Szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego ciąg sum częściowych jest ograniczony

Dowód. Niech (sn)^∞_n=1będzie ciągiem sum częściowych szeregu^P∞_n=1anoraz niech a_n> 0 dla n ∈ N.

Jeśli szereg jest zbieżny, to ciąg (s_n)^∞_n=1 jest ograniczony (patrz własność 3.2.3).

Załóżmy, że ciąg (s_n)^∞_n=1 jest ograniczony. Ponieważ a_n> 0 dla n ∈ N, więc ciąg (s_n)^∞_n=1 jest rosnący. Zatem jest to ciąg zbieżny (patrz twierdzenie 3.2.4). Twierdzenie 4.3.2. (kryterium porównawcze zbieżności szeregów). Niech P∞

n=1an, ^P∞_n=1bn będą szeregami liczbowymi oraz niech N ∈ N będzie takie, że 06 an6 bn dla n > N.

(a) Jeśli szereg ^P∞_n=1b_n jest zbieżny, to zbieżny jest szereg ^P∞_n=1a_n. (b) Jeśli szereg ^P∞_n=1an jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg^P∞_n=1bn.

4.3. SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH 113 Dowód. Udowodnimy (a). Ponieważ szereg^P∞_n=1b_n jest zbieżny, więc szereg P∞

n=Nbn jest zbieżny. Niech b =^P∞_n=Nbn. Wówczas dla każdego m> N mamy Pm

n=Nan 6 ^Pmn=Nbn 6 b. Zatem ciąg sum częściowych szeregu ^P∞n=Nan jest ograniczony. To wraz z twierdzeniem 4.3.1 daje zbieżność szeregu ^P∞_n=Na_n, a więc i zbieżność szeregu^P∞_n=1an. Część (b) wynika z (a), gdyż zbieżność szeregu P∞

n=1bn pociągałaby zbieżność szeregu ^P∞_n=1an.  Wniosek 4.3.3. Niech ^P∞_n=1a_n, ^P∞_n=1b_n będą szeregami o wyrazach dodatnich takimi, że istnieje N ∈ N, że

(4.2) a_n+1

a_n 6 b_n+1

b_n dla n > N.

(a) Jeśli szereg ^P∞_n=1b_n jest zbieżny, to zbieżny jest szereg ^P∞_n=1a_n. (b) Jeśli szereg ^P∞_n=1an jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg^P∞_n=1bn. Dowód. Udowodnimy (a). Z (4.2) mamy, że ciąg (^a_bⁿ

n)^∞_n=N jest malejący, więc

(4.3) 06 an6 a_N

b_Nb_n dla n > N.

Jeśli^P∞_n=1b_njest zbieżny, to z własności 4.1.5 i 4.2.3, szereg^P∞_n=1^a_b^N

Nb_njest zbież-ny, więc z (4.3) i kryterium porównawczego zbieżności szeregów 4.3.2 dostajemy zbieżność szeregu^P∞_n=1an. Część (b) wynika natychmiast z (a).  Twierdzenie 4.3.4. (kryterium graniczne). Niech ^P∞_n=1a_n, ^P∞_n=1b_n będą takimi szeregami, że a_n> 0, bn> 0 dla n ∈ N. Załóżmy, że istnieje granica

K = lim

n→∞

an

b_n.

(a) Jeśli K < +∞ i szereg ^P∞_n=1bn jest zbieżny, to szereg^P∞_n=1an jest zbież-ny.

(b) Jeśli K > 0 i szereg ^P∞_n=1b_n jest rozbieżny, to szereg ^P∞_n=1a_n jest roz-bieżny.

Dowód. Ad (a). Z określenia liczby K wynika, że istnieje N ∈ N takie, że dla n > N zachodzi ^a_bnⁿ < K + 1, więc 0 6 an < (K + 1)b_n. Jeśli ^P∞_n=1b_n jest zbieżny, to z własności 4.1.5, szereg^P∞_n=1(K + 1)b_njest zbieżny, więc z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 4.3.2 dostajemy zbieżność szeregu^P∞_n=1a_n. Ad (b). Jeśli K = +∞, to istnieje N ∈ N, że dla n > N zachodzi an/bn> 1, czyli an> bn. Zatem z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 4.3.2, z rozbieżności szeregu^P∞_n=1b_n wynika rozbieżność szeregu ^P∞_n=1a_n. Jeśli K < +∞, to z założenia, że K > 0 mamy a_n> 0 dla dostatecznie dużych n, więc

n→∞lim bn/an= 1/K < +∞ i teza wynika z (a) i wniosku 4.2.3.  Z twierdzenia 4.3.4 dostajemy natychmiast

Wniosek 4.3.5. Niech ^P∞_n=1a_n, ^P∞_n=1b_n będą szeregami takimi, że a_n > 0, bn> 0 dla n ∈ N. Jeśli istnieje granica

K = lim

n→∞

an

bn

, przy czym 0 < K < +∞, to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

Twierdzenie 4.3.6. (o zagęszczaniu). Niech (a_n)^∞_n=1 będzie ciągiem maleją-cym o wyrazach nieujemnych. Wówczas szereg^P∞_n=1anjest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg ^P∞_n=12ⁿa₂ⁿ.

