([15]) Jeśli r jest parzyste, to multigraf r Ka,b jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte

Dowód. Dowód jest indukcyjny ze względu na r i przebiega podobnie jak

w przypadku twierdzenia 4.18. Jeżeli r = 2, to używając twierdzenia 4.18 i pomijając orientację krawędzi, otrzymamy, że multigraf 2Ka,b jest dowolnie rozkładalny na drogi zamknięte. Idea dowodu jest taka, że multigraf rKa,b rozpatrujemy jako krawędziowo-rozłączną sumę dwóch multigrafów 2Ka,b i r−2Ka,b rozmiaru 2ab oraz (r − 2)ab, odpowiednio.

Niech η = (t₁, t₂, . . . , tp) będzie dopuszczalnym ciągiem dlarKa,b. Oznaczmy przez si = t1 + . . . + ti, dla każdego i ∈ {1, . . . , p}. Wystarczy rozważyć następujące dwa przypadki:

Przypadek 1. Dla pewnego i, si = 2ab. Tak więc, możemy znaleźć realizację ciągu η1 = (t1, . . . , ti) w 2Ka,b i następnie poprzez indukcję znaleźć rozkład grafu r−2Ka,b na drogi zamknięte długości ti+1, . . . , tp.

Przypadek 2. Dla pewnego i, si−1 6 2ab − 2 oraz si > 2ab + 2. Niech η1 = (t1, . . . , ti−1, t′

i) i η2 = (t′′

i, ti+1, . . . , tp), gdzie t′

i = 2ab − si−1 > 2 oraz t′′

i = ti−t′

i >2 są parzyste. Z założenia indukcyjnego ciąg η1 jest realizowalny w multigrafierKa,b na drogi zamknięte (T₁, . . . , Ti−1, T′

i) długości t₁, . . . , ti−1, t′

i. Poprzez indukcję otrzymujemy rozkład multigrafu r−2Ka,b na drogi zam-knięte (T′′

i , Ti+1, . . . , Tp) długości odpowiednio t′′

i, ti+1, . . . , tp. Zauważmy, że drogi zamknięte długości t′

i, t′′

i mają co najmniej jeden wierzchołek ze zbioru B, tak więc po odpowiedniej permutacji zbioru B multigrafu 2Ka,b drogi T′

i oraz T′′

i możemy skleić w wierzchołku ze zbioru B, otrzymując drogę zamkniętą Ti = T′

i.T′′

i długości ti. Zatem w multigrafierKa,b istnieje rozkład na drogi zamknięte T1, . . . , Tp długości t1, . . . , tp.

Podamy teraz warunki konieczne i wystarczające na to, by multigraf rKa,b dla r nieparzystego był rozkładalny na drogi zamknięte T1, . . . , Tp długości odpowiednio t1, . . . , tp.

Twierdzenie 4.20 ([15]) Niech r > 1 będzie nieparzyste, natomiast a

oraz b będą parzyste. Każdy dopuszczalny ciąg η = (t₁, . . . , tp) dla rKa,b jest realizowalny w rKa,b wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z poniższych warunków

P

t_i≡0 (mod4)ti+^P_t

i≡2 (mod4)(ti− 2) > ab, jeśli a = 2,

P

ti>2ti >ab, jeśli a, b > 4.

Dowód. Niech η = (t1, . . . , tp) będzie ciągiem dopuszczalnym dla multigrafu rKa,b.

Konieczność. Jeśli rozpatrzymy krawędzie równoległe drogi zamkniętej T

w multigrafierKa,b takie, że jest ich nieparzysta liczba, i dla takich krawędzi pominiemy równoległość (to znaczy krawędzie równoległe zastąpimy jedną krawędzią), to otrzymamy drogę zamkniętą (lub drogi zamknięte) w grafie Ka,b. Stąd, jeżeli r jest nieparzyste, to zbiór takich krawędzi (wcześniej o nieparzystej wielokrotności) musi dać w sumie zbiór krawędzi grafu Ka,b. Zatem łatwo wywnioskować, iż jeśli a = 2 i ciąg η spełnia następującą nierówność

X

ti≡0 (mod 4)

ti+ ^X

ti≡2 (mod 4)

torK2,b nie jest rozkładalny na drogi zamknięte długości t1, . . . , tp, ponieważ w grafie K2,b są tylko drogi zamknięte długości podzielnej przez cztery. Jeżeli natomiast a, b > 4 i ciąg η jest taki, że^P_ti>2ti < ab, to stąd, iż w grafie Ka,b nie ma dróg długości dwa, w multigrafie rKa,b nie istnieje realizacja ciągu η.

