Realizacje ciągów l-wygodnych

Sformułujemy teraz twierdzenie, które podaje warunki konieczne i wystar-czające na to, by ciąg l-wygodny był realizowalny w słońcach z jednym podwójnym i r − 1 pojedynczymi promieniami.

Twierdzenie 3.4 ([23]) Na to by każdy (r−2)-wygodny ciąg był

realizo-walny w grafie G = Sun′(n1, ..., nr), r > 2, potrzeba i wystarcza by zachodziły wszystkie poniższe warunki:

(1) liczby n1, . . . , nr są parzyste,

(2) istnieje j ∈ {1, . . . , r} takie, że nj 6≡ 2(mod 3),

(3) n1 6≡ 2(mod 3) lub nr 6≡ 2(mod 3) lub istnieje j ∈ {2, ..., r − 1} takie, że nj 6≡ 0(mod 3).

Dowód. Niech n będzie rzędem grafu Sun^′(n1, ..., nr). Kolejne wierzchołki cyklu Cn−r znajdujące się pomiędzy promieniami viui i vi+1ui+1 oznaczmy przez xi

1, . . . , xi

ni tak jak na rysunku 3.2.

Konieczność. Jeśli co najmniej jedna liczba z liczb n₁, . . . , nrjest nieparzysta, to wówczas ciąg (1, 2ⁿ⁻¹2 ) (jeśli n jest nieparzyste) lub ciąg (2ⁿ2) (dla n parzystego) jest (r − 2)-wygodny, lecz nie jest realizowalny w słońcu Sun^′(a₁, ..., ar).

Następujące ciągi k elementowe: (t1, ..., tr−2, 3k−r+2), gdzie ti ∈ {1, 4} dla i = 1, ..., r − 2 lub (2r−2, 3k−r+2) są (r − 2)-wygodne ale nierealizowalne, jeśli aj ≡ 2(mod 3) dla j ∈ {1, ..., r}, lub jeżeli a₁ ≡ ar ≡ 2(mod 3), aj ≡ 0(mod 3) dla j ∈ {2, ..., r − 1}, odpowiednio.

Dostateczność. Na początku zauważmy, że z warunku (1) wynika, iż rząd n

jest nieparzysty. Niech τ = (a1, ..., ak) będzie ciągiem (r − 2)-wygodnym. Z tego, iż n jest nieparzyste wynika, że w ciągu τ jest nieparzysta liczba elementów nieparzystych. Niech a₁,...,ak1 będą nieparzystymi elementami dla

pewnego k1 > 1, zaś ak1+1,...,ak będą parzystymi elementami. Bez straty ogólności możemy założyć, że a1 > . . . > ak1 oraz ak1+1 > . . . > ak. Definiujemy ciąg (V1, ..., Vk) τ -podziału zgodnego z

s = (v¹₁, u1, v²₁, x¹₁, ..., x¹_n1, u2, v2, x²₁, ..., x²_n2, ..., ur, vr, x^r₁, ..., x^r_nr).

Jeśli wszystkie elementy ciągu τ są wygodne, to wówczas wszystkie nieparzyste elementy są równe 1 i łatwo zaobserwować, że dzięki powyższej konstrukcji otrzymujemy realizację ciągu τ w G. Wobec tego możemy przyjąć, że a₁ >3. Załóżmy, że w tej sytuacji powyższa konstrukcja nie daje nam realizacji ciągu τ w G. Niech i1oznacza najmniejsze i ∈ {1, ..., r} takie, że podgraf G[Vi] nie jest spójny. Z tego, że a1 > 3, wynika, iż wierzchołki v₁¹, u1, v₁² należą do V1. To zaś pociąga, że uj1 ∈ Vi1−1 oraz vj1 ∈ Vi1 dla pewnego j1 takiego, że 2 6 j1 6r. Zwróćmy uwagę, że stąd, iż liczba elementów poprzedzających uj1 w ciągu s jest nieparzysta, wynika, że również liczby ai1−1 oraz ai1 są nieparzyste. W następstwie tego, że n1 jest parzyste oraz a1 jest nieparzyste, otrzymujemy i1 − 1 > 1. Oczywiste jest to, że ai1 > 3 i skutkiem tego ai1−1 >3. Rozważmy teraz następujące przypadki:

Przypadek 1. W ciągu τ istnieje co najmniej r − 1 elementów wygodnych lub j1 ∈ {3, ..., r} lub nr = 0.

