mającymi wspólny wierzchołek istotny, wówczas drzewo T (A1 , A2 ) jest również dowolnie podzielne. 2 Dla dwóch liczb naturalnych a oraz b oznaczmy przez NWD(a, b) największy wspólny dzielnik a i b. D. Barth, O. Baudon i J. Puech [7] i, niezależnie M. Horˇ nák oraz M. Woźniak [34] dowiedli także następującego twierdzenia: Twierdzenie 2.4 [D. Barth, O. Baudon, J. Puech [7], M. Horˇ n´ ak, M. Woźniak [34]] Pająk S(2, a, b) (2 6 a 6 b) jest dowolnie podzielny wtedy i tylko wtedy gdy NWD(a, b) = 1. Co więcej, każdy dopuszczalny, nierealizowalny ciąg w S(2, a, b) jest w postaci (dλ), gdzie a ≡ b ≡ 0(mod d), d > 1. 2 M. Horˇ nák i M. Woźniak pokazali też w [34], że drzewo T ze stopniem maksymalnym ∆(T ) > 7 nie jest dowolnie podzielne. Postawili oni również hipotezę, że jeśli T jest drzewem z maksymalnym stopniem ∆(T ) co najmniej pięć, wówczas T nie jest dowolnie podzielne. Hipotezę tę dowiedli D. Barth i H. Fournier w [8]: Twierdzenie 2.5 [D. Barth, H. Fournier [8]]Jeśli drzewo T jest dowolnie podzielne, wówczas stopień maksymalny ∆(T ) jest co najwyżej cztery. Co więcej każdy wierzchołek stopnia cztery drzewa T sąsiaduje z liściem. 2 D. Barth i H. Fournier stwierdzili także, że dla dowolnego s > 1 istnieje dowolnie podzielna stonoga T z s pojedynczymi nogami. Zauważmy, że jeśli stonoga T rzędu n ma co najmniej dwa wierzchołki n−1 n stopnia cztery, wówczas ciąg (2 2 ), jeśli n jest parzyste, (1, 2 2 ), jeśli n.

(19) Podziały drzew. 16. jest nieparzyste nie jest realizowalny w T , a co za tym idzie stonoga T nie jest dowolnie podzielna. Łatwo zauważyć, że te dwa ciągi są tylko wtedy realizowalne w dowolnym grafie G, jeśli graf G ma pełne lub prawie pełne skojarzenie. Zatem nietrudno stwierdzić, iż jeśli stonoga ma co najmniej dwa wierzchołki stopnia cztery, to nie jest dowolnie podzielna. Powołując się zatem na powyższe twierdzenie 2.5, można stwierdzić, że jedyną klasą stonóg, które warto rozpatrywać pod względem dowolnej podzielności są stonogi z co najwyżej jednym wierzchołkiem stopnia cztery. Stąd w rozprawie zajmujemy się głównie charakterystyką pewnych rodzin drzew dowolnie podzielnych z co najwyżej jednym wierzchołkiem stopnia cztery. W tym rozdziale przedstawimy dalsze wyniki związane z dowolną podzielnością stonóg oraz pająków. Rezultaty przedstawione poniżej pochodzą z pracy [18]. W tym rozdziale zakładamy, że każdy ciąg dopuszczalny jest niemalejący.. 2.1. Stonogi z dwoma pojedynczymi nogami. Niech P = y1 , . . . , yq będzie ścieżką i pografem drzewa T , niech U, W będą dwoma rozłącznym podzbiorami zbioru V (T ) takimi, że podgrafy T [U] oraz T [W ] są spójne. Powiemy, że podzbiory U oraz W są sąsiednie na ścieżce P , jeśli dla pewnego j ∈ {1, . . . , q − 1}, yj ∈ U i yj+1 ∈ W lub yj ∈ W i yj+1 ∈ U. Powiemy, że graf G jest pokryty zbiorami (V1 , . . . , Vm ), jeśli V1 ∪. . .∪Vm = V (G), Vi ∩ Vj = ∅ dla każdego i 6= j oraz G[Vi ] jest spójny dla każdego i. Stonogę T z dwoma pojedynczymi nogami dołączonymi w wierzchołkach x oraz y otrzymujemy dodając do ścieżki Pn−2 = x1 , ..., xn−2 , gdzie x = xi i y = xj (1 < i < j < n − 2), dwa wierzchołki u i v, w ten sposób, że wierzchołek u łączymy z wierzchołkiem x, v z y, czyli {xu, yv} ⊂ E(T ) (zobacz rysunek 2.3). Dla takiej stonogi T niech lx (T ) := i, rx (T ) := n − i, oraz analogicznie, ly (T ) := j + 1 i ry (T ) := n − j − 1. Sformułujemy teraz twierdzenie, które podaje warunki konieczne i wystarczające na to, by stonoga z dwoma pojedynczymi nogami była dowolnie podzielna. Twierdzenie 2.6 ([18]) Stonoga T rzędu n z dwoma pojedynczymi nogami jest dowolnie podzielna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie poniższe warunki:.

(20) Podziały drzew. 17. Rysunek 2.3: Stonoga z dwoma pojedynczymi nogami.. 10 NWD(lx (T ), rx (T )) = 1; 20 NWD(ly (T ), ry (T )) = 1; 30 NWD(lx (T ), ry (T )) = 1; 40 NWD(ly (T ), rx (T )) < ly − lx lub n ≡ 1 (mod (NWD(ly (T ), rx (T )))); 50 n 6= αlx (T ) + βly (T ) dla α, β ∈ N; 60 n 6= αrx (T ) + βry (T ) dla α, β ∈ N. Dowód. Dla ułatwienia zapisu oznaczmy lx = lx (T ), rx = rx (T ), ly = ly (T ) i ry = ry (T ). Zauważmy, że n = lx + rx = ly + ry , wobec tego bez straty ogólności możemy założyć, że lx 6 ry . Konieczność. Załóżmy, że NWD(lx , rx ) = d > 1 (NWD(ly , ry ) = d′ > 1, odpowiednio). Wówczas n = λ·d (n = λ′ ·d′ , odpowiednio) dla pewnego λ ∈ N ′ (λ′ ∈ N, odpowiednio). Łatwo zauważyć, że ciąg (dλ ) ((d′ λ ), odpowiednio) nie jest realizowalny w stonodze T , wobec tego warunki 10 oraz 20 są konieczne do tego, by stonoga T była dowolnie podzielna. Przyjmijmy teraz, że lx = α · d, ry = β · d dla pewnych liczb naturalnych α, β > 1 i d > 1. Stąd n = (α + β) · d + r i, z warunku 10 , d nie dzieli r. Rozpatrzmy ciąg (r, dλ ) jeśli r 6 d lub (dλ , r) w przeciwnym przypadku. Niech S będzie poddrzewem T (podgrafem będącym drzewem) rozmiaru r. Łatwo zauważyć, że graf T − S ma składową spójności C będącą pająkiem S(2, a, b) takim, że NWD(a, b) = µd dla pewnej liczby naturalnej µ > 1 lub ścieżką o długości, która nie jest podzielna przez d. Może być również stonogą T ′ z dwoma pojedynczymi nogami dołączonymi w x i y taką, że d dzieli NWD(ly (T ′ ), ry (T ′ )) lub NWD(lx (T ′ ), rx (T ′ )). Używając analogicznych argumentów jak powyżej lub twierdzenia 2.4 możemy wywnioskować, że taki ciąg nie jest realizowalny w C i to implikuje nam konieczność warunku 30 ..

