([19]) Następujące rodziny grafów są dowolnie rozkła-

    (a₃, . . . , ak; a₁+ a₂, t₁, . . . , tp), dla k > 4; (−; a1+ a2+ a3, t1, . . . , tp), dla k = 3; (−; a1+ a2, t1, . . . , tp), dla k = 2.

Nietrudno stwierdzić, że dla k = 3 mamy a1+ a2+ a3 ≡ 0(mod 4). Zatem ciąg γ′ jest dopuszczalny dla grafu G. Dalsza część dowodu jest analogiczna do dowodu lematu 5.6.

Poniższy wynik w przypadku grafów dwudzielnych pochodzi z pracy [18]. Warto zaznaczyć, że zostało udowodnione, że graf dwudzielny Ka,bjest dowolnie rozkładalny na drogi otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy a = 1 lub a, b są parzyste. W cytowanej pracy dowód tego rezultatu był konstrukcyjny, jednakże opierając się na twierdzeniu 5.4 warunek wystarczający staje się prostym wnioskiem.

Twierdzenie 5.7 ([19]) Następujące rodziny grafów są dowolnie

rozkła-dalne na drogi otwarte:

1. grafy pełne Kn, dla nieparzystego n, 2. grafy Kn− I, dla n parzystego,

b b

x y

Rysunek 5.3: Przykład grafu G dowolnie rozkładalnego na drogi zamknięte, który nie jest dowolnie rozkładalny na drogi otwarte i zamknięte.

3. grafy pełne dwudzielne Ka,b, dla parzystych a, b, 4. grafy dwudzielne Ka,a− I, dla nieparzystego a,

5. grafy pełne trójdzielne Kn,n,n, dla każdego naturalnego n > 0.

Na zakończenie tego paragrafu podamy przykład grafu G = K1,1,5 (porów-naj rysunek 5.3) dowolnie rozkładalnego na drogi zamknięte ([32]). Zauważmy, że ciąg (2, 3; 3, 3) jest dopuszczalny dla grafu G, jednakże nie jest on G-realizowalny. Wynika to stąd, iż każda droga zamknięta długości trzy w grafie G musi zawierać krawędź xy.

W pracy przedstawiliśmy rezultaty dotyczące dowolnego podziału grafów. W pierwszej części pracy rozważaliśmy dowolny podział grafów na pod-grafy spójne. Wskazaliśmy pewne rodziny drzew oraz grafów unicyklicznych dowolnie podzielnych. Rozważaliśmy również pewne specjalne podziały grafów unicyklicznych, w których istniała odpowiednia ilość podgrafów będących wierzchołkami izolowanymi bądź mającymi parzysty rząd. Warto nadmienić, że tego typu podziały są również rozważane przez D. Rautenbacha oraz L. Volkmanna ([44]).

W drugiej części rozpatrywaliśmy dowolny rozkład grafów na drogi. Dowiedliśmy twierdzeń analogicznych do twierdzeń P.N. Balistera (por. twier-dzenia 4.1, 4.5 oraz 4.6). Przeniesienie jego wyników dotyczyło grafów zrówno-ważonych K′

a,a = Ka,a − Ia (por. twierdzenie 4.14), digrafów pełnych dwu-dzielnych ^←K^→a,b (por. twierdzenie 4.18) oraz multigrafów dwudzielnych (por. twierdzenie 4.20). Wyniki P.N. Balistera, M. Horˇn´aka oraz M. Woźniaka, a także E.J. Billington i N.J. Cavenagha (por. twierdzenia 4.1, 4.2 oraz 4.4) uogólniliśmy również na przypadek rozkładu na drogi otwarte i zamknięte (por. twierdzenie 5.4).

Rozwiązaliśmy także problem postawiony przez E.J. Billigton, dowodząc, że jeśli a, b są nieparzyste, to istnieje taki maksymalny eulerowski podgraf K′

a,b grafu Ka,b, który jest rozkładalny na drogi zamknięte.

Pytaniem, które nasuwa się w sposób naturalny w związku z poruszany-mi problemaporuszany-mi i które może wyznaczać kierunek dalszych badań, jest:

• kiedy graf r-dzielny pełny Kn1,...,nr (r > 4) jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte?