Dowód. Oznaczmy przez (s_n)^∞_n=1, (t_n)^∞_n=1 ciągi sum częściowych odpowied-nio szeregów^P∞_n=1an,^P∞_n=12ⁿa2ⁿ. Ponieważ a_n> 0, więc ciągi (sn)^∞_n=1i (t_n)^∞_n=1 są rosnące. W myśl twierdzenia 4.3.1 wystarczy pokazać, że z ograniczoności ciągu (s_n)^∞_n=1 wynika ograniczoność ciągu (t_n)^∞_n=1 i odwrotnie.

Załóżmy, że ciąg (s_n)^∞_n=1 jest ograniczony przez M ∈ R, M > 0, to znaczy

|s_n| 6 M dla n ∈ N. Ponieważ (an)^∞_n=1jest ciągiem malejącym, więc dla każdego n ∈ N,

06 tn= 2^a2+ 2a₄+ · · · + 2ⁿ⁻¹a2ⁿ



6 2 ((a1+ a₂) + (a₃+ a₄) + · · · + (a₂n−1+1+ · · · + a₂ⁿ)) = 2s₂ⁿ 6 2M.

To daje ograniczoność ciągu (t_n)^∞_n=1.

Załóżmy, że ciąg (t_n)^∞_n=1 jest ograniczony przez K ∈ R, K > 0. Ponieważ (a_n)^∞_n=1 jest ciągiem malejącym i 2ⁿ⁺¹− 1 > n dla n ∈ N, więc

06 sn6 s2ⁿ⁺¹−1= a₁+ · · · + a₂n+1−1

= a₁+ (a₂+ a₃) + (a₄+ a₅+ a₆+ a₇) + · · · + (a₂ⁿ+ · · · + a₂n+1−1) 6 a1+ 2a₂+ · · · + 2ⁿa2ⁿ 6 a1+ K,

gdzie k-ty nawias w środkowej linijce wzoru jest sumą 2^k+1− 2^k składników⁽¹⁾. To daje ograniczoność ciągu (s_n)^∞_n=1 i kończy dowód.  Definicja szeregu harmonicznego. Szereg^P∞_{n=1 n}¹α nazywamy harmonicznym rzędu α.

Wniosek 4.3.7. Szereg ^P∞_n=1n¹α jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α 6 1

(2).

(1)dokładniej a1+ a2+ · · · + a₂n+1−1= a1+Pn

k=1(a₂k+ · · · + a₂k+1−1).

(2)Funkcję ζ(x) = P∞ n=1

1

n^x, x > 1 nazywamy funkcją ζ Riemanna. Georg Friedrich Bern-hard Riemann (1826-1866) – matematyk niemiecki. Funkcję ζ rozważa się przede wszystkim w dziedzinie zespolonej, gdzie (pokazuje się, że) rozszerza się ona na całą płaszczynnę zespoloną z wyłączonym punktem 1. Ma ona tzw. trywialne miejsca zerowe x = −2, −4, −6, .... Jednym z największych dotychczas nierozwiązanych problemów w matematyce (obok hipotezy Goldbacha) jest Hipoteza Riemanna (1859). Mówi ona, że wszystkie nietrywialne zera zespolone funkcji ζ (rozważanej w dziedzinie zespolonej), mają część rzeczywistą równą ¹₂ (patrz rozdział A).

4.3. SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH 115 Za-tem z własności 4.2.6(a) szereg^P∞_n=12ⁿa2ⁿ jest zbieżny. To wraz z twierdzeniem 4.3.6 daje zbieżność szeregu harmonicznego.

Załóżmy, że α6 1. Wówczas z własności potęgi, _n¹ 6 _n^1α dla n ∈ N. Ponieważ szereg^P∞_n=1n¹ jest rozbieżny (twierdzenie 4.1.4), więc z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 4.3.2(b) dostajemy, że szereg harmoniczny jest rozbieżny.  ZADANIA

Zadanie 4.3.1. Zbadać czy następujące szeregi są zbieżne:

1. P∞

Zadanie 4.3.2. Szereg P∞

n=1an, gdzie an = ₂¹n, gdy n jest liczbą nieparzystą oraz a_n= ₂ⁿn, gdy n jest liczbą parzystą, jest zbieżny.

Zadanie 4.3.3. Jeśli szereg P∞

n=1an jest zbieżny i an > 0 dla n ∈ N, to zbieżny jest

n=1anjest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szeregP∞ n=1

Zadanie 4.3.5. * (kryterium Raabego⁽³⁾). Niech (a_n)^∞_n=1będzie ciągiem o wyrazach dodatnich oraz r > 1.

(a) Jeśli n _a

(3)Joseph Ludwig Raabe (1801-1859) – szwajcarski matematyk.

4.4 Dalsze kryteria zbieżności szeregów

Twierdzenie 4.4.1. (kryterium Dirichleta). Niech (an)^∞_n=1, (b_n)^∞_n=1będą cią-gami liczbowymi. Jeśli

(i) ciąg sum częściowych ciągu (a_n)^∞_n=1 jest ograniczony, (ii) ciąg (b_n)^∞_n=1 jest monotoniczny, n ∈ N, zatem z powyższego mamy



Powyższa nierówność zachodzi także dla m = l> N . Reasumując, z twierdzenia Cauchy’ego 4.1.6 dostajemy zbieżność szeregu^P∞_n=1anbn.

Jeśli ciąg (b_n)^∞_n=1 jest rosnący, to ciąg (−b_n)^∞_n=1 jest malejący i z pierw-szej części dowodu dostajemy zbieżność szeregu ^P∞_n=1a_n(−b_n), a więc i szeregu P∞

n=1anbn. 