(21) Podziały drzew. 18. Niech NWD(ly , rx ) = d > ly −lx > 2 i n nie jest przystające do 1(mod d). Jeśli d = ly − lx , wówczas lx ≡ 0 (mod d) i możemy wykazać jak powyżej, że stonoga T nie jest dowolnie podzielna. Załóżmy więc, że d > ly − lx i niech λ oraz r ∈ {1, . . . , d − 1} będą dwoma liczbami naturalnymi takimi, że lx = λd+r. Zatem, rx = αd, ly = βd oraz dla pewnych α, β mamy n = λd+αd+r. Stąd r > 2 i, ponieważ ly − lx < d, to β = λ + 1. Rozważmy teraz ciąg τ = (r, dα+λ ). Rozpatrując graf T − S, gdzie S jest poddrzewem T rzędu r i używając podobnych argumentów, jak w poprzednich przypadkach, możemy wywnioskować, że ciąg τ nie jest realizowalny w T , zatem warunek 40 jest konieczny dla dowolnej podzielności stonogi T . Ostatecznie, jeśli n = αlx +βly dla pewnych α, β ∈ N (lub n = αrx +βry ), to ciąg (lxα , lyβ ) (lub (rxα , ryβ ), odpowiednio) nie jest realizowalny w T . Wobec tego warunki 50 oraz 60 są konieczne dla dowolnej podzielności T . Dostateczność. Załóżmy, że warunki 10 –60 są spełnione i niech ciąg τ = (a1 , ..., ak ) będzie dopuszczalny dla T . W pierwszej kolejności wykażemy, że jeśli a1 = 1, to wówczas istnieje realizacja ciągu τ . W tym celu rozważmy stonogę T ′ = T − u, to znaczy stonogę z jedną pojedynczą nogą dołączoną w wierzchołku y. Ciąg τ ′ = (a2 , a3 , . . . , ak ) jest dopuszczalny dla T ′ . Oczywiście, jeśli τ ′ jest realizowalny w T ′ , to istnieje realizacja ciągu τ w T . Załóżmy więc, że τ ′ nie jest realizowalny w T ′ . Z twierdzenia 2.4 otrzymujemy, że NWD(ly −1, ry ) = d dla pewnego d > 1 i τ ′ = (d, ..., d). Tak więc d dzieli ry , a z warunku 30 wiemy, że lx nie jest podzielne przez d, zatem ciąg τ ′ jest realizowalny w stonodze T ′′ = T − v. Stąd łatwo zauważyć, że T jest grafem dowolnie podzielnym. Od teraz przyjmijmy, że a1 > 2, stąd dla każdego i = 1, . . . , k, ai > 2. Zauważmy, że stonoga T jest dowolnie podzielna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego dopuszczalnego ciągu τ = (a1 , . . . , ak ) dla T istnieje taka permutacja σ : {1, ..., k} → {1, ..., k}, że dla każdego s ∈ {1, ..., k} s X. / {lx , ly }. aσ(i) ∈. (∗). i=1. Niech m będzie takim minimalnym indeksem j ∈ {1, .., k}, że a1 +...+aj > lx . Tak więc, dla m > 1 mamy a1 + ... + am−1 < lx . Przypadek 1. a1 + ... + am = lx . Jeśli aj = a1 dla każdego j ∈ {1, ..., k}, to wówczas otrzymujemy sprzeczność z warunkiem 10 . Tak więc, istnieje j0 > m + 1 takie, że aj0 > a1 . Możemy założyć, że j0 jest minimalnym.

