Zastępując liczbę 10 w powyższych twierdzeniach przez dowolną liczbę naturalną n większą od 1 dostajemy analogiczne rozwinięcia liczb

rzeczywi-stych. Dla n = 2 rozwiniecie nazywamy dwójkowym dla n = 3 – trójkowym.

ZADANIA

Zadanie 4.11.1. Liczba x ∈ R o rozwinięciu dziesiętnym x = αk. . . α₀, α₁. . . jest wy-mierna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją m, n ∈ N, że αⁱ= αi+m dla i ∈ N, i > n.

Zadanie 4.11.2. Niech K ⊂ [0, 1] będzie zbiorem liczb postaci x =P∞

n=1cn3⁻ⁿ, gdzie cn ∈ {0, 2} dla n ∈ N. Zbiór K nazywamy zbiorem Cantora. Zbiór K jest zwarty oraz [0, 1]\K jest sumą przedziałów rozłącznych (an, bn), n ∈ N takich, żeP∞

n=1(bn−an) = 1.

Wsk. Zbiór K konstruujemy następująco: przedział [0, 1] dzielimy na trzy równe części i odrzucamy część środkową. Dalej postępujemy indukcyjnie, każdy z pozostałych przedziałów dzielimy na trzy równe części i odrzucamy części środkowe. Dokładniej, niech A_n = {(c₁, . . . , c_n) : c₁, . . . , c_n ∈ {0, 2}, c₁+ · · · + c_n > 0} dla n ∈ N. Niech xc = Pn

k=1ck3^−k oraz Pc = (xc+ 3⁻ⁿ⁻¹, xc + 2 · 3⁻ⁿ⁻¹) dla c = (c1, . . . , cn) ∈ An. Niech dodatkowo A0= {0} i P0= (3⁻¹, 2 · 3⁻¹). Przyjmując A =S

n∈N∪{0}An, pokazać, że dla c, c⁰ ∈ A, c 6= c⁰ zachodzi Pc∩ Pc⁰ = ∅ oraz [0, 1] \ K =S

c∈APc.

4.12 Iloczyny nieskończone

W poprzednich punktach tego rozdziału badaliśmy szeregi liczbowe. Suma sze-regu liczbowego jest uogólnieniem dodawania na nieskończoną ilość składników.

Obecnie omówimy iloczyny nieskończone, które są uogólnieniem mnożenia w przy-padku nieskończonej ilości czynników. Ograniczymy rozważania do iloczynów nie-skończonych o wszystkich wyrazach różnych od zera.

Definicja iloczynu nieskończonego. Niech (a_n)^∞_n=1będzie ciągiem liczbowym takim, że a_n6= 0 dla n ∈ N.

Ciąg (p_n)^∞_n=1 określony wzorem p_n = ^Qn_k=1a_k, n ∈ N, nazywamy ciągiem iloczynów częściowych ciągu (a_n)^∞_n=1.

Parę uporządkowaną ((a_n)^∞_n=1, (pn)^∞_n=1) nazywamy iloczynem nieskończonym lub krótko iloczynem i oznaczamy

∞

Q

n=1

an lub^Q∞_n=1an, lub^Qan. Liczby a_n nazy-wamy wyrazami lub czynnikami iloczynu. Ciąg (p_n)^∞_n=1 nazywamy również cią-giem iloczynów częściowych iloczynu ^Q∞_n=1an.

Definicja zbieżności iloczynu nieskończonego. Niech^Q∞_n=1anbędzie iloczy-nem nieskończonym. Iloczyn ten nazywamy zbieżnym, gdy jego ciąg iloczynów częściowych jest zbieżny do pewnej liczby p 6= 0. Wtedy mówimy, że iloczyn jest zbieżny do p i piszemy^Q∞_n=1an = p. Liczbę p nazywamy również wartością tego iloczynu nieskończonego.

Iloczyn nieskończony, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym . Jeśli ciąg iloczynów częściowych iloczynu^Q∞_n=1an ma granicę równą 0, to mówimy, że ten iloczyn nieskończony jest rozbieżny do zera i piszemy ^Q∞_n=1a_n = 0. Jeśli ciąg iloczynów częściowych iloczynu ^Q∞_n=1a_n ma granicę równą +∞ (odpowiednio

−∞), to mówimy, że ten iloczyn jest rozbieżny do +∞ (odpowiednio do −∞) i piszemy ^Q∞_n=1a_n= +∞ (i odpowiednio piszemy^Q∞_n=1a_n= −∞).

4.12. ILOCZYNY NIESKOŃCZONE 145 Z warunku Cauchy’ego zbieżności ciągów liczbowych dostajemy

Twierdzenie 4.12.1. (Cauchy). Niech (an)^∞_n=1 będzie ciągiem liczbowym ta-kim, że a_n 6= 0 dla n ∈ N. Iloczyn ^Q∞n=1an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujący warunek Cauchy’ego:

(4.35) ∀_ε>0∃_{N ∈N}∀_n,k∈N (n> k > N ⇒ |ak· · · a_n− 1| < ε).