(4)przekształcenie to nazywamy przekształceniem Abela. Niels Henrik Abel (1802-1829) – ma-tematyk norweski, udowodnił niemożliwość rozwiązania równania algebraicznego stopnia wyż-szego niż cztery przez pierwiastniki.

4.5. ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA 117 Z kryterium Dirichleta zbieżności szeregów dostajemy następne dwa kryteria.

Wniosek 4.4.2. (kryterium Leibniza⁽⁵⁾). Jeśli ciąg (bn)^∞_n=1 jest monotonicz-ny i lim

n→∞b_n= 0, to szereg ^P∞_n=1(−1)ⁿb_n jest zbieżny.

Dowód. Oznaczając an= (−1)ⁿ dla n ∈ N dostajemy, że suma ^Pnj=1aj jest równa 0, gdy n jest liczbą parzystą oraz równa −1, gdy n jest liczbą nieparzy-stą. Wobec założonej monotoniczności ciągu (b_n)^∞_n=1 i lim

n→∞ bn = 0, z kryterium

Dirichleta 4.4.1 dostajemy tezę. 

Wniosek 4.4.3. (kryterium Abela). Jeśli szereg^P∞_n=1a_n jest zbieżny, a ciąg (b_n)^∞_n=1 jest monotoniczny i ograniczony, to szereg^P∞_n=1anbn jest zbieżny.

Dowód. Ciąg (b_n)^∞_n=1, jako monotoniczny i ograniczony, jest zbieżny. Niech więc b = lim

n→∞ bn. Wtedy ciąg (b_n− b)^∞_n=1 jest monotoniczny i zbieżny do zera.

Ciąg sum częściowych szeregu zbieżnego ^P∞_n=1an jest oczywiście ograniczony.

W konsekwencji, na mocy kryterium Dirichleta 4.4.1, mamy zbieżność szeregu P∞

n=1(b_n− b)a_n. Ponieważ szereg ^P∞_n=1ba_n jest zbieżny, więc szereg ^P∞_n=1a_nb_n

jest zbieżny, jako różnica szeregów zbieżnych. 

ZADANIA

Zadanie 4.4.1. Zbadać zbieżność szeregów:

1. P∞

Definicja zbieżności bezwzględnej szeregu. Mówimy, że szereg^P∞_n=1anjest zbieżny bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg ^P∞_n=1|a_n|.

Własność 4.5.1. Jeśli szereg ^P∞_n=1an jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.

Ponadto |^P∞_n=1a_n| 6^P∞n=1|a_n|.

Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ szereg^P∞_n=1|a_n| jest zbieżny, więc z twierdzenia Cauchy’ego 4.1.6 istnieje N ∈ N takie, że dla m > l > N mamy Pm

(5)Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) – niemiecki filozof, matematyk, prawnik, inżynier mechanik, fizyk i dyplomata.

To, wobec twierdzenia Cauchy’ego, daje zbieżność szeregu^P∞_n=1a_n. Przechodząc w nierówności |^Pm_n=1an| 6^Pmn=1|a_n| do granicy m → ∞ dostajemy |^P∞_n=1an| 6 P∞

n=1|a_n|. To kończy dowód. 

Z twierdzenia 4.3.2 dostajemy natychmiast

Twierdzenie 4.5.2. (kryterium porównawcze zbieżności bezwzględnej szeregów). Niech ^P∞_n=1an, ^P∞_n=1bn będą szeregami liczbowymi oraz N ∈ N.

Jeśli |a_n| 6 bn dla n > N i szereg ^P∞n=1b_n jest zbieżny, to szereg ^P∞_n=1a_n jest zbieżny bezwzględnie.

Twierdzenie 4.5.3. (kryterium d’Alemberta⁽⁶⁾). Niech ^P∞_n=1an będzie sze-regiem liczbowym takim, że a_n6= 0 dla n ∈ N. o ilorazie r ∈ (0, 1) jest zbieżny (patrz własność 4.2.6), więc z kryterium po-równawczego zbieżności szeregów 4.5.2 dostajemy zbieżność bezwzględną szeregu P∞ wraz z warunkiem koniecznym zbieżności szeregu 4.1.3, daje rozbieżność szeregu P∞

n=1an. 

Z kryterium d’Alemberta 4.5.3 i własności 3.8.2 dostajemy natychmiast Wniosek 4.5.4. (kryterium d’Alemberta). Niech ^P∞_n=1a_n będzie szeregiem liczbowym takim, że a_n6= 0 dla n ∈ N oraz niech istnieje granica g = lim_n→∞

(6)Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) – francuski filozof, fizyk i matematyk.

4.5. ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA 119 Uwaga 4.5.5. W twierdzeniu 4.5.3(b) warunku ^an+1_a

n

 

 > 1 dla dostatecznie du-żych n ∈ N, nie można zastąpić przez lim sup porównawczego zbieżności szeregów 4.5.2 dostajemy zbieżność szeregu^P∞_n=1an.

Z drugiej strony lim sup

n→∞ jako zbiór pusty. Stąd i z twierdzenia 3.8.7 mamy lim sup

n→∞

Twierdzenie 4.5.6. (kryterium Cauchy’ego). Niech ^P∞_n=1an będzie szere-giem liczbowym oraz niech g =lim sup

n→∞

pn

|a_n|.