(22) Podziały drzew. 19. indeksem dla którego zachodzi ta nierówność. Niech σ będzie złożeniem trzech transpozycji: t(m, m + 1) ◦ t(m + 1, j0 ) ◦ t(1, m). Łatwo zauważyć, że aσ(1) + ... + aσ(m) > lx oraz aσ(1) + ... + aσ(m−1) = a2 + ... + am < lx dla m > 1. Załóżmy teraz, że istnieje m′ > m takie, że aσ(1) + ... + aσ(m′ ) = ly . Teraz, jeśli aσ(j) = a1 dla każdego j ∈ {m′ + 1, ..., k}, to ponieważ lx 6 ry i NWD(lx , ry ) = 1, otrzymujemy ry > 2a1 (k − 1 > m′ ). Tak więc am+1 = a1 , j0 = k i ai = a1 dla każdego i < k. Stąd lx = ma1 oraz ly = (m′ − 1)a1 + ak ; zatem ry = n − ly = αa1 i mamy sprzeczność z warunkiem 30 . Wobec tego możemy również założyć, że istnieje s ∈ {m′ + 1, ..., k} takie, iż aσ(s) > a1 . Przypadek 1.1. m = m′ . Wówczas aσ(m) > ly − lx + 1. Jeśli aσ(j) > aσ(m) dla pewnego j > m, to wtedy możemy rozpatrzyć permutację t(m, m+ 1)◦ t(m+ 1, j) ◦ σ spełniającą (∗). Zatem jeśli j > m, to aσ(j) może przyjmować tylko dwie wartości: a1 i aσ(m) . Co więcej, z warunku 50 wynika, że m > 2. P Ustalmy d = aσ(m) , r = m−1 i=2 ai dla m > 2 i r = 0 dla m = 2. Więc lx = a1 + r + am i ly = r + am + d. Przypadek 1.1.1. d > am . Przypuśćmy wpierw, iż am > a1 i rozpatrzmy permutację σ ′ = t(1, m + 1) ◦ σ (pamiętając, że aσ(1) = am i aσ(m+1) = a1 ). Mamy aσ′ (1) + ... + aσ′ (m−1) = a1 + r < a1 + r + am = lx , ly = r + am + d > aσ′ (1) + ... + aσ′ (m) = a1 + r + d > lx (ponieważ am > a1 i d > am ), aσ′ (1) + ... + aσ′ (m+1) = a1 + r + d + am = ly + a1 > ly , zatem σ ′ spełnia (∗). Przyjmijmy więc a1 = am , to znaczy aj = a1 dla każdego j ∈ {1, . . . , m} i lx = λa1 dla pewnego λ > 2. Tak więc z warunku 30 otrzymujemy istnienie i0 > m + 1, i0 6= j0 takiego, że ai0 = d. Rozważmy teraz permutację σ ′′ = t(m−1, i0 )◦σ. Mamy aσ′′ (1) +...+aσ′′ (m) = (λ−2)a1 +2d > ly = (λ−1)a1 +d. Tak więc, jeśli (λ − 2)a1 + d 6= lx = λa1 , to jest d 6= 2a1 , wówczas σ ′′ spełnia (∗). Jeśli natomiast d = 2a1 , to ry jest podzielne przez a1 i otrzymujemy sprzeczność z warunkiem 30 . Przypadek 1.1.2. d = am . Z konstrukcji permutacji σ wynika, że aj = d dla każdego j > m, tak więc rx = (k − m)d i a1 < d. Zamiast permutacji σ rozpatrzmy permutację ρ taką, że ρ(i) = k − i + 1, i = 1, 2, . . . , k. Oczywiście P aρ(i) = am dla i = 1, . . . , k−m i, ponieważ ly < rx , otrzymujemy k−m i=1 aρ(i) > ly . Warunek (∗) nie zachodzi dla ρ, jeśli ly = γd dla pewnego γ. Lecz wówczas istnieją liczby naturalne w, α′, β ′ takie, że NWD(ly , rx ) = wd > d > d − a1 = ly − lx i n = rx + lx = rx + ly − d + a1 = α′ wd + β ′ wd − d + a1 = (α′ + β ′ − 1)wd + (w − 1)d + a1 6≡ 1(mod wd) (d > a1 > 2), zatem otrzymujemy sprzeczność z warunkiem 40 . Przypadek 1.2. m < m′ . Przyjmijmy, że istnieje s0 ∈ {m′ + 1, ..., k} takie, że.

(23) Podziały drzew. 20. aσ(s0 ) 6= aσ(m′ ) . Bez straty ogólności możemy założyć, że s0 = m′ + 1 (jeśli to konieczne, wykonujemy stosowną transpozycję). Teraz używając transpozycji t(m′ , m′ + 1) otrzymujemy permutację, która spełnia (∗). Załóżmy więc, że aσ(s) = aσ(m′ ) dla każdego s ∈ {m′ + 1, ..., k}. Teraz, jeśli m + 1 < m′ oraz dla pewnego i ∈ {m + 1, m′ − 1} aσ(i) 6= aσ(m′ ) , to wówczas używamy permutacji t(m′ , m′ +1)◦t(i, m′ )◦σ i otrzymujemy permutację spełniającą (∗). Tak więc możemy założyć, że aσ(s) = aσ(m′ ) dla każdego s ∈ {m + 1, ..., m′ }, a zatem aσ(s) = a1 dla s ∈ {m + 1, ..., k} i lx = ma1 dla pewnego naturalnego m, co z warunku 30 jest niemożliwe. Przypadek 2. a1 + ... + am > lx . Możemy założyć, że istnieje m′ > m takie, że a1 + ... + am′ = ly , ponieważ w przeciwnym przypadku permutacja identycznościowa spełnia (∗). Teraz, ponieważ ai > am′ dla i > m′ , wystarczy rozważyć tylko przypadek ai = am′ dla i > m′ , to jest ry = αam′ dla pewnego naturalnego α. Używając analogicznej metody jak w przypadku 1.2, stwierdzimy, że jeśli nie istnieje permutacja spełniająca (∗), wówczas ai = am′ dla każdego i > m. Jeśli am+1 > am , to transpozycja σ = t(m, m′ + 1) spełnia (∗). Załóżmy więc, że ai = am′ dla każdego i > m. Wobec tego ly < rx < (k − m + 1)am′ . Rozpatrzmy teraz permutację ρ zdefiniowaną następująco: ρ(i) = k − i + 1 dla i = 1, 2, . . . , k. Ponieważ ry = αam′ , dla pewnego naturalnego α, to z warunku 30 i 20 dla permutacji ρ zachodzi warunek (∗). Co kończy dowód.. 2.2. Pająki S(3, a, b) i S(2, 2, a, b). Zanim sformułujemy odpowiednie twierdzenia, przytoczymy rezultat D. Bartha, O. Baudona i J. Puecha. Udowodnili oni bowiem następującą zależność między pająkami S(2, 2, a, b) i S(3, a, b). Twierdzenie 2.7 [D. Barth, O. Baudon, J. Puech [7]] Na to aby pająk S(2, 2, a, b) (2 6 a 6 b) był dowolnie podzielny, potrzeba i wystarcza by były spełnione poniższe warunki: 10 pająk S(3, a, b) jest dowolnie podzielny; 20 a, b są nieparzyste; 30 a 6≡ 2 (mod 3) lub b 6≡ 2 (mod 3).. 2. Dowiedziemy teraz twierdzeń, mówiących o dowolnym rozkładzie pająków S(3, a, b) oraz S(2, 2, a, b)..

(24) Podziały drzew. 21. Twierdzenie 2.8 ([18]) Niech a, b, 3 6 a 6 b, będą dwiema liczbami naturalnymi, a T = S(3, a, b) będzie pająkiem z trzema ramionami. Wówczas warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by pająk T był dowolnie podzielny, jest to, by zachodziły poniższe warunki: 10 NWD(a, b) 6 2; 20 NWD(a + 1, b) 6 2; 30 NWD(a, b + 1) 6 2; 40 NWD(a + 1, b + 1) 6 3; 50 n 6= α · a + β · (a + 1) dla α, β ∈ N; Dowód. Niech c będzie wierzchołkiem istotnym stopnia trzy drzewa T . Niech A1 , A2 , A3 będą ramionami T . Wierzchołki ramion oznaczmy jak poniżej: V (A1 ) = {c, x, y} V (A2 ) = {x1 , . . . , xa = c} V (A3 ) = {xa = c, xa+1 , . . . , xa+b−1 } (zobacz rysunek 2.4).. Rysunek 2.4: S(3, a, b).. Konieczność. Załóżmy, że NWD(a, b) = d > 2. Wówczas n = λ · d + 1 dla pewnego naturalnego λ > 2. Łatwo stwierdzić, że w grafie T nie istnieje realizacja ciągu (dλ−1 , (d + 1)). Jeśli NWD(a+1, b) = d > 3 (NWD(a, b+1) = d′ > 3), to wtedy n = λ·d, λ ∈ N, λ > 2 (n = λ′ · d′ , λ′ ∈ N, λ′ > 2, odpowiednio) i nietrudno sprawdzić, ′ że nie istnieje realizacja ciągu (dλ ) ((d′λ )) w drzewie T . Analogicznie, jeśli NWD(a + 1, b + 1) = d > 3, to n = λ · d − 1, λ ∈ N, a zatem nie istnieje realizacja ((d − 1), dλ−1 ) w T ..

