Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ciągiem Cauchy’ego

Dowód. Niech (a_n)_n∈N będzie ciągiem zbieżnym do g ∈ R. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N ∈ R, że dla n > N zachodzi |an− g| < ε/2. Zatem dla k, n > N mamy

|a_k− a_n| 6 |ak− g| + |a_n− g| < ε/2 + ε/2 = ε.

To daje tezę. 

Twierdzenie 3.7.3. (Cauchy). Każdy liczbowy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.

Dowód. Niech (a_n)_n∈N będzie ciągiem Cauchy’ego. Zauważmy najpierw, że jest to ciąg ograniczony. Istotnie dla ε = 1 istnieje N ∈ N, że dla k, n > N zachodzi |a_k− a_n| < 1. Zatem dla każdego n > N mamy |a_n| < |a_{N +1}| + 1. Biorąc M = max{|a_n| + 1 : n 6 N + 1} dostajemy, że |an| 6 M dla n ∈ N, czyli (an)_n∈N jest ciągiem ograniczonym. Stąd, wobec twierdzenia Bolzano-Weierstrassa 3.6.4 istnieje podciąg zbieżny (a_nk)_k∈N ciągu (a_n)_n∈N. Niech a = lim

k→∞ an_k. Pokażemy, że lim

n→∞ a_n = a. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N⁰ ∈ N takie, że dla m, n > N⁰ zachodzi |a_m− a_n| < ε/2 oraz dla k > N⁰ zachodzi |a_nk− a| < ε/2.

Ponieważ n_k> k, więc dla n > N⁰ mamy

|a_n− a| 6 |an− a_nk| + |a_nk− a| < ε 2 +ε

2 = ε, gdzie k > N⁰. Reasumując, lim

n→∞a_n= a. To kończy dowód. 

ZADANIA

Zadanie 3.7.1. Ciąg (an)_n∈N jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla do-wolnego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, że dla każdego n > N zachodzi |aⁿ− aN| < ε.

3.8 Granica dolna i górna ciągu

Definicje granicy dolnej i granicy górnej. Niech (an)_n∈Nbędzie ciągiem licz-bowym i niech E ⊂ R będzie zbiorem wszystkich granic częściowych tego ciągu.

Granicą dolną ciągu (a_n)_n∈N nazywamy inf E i oznaczamy lim inf

n→∞ a_n. Granicą górną ciągu (a_n)_n∈N nazywamy sup E i oznaczamy lim sup

n→∞ an. Własność 3.8.1. Dla każdego ciągu liczbowego (a_n)_n∈N zachodzi

lim inf

n→∞ an6lim sup

n→∞ an.

Dowód. Istotnie, z własności 3.6.6 zbiór granic częściowych E ciągu (a_n)_n∈N jest niepusty. Zatem dla dowolnego x ∈ E mamy inf E 6 x 6 sup E. To daje

tezę. 

Bezpośrednio z twierdzenia 3.6.8 dostajemy

Własność 3.8.2. Niech (a_n)_n∈N będzie ciągiem liczbowym oraz g ∈ R. Wówczas

n→∞lim a_n= g wtedy i tylko wtedy, gdy lim inf

n→∞ a_n=lim sup

n→∞

a_n= g.

Własność 3.8.3. Niech (an)_n∈N będzie ciągiem liczbowym i E zbiorem jego gra-nic częściowych. Wówczas

lim inf

n→∞ a_n∈ E oraz lim sup

n→∞ a_n∈ E.

3.8. GRANICA DOLNA I GÓRNA CIĄGU 95 Dowód. Oznaczmy a∗ =lim inf

n→∞ a_n. Pokażemy, że a_∗ ∈ E. Jeśli a_∗ = +∞, to E = {+∞}, więc a∗ ∈ E. Jeśli a∗ = −∞, to ciąg (a_n)_n∈N nie jest ograniczony z dołu, więc z lematu 3.6.5(b) mamy a_∗ ∈ E. Rozważmy przypadek a_∗ ∈ R.

Zauważmy, że dla każdego ε > 0 zbiór X_ε = {n ∈ N : |an − a_∗| < ε} jest nieskończony. Istotnie, przypuśćmy przeciwnie, że dla pewnego ε₀ > 0, zbiór Xε0

jest skończony. Weźmy dowolną liczbę x ∈ (a_∗− ε₀, a∗+ ε₀). Wtedy istnieje ε > 0, że (x−ε, x+ε) ⊂ (a_∗−ε₀, a∗+ε₀), więc zbiór {n ∈ N : |an−x| < ε} jest skończony.