(a) Jeśli g < 1, to szereg ^P∞_n=1an jest zbieżny bezwzględnie.

(b) Jeśli g > 1, to szereg ^P∞_n=1a_n jest rozbieżny. Ponadto, jeśli ^pn |a_n| > 1 dla nieskończenie wielu n ∈ N, to szereg jest rozbieżny.

Dowód. Ad (a). Ponieważ g < 1, więc istnieje r ∈ R, że g < r < 1. Zatem, z twierdzenia 3.8.7 istnieje N ∈ N, że ^pn |a_n| 6 r dla n > N. W konsekwencji

|a_n| 6 rⁿ dla n > N.

Dla r ∈ (0, 1), wobec własności 4.2.6, szereg ^P∞_n=Nrⁿ jest zbieżny. Stąd i z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 4.5.2 dostajemy zbieżność szeregu P∞

n=1|a_n|.

Ad (b). Jeśli ^pn |a_n| > 1 dla nieskończenie wielu n ∈ N, to |an| > 1 dla nieskoczenie wielu n ∈ N. Zatem szereg^P∞n=1annie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów 4.1.3, więc jest to szereg rozbieżny. Jeśli lim sup

n→∞

pn

|a_n| > 1, to dla nieskończenie wielu n ∈ N zachodzi ^pn|a_n| > 1, więc z poprzedniej części mamy rozbieżność szeregu^P∞_n=1an.

 Z kryterium Cauchy’ego 4.5.6 i własności 3.8.2 dostajemy natychmiast Wniosek 4.5.7. (kryterium Cauchy’ego). Niech ^P∞_n=1a_n będzie szeregiem liczbowym oraz niech istnieje granica g = lim

n→∞

pn

|a_n|.

(a) Jeśli g < 1, to szereg ^P∞_n=1a_n jest zbieżny bezwzględnie.

(b) Jeśli g > 1, to szereg ^P∞_n=1an jest rozbieżny.

Uwaga 4.5.8. Rozważmy szereg harmoniczny ^P∞_n=1a_n, gdzie a_n = _n¹_α, α ∈ R,

|a_n| = 1, więc kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego nie rozstrzygają zbież-ności szeregu ^P∞_n=1a_n. Jednak dla α > 1 szereg ten jest zbieżny, dla α 6 1 zaś

, zatem z warunku (a) kryterium d’Alemberta wynika warunek (a) kryterium Cauchy’ego.

ZADANIA

Zadanie 4.5.1. Zbadać zbieżność szeregów:

1. P∞

Zadanie 4.5.2. Niech a_n = 2^(−1)n−n dla n ∈ N. Stosując kryterium Cauchy’ego zbież-ności szeregów pokazać, że szeregP∞

n=1a_n jest zbieżny. Kryterium d’Alemberta nie roz-strzyga zbieżności tego szeregu.

4.6 Łączność dodawania wyrazów szeregu liczbowego

W szeregu liczbowym zbieżnym możemy kolejne wyrazy dowolnie łączyć w grupy i suma szeregu nie zmieni się. Dokładniej, udowodnimy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 4.6.1. (prawo łączności dla szeregów). Niech ^P∞_n=1an będzie szeregiem zbieżnym, (n_k)^∞_k=1 – ściśle rosnącym ciągiem liczb całkowitych, gdzie n₁= 0 oraz niech

n=1a_n jest zbieżny bezwzględnie, to szereg^P∞_k=1c_k jest zbieżny bezwzględnie.

Dowód. Oznaczając przez (s_n)^∞_n=1 i (t_n)^∞_n=1 odpowiednio ciągi sum częścio-wych szeregów^P∞_n=1ani^P∞_k=1c_k, mamy t_k = s_nk+1 dla k ∈ N. Zatem z własności 4.1.2 dostajemy pierwszą część tezy. Druga część tezy wynika z nierówności

k

4.7. ZBIEŻNOŚĆ BEZWARUNKOWA 121

oraz tego, że ciąg^Pk_j=1|c_j|, k = 1, 2, ... jest rosnący (patrz twierdzenie 3.2.4).  Uwaga 4.6.2. Bez założenia zbieżności szeregu ^P∞_n=1an, twierdzenie 4.6.1 nie jest prawdziwe. Mianowicie szereg ^P∞_n=1(−1)ⁿ jest rozbieżny. Łącząc po jednym wyrazie dostajemy, więc szereg rozbieżny, lecz po złączeniu po dwa wyrazy dosta-jemy

P∞

k=1((−1)^2k−1+ (−1)^2k) = 0 oraz −1 +^P∞_k=1((−1)^2k+ (−1)^2k+1) = −1.

ZADANIA

Zadanie 4.6.1. Suma szereguP∞ n=1

(−1)ⁿ

n jest liczbą ujemną.

Zadanie 4.6.2. Szeregi P∞ n=1

W punkcie 4.6 pokazaliśmy, że w każdym szeregu zbieżnym można dowolnie łączyć kolejne wyrazy i uzyskamy szereg zbieżny. W tym punkcie pokażemy, że zbieżność szeregu na ogół zależy od porządku jego wyrazów. Jest to, więc sytuacja odmienna od zbieżności ciągu, gdzie zmiana porządku wyrazów nie wpływa na zbieżność (patrz własność 3.2.12).