(25) Podziały drzew. 22. Rozważmy teraz sytuację, gdy n = α · a + β · (a + 1), α, β ∈ N. W tym przypadku ciąg (aα , (a + 1)β ) nie jest realizowalny w T . Dostateczność. Przyjmijmy, że zachodzą warunki 10 -50 oraz, że ciąg τ = (m1 , . . . , mk ) jest dopuszczalny dla drzewa T . Łatwo zauważyć, że taki ciąg jest realizowalny w T , jeśli mk = 1 (ponieważ ciąg τ jest niemalejący), możemy zatem założyć, że mk > 1. Niech τˆ = (n1 , . . . , nk ) będzie ciągiem z niemalejąco uporządkowanymi elementami ciągu (m1 , . . . , mk−1 , mk − 1), z ns = mk − 1. Rozważmy drzewo Tˆ = T − y, które jest izomorficzne z pająkiem S(2, a, b). Oczywiście ciąg τˆ jest dopuszczalny dla drzewa Tˆ. Załóżmy, że ciąg τˆ nie jest realizowalny w Tˆ . Z warunku 10 i twierdzenia 2.4 wynika, że taka sytuacja może mieć miejsce, jeżeli NWD(a, b) = 2 oraz τˆ = (2k ). Łatwo zaobserwować, że jeśli τ = (2k−1, 3), to ciąg τ jest realizowalny w T . Tak więc w dalszej części dowodu możemy założyć, że istnieje realizacja ciągu τˆ w drzewie Tˆ . Ponadto, ciąg τ jest realizowalny w T , jeżeli mi ∈ {1, 2} dla pewnego i, ˆ = możemy więc założyć, że nj > 3 dla każdego j 6= s i ns > 2. Niech M (V1 , . . . , Vs , . . . , Vk ) będzie realizacją ciągu τˆ w drzewie Tˆ taką, że |Vi | = ni dla i = 1, . . . , k, oraz Vp indukuje poddrzewo istotne (zawierające wierzchołek istotny c). Zauważmy, że jeśli |Vp | = mk − 1,. (∗). ˆ poprzez zamianę Vp z Vp ∪ {y}, to wówczas ciąg M, otrzymany z ciągu M jest realizacją τ w T . Tak więc, załóżmy, że warunek (∗) nie zachodzi (czyli |Vp | = 6 |Vs |). Rozważymy teraz dwa przypadki. Przypadek 1. Vs ⊂ V (A2 ). Załóżmy, że xa−1 ∈ Vp . Ponieważ A2 − Vp jest ścieżką w drzewie Tˆ, to możemy rozmieścić zbiory Vi , pokrywając ścieżkę w ten sposób, że zbiory Vp i Vs są sąsiednie w A2 . Co więcej poddrzewo grafu T indukowane przez Vp ∪Vs ∪{y} może być pokryte przez (Vs ∪{z}, Vp \{z}∪{y}), gdzie z jest pierwszym wierzchołkiem Vp w ramieniu A2 . Resztę pokrywamy bez zmian poprzez pozostałe zbiory Vi i w ten sposób otrzymujemy realizację ciągu τ w grafie T . Wystarczy zatem rozważyć przypadek, gdy Vp indukuje ścieżkę w Tˆ taką, że Vp \ {x} ⊂ V (A3 ) (zobacz rysunek 2.5). Załóżmy, że ns > np . Ponieważ A2 − Vp jest ścieżką w Tˆ , to bez straty ogólności możemy założyć, że zbiory Vp oraz Vs są sąsiednie w A2 (zobacz rysunek 2.5). Teraz poddrzewo grafu Tˆ indukowane przez zbiór Vs ∪ Vp może być pokryte przez (Vs′ , Vp′ ), gdzie Vs′ indukuje podścieżkę (podgraf będący ścieżką) w ramieniu A2 o np wierzchołkach, i G[Vp′ ] jest pająkiem mającym rząd ns = mk − 1, zawierającym wierzchołek c. Biorąc Vi′ = Vi dla i 6= p, s, łatwo zauważyć, że ciąg (V1′ , . . . , Vk′ ) jest realizacją ciągu τˆ.

(26) Podziały drzew. 23. Rysunek 2.5: Zbiory Vp i Vs są sąsiednie w A2 .. w drzewie Tˆ spełniającą warunek (∗). Nietrudno teraz stwierdzić, że ciąg τ jest realizowalny w drzewie τ . Ponieważ ns = mk − 1, to możemy założyć, iż ns = np − 1 = mk − 1. Wobec tego ni 6 np dla każdego i. Przypuśćmy, że dla pewnego i 6= s, p, Vi ⊂ A2 oraz |Vi | 6 np − 2, wówczas, zakładając, że zbiory Vi oraz Vp są sąsiednie w A2 , graf T [Vi ∪ Vp ] możemy pokryć przez parę (Vi′ , Vp′ ), gdzie zbiór Vi′ indukuje podścieżkę A3 −c o ni wierzchołkach i Vp′ indukuje drzewo zawierające wierzchołek c. Stosując takie same argumenty jak powyżej, otrzymujemy realizację ciągu τ w grafie T . A więc, np − 1 6 |Vi | 6 np dla każdego i takiego, że Vi ⊂ V (A2 ). Załóżmy, że dla pewnego j, Vj ⊂ V (A3 ) i |Vj | < np . Z faktu, że zbiór Vp indukuje ścieżkę w Tˆ , wynika, że zbiorem Vj możemy pokryć początek ścieżki xcxa+1 . . . xa+b−1 i znaleźć realizację ciągu τ w drzewie T . Przyjmijmy więc, że |Vi | = np dla każdego i takiego, że Vi ⊂ V (A3 ). Niech q := np . To oznacza, że a = λq + µ(q − 1) oraz b + 1 = νq, dla pewnych λ > 0, µ > 0 i ν > 0. Co więcej, ciąg τ jest w postaci ((q − 1)µ , q λ+ν ). Jeżeli µ = 0, wówczas, z warunku 30 , q 6 2, co jest sprzeczne z założeniem o np . Załóżmy, że µ = 1. W takim przypadku a + 1 = (λ + 1)q, a więc z warunku 40 otrzymujemy, że q = 3, a co za tym idzie τ = (2, 3k ), z kolei ten ciąg w sposób oczywisty jest realizowalny w drzewie T . Rozważmy teraz sytuację, gdy µ > 2. Ponieważ a < b, stąd ν > 2, zatem ciąg ((q − 1)2 , q ν−2 ) jest realizowalny w A3 −c, a ciąg ((q−1)µ−2 , q λ+2 ) jest realizowalny w drzewie indukowanym przez zbiór A2 ∪{x, y}, przeto τ jest realizowalny w drzewie T . Przypadek 2. Vs ⊂ V (A3 ). Podobnie jak w przypadku 1 możemy założyć, że xa+1 ∈ / Vp , q − 1 6 |Vi| 6 q dla Vi ⊂ V (A3 ) i |Vj | = q dla Vj ⊂ V (A2 ), gdzie q = np . Możemy teraz przyjąć, że b = λq + µ(q − 1) i a + 1 = νq, dla pewnych naturalnych λ > 0, µ > 0 i ν > 0. Jeśli µ = 0, wówczas z warunku 20 otrzymujemy, że q 6 2, co prowadzi do sprzeczności z założeniem, iż np > 3. Dla µ = 1 postępując analogicznie jak w przypadku 1, wykażemy, że τ jest realizowalny w T . Przyjmijmy zatem, że µ > 2. Jeśli ν > 2, to żeby pokazać,.