Dostateczność. Jeśli r = 1, to z twierdzenia 4.2 wynika, iż graf Ka,b jest rozkładalny na drogi zamknięte długości t1, . . . , tp. W przypadku gdy r > 3, to multigrafrKa,b rozpatrujemy jako krawędziowo-rozłączną sumę grafu Ka,b (G1) i multigrafu r−1Ka,b (G2), rozmiaru ab oraz (r − 1)ab, odpowiednio. Przypadek 1. a = 2 lub b = 2. Niech multigraf rK_2,b będzie multigrafem pełnym dwudzielnym z następującymi zbiorami podziału A = {x, y} i B. Oznaczmy przez M1, M2 oraz M3 zbiory indeksów takie, że

M1 = {i : tji ≡ 0 (mod 4)} = {1, . . . , m},

M2 = {i : tji ≡ 2 (mod 4), tj_i >6} = {m + 1, . . . , n}, M3 = {i : tji = 2} = {n + 1, . . . , p}.

Przypadek 1.1. ^Pm

i=1tji >2b.

Niech h 6 m będzie takim minimalnym indeksem, że ^Ph

i=1tji >2b. Niech teraz t′ i_h = 2b −^h−1P i=1tj_i ≡ 0 (mod 4), t′′ j_h = tj_h− t′ j_h. Na podstawie twierdzenia 4.2 otrzymujemy rozkład grafu K_2,bna drogi zamknięte długości ti1, . . . , tj_h−1, t′

jh, natomiast ze stwierdzenia 4.19 otrzymujemy rozkład multigrafu r−1K2,b

na drogi zamknięte długości t′′

jh, tj_h+1, . . . , tjp (bez straty ogólności możemy przyjąć, że t′′

jh 6= 0). Teraz sklejamy drogi zamknięte długości t′

jh oraz t′′ jh

w wierzchołku x lub y, otrzymując drogę zamkniętą długości tjh. Przypadek 1.2. ^Pm

i=1tj_i < 2b.

Niech k 6 n będzie minimalnym indeksem spełniającym ^Pm

i=1tj_i+ ^Pk

i=m+1(tji− 2) > 2b. Zauważmy, że tj_k możemy przedstawić jako sumę t′

jk oraz t′′ jk taką, że ^Pm i=1tj_i+ ^k−1P i=m+1(tji− 2) + t′ jk = 2b, oraz t′ jk ≡ 0 (mod 4), t′′ jk >2. Ustalmy t′ ji = tj_i − 2, t′′ ji = 2 dla i = m + 1, . . . , k − 1.

Z twierdzenia 4.2 wynika, iż graf K_2,b jest rozkładalny na drogi zamknięte Tj1, . . . , Tj_m, T′

jm+1, . . . , T′

j_k długości tj1, . . . , tj_m, t′

jm+1, . . . , t′

j_k. Na podstawie stwierdzenia 4.19 otrzymujemy r−1Ka,b-realizację (T′′

jm+1, . . . , T′′

j_k, Tj_k+1, . . . , Tj_p) ciągu η′′ = (t′′

jm+1, . . . , t′′

do zbioru V (T′′

ji) dla i ∈ {m + 1, . . . , k} oraz {x, y} ⊂ V (T′

ji) dla i ∈ {m + 1, . . . , k}. Zatem drogi zamknięte T′

ji i T′′

ji (dla i ∈ {m + 1, . . . , k}) zawsze mają co najmniej jeden wierzchołek wspólny. Stąd, jeśli Tji = T′

ji.T′′ ji

(dla i ∈ {m + 1, . . . , k}), to (Tj1, . . . , Tjp) jest realizacją η w multigrafierK2,b. Przypadek 2. a > 4.