Definicja zbieżności bezwarunkowej szeregu. Mówimy, że szereg liczbowy P∞

n=1an jest zbieżny bezwarunkowo, gdy dla każdej bijekcji σ : N → N szereg P∞

n=1a_σ(n) jest zbieżny. Jeśli szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwarun-kowo, to mówimy, że jest on zbieżny warunkowo.

Lemat 4.7.1. Niech^P∞_n=1anbędzie szeregiem zbieżnym. Jeśli a_n> 0 dla wszyst-kich n ∈ N lub an6 0 dla wszystkich n ∈ N, to szereg jest zbieżny bezwarunkowo.

Ponadto dla każdej bijekcji σ : N → N mamy^P∞n=1a_σ(n) =^P∞_n=1an.

Dowód. Rozważymy przypadek an > 0 dla n ∈ N. Przypadek an 6 0 dla n ∈ N rozważa się analogicznie.

Niech s = ^P∞_n=1an. Weźmy dowolną bijekcję σ : N → N. Oznaczmy przez

W konsekwencji ciąg (t_n)^∞_n=1, jako rosnący i ograniczony z góry, jest zbieżny oraz P∞

n=1a_σ(n)6 s =^P∞n=1an.

Analogicznie pokazujemy, że s = ^P∞_n=1an = ^P∞_n=1a_σ(σ⁻¹_(n)) 6 ^P∞n=1a_σ(n). Stąd i z poprzedniego dostajemy^P∞_n=1a_σ(n)= s. 

W badaniu szeregów zbieżnych bezwarunkowo kluczową rolę odgrywa

Twierdzenie 4.7.2. (Riemann). Niech ^P∞_n=1a_n będzie szeregiem liczbowym i niech β_n = max{0, a_n}, γ_n = min{0, a_n} dla n ∈ N. Wówczas szereg ^P∞n=1an

jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi ^P∞_n=1βn, ^P∞_n=1γn są zbieżne.

Szkic dowodu. Zakładając, że szeregi ^P∞_n=1β_n i ^P∞_n=1γ_n są zbieżne, z le-matu 4.7.1 dostajemy łatwo zbieżność bezwzarunkową szeregu^P∞_n=1a_n.

W drugą stronę dowód jest nie wprost. Przypuszczając że szereg ^P∞_n=1an

jest zbieżny bezwarunkowo i co najmniej jeden z szeregów^P∞_n=1β_n,^P∞_n=1γ_njest rozbieżny, z równości a_n = β_n+ γ_n dla n ∈ N, dostajemy że oba szeregi są roz-bieżne. W szczególności szereg ^P∞_n=1βn jest rozbieżny. Weźmy dowolne M ∈ R, M > 0, na przykład takie, że że γ_n > −M dla n ∈ N (ciąg (γn)_n∈N jest ogra-niczony, bowiem lim

n→∞ a_n = 0, więc lim

n→∞ γ_n = 0 i w konsekwencji odpowiednie M > 0 istnieje). Teraz konstruujemy bijekcję zbioru N, czyli przestawiamy wyra-zy ciągu. Najpierw wybieramy tyle kolejnych początkowych dodatnich wyrazów ciągu (a_n) aby ich suma przekroczyła 2M (wobec rozbieżności szeregu ^P∞_n=1β_n można wybrać skończoną ilość takich wyrazów) i do sumy wybranych wyrazów dodajemy pierwszy niedodatni wyraz ciągu (a_n). Tak otrzymana suma jest więk-sza od M . Powtarzamy powyższą procedurę, do poprzedniej sumy dodajemy tyle kolejnych początkowych dodatnich wyrazów (z pozostałych dodatnich wyrazów ciągu (a_n)) aby suma przekroczyła 3M . Do tak otrzymanej sumy dodajemy ko-lejny niedodatni wyraz ciągu (a_n) otrzymując sumę większą od 2M . Powtarzając tę konstrukcję indukcyjnie ”ustawimy” wszystkie wyrazy ciągu (a_n) w szereg, w ten sposób, że w k-tym kroku konstrukcji suma wyrazów jest większa od kM . Reasumując, utworzony szereg będzie rozbieżny do +∞. 

Przejdźmy teraz do pełnego dowodu twierdzenia Riemanna.

Dowód twierdzenia 4.7.2. Jeśli szeregi ^P∞_n=1βn i^P∞_n=1γnsą zbieżne, to z lematu 4.7.1 dostajemy, że są one zbieżne bezwarunkowo. Ponieważ a_n= β_n+ γ_n dla n ∈ N, więc szereg ^P∞n=1a_n jest zbieżny bezwarunkowo, gdyż dla każdej bijekcji σ : N → N szereg ^P∞n=1a_σ(n) jest sumą szeregów zbieżnych ^P∞_n=1β_σ(n), P∞

n=1γ_σ(n).

Załóżmy, że szereg^P∞_n=1a_njest zbieżny bezwarunkowo. Wtedy jest on zbieżny i z twierdzenia 4.1.3, lim

n→∞a_n= 0, więc lim

n→∞γ_n= 0. Stąd, istnieje liczba M > 0, że

(4.4) −M < γ_n6 0 dla n ∈ N.