(27) Podziały drzew. 24. że istnieje realizacja τ w T , postępujemy analogicznie jak w przypadku 1. Zasadnicza różnica pomiędzy przypadkiem 1 oraz 2 jest wtedy, gdy ν = 1, lecz wówczas q = a + 1 i n = (λ + 1)(a + 1) + µa, co prowadzi do sprzeczności i kończy dowód. Twierdzenie 2.9 ([18]) Niech a, b, 3 6 a 6 b będą dwoma liczbami naturalnymi i graf T = S(2, 2, a, b) będzie pająkiem rzędu n. Wówczas drzewo T jest dowolnie podzielne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie poniższe warunki: 1′ NWD(a, b) = 1; 2′ NWD(a + 1, b) = 1; 3′ NWD(a, b + 1) = 1; 4′ NWD(a + 1, b + 1) = 2; 5′ n 6= α · a + β · (a + 1) dla α, β ∈ N; Dowód. Konieczność. Załóżmy, że graf T jest dowolnie podzielny. Wówczas z twierdzenia 2.7: pająk S(3, a, b) jest dowolnie podzielny; a, b są nieparzyste; a 6≡ 2 (mod 3) lub b 6≡ 2 (mod 3). Wobec tego, liczby naturalne a oraz b spełniają warunki 10 –50 twierdzenia 2.8, a więc jest spełniony warunek 5′ twierdzenia 2.9. Ponieważ a oraz b są nieparzyste, stąd i z warunków 10 , 20 i 30 twierdzenia 2.8 otrzymujemy, że NWD(a, b) = 1, NWD(a, b+1) = 1 oraz NWD(a+1, b) = 1. A więc a oraz b spełniają warunki 1′ , 2′ i 3′ . Zauważmy ponadto, iż z warunku 40 twierdzenia 2.8, mamy NWD(a + 1, b + 1) ∈ {2, 3}. Wiemy również, że a 6≡ 2 (mod 3) lub b 6≡ 2 (mod 3), a co za tym idzie NWD(a + 1, b + 1) 6= 3, stąd warunek 4′ jest spełniony. Dostateczność. Jeśli liczby naturalne a oraz b spełniają warunki 1′ –5′ , wówczas są również spełnione warunki 10 –50 twierdzenia 2.8. Tak więc graf S(3, a, b) jest dowolnie podzielny i z warunków 1′ –3′ , a i b są nieparzyste. Przypuśćmy, że a ≡ 2 (mod 3) i b ≡ 2 (mod 3). Wówczas a + 1 ≡ 0 (mod 3) i b+1 ≡ 0 (mod 3), zatem NWD(a+1, b+1) > 3, co prowadzi do sprzeczności. Otrzymujemy więc a 6≡ 2 (mod 3) lub b 6≡ 2 (mod 3). Stąd i twierdzenia 2.7 graf T jest dowolnie podzielny. Co kończy dowód. Z twierdzeń 2.8 oraz 2.9 wynika następujący wniosek:.

(28) Podziały drzew. 25. Wniosek 2.10 ([18]) Istnieje nieskończenie wiele dowolnie podzielnych pająków S(3, a, b) i S(2, 2, a, b). Dowód. Niech a > 5 będzie liczbą pierwszą i b = a + 2. łatwo zauważyć, że liczby a oraz b spełniają warunki 1′ –5′ twierdzenia 2.8 (a także waruki 10 –50 twierdzenia 2.9) dla n = 2a + 3.. 2.3. Stonogi z jedną podwójną i jedną pojedynczą nogą. Każdą stonogę T rzędu n z jedną podwójną i jedną pojedynczą nogą dołączonymi odpowiednio w wierzchołkach x i y można otrzymać używając następującej konstrukcji. Do ścieżki P = x1 , . . . , xn−3 , gdzie x = xa i y = xj (a < j) są dwoma niekońcowymi wierzchołkami P , dodajemy trzy wierzchołki u,v oraz z, w ten sposób, że wierzchołki u i v łączymy z x, natomiast wierzchołek v z y (patrz rysunek 2.6). Oznaczmy przez Lx = {x1 , x2 , . . . , x}, Rx = {x, xa+1 , . . . , xn−3 } ∪ {z}, Ly = {x1 , x2 , . . . , y} ∪ {u, v}, Ry = {y, xj+1, . . . , xn−3 } i niech lx = |Lx |, rx = |Rx |, ly = |Ly |, oraz ry = |Ry |.. Rysunek 2.6: Stonoga z jedną podwójną i jedną pojedynczą nogą.. Twierdzenie 2.11 ([18]) Niech T będzie stonogą rzędu n z jedną podwójną i jedną pojedynczą nogą, dołączonymi odpowiednio do wierzchołków x oraz y. Niech a = lx i b = rx . Jeśli a ≡ 1 (mod 6), b ≡ 0 (mod 3), 7 6 a < b, NWD(a − 3, b) = 1, n − 1 6= αa (α ∈ N), ry = 3, oraz a, b spełniają warunki 1′ –5′ twierdzenia 2.9, to wówczas stonoga T jest dowolnie podzielna. Dowód. Przez u oraz v oznaczmy dwa wierzchołki stopnia jeden sąsiednie z wierzchołkiem x i niech z będzie wierzchołkiem stopnia jeden sąsiednim z y (patrz rysunek 2.6). Z założeń wynika, że n = a + b + 1 ≡ 2 (mod 3). Niech τ = (a1 , . . . , ak ) będzie ciągiem dopuszczalnym dla drzewa T . Pokażemy.