Warto przypomnieć, że jeśli chcemy rozważać nietrywialne ciągi do-puszczalne, to graf G = Kn1,...,nr musi być eulerowski. E.J. Billington i N.J. Cavenagh postawili hipotezę, że jeśli n₁ = . . . = nr = n oraz n jest parzyste lub r jest nieparzyste, to graf G jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte (por. [11]). Hipoteza ta jest prawdziwa jeśli n = 2, wówczas

bowiem graf G jest izomorficzny z grafem K2r − I, który na podstawie twierdzenia 4.1 jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte.

[1] M. Aigner, S. Brandt, Embedding arbitrary graphs of maximum degree two, J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 48, No. 1 (1993) s. 39–51.

[2] M. Aigner, E. Triesch, Zs. Tuza, Irregular assignments and vertex-distinguishing edge-colorings of graphs, Combinatorics ’90, GAETA, 1990, s. 1– 9; Ann. Discrete Math. 52 (1992).

[3] P.N. Balister, Packing Circuits into KN, Combin. Probab. Comput. 10

(2001) s. 463–499.

[4] P.N. Balister, Packing digraphs with directed closed trails, Combin. Probab. Comput. 12 (2003) s. 1–15.

[5] P.N. Balister, Packing closed trails into dense graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B 88 (2003) s. 107–118.

[6] P.N. Balister, B. Bollob´as, R. H. Schelp, Vertex-distinguishing

edge-colorings of graphs with△(G) = 2, Discrete Mathematics, 252 (2002) s. 17–29. [7] D. Barth, O. Baudon, J. Puech, Network sharing: a polynomial algorithm

for tripodes, Discrete Applied Mathematics, 119 (2002) s. 205–216.

[8] D. Barth, H. Fournier, A Degree Bound on Decomposable Trees, Discrete Mathematics 306(5) (2006) s. 469–477.

[9] J.C. Bermond, J. Schoenheim, G-decomposition of Kn, where G has four

vertices or less, Discrete Math. 19 (1977) s. 113–120.

[10] E.J. Billington, Multipartite graph decomposition: cycles and closed trails, Le Matematiche (Catania) 59 (2006) no. 1-2, s. 53–72.

[11] E.J. Billington, N.J. Cavenagh, Decomposing complete tripartite graphs into closed trails of arbitrary lengths, Czechoslovak Mathematical Journal 132 (2007) s. 523–551.

[12] S. Brandt, G. Chen, R. Faudree, R.J. Gould, L. Lesniak, Degree conditions for2-factors, J. Graph Theory 24 (1997) s. 165-173.

[13] D. Bryant, D. Horsley, B. Maenhaut, Decompositions into 2-regular subgraph and equitable partial cycle decompositions, J. Comb. Theory, Ser. B

93 (2005) s. 67–72.

[14] Ch.-Ch. Chou, Ch.-M. Fu, W.-Ch. Huang, Decomposition of Kn,m into

short cycles, Discrete Mathematics 197/198 (1999) s. 195–203.

[15] S. Cichacz, Decomposition of complete bipartite digraphs and even complete bipartite multigraphs into closed trails, Discussiones Mathematicae - Graph Theory 27 (2) (2007) s. 241–249.

[16] S. Cichacz, Y. Egawa, M. Woźniak, Arbitrarily decomposition into open and closed trails, przyjęty do druku w Discrete Mathematics (2008), doi:10.1016/j.disc.2008.03.004.

[17] S. Cichacz, D. Fronˇcek, Bipartite graphs decomposable into closed trails, Preprint MD 033 (2007), http://www.ii.uj.edu.pl/preMD/.

[18] S. Cichacz, A. G¨orlich, A. Marczyk, J. Przybyło, M. Woźniak,

Arbitrarily vertex decomposable caterpillars with four or five leaves,

Discussiones Mathematicae - Graph Theory 26 (2) (2006) s. 291–305.

[19] S. Cichacz, A. G¨orlich, Decomposition of complete bipartite graphs into open trails, Preprint MD 022 (2006), http://www.ii.uj.edu.pl/preMD/.

[20] S. Cichacz, M. Horˇn´ak, Decomposition of bipartite graphs into closed trails, IM Preprint Series A 2 (2007), http://umv.science.upjs.sk/preprints/.

[21] S. Cichacz, J. Przybyło, M. Woźniak, Decompositions of pseudographs into closed trails of even sizes, przyjęty do druku w Discrete Mathematics (2008), doi:10.1016/j.disc.2008.04.024.