4.7. ZBIEŻNOŚĆ BEZWARUNKOWA 123 Przypuśćmy, że co najmniej jeden z szeregów ^P∞_n=1β_n, ^P∞_n=1γ_n jest rozbieżny.

Niech (s_n)^∞_n=1, (b_n)^∞_n=1, (g_n)^∞_n=1 będą ciągami sum częściowych odpowiednio sze-regów^P∞_n=1an,^P∞_n=1βn,^P∞_n=1γn. Wtedy ciąg (b_n)^∞_n=1jest rosnący, ciąg (g_n)^∞_n=1 jest zaś malejący. Zatem, wobec twierdzenia 4.3.1 mamy lim

n→∞ b_n = +∞ lub

n→∞lim gn= −∞. Ponieważ s_n= b_n+ g_n dla n ∈ N i ciąg (sn)^∞_n=1jest zbieżny, więc musi być lim

n→∞bn= +∞ oraz lim

n→∞gn= −∞ i w konsekwencji (4.5) szeregi

∞

X

n=1

β_n,

∞

X

n=1

γ_n są rozbieżne odpowiednio do +∞ i −∞.

Oznaczając

X = {n ∈ N : an> 0}, Y = {n ∈ N : an6 0}, z (4.5) dostajemy, że

(4.6) X i Y są zbiorami przeliczalnymi oraz X ∩ Y = ∅, X ∪ Y = N.

Zauważmy, że istnieje ściśle rosnący ciąg liczb całkowitych (m_k)^∞_k=0, gdzie m0 = 0, że przy oznaczeniu

X_k= {n ∈ X : m_k−1+ 16 n 6 mk} dla k ∈ N, zachodzi

(4.7) ^X

n∈Xk

an> 2M dla każdego k ∈ N.

Istotnie, połóżmy m₀ = 0. Z (4.5) wynika, że istnieje m₁ ∈ N takie, że zachodzi (4.7) dla k = 1. Z (4.5) wynika, że szereg ^P∞_n=m

1+1βn jest rozbieżny do +∞.

Zatem istnieje m₂ > m₁ takie, że ^Pm_n=m²

1+1β_n > 2M , co daje (4.7) dla k = 2.

Postępując dalej indukcyjnie określimy ciąg (m_k)^∞_k=0 spełniający (4.7) ⁽⁷⁾. Rodzina X_k, k ∈ N jest rodziną zbiorów skończonych i niepustych takich, że (4.8) Xk∩ X_j = ∅ dla k 6= j oraz X = ^[

k∈N

Xk.

(7)Dokładniej, przyjmijmy Z⁰ = {m ∈ Z : m > 0} i m⁰ = 0. Z (4.5) wynika, że dla każdego m ∈ Z0, szeregP∞

n=m+1βnjest rozbieżny do nieskończoności, więc zbiór Tm= {k ∈ N : k > m ∧ Pk

n=m+1βn> 2M } jest niepusty. Stosując aksjomat wyboru, istnieje więc funkcja g : Z0 → N taka, że g(m) ∈ Tmdla m ∈ Z⁰ i wtedyPg(m)

n=m+1βn> 2M . Biorąc teraz funkcję f : N × N → N określoną wzorem f (m, k) = g(m) i x = g(0), z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję, istnieje ciąg (mk)^∞_k=1 taki, że m1 = x oraz mk+1 = f (mk, k) dla k ∈ N. Z wyboru funkcji g wynika, że ciąg (mk)^∞_k=0jest ściśle rosnący i spełnia warunek (4.7).

Oznaczmy przez m_k∈ N ilość elementów zbioru Xk. Niech

Oczywiście zbiory V_k są parami rozłączne. Z powyższego i (4.8) dostajemy, że funkcja ϕ : V → X dana wzorem

Ponieważ W ∩ V = ∅, więc funkcja σ jest poprawnie określona. Ponadto z okre-ślenia funkcji ϕ i ξ mamy σ(V ) = X, σ(W ) = Y , więc z (4.6), σ jest bijekcją N

4.7. ZBIEŻNOŚĆ BEZWARUNKOWA 125 Z określenia ciągu (k_m) dostajemy lim

m→∞ N_km = +∞, a więc lim

m→∞ k_m = +∞.

Stąd i z powyższego wynika, że szereg ^P∞_n=1a_σ(n) jest rozbieżny do +∞. To przeczy zbieżności bezwarunkowej szeregu ^P∞_n=1an i kończy dowód twierdzenia

4.7.2. 

Twierdzenie 4.7.3. (o zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej szere-gu). Szereg liczbowy^P∞_n=1a_n jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny bezwzględnie.

Dowód. Niech β_n= max{0, a_n}, γ_n= min{0, a_n} dla n ∈ N.

Załóżmy, że szereg ^P∞_n=1an jest zbieżny bezwarunkowo. Wówczas z twierdze-nia 4.7.2 mamy, że szeregi^P∞_n=1βn,^P∞_n=1γn są zbieżne. W szczególności szereg P∞

n=1(−γ_n) jest zbieżny. Ponieważ |a_n| = β_n−γ_ndla n ∈ N, więc szereg^P∞n=1|a_n| jest zbieżny, jako suma szeregów zbieżnych.

Załóżmy teraz, że szereg ^P∞_n=1an jest zbieżny bezwzględnie. Ponieważ dla n ∈ N mamy 0 6 βn 6 |an| i 0 6 −γn 6 |an|, więc z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 4.3.2 dostajemy zbieżność szeregów ^P∞_n=1β_n, ^P∞_n=1(−γ_n).