(29) Podziały drzew. 26. wpierw, że wystarczy rozpatrzeć przypadek, gdy at > 2 dla każdego t. W tym celu zauważmy, że stonoga T ′ = T −v z dwoma pojedynczymi nogami spełnia lx′ = a, rx′ = b, ly′ = a + b − 3 = n − 4 ≡ 1 (mod 3), ry′ = 3, zatem zachodzą warunki 10 –30 twierdzenia 2.6. Oprócz tego NWD(ly′ , rx′ ) = NWD(a + b − 3, b) = NWD(a − 3, b) = 1 < ly′ − lx′ = a − 3, tak więc zachodzi warunek 40 . Co więcej, jeśli αlx′ + βly′ = αa + (n − 4)β = n − 1, dla pewnych α, β ∈ N, to β = 0, co prowadzi do sprzeczności. Załóżmy, że n−1 = αrx′ +βry′ = αb+3β ≡ 0 (mod 3) (α, β ∈ N). Równocześnie n − 1 = a + b ≡ 1 (mod 3), otrzymujemy sprzeczność. Tak więc również zachodzą warunki 50 –60 twierdzenia 2.6. Teraz, jeśli a1 = 1, to możemy przyjąć V1 = {v}, stąd istnienie realizacji ciągu τ w T jest oczywiste. Przyjmijmy więc, że at > 2 dla każdego t. Zauważmy, że na podstawie twierdzenia 2.9 pająk Tˆ = S(2, 2, a, b), otrzymany przez usunięcie krawędzi zy, a dodanie krawędzi zxn−3 , jest dowolˆ = (V1 , . . . , Vk ) będzie realizacją τ w grafie Tˆ taką, nie podzielny. Niech M że Vp (Vs odpowiednio) indukuje drzewo istotne (podścieżkę lub poddrzewo, odpowiednio) w grafie Tˆ zawierające x (y odpowiednio). Oczywiste jest to, że jeśli Vs zawiera wierzchołek xn−4 (to jest wierzchołek, który następuje po y = xn−5 na ścieżce x1 , . . . , xn−3 ), to ciąg τ jest realizowalny w T . Oznacza to, iż możemy założyć, że Vs nie zawiera wierzchołka xn−4 . Stąd, ponieważ ar > 2 dla każdego r, to istnieje g takie, że Vg = {xn−4 , xn−3 , z} (porównaj rysunek 2.7). Zauważmy, że dla każdego r takiego, że Vr ⊂ Rx , mamy |Vr | = 3. W przeciwnym przypadku, możemy założyć, że Vg oraz Vr są sąsiednie w Rx i wykonać transpozycję Vr oraz Vg w Vr′ oraz Vg′ taką, że Vr′ lub Vg′ zawierałoby {y, xn−4 }. Ponadto, albowiem |Rx | = b ≡ 0 (mod 3), otrzymujemy |Vp ∩ (Rx \ {x})| ≡ 2 (mod 3), a stąd |Vp ∩ (Rx \ {x})| > 2. Co więcej, ponieważ ar > 2 dla każdego r, mamy u, v ∈ Vp i |Vp | > 5. Dla większej przejrzystości dowodu rozważmy teraz dwie sytuacje: Przypadek 1. Istnieje h takie, że Vh ⊂ Lx i |Vh | = 6 3. Bez straty ogólności możemy założyć, że Vh i Vp są sąsiednie w Lx . Przypadek 1.1. |Vh | 6 |Vp ∩ (Rx \ {x})| (patrz rysunek 2.7). Teraz możemy wykonać transpozycję Vp i Vh w Vp′ i Vh′ taką, że Vh′ ⊂ Rx . Używając analogicznych argumentów jak powyżej, łatwo możemy znaleźć realizację (V1′ , . . . , Vk′ ) ciągu τ w grafie T . Przypadek 1.2. |Vh | > |Vp ∩ (Rx \ {x})|. Niech b = 3q i |Vh | = 3w + r, gdzie q, w, r są trzema liczbami naturalnymi spełniającymi 3 6 q, 1 6 w oraz.

(30) Podziały drzew. 27. Rysunek 2.7: Przypadek 1.1.. r ∈ {0, 1, 2}. Ze względu na założenia otrzymujemy, że 3 < |Vh | = 3w + r < a < b = 3q. Ustalmy: Vh′ = {xn−3w−r−1, xn−3w−r , . . . , xn−3 , z}, Vp′ = {xt , xt+1 , . . . , xa , . . . , xa+2−r } ∪ {u, v}, gdzie |Vp′ | = |Vp | = ap . Pozostałe wierzchołki Rx możemy pokryć przez q − w − 1 > 0 zbiorów o mocy trzy. Tym samym łatwo stwierdzić, że istnieje realizacja (V1′ , . . . , Vk′ ) ciągu τ w stonodze T . Przypadek 2. τ = (3, 3, . . . , 3, |Vp|). Ponieważ a − 1 ≡ 0 (mod 3) oraz |Vp | = d > 3, to niech Vp′ = {xn−d−1 , xn−d , . . . , xn−3 , z}. Teraz, pokrywając pozostałe wierzchołki stonogi T zbiorami liczności trzy, łatwo możemy otrzymać realizację ciągu τ w T . Powyższe twierdzenie w prosty sposób prowadzi do postawienia następującej tezy: Stwierdzenie 2.12 ([18]) Istnieje nieskończenie wiele dowolnie podzielnych stonóg z jedną podwójną i jedną pojedynczą nogą. Dowód. Przyjmijmy a takie, że b = a + 2 = 3p, gdzie p jest liczbą pierwszą, większą od pięciu. Stąd a ≡ 1 (mod 6), NWD(b, a − 3) = 1, n = 2a + 3, n − 1 = 2a + 2. Wobec tego są spełnione założenia 1′ –5′ twierdzenia 2.9. To z kolei pozwala nam zastosować twierdzenie 2.11, by stwierdzić, iż dana stonoga jest dowolnie podzielna..