Zatem z lematu 3.6.3(a)⇒(b), żadna liczba x ∈ (a∗ − ε, a∗+ ε) nie jest granicą częściową ciągu (a_n)_n∈N, co przeczy określeniu a_∗. W konsekwencji dla każdego ε > 0 zbiór X_ε jest nieskończony, więc z lematu 3.6.3(b)⇒(a) dostajemy a_∗ ∈ E.

Analogicznie dowodzimy lim sup

n→∞

a_n∈ E. 

Własność 3.8.4. Niech (a_n)_n∈N będzie ciągiem liczbowym. Wówczas lim sup

n→∞

(−a_n) = − lim inf

n→∞ (a_n) oraz lim inf

n→∞ (−a_n) = − lim sup

n→∞

a_n. Dowód. Istotnie, jeśli E jest zbiorem granic częściowych ciągu (a_n)_n∈N, to F = {−g : g ∈ E} jest zbiorem granic częściowych ciągu (−an)_n∈N (patrz twier-dzenie 3.2.7(b) oraz własność 3.4.5(a)). Zatem z definicji granicy górnej i dolnej

dostajemy tezę. 

Wniosek 3.8.5. Niech (an)_n∈N, (b_n)_n∈N będą ciągami liczbowymi, lim

n→∞an= α, α ∈ R.

(a) Jeśli α > 0, to lim inf

n→∞ (a_nbn) = α lim inf

n→∞ bn oraz lim sup

n→∞

(a_nbn) = α lim sup

n→∞ bn. (b) Jeśli α < 0, to

lim inf

n→∞ (a_nb_n) = α lim sup

n→∞ b_n oraz lim sup

n→∞

(a_nb_n) = α lim inf

n→∞ b_n, gdzie przyjmujemy α(+∞) = −∞, α(−∞) = +∞, gdy α < 0.

Dowód. Udowodnimy część (a). Część (b) wynika z (a) i własności 3.8.4.

Niech α > 0. Oznaczmy przez E ⊂ R zbiór granic częściowych ciągu (bn)_n∈N oraz niech a_∗ = inf E, a^∗ = sup E. Z własności 3.8.3 mamy a_∗, a^∗ ∈ E.

Oznaczmy przez F zbiór granic cząściowych ciągu (a_nb_n)_n∈N. Zauważmy, że

(3.20) F = {αg : g ∈ E}.

Z twierdzenia 3.2.7(d) oraz własności 3.4.5(g) dostajemy, że {αg : g ∈ E} ⊂ F . Niech x ∈ F oraz (a_nkbnk)_k∈N będzie podciągiem ciągu (a_nbn)_n∈N takim, że

lim

k→∞(a_nkb_nk) = x. Wtedy z twierdzenia 3.2.7(e) oraz własności 3.4.5(g) dostaje-my, że lim

k→∞bnk = _α^x, gdzie _α^x = +∞, gdy x = +∞ oraz _α^x = −∞, gdy x = −∞.

W konsekwencji ^x_α ∈ E oraz x ∈ {αg : g ∈ E}. Zatem F ⊂ {αg : g ∈ E}.

Reasumując, mamy (3.20). Z (3.20) wynika, że αa_∗, αa^∗ ∈ F oraz dla każdego x ∈ F zachodzi αa∗ 6 x 6 αa^∗. W konsekwencji αa_∗ = inf F oraz αa^∗ = sup F .

To daje tezę. 

Twierdzenie 3.8.6. Niech (an)_n∈N będzie ciągiem liczbowym, E – zbiorem jego granic częściowych oraz a_∗ ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) lim inf

n→∞ a_n= a_∗.

(b) a∗ ∈ E oraz dla każdego a < a∗ zbiór X_a = {n ∈ N : an < a} jest skończony.

Dowód. Ad (a)⇒(b). Z (a) i własności 3.8.3 mamy a∗∈ E. Weźmy dowolne a < a∗. Pokażemy, że zbiór X_ajest skończony. Istotnie, w przeciwnym przypadku z lematu 3.6.7(b) istniałby podciąg (a_nk)_k∈N ciągu (a_n)_n∈N taki, że a_nk < a dla k ∈ N. W myśl własności 3.6.6 istniałaby granica częściowa g ciągu (ank)_k∈Ntaka, że g6 a. Wtedy g ∈ E, co jest niemożliwe. Reasumując, mamy (b).