[22] S. Cichacz, J. Przybyło, M. Woźniak, Irregular edge-colorings of sums of cycles of even lengths, Australasian Journal of Combinatorics 40 (2008) s. 41– 56.

[23] S. Cichacz, I. A. Zioło, On arbitrarily vertex decomposable unicyclic graphs with dominating cycle, Discussiones Mathematicae - Graph Theory 26 (3) (2006) s. 403–412.

[24] R. Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag New York Inc. (1997) s. 53–62.

[25] Y. Egawa, H. Enomoto, N. Tokushige, Graph decompositions through prescribed vertices without isolates, Ars Combin. 62 (2002) s. 189-205.

[27] H. Enomoto, Graph decompositions without isolated vertices, J. Combinatorial Theory Ser. B 63 (1995) s. 111–124.

[28] H. Enomoto, Graph partition problems into cycles and paths, Discrete Mathematics 233 (2001) s. 93-101.

[29] H. Enomoto, S. Matsunaga, Graph decompositions without isolated

vertices III, Journal of Graph Theory 24 (1997) s. 155–164.

[30] E. Gy˝ori, On division of graphs to connected subgraphs, in Colloquia

Mathematica Societatis J´anos Bolyai, 18. Combinatorics, Keszthely

(Hungary), North - Holland (1976) s. 485–494.

[31] R. H¨aggkvist, A lemma on cycle decompositions, Annals of Discrete

Mathematics 27 (1985) s. 227–232.

[32] M. Horˇn´ak, Z. Kockov´a, On complete tripartite graphs arbitrarily

decomposable into closed trails, Tatra Mt. Math. Publ. 36 (2007) s. 71–107.

[33] M. Horˇn´ak, Z. Kockov´a, On planar graphs arbitrarily

decomposable into closed trails, IM Preprint Series A 5 (2004)

http://umv.science.upjs.sk/preprints/.

[34] M. Horˇn´ak, M. Woźniak, Arbitrarily vertex decomposable trees are of maximum degree at most six, Opuscula Mathematica 23 (2003) s. 49–62.

[35] M. Horˇn´ak, M. Woźniak, Decomposition of complete bipartite even graphs into closed trails, Czechoslovak Mathematical Journal 128 (2003) s. 127–134.

[36] M. Horˇn´ak, M. Woźniak, On arbitrarily vertex decomposable trees,

Preprint MD 001 (2004), http://www.ii.uj.edu.pl/preMD/.

[37] R. Johansson, An El-Zah´ar type condition ensuring path-factors, J. Graph Theory 28 (1998) s. 39–42.

[38] T. Juszczyk, O dowolnej podzielności pewnych klas drzew gwieździstych, praca magisterska, Wydział Matematyki Stosowanej AGH 2005.

[39] R. Kalinowski, M. Pilśniak, M. Woźniak, I. A. Zioło, Arbitrarily

vertex decomposable suns with few rays, Preprint 017 (2005),

http://www.ii.uj.edu.pl/preMD/, przyjęty do druku w Discrete

Mathematics.

[40] A. Kotzig, On the decomposition of complete graphs into 4k-gons, Math. Fyz. ˇ

Cas. 15 (1965 b) s. 229–232.

[41] L. Lov´asz, A homology theory for spanning trees of a graph, Acta Math. Acad. Sci. Hungar 30 (3-4) (1976) s. 241–251.

[42] A. Marczyk, A note on arbitrarily vertex decomposable graphs, Opuscula Math. 26 No.1 (2006) s. 109–118.

[43] M. Meszka, Z. Skupień, Decompositions of a complete multidigraph into nonhamiltonian paths, J. Graph Theory 51 (2006) s. 82–91.

[44] D. Rautenbach, L. Volkmann, Cyclic Sums, Network Sharing and Restricted Edge Cuts in Graphs with Long Cycles, przyjęty do druku w Networks.

[45] M. Reiss, ¨Uber eine Steinersche kombinatorische Aufgabe welche in 45sten Bande dieses Journals, Seite 181, gestellt worden ist, J. Reine Angew. Math.

56 (1859) s. 326–344.

[46] P. Wittmann, Vertex-distinguishing edge-colorings of 2-regular graphs, Discrete Applied Mathematics, 79 (1997) s. 265–277.