Możemy założyć, że η spełnia t1 6 . . . 6 tp. Niech si = t1 + . . . + ti. Stąd, iż η jest niemalejący i ^P_ti>2ti >ab, to wystarczy rozważyć następujące trzy podprzypadki:

Przypadek 2.1. Dla pewnego i, si = ab. Tak więc, dzięki twierdzeniu 4.2 możemy znaleźć realizację ciągu η1 = (t1, . . . , ti) w Ka,bi następnie ze stwier-dzenia 4.19 rozkład multigrafur−1Ka,bna drogi zamknięte długości ti+1, . . . , tp. Przypadek 2.2. Dla pewnego i, si−1 6 ab − 4 oraz si > ab + 2. Niech η1 = (t1, . . . , ti−1, t′ i) i η2 = (t′′ i, ti+1, . . . , tp), gdzie t′ i = 2ab − si−1 > 4 oraz t′′ i = ti − t′

i > 2 są parzyste. Na podstawie twierdzenia 4.2 istnieje Ka,b-realizacja (T1, . . . , Ti−1, T′

i) ciągu η1. Ze stwierdzenia 4.19 otrzymujemy rozkład multigrafu r−1Ka,b na drogi zamknięte (T′′

i , Ti+1, . . . , Tp) długości odpowiednio t′′

i, ti+1, . . . , tp. Zauważmy, że drogi zamknięte długości t′ i, t′′

i mają co najmniej jeden wierzchołek ze zbioru A, tak więc po odpowiedniej permuta-cji zbioru A grafu Ka,bdrogi T′

i oraz T′′

i możemy skleić otrzymując drogę zam-kniętą Ti = T′

i.T′′

i długości ti. Zatem w multigrafie rKa,b istnieje realizacja ciągu η.

Przypadek 2.3. Dla pewnego i, si = ab − 2. Oznaczmy

t′

i = ti+ 2, t′

i+1 = ti+1− 2. Z założeń wynika, że t′

i > 6, t′

i+1 > 2 są parzyste. Dzięki twierdzeniu 4.2 możemy znaleźć Ka,b-realizację (T₁, . . . , Ti−1, T′

i) ciągu η₁ = (t₁, . . . , ti−1, t′ i). Stwierdzenie 4.19 implikuje, że multigraf r−1Ka,b jest rozkładalny na drogi zamknięte T′

i+1, Ti+2, . . . , Tp długości odpowiednio t′

i+1, ti+2, . . . , tp. Ponieważ kT′

ik > 6 oraz |V (T′

i)| > 6, to łatwo sprawdzić, że drogę zamkniętą T′

i możemy zapisać jako ciąg (c0, e1, c1, . . . , ct′ i−1, et′ i, ct′ i) dla c0 ∈ A oraz c3 ∈ B. Drogę T′ i+1 zapisujemy jako (d0, f1, d1. . . , dt′ i+1−1, ft′ i+1, dt′ i+1) dla d0 ∈ A oraz d1 ∈ B. Teraz tak możemy spermutować wierzchołki grafu Ka,b, że c0 = d0 oraz c3 = d1. Stąd Ti = (d0, f1, d1, e4, c4, . . . , ct′ i−1, et′ i, ct′ i) i Ti+1 = (d0, e1, c1, e2, c2, e3, d1, f2, d2, . . . , dt′ i+1−1, ft′ i+1, dt′

i+1) (porównaj rysunek 4.9) są drogami zamkniętymi długości ti oraz ti+1, odpowiednio. Tym samym

Rysunek 4.9: Wymiana krawędzi pomiędzy drogami T′

i oraz T′ i+1.

wykazaliśmy, że multigraf rKa,b jest rozkładalny na drogi zamknięte długości t1, . . . , tp.

Rozkłady na drogi otwarte