W szczególności szereg ^P∞_n=1γn jest zbieżny. Reasumując, z twierdzenia 4.7.2 dostajemy zbieżność bezwarunkową szeregu^P∞_n=1a_n.  Twierdzenie 4.7.4. Jeśli szereg^P∞_n=1an jest zbieżny bezwarunkowo, to dla do-wolnej bijekcji σ : N → N zachodzi ^P∞n=1a_σ(n)=^P∞_n=1a_n.

Dowód. Niech βn = max{0, a_n}, γ_n = min{0, a_n} dla n ∈ N. Z założenia i twierdzenia 4.7.2 mamy, że szeregi^P∞_n=1β_n,^P∞_n=1γ_nsą zbieżne, pierwszy z nich ma wyrazy nieujemne, drugi – niedodatnie. Stąd i z lematu 4.7.1 dostajemy, że szeregi te są zbieżne bezwarunkowo. Ponadto dla dowolnej bijekcji σ : N → N mamy^P∞_n=1β_σ(n) =^P∞_n=1β_n oraz^P∞_n=1γ_σ(n)=^P∞_n=1γ_n. W szczególności

Przejdźmy teraz do szeregów zbieżnych warunkowo. Zacznijmy od prostego wniosku wynikającego natychmiast z twierdzenia 4.7.3.

Wniosek 4.7.5. Szereg^P∞_n=1a_njest warunkowo zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest to szereg zbieżny lecz nie jest on zbieżny bezwzględnie.

Przedstawimy teraz twierdzenie Riemanna o szeregach zbieżnych warunkowo.

Twierdzenie 4.7.6. (Riemann). Niech ^P∞_n=1a_n będzie szeregiem liczbowym zbieżnym warunkowo. Wówczas dla każdego punktu s ∈ R istnieje bijekcja σ : N → N taka, że ^P∞n=1a_σ(n)= s.

Szkic dowodu. Jeśli s = +∞, to powtarzając konstrukcję bijekcji σ : N → N z dowodu twierdzenia 4.7.2 dostajemy łatwo, że^P∞_n=1a_σ(n)= s. Jeśli s = −∞, to biorąc szereg ^P∞_n=1(−a_n), w myśl poprzedniego przypadku znajdziemy bijekcję σ : N → N taką, że ^P∞n=1(−a_σ(n)) = +∞ i wtedy^P∞_n=1a_σ(n) = s. Załóżmy więc, że s ∈ R. Rozważymy przypadek, gdy s > 0. Drugi przypadek s < 0 sprowadzamy do rozważanego w podobny sposób jak dla s = −∞.

Niech β_n = max{0, a_n}, γ_n = min{0, a_n} dla n ∈ N. Z założenia szereg P∞

n=1a_n jest zbieżny, więc lim

n→∞ a_n = 0 i w konsekwencji lim

n→∞ β_n = 0 i

n→∞lim γ_n= 0. Ponadto, szereg^P∞_n=1a_njest zbieżny warunkowo, więc z twierdzenia 4.7.2 wynika, że co najmniej jeden z szeregów ^P∞_n=1β_n,^P∞_n=1γ_n jest rozbieżny.

Wtedy, podobnie jak w dowodzie twierdzenia 4.7.2 pokazujemy, że rozbieżne są oba szeregi, pierwszy do +∞, a drugi do −∞.

Teraz skonstruujemy bijekcję zbioru N, czyli przestawiamy wyrazy ciągu. Naj-pierw wybieramy Naj-pierwszy niedodatni wyraz ciągu (a_n). Do tego wyrazu dodaje-my tyle kolejnych początkowych dodatnich wyrazów ciągu (a_n), powiedzmy m₁ wyrazów, aby ich suma była większa od s lecz suma m₁− j, j = 1, . . . , m₁, wyra-zów była mniejsza lub równa s. Z wyboru pierwszego wyrazu, wobec rozbieżności szeregu ^P∞_n=1β_n można wybrać skończoną ilość takich wyrazów dodatnich lecz musimy wziąć co najmniej jeden, więc 1 6 m1 < ∞. Do wybranych wyrazów dodajemy tyle kolejnych początkowych niedodatnich wyrazów z pozostałych nie-dodatnich wyrazów ciągu (a_n), powiedzmy k₁ > 1 wyrazów, aby ich suma była mniejsza od s lecz po dodaniu k₁ − j, j = 1, . . . , k₁, wyrazów była niemniej-sza od s. Powtarzamy powyższą procedurę indukcyjnie, dodajemy tyle kolejnych początkowych dodatnich wyrazów z pozostałych dodatnich wyrazów ciągu (a_n), powiedzmy m₂> 1 wyrazów, aby suma była większa od s lecz po dodaniu m2−j, j = 1, . . . , m₂ wyrazów była mniejsza lub równa s. Teraz dodajemy kolejne wy-razy niedodatnie z pozostałych niedodatnich wyrazów, powiedzmy k₂ wyrazy i dalej na przemian wyrazy dodatnie i ujemne. Powtarzając tę konstrukcję induk-cyjnie ”ustawimy” wszystkie wyrazy ciągu (a_n) w szereg który będzie zbieżny do s. Istotnie, dla n > 1, sumy częściowe s_n otrzymanego szeregu różnią się od s co najwyżej o |arn| dla pewnego r_n ∈ N, przy czym z konstrukcji wynika, że rn> ⁿ₂ dla n ∈ N. Stąd lim_n→∞rn= +∞. Ponieważ lim

n→∞an= 0, to lim

n→∞|a_rn| = 0.