Ad (b)⇒(a). Ponieważ a_∗ ∈ E, więc lim inf

n→∞ a_n 6 a∗. Jeśli a_∗ = −∞, to oczywiście (a) zachodzi. Załóżmy, że a∗> −∞. Z (b) mamy, że dla każdego a < a∗

zbiór X_a jest skończony, więc −∞ nie jest granicą częściową ciągu (a_n)_n∈N oraz z lematu 3.6.3, żadna liczba g < a_∗ nie jest granicą częściową ciągu (a_n)_n∈N. To daje, że a∗ 6 x dla x ∈ E i w konsekwencji a^∗6 inf E =lim inf_n→∞ an. Reasumując,

mamy (a). 

Analogicznie jak twierdzenie 3.8.6 dowodzimy

Twierdzenie 3.8.7. Niech (an)_n∈N będzie ciągiem liczbowym i E zbiorem jego granic częściowych oraz a^∗ ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) lim sup

n→∞

a_n= a^∗.

(b) a^∗ ∈ E oraz dla każdego a > a^∗ zbiór X_a = {n ∈ N : an > a} jest skończony.

Z twierdzeń 3.8.6 i 3.8.7 dostajemy

Wniosek 3.8.8. Niech (an)_n∈N, (b_n)_n∈N będą ciągami liczbowymi. Jeśli dla pra-wie wszystkich n ∈ N zachodzi an6 bn, to

lim inf

n→∞ a_n6lim inf_n→∞ b_n oraz lim sup

n→∞ a_n6lim sup

n→∞ b_n.

3.9. ELEMENTY TOPOLOGII 97 Dowód. Niech N ∈ N będzie takie, że an6 bndla każdego n > N . Oznaczmy a∗ =lim inf

n→∞ an, b∗ =lim inf

n→∞ bn. Udowodnimy, że a∗ 6 b^∗. Z twierdzenia 3.8.6, dla każdego a < a_∗ zbiór X_a= {n ∈ N : an< a} jest skończony. Ponieważ z założenia {n ∈ N : n > N ∧ bn< a} ⊂ X_a, więc dla każdego a < a_∗ zbiór {n ∈ N : bn< a}

jest skończony. Zatem żaden element b < a∗ nie jest granicą częściową ciągu (b_n)_n∈N. To daje a_∗ 6 b∗. Analogicznie dowodzimy drugą część wniosku.  ZADANIA

Zadanie 3.8.1. Niech (an)_n∈N będzie ciągiem liczbowym. Wówczas 1. lim sup

n→∞

an = inf{x ∈ R : dla prawie wszystkich n ∈ N zachodzi aⁿ6 x}.

2. lim inf

n→∞ an= sup{x ∈ R : dla prawie wszystkich n ∈ N zachodzi aⁿ> x}.

Zadanie 3.8.2. Niech (an)_n∈N będzie ciągiem liczbowym. Wówczas 1. lim sup

n→∞

an = inf{sup{ak : k> n} : n ∈ N}.

2. lim inf

n→∞ an= sup{inf{ak: k> n} : n ∈ N}.

Zadanie 3.8.3. Obliczyć granicę górną i dolną ciągu (an)_n∈N określonego wzorem an=√

n − [√

n ] dla n ∈ N, gdzie [x] oznacza całość z liczby x ∈ R.

Zadanie 3.8.4. Niech x ∈ R. Obliczyć granicę górną i dolną ciągu (aⁿ)_n∈N określonego wzorem an = nx − [nx] dla n ∈ N (dla x ∈ Q oraz dla x ∈ R \ Q).

3.9 Elementy topologii

W punkcie tym podamy elementy teorii przestrzeni metrycznych na przykładzie zbioru R.

Definicja metryki. Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X × X → R spełniającą warunki:

1^◦ d(x, y) > 0, gdy x 6= y oraz d(x, x) = 0, 2^◦ d(x, y) = d(y, x),

3^◦ d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y),

nazywamy metryką w X. Liczbę d(x, y) nazywamy odległością punktów x, y.

Definicja przestrzeni metrycznej. Przestrzeń X w której istnieje metryka d nazywamy przestrzenią metryczną. Wtedy mówimy, że przestrzeń X jest wypo-sażona w metrykę d.

Bezpośrednio z własności modułu dostajemy