(31) Rozdział 3 Podziały grafów unicyklicznych Podobnie jak w rozdziale 2 przyjmiemy, że własność P jest rodziną grafów spójnych. Jednakże w tym rozdziale zajmujemy się również realizacją pewnych specyficznych ciągów. Przypomnijmy, że dla grafu spójnego G = (V, E) rzędu n ciąg τ = (a1 , ..., ak ) liczb naturalnych jest dopuszczalny, jeżeli a1 + . . . + ak = n. Mówimy również, że ciąg τ jest realizowalny w grafie G, jeżeli istnieje podział (V1 , ..., Vk ) zbioru wierzchołków V grafu G taki, że |Vi | = ai oraz podgraf G[Vi ] jest spójny dla każdego i. Graf G nazywamy dowolnie podzielnym, jeśli każdy ciąg dopuszczalny jest realizowalny w grafie G. Niech ciąg τ = (a1 , . . . , ak ) będzie dopuszczalny dla grafu G rzędu n. Element ai ciągu τ nazywamy wygodnym, jeśli ai = 1 lub ai jest parzyste. Ciąg τ nazywamy l-wygodnym, jeśli τ ma co najmniej l wygodnych elementów. Zwróćmy uwagę na to, iż G-realizacja każdego ciągu dopuszczalnego lwygodnego dla grafu G, jest warunkiem koniecznym dla dowolnej podzielności grafu G. Słońcem z r pojedynczymi promieniami nazywamy graf spójny rozmiaru n > 2r otrzymany w ten sposób, że do cyklu Cn−r dodajemy r wierzchołków stopnia jeden v1 , . . . , vr i łączymy je krawędziami nieincydentnymi (zwanymi promieniami ) z wierzchołkami u1 , . . . , ur cyklu Cn−r . Słońce jest wyznaczone z dokładnością do izomorfizmu przez podanie ciągu liczb wierzchołków pomiędzy kolejnymi promieniami. Niech ui będzie wierzchołkiem cyklu Cn−r sąsiednim z wierzchołkiem vi , stopień wierzchołka ui jest trzy. Jeśli ciąg wierzchołków u1 , . . . , ur z cyklu Cn−r jest taki, że między wierzchołkami następującymi po sobie stopnia trzy ui oraz ui+1 jest dokładnie ni > 0 wierzchołków stopnia dwa, wówczas takie słońce oznaczamy z dokładnością do izomorfizmu przez Sun(n1 , . . . , nr ) (porównaj rysunek 3.1). 28.

(32) Podziały grafów unicyklicznych. 29. Łatwo zauważyć, że każde słońce z jednym pojedynczym promieniem jest. Rysunek 3.1: Słońce Sun(n1 , . . . , nr ). trasowalne, wobec tego jest dowolnie podzielne. R. Kalinowski et al. w [39] dowiedli następujących twierdzeń o dowolnej rozkładalności słońca z dwoma i trzema pojedynczymi promieniami. Twierdzenie 3.1 [R. Kalinowski et al., [39]]Słońce Sun(a, b) jest dowolnie podzielne wtedy i tylko wtedy, gdy a oraz b są parzyste. Co więcej, słońce Sun(a, b) rzędu n nie jest dowolnie podzielne tylko wówczas, gdy nie n istnieje realizacja ciągu (2 2 ). 2 Twierdzenie 3.2 [R. Kalinowski et al., [39]]Słońce Sun(a, b, c) z trzema pojedynczymi promieniami nie jest dowolnie podzielne wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jeden z poniższych warunków: 1. co najmniej dwie z liczb a, b, c są nieparzyste, 2. a ≡ b ≡ c ≡ 0(mod 3), 3. a ≡ b ≡ c ≡ 2(mod 3).. 2. R. Kalinowski et al. udowodnili również następujące twierdzenie. Twierdzenie 3.3 [R. Kalinowski et al., [39]]Każdy (r − 2)-wygodny ciąg jest realizowalny w słońcu Sun(n1 , . . . , nr ) wtedy i tylko wtedy, gdy co najwyżej jedno z n1 , . . . , nr jest nieparzyste. 2.

(33) Podziały grafów unicyklicznych. 30. Dla każdego i ∈ {1, . . . , r} pojedynczy promień uivi słońca Sun(n1 , . . . , nr ) może być zastąpiony przez promień wielokrotny w następujący sposób: usuwamy wierzchołek vi i dodajemy j wierzchołków vi1 ,...,vij oraz krawędzi ui vi1 ,..., ui vij . Dzięki tej procedurze uzyskaliśmy promień {uivi1 , ..., ui vij } krotności j > 1. Zauważmy, że każde słońce jest grafem unicyklicznym. Przez Sun′ (n1 , ..., nr ) oznaczamy słońce z jednym podwójnym promieniem {u1 v11 , u1 v12 } i (r−1) pojedynczymi promieniami u2 v2 ,...,ur vr (porównaj rysunek 3.2). Zwróćmy uwagę, że jeśli S jest słońcem, które ma promień krotności co. Rysunek 3.2: Słońce Sun′ (n1 , . . . , nr ). najmniej trzy lub ma co najmniej dwa promienie podwójne, to S nie ma ani pełnego, ani prawie pełnego skojarzenia, a co za tym idzie słońce S nie jest dowolnie podzielne. Z tego powodu w dalszej części rozprawy rozważamy tylko słońca z jednym podwójnym promieniem. W podrozdziale 3.1 opiszemy realizacje ciągów l-wygodnych w słońcach z jednym podwójnym i (r − 1) pojedynczymi promieniami. Natomiast w podrozdziale 3.2 podamy pełną charakteryzację wszystkich słońc z jednym podwójnym i co najwyżej dwoma pojedynczymi promieniami, które są dowolnie podzielne. Dla danego dopuszczalnego ciągu τ = (a1 , ..., ak ) dla grafu G rzędu n, będziemy używać następującej notacji do opisu G-realizacji (V1 , ..., Vk ) ciągu τ w G. Niech ciąg s = (v1 , ..., vn ) będzie ciągiem wierzchołków grafu G. Ciąg podzbiorów (V1 , ..., Vk ) zbioru V (G) taki, że V1 = {v1 , ..., va1 }, V2 = {va1 +1 , ...,.