Reasumując, otrzymany szereg jest zbieżny do s ⁽⁸⁾. 

(8)Konstrukcję bijekcji σ : N → N przedstawimy dokładniej. Rozważamy przypadek s > 0.

Postępujemy podobnie jak w dowodzie twierdzenia 4.7.2. Jak zauważyliśmy wcześniej zachodzi (4.5), więc zbiory X = {n ∈ N : an > 0}, Y = {n ∈ N : an 6 0} są rozłączne, przeliczalne oraz X ∪ Y = N. Dla dowolnych p, q ∈ Z, kładziemy X(p, q] = {n ∈ X : p + 1 6 n 6 q} oraz Y (p, q] = {n ∈ Y : p + 1 6 n 6 q}. Połóżmy

i1= min n

m ∈ Y :P

n∈Y (0,m]an< s o

i y1=P

n∈Y (0,i₁]an

oraz przy użyciu powyżej określonego y1,

4.7. ZBIEŻNOŚĆ BEZWARUNKOWA 127

ZADANIA

Zadanie 4.7.1. Niech P∞

n=1a_n będzie szeregiem liczbowym. Wówczas szereg ten jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujący warunek Cauchy’ego:

dla każdego ε > 0 istnieje zbiór skończony H ⊂ N, że dla każdego niepustego zbioru skończonego J ⊂ N \ H zachodzi |P

n∈Jan| < ε.

Zadanie 4.7.2. Niech P∞

n=1a_n będzie szeregiem liczbowym. Wówczas szereg ten jest zbieżny bezwarunkowo do s ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje zbiór skończony H ⊂ N, że dla każdego niepustego zbioru skończonego J ⊂ N takiego, że H ⊂ J zachodzi |P

k∈Jan− s| < ε.

Zadanie 4.7.3. Szereg liczbowyP∞

n=1an jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podciągu (an_k)^∞_k=1 ciągu (an)^∞_n=1 zbieżny jest szeregP∞ Wobec (4.5), liczby i⁰, j⁰, x⁰ są poprawnie określone, więc funkcja f jest poprawnie określona.

Niech x = x1 i niech ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3) : N → Z będzie funkcją określoną indukcyjnie przez x i f . Weźmy ciągi (ik)^∞_k=0, (jk)^∞_k=0określone wzorami i0= j0= 0 oraz ik= ϕ2(k), jk= ϕ3(k) dla k ∈ N. Z określenia funkcji f widzimy, że są to ściśle rosnące ciągi liczb całkowitych. Ponadto dla Ik=P

przy czym dla każdego k liczby ik> ik−1, jk> jk−1są najmniejszymi liczbami całkowitymi dla których powyższe zachodzi. Z określenia funkcji f widzimy też, że

(2) |I1− s| 6 |aⁱk|, |

Wówczas suma wszystkich zbiorów Vkoraz zbiorów Wkjest zbiorem liczb naturalnych. Podobnie suma wszystkich zbiorów Y (ik−1, ik] oraz X(jk−1, jk] jest zbiorem liczb naturalnych. Zatem ist-nieje odwzorowanie σ : N → N takie, że σ|^Vk: Vk→ Y (ik−1, ik] oraz σ|W_k: Wk→ X(jk−1, jk] są bijekcjami. Wówczas σ jest bijekcją zbioru N na N. Ponadto uwzględniają (2) i konstrukcję funk-cji f dostajemy, że |s −Pm

Zadanie 4.7.4.* Niech A będzie zbiorem niepustym i co najwyżej przeliczalnym oraz niech f : A → R. Przez sumę wartości funkcji f rozumiemy taką liczbę s ∈ R, że dla każdego ε > 0 istnieje zbiór skończony H ⊂ A, że dla każdego niepustego zbioru skończonego J ⊂ A takiego, że H ⊂ J zachodzi |P

k∈Jf (k) − s| < ε. Sumę wartości funkcji f oznaczamy P

k∈Af (k).

1. Jeśli A jest zbiorem skończonym i f : A → R, to istnieje suma wartości funkcji f . 2. Jeśli zbiór A jest przeliczalny, to suma wartości funkcji f : A → R istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej bijekcji σ : N → A szeregP∞

n=1f (σ(n)) jest zbieżny.

Zadanie 4.7.5.* Niech szereg P∞

n=1an będzie zbieżny bezwarunkowo i niech An ⊂ N, n ∈ N, będzie rodziną zbiorów niepustych taką, że Aⁱ∩Aj = ∅ dla i 6= j oraz N =S

n∈NAn. Wówczas istnieją sumy cn=P

k∈A_nak dla n ∈ N orazP∞

n=1an=P∞ n=1cn.

4.8 Mnożenie szeregów

Definicja iloczynu szeregów w sensie Cauchy’ego. Niech^P∞_n=0a_n,^P∞_n=0b_n będą szeregami liczbowymi. Iloczynem w sensie Cauchy’ego tych szeregów nazy-wamy szereg^P∞_n=0cn, gdzie

c_n=

n

P

j=0

a_jb_n−j, n = 0, 1, 2, ...⁽⁹⁾.

W dokumencie Wstęp do Analizy Matematycznej funkcje jednej zmiennej Stanisław Spodzieja (Stron 112-128)