Dowód. Załóżmy najpierw, że iloczyn ^Q∞_n=1a_n jest zbieżny, powiedzmy do p i niech (p_n)^∞_n=1 będzie jego ciągiem iloczynów częściowych. Ponieważ p 6= 0, więc istnieje K ∈ N, że |pn| > ¹₂|p| dla n > K. Ciąg (pn)^∞_n=1, jako zbieżny, spełnia warunek Cauchyego zbieżności ciągów liczbowych. Weźmy więc dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N ∈ N, że dla każdego n, k ∈ N, n > k > N zachodzi

Załóżmy teraz, że spełniony jest warunek (4.35). Zauważmy najpierw, że ciąg (p_n)^∞_n=1 jest ograniczony. Istotnie z (4.35) dla ε = 1 istnieje k ∈ N, że

zatem jest to ciąg zbieżny. To kończy dowód. 

Z twierdzenia Cauchy’ego 4.12.1 dostajemy natychmiast

Twierdzenie 4.12.2. (warunek konieczny zbieżności iloczynu nieskoń-czonego). Jeśli iloczyn ^Q∞_n=1an jest zbieżny, to lim

n→∞an= 1. ⁽¹⁴⁾

(14)Twierdzenie 4.12.2 można udowodnić bezpośrednio. Niech p będzie wartością iloczynu Q∞

n=1an i niech (pn)^∞n=1 będzie jego ciągiem iloczynów częściowych. Wówczas lim

n→∞

Bezpośrednio z definicji widzimy, że odrzucenie skończonej ilości początko-wych czynników iloczynu nieskończonego nie wpływa na jego zbieżność (wynika to również z twierdzenia Cauchy’ego 4.12.1). Uwzględniając więc warunek ko-nieczny zbieżności iloczynu nieskończonego (twierdzenie 4.12.2), przy badaniu zbieżności iloczynu wystarczy ograniczyć się do przypadku, gdy wszystkie jego wyrazy są dodatnie.

Własność 4.12.3. Niech (an)^∞_n=1 będzie ciągiem liczbowym takim, że a_n> 0 dla n ∈ N. Wówczas iloczyn^Q∞n=1a_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg^P∞_n=1ln a_n. Ponadto jeśli p jest wartością iloczynu, a q – sumą szeregu, to p = e^q.

Dowód. Niech (p_n)^∞_n=1 będzie ciągiem iloczynów częściowych iloczynu Q∞

n=1a_n, a (s_n)^∞_n=1 – ciągiem sum częściowych szeregu ^P∞_n=1ln a_n. Z własno-ści logarytmów, indukcyjnie łatwo pokazujemy, że p_n= e^sn, a więc ln p_n= s_ndla n ∈ N. Jeśli więc szereg^P∞n=1ln a_njest zbieżny, powiedzmy do q, to w myśl wnio-sku 3.3.2, lim

n→∞p_n = e^q i oczywiście e^q 6= 0. To daje zbieżność iloczynu ^Q∞_n=1a_n oraz drugą część tezy. Jeśli z kolei iloczyn^Q∞_n=1a_n jest zbieżny, powiedzmy do p, to p > 0, bowiem a_n> 0 i w konsekwencji pn > 0 dla n ∈ N. Wówczas stosując twierdzenie 3.3.3, mamy lim

n→∞ s_n = ln p, co daje zbieżność szeregu ^P∞_n=1ln a_n i

kończy dowód. 

Przy badaniu iloczynu ^Q∞_n=1a_n wygodnie jest rozważyć szereg ^P∞_n=1ln |a_n|, jednak wtedy musimy zakładać, że iloczyn spełnia warunek konieczny zbieżności.

Twierdzenie 4.12.4. Niech (an)^∞_n=1 będzie ciągiem liczbowym takim, że a_n6= 0 dla n ∈ N oraz lim_n→∞an= 1. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) iloczyn ^Q∞_n=1an jest zbieżny.

(b) iloczyn ^Q∞_n=1|a_n| jest zbieżny.

(c) szereg ^P∞_n=1ln |a_n| jest zbieżny.

Dowód. Równoważność (b)⇔(c) wynika natychmiast z własności 4.12.3.

Udowodnimy równoważność (a)⇔(b). Niech (p_n)^∞_n=1 będzie ciągiem iloczy-nów częściowych iloczynu ^Q∞_n=1a_n, a (q_n)^∞_n=1 – ciągiem iloczynów częściowych iloczynu ^Q∞_n=1|a_n|. Z założenia lim

n→∞ an = 1 mamy, że istnieje N ∈ N takie, że an > 0 dla n > N . Niech t = sgn (a1· · · a_N). Wtedy t 6= 0 oraz q_n = tp_n dla n > N . Zatem iloczyn ^Q∞_n=1|a_n| jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest iloczyn^Q∞_n=1a_n. To daje równoważność (a)⇔(b) i kończy dowód.  Wniosek 4.12.5. Jeśli iloczyn ^Q∞_n=1a_n jest zbieżny i jego wartość wynosi p, to szereg ^P∞_n=1ln |a_n| jest zbieżny i p = sgn (p)e^q, gdzie q jest sumą szeregu.