Jeśli ostatni element ak jest parzysty, to modyfikujemy uporządkowanie elementów ciągu τ w ten sposób, że τ1 = (a1, ..., ai1−2, ak, ai1−1, ..., ak−1). Definiujemy teraz nowy τ1-podział zgodny z s. Jeśli ostatni element ak = ak1 jest równy 1, to przekształcamy uporządkowanie elementów ciągu τ , otrzymując τ1 = (a1, ..., ai1−1, ak, ai1, ..., ak−1) i określamy nowy τ1-podział zgodny z s. Łatwo zauważyć, że w obu przypadkach wierzchołki v1

1, u₁, v2 1

należą do V1, oraz dla każdego j = 2, ..., j1 oba wierzchołki uj, vj należą do spójnego podgrafu indukowanego przez τ1-podział. W tej sytuacji znajdu-jemy pierwszy niespójny podgraf G[Vi2] indukowany przez τ1-podział i powta-rzamy powyższą modyfikację, tym razem ciągu τ1, ustawiając ostatni parzysty element ciągu τ1 przed elementem ai2−1 albo ostatni element równy 1 przed elementem ai2, otrzymując ciąg τ², następnie definiujemy τ²-podział zgodny z ciągiem s.

Zwróćmy uwagę, że liczba wszystkich potrzebnych modyfikacji to co naj-wyżej r − 1. Jeśli w ciągu τ jest co najmniej r − 1 elementów wygodnych, to otrzymujemy realizację ciągu τ w G. Jeśli nr = 0, to łatwo zauważyć, iż j1 6 r − 1. Tak więc, jeżeli nr = 0 lub j1 > 3, to liczba potrzebnych modyfikacji nie jest większa niż liczba elementów wygodnych w ciągu τ (jest ich co najmniej r−2). Ostatecznie otrzymujemy realizację ciągu τ w grafie G.

Przypadek 2. W ciągu τ istnieje dokładnie r −2 elementów wygodnych i j1 = 2, i nr >2.

Użyjemy analogicznej procedury jak w przypadku 1, lecz tym razem definiujemy τ -podział zgodny z ciągiem

s¹ = (v₁², u1, v₁¹, xr

nr, ..., xr

1, ur, vr, ..., x²_n2, ..., x²₁, u2, v2, x¹_n1, ..., x¹₁). Jeśli n1 = 0, to otrzymujemy realizację ciągu τ w G. Wobec tego przyjmij-my, że n₁ > 2. Dla większej przejrzystości dowodu rozważmy następujące podprzypadki:

Przypadek 2.1. a1 >5.

W tej sytuacji tworzymy τ -podział zbioru V (G) zgodny z następującym ciągiem s² = (xr nr−1, xr nr, v¹₁, u₁, v₁², x¹₁, ..., x_n¹₁, u₂, v₂, x²₁, ..., x²_n2, ..., ur, vr, xr 1, ..., xr nr−2). Tak więc wierzchołki podwójnego promienia v1

1, u1, v2

1 ∈ V1 i, ponieważ ai1 > 3, wierzchołki pierwszego pojedynczego promienia u2, v2 ∈ Vi1. Postępujemy teraz jak w przypadku 1. Zaobserwujmy, że w każdym kroku otrzymany w ten sposób pierwszy niespójny podgraf G[Vil] indukowany przez τl−1 -podział (τ0 = τ ) ma nieparzystą liczbę ai_l > 3 wierzchołków, gdzie ai_l jest elementem ciągu τl−1. Element ail−1 jest również nieparzysty i ail−1 > 3. Liczba koniecznych modyfikacji to co najwyżej r − 2, zatem otrzymujemy realizację ciągu τ w G.

Przypadek 2.2. a1 = 3.

Na początku zauważmy, że n1 ≡ 2(mod 3) i, analogicznie nr ≡ 2(mod 3). Przypadek 2.2.1. ak1+1 >6.

Wpierw uporządkujmy ciąg τ następująco: τ1 = (ak1+1, a1, ..., ak1, ak1+2, ..., ak). Jeśli teraz ak1+1 − 4 > n₁ lub ak1+1 6≡ 1(mod 3), to stwórzmy τ1-podział zbioru V (G) zgodny z ciągiem:

s³ = (x^r_nr, v₁¹, u1, v₁², x¹₁, ..., x¹_n1, u2, v2, x²₁, ..., x²_n2, ..., ur, vr, x^r₁, ..., x^r_nr−1). Jeżeli natomiast ak1+1 − 4 < n1 i ak1+1 ≡ 1(mod 3) , to definiujemy τ1 -podział zbioru V (G) zgodny z ciągiem s2. Dzięki temu wierzchołki v1