(34) Podziały grafów unicyklicznych. 31. va1 +a2 }, . . ., Vk = {va1 +...+ak−1 +1 , ..., va1 +...+ak −1 , vn }, nazywamy τ -podziałem zbioru V (G) zgodnym z ciągiem s. Dla każdego i ∈ {1, . . . , k} podgraf indukowany G[Vi ] nazywamy podgrafem indukowanym przez τ -podział. Jeśli teraz każdy podgraf indukowany przez τ -podział jest spójny, to τ -podział zgodny z ciągiem s jest realizacją τ w grafie G. W tym rozdziale przedstawimy wyniki związane z dowolną podzielnością grafów unicyklicznych. Rezultaty przedstawione poniżej pochodzą z pracy [23].. 3.1. Realizacje ciągów l-wygodnych. Sformułujemy teraz twierdzenie, które podaje warunki konieczne i wystarczające na to, by ciąg l-wygodny był realizowalny w słońcach z jednym podwójnym i r − 1 pojedynczymi promieniami. Twierdzenie 3.4 ([23]) Na to by każdy (r−2)-wygodny ciąg był realizowalny w grafie G = Sun′ (n1 , ..., nr ), r > 2, potrzeba i wystarcza by zachodziły wszystkie poniższe warunki: (1) liczby n1 , . . . , nr są parzyste, (2) istnieje j ∈ {1, . . . , r} takie, że nj 6≡ 2(mod 3), (3) n1 6≡ 2(mod 3) lub nr 6≡ 2(mod 3) lub istnieje j ∈ {2, ..., r − 1} takie, że nj 6≡ 0(mod 3). Dowód. Niech n będzie rzędem grafu Sun′ (n1 , ..., nr ). Kolejne wierzchołki cyklu Cn−r znajdujące się pomiędzy promieniami vi ui i vi+1 ui+1 oznaczmy przez xi1 , . . . , xini tak jak na rysunku 3.2. Konieczność. Jeśli co najmniej jedna liczba z liczb n1 , . . . , nr jest nieparzysta, n−1 n to wówczas ciąg (1, 2 2 ) (jeśli n jest nieparzyste) lub ciąg (2 2 ) (dla n parzystego) jest (r − 2)-wygodny, lecz nie jest realizowalny w słońcu Sun′ (a1 , ..., ar ). Następujące ciągi k elementowe: (t1 , ..., tr−2 , 3k−r+2), gdzie ti ∈ {1, 4} dla i = 1, ..., r − 2 lub (2r−2 , 3k−r+2) są (r − 2)-wygodne ale nierealizowalne, jeśli aj ≡ 2(mod 3) dla j ∈ {1, ..., r}, lub jeżeli a1 ≡ ar ≡ 2(mod 3), aj ≡ 0(mod 3) dla j ∈ {2, ..., r − 1}, odpowiednio. Dostateczność. Na początku zauważmy, że z warunku (1) wynika, iż rząd n jest nieparzysty. Niech τ = (a1 , ..., ak ) będzie ciągiem (r − 2)-wygodnym. Z tego, iż n jest nieparzyste wynika, że w ciągu τ jest nieparzysta liczba elementów nieparzystych. Niech a1 ,...,ak1 będą nieparzystymi elementami dla.

(35) Podziały grafów unicyklicznych. 32. pewnego k1 > 1, zaś ak1 +1 ,...,ak będą parzystymi elementami. Bez straty ogólności możemy założyć, że a1 > . . . > ak1 oraz ak1 +1 > . . . > ak . Definiujemy ciąg (V1 , ..., Vk ) τ -podziału zgodnego z s = (v11 , u1, v12 , x11 , ..., x1n1 , u2, v2 , x21 , ..., x2n2 , ..., ur , vr , xr1 , ..., xrnr ). Jeśli wszystkie elementy ciągu τ są wygodne, to wówczas wszystkie nieparzyste elementy są równe 1 i łatwo zaobserwować, że dzięki powyższej konstrukcji otrzymujemy realizację ciągu τ w G. Wobec tego możemy przyjąć, że a1 > 3. Załóżmy, że w tej sytuacji powyższa konstrukcja nie daje nam realizacji ciągu τ w G. Niech i1 oznacza najmniejsze i ∈ {1, ..., r} takie, że podgraf G[Vi ] nie jest spójny. Z tego, że a1 > 3, wynika, iż wierzchołki v11 , u1 , v12 należą do V1 . To zaś pociąga, że uj1 ∈ Vi1 −1 oraz vj1 ∈ Vi1 dla pewnego j1 takiego, że 2 6 j1 6 r. Zwróćmy uwagę, że stąd, iż liczba elementów poprzedzających uj1 w ciągu s jest nieparzysta, wynika, że również liczby ai1 −1 oraz ai1 są nieparzyste. W następstwie tego, że n1 jest parzyste oraz a1 jest nieparzyste, otrzymujemy i1 − 1 > 1. Oczywiste jest to, że ai1 > 3 i skutkiem tego ai1 −1 > 3. Rozważmy teraz następujące przypadki: Przypadek 1. W ciągu τ istnieje co najmniej r − 1 elementów wygodnych lub j1 ∈ {3, ..., r} lub nr = 0. Jeśli ostatni element ak jest parzysty, to modyfikujemy uporządkowanie elementów ciągu τ w ten sposób, że τ 1 = (a1 , ..., ai1 −2 , ak , ai1 −1 , ..., ak−1 ). Definiujemy teraz nowy τ 1 -podział zgodny z s. Jeśli ostatni element ak = ak1 jest równy 1, to przekształcamy uporządkowanie elementów ciągu τ , otrzymując τ 1 = (a1 , ..., ai1 −1 , ak , ai1 , ..., ak−1 ) i określamy nowy τ 1 -podział zgodny z s. Łatwo zauważyć, że w obu przypadkach wierzchołki v11 , u1 , v12 należą do V1 , oraz dla każdego j = 2, ..., j1 oba wierzchołki uj , vj należą do spójnego podgrafu indukowanego przez τ 1 -podział. W tej sytuacji znajdujemy pierwszy niespójny podgraf G[Vi2 ] indukowany przez τ 1 -podział i powtarzamy powyższą modyfikację, tym razem ciągu τ 1 , ustawiając ostatni parzysty element ciągu τ 1 przed elementem ai2 −1 albo ostatni element równy 1 przed elementem ai2 , otrzymując ciąg τ 2 , następnie definiujemy τ 2 -podział zgodny z ciągiem s. Zwróćmy uwagę, że liczba wszystkich potrzebnych modyfikacji to co najwyżej r − 1. Jeśli w ciągu τ jest co najmniej r − 1 elementów wygodnych, to otrzymujemy realizację ciągu τ w G. Jeśli nr = 0, to łatwo zauważyć, iż j1 6 r − 1. Tak więc, jeżeli nr = 0 lub j1 > 3, to liczba potrzebnych modyfikacji nie jest większa niż liczba elementów wygodnych w ciągu τ (jest ich co najmniej r−2). Ostatecznie otrzymujemy realizację ciągu τ w grafie G..