4.12. ILOCZYNY NIESKOŃCZONE 147 Dowód. Niech (p_n)^∞_n=1 będzie ciągiem iloczynów częściowych iloczynu Q∞

n=1an, a (s_n)^∞_n=1 – ciągiem sum częściowych szeregu ^P∞_n=1ln |a_n|. Ponieważ iloczyn jest zbieżny, to lim

n→∞an= 1 i z twierdzenia 4.12.4, szereg^P∞_n=1ln |a_n| jest zbieżny, powiedzmy do q. Ze zbieżności iloczynu mamy lim

n→∞p_n= p i p 6= 0, więc dla dostatecznie dużych n ∈ N zachodzi sgn (pn) = sgn (p). Z własności logaryt-mów indukcyjnie pokazujemy, że p_n= sgn (p_n)e^sn dla n ∈ N. Przechodząc więc w powyższym do granicy przy n → ∞ dostajemy tezę.  Podobnie jak w przypadku szeregów liczbowych wprowadza się pojęcie zbież-ności bezwarunkowej iloczynu nieskończonego.

Definicja zbieżności bezwarunkowej iloczynu nieskończonego Mówimy, że iloczyn nieskończony ^Q∞_n=1an jest zbieżny bezwarunkowo, gdy dla każdej bi-jekcji σ : N → N iloczyn ^Q∞n=1a_σ(n) jest zbieżny. Jeśli iloczyn jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwarunkowo, to mówimy, że jest on zbieżny warunkowo.

Wprost z definicji, twierdzenia 4.12.4 i twierdzenia o zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej szeregu 4.7.3 dostajemy

Wniosek 4.12.6. Niech (a_n)^∞_n=1 będzie ciągiem liczbowym takim, że lim

n→∞a_n= 1 oraz a_n 6= 0 dla n ∈ N. Wówczas iloczyn ^Q∞n=1a_n jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, gdy szereg ^P∞_n=1ln |a_n| jest zbieżny bezwzględnie.

W świetle twierdzenia 4.12.2 wygodnie jest zapisywać wyrazy iloczynu^Q∞_n=1a_n w postaci a_n= 1 + b_n dla n ∈ N.

Warunek (b) w twierdzeniu 4.12.4 nie jest naturalnym przeniesieniem zbież-ności bezwzględnej szeregu liczbowego na zbieżność bezwzględną iloczynu nie-skończonego, bowiem przy założeniu lim

n→∞ an = 1 jest on równoważny zwykłej zbieżności iloczynu. Bez założenia lim

n→∞an= 1, nie prowadzi on nawet do zbież-ności iloczynu. W przypadku iloczynów nieskończonych zbieżność bezwzględną definiujemy następująco.

Definicja zbieżności bezwzględnej iloczynu nieskończonego. Iloczyn nie-skończony^Q∞_n=1(1+b_n) nazywamy zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest iloczyn Q∞

n=1(1 + |b_n|).

Twierdzenie 4.12.7. Niech (b_n)^∞_n=1będzie ciągiem liczbowym takim, że b_n6= −1 dla n ∈ N. Wówczas iloczyn^Q∞n=1(1 + b_n) jest zbieżny bezwzględnie wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg ^P∞_n=1|b_n|.

Dowód. Niech (pn)^∞_n=1 będzie ciągiem iloczynów częściowych iloczynu Q∞

n=1(1 + |b_n|), a (s_n)^∞_n=1– ciągiem sum częściowych szeregu^P∞_n=1|b_n|. Ponieważ 1 + |b_n| > 1 dla n ∈ N, a więc

(4.36) pn= (1 + |b₁|) · · · (1 + |b_n|) > 1 dla n ∈ N.

Korzystając z powyższej nierówności indukcyjnie pokazujemy⁽¹⁵⁾, że

(4.37) 06 sn6 pn− 1 dla n ∈ N.

Z udowodnionej we wniosku 4.9.7 nierówności e^x> 1 + x dla x ∈ R dostajemy (4.38) pn=

n

Y

k=1

(1 + |b_n|) 6 e^{|b1|+···+|bn|}= e^sn dla n ∈ N.

Ponieważ |b_n| > 0 dla n ∈ N, więc oba ciągi (pn)^∞_n=1, (s_n)^∞_n=1 są rosnące. Jeśli więc zbieżny jest iloczyn^Q∞_n=1(1 + |b_n|), to z (4.37) dostajemy zbieżność szeregu P∞

n=1|b_n|. Jeśli z kolei zbieżny jest szereg^P∞_n=1|b_n|, to z (4.38) istnieje skończona granica p = lim

n→∞ pn, a z (4.36) wynika, że p 6= 0. To daje zbieżność iloczynu Q∞

n=1(1 + |b_n|) i kończy dowód. 

Pokażemy, że zbieżność bezwzględna iloczynu nieskończonego pociąga jego zbieżność (nawet bezwarunkową) oraz, że jest równoważna zbieżności bezwarun-kowej tego iloczynu. Zacznijmy od lematu.