1, u1, v2 1

należą do zbioru Vk1+1. Stąd iż n1,...,nr są parzyste, to w obu przypadkach nie istnieje j ∈ {2, ..., r} takie, że vj ∈ Vk1+1i uj 6∈ Vk1+1. Zauważmy również, że w obu przypadkach wierzchołki u2 oraz v2 należą do tego samego podgrafu indukowanego przez τ1-podział. Możemy zatem postępować ponownie jak

w przypadku 1, wówczas w każdym kroku otrzymany w ten sposób pierwszy niespójny podgraf G[Vil] ma nieparzystą ilość ailwierzchołków. Liczby ail−1 = ai_l = 3 będą elementami aktualnego ciągu τl−1. Liczba potrzebnych modyfi-kacji wynosi co najwyżej r − 2, a my mamy do dyspozycji jedynie r − 3 elementów wygodnych. Załóżmy, że użyjemy je wszystkie i istnieje niespójny podgraf G[Vi_r−2] taki, że jr−2 = r. Liczba elementów następujących po ur w s3 jest przystająca do 2 modulo 3, liczba elementów następujących po ur w s2 jest przystająca do 1 modulo 3. W obu przypadkach jednak każdy element ciągu τr−3następujący po elemencie ai_r−2−1jest równy 3, co prowadzi do sprzeczności. Wobec tego, w rzeczywistości liczba wszystkich koniecznych modyfikacji wynosi co najwyżej r − 3 i otrzymujemy realizację ciągu τ w G. Przypadek 2.2.2. ak1+1 ∈ {4, 2} lub w ciągu τ nie ma parzystych elementów (k₁ = k).

W takim przypadku ciąg τ jest w postaci (3l1, 1l2, 4l3, 2l4), dla l1 >1, l2, l3, l4 > 0 i l2 + l3 + l4 = r − 2. Zaczynamy procedurę od zdefiniowania τ -podziału zbioru V (G) zgodnego z ciągiem s. Postępujemy analogicznie jak w przypadku 1 i w każdym kroku otrzymany w ten sposób pierwszy niespójny podgraf G[Vi_l] ma nieparzystą liczbę ai_l > 3 wierzchołków, oraz ai_l−1, ai_l są elementami zmodyfikowanego ciągu τl−1 (τ0 = τ ) takimi, że ai_l−1 = ail = 3. Jeśli w wyniku powyższej procedury potrzebujemy co naj-wyżej r − 2 modyfikacji, to otrzymamy realizację ciągu τ w G. Tak więc możemy przyjąć, że potrzebujemy r − 1 modyfikacji. W pierwszym kroku j1 = 2. Modyfikujemy uporządkowanie elementów ciągu τ w taki sposób, że τ1 = (a1, ..., ai1−2, ak, ai1−1, ..., ak−1) i definiujemy nowy τ1-podział zgodny z s. W następnym kroku j2 = 3. Załóżmy wpierw, że ak = 2. Wówczas n2 ≡ 0(mod 3). Jeśli teraz ak1+1 = 4 lub ak1 = 1, to wracamy do kroku pierwszego dla j1 = 2. Modyfikujemy uporządkowanie elementów ciągu τ , otrzymując τ1 = (a₁, ..., ai1−2, ak1+1, ai1−1, ..., ak1, ak1+2, ..., ak) lub τ1 = (a₁, ..., ai1−1, ak1, ai1, ..., ak1−1, ak1+1, ..., ak), odpowiednio. Zatem wierzchołki promieni u2v2, u3v3 należą do pewnego podgrafu spójnego indukowanego przez τ -podział zbioru V (G). Co więcej, będziemy potrzebować jedynie co najwyżej r − 3 modyfikacji. Wobec tego otrzymujemy realizację τ w G. Jeśli τ = (3k−r+2, 2r−2) i jeśli będziemy potrzebować r−1 modyfikacji, to wówczas ni ≡ 0 (mod 3) dla i ∈ {2, ..., r − 1}, co jest sprzeczne z poczynionym przez nas założeniem (3). Możemy zatem przyjąć, iż τ = (3k−r+2, t1, ..., tr−2), ti ∈ {1, 4} dla i = 1, ..., r − 2. Jeżeli w tym przypadku będziemy potrzebować r − 1 modyfikacji, to ni ≡ 2 (mod 3) dla i ∈ {1, ..., r}, co jest sprzeczne z warunkiem (2) i kończy dowód.

Dowód powyższego twierdzenia w prosty sposób prowadzi do następującego wniosku: