Wstęp do Analizy Matematycznej funkcje jednej zmiennej Stanisław Spodzieja

Wstęp do Analizy Matematycznej funkcje jednej zmiennej

Stanisław Spodzieja

Łódź 2014

Wstęp

Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy mate- matycznej dla pierwszego roku matematyki, jaki prowadziłem od 2002 roku na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego. Pomyślana jest ona jako pod- ręcznik analizy matematycznej dla studentów pierwszego roku matematyki oraz zaawansowanych studentów innych specjalności.

Proponowany tekst jest dość długi, liczy ponad 400 stron. Chcieliśmy jednak zachować możliwie pełną precyzję i nie odwoływać się do intuicji. Nadrzędnym celem wykładu było zapoznanie czytelnika, wraz z pełnymi dowodami, z wszyst- kimi podstawowymi twierdzeniami analizy matematycznej jednowymiarowej, bez odsyłania do algebry, topologii, czy logiki. Ma to duże znaczenie dla studentów pierwszego roku studiów, gdzie wykłady te są prowadzone równolegle, a czasa- mi na wyższych latach studiów. Kolejnym celem wykładu było zaszczepienie u studentów matematyki zasady nie korzystania z twierdzeń, których nie potrafią udowodnić lub zrozumieć dowodu. Pozwoli to uniknąć wielu błędów wynikają- cych z faktu, że niektóre pojęcia o takiej samej nazwie, w różnych podręcznikach mogą być definiowane inaczej, więc prawdziwość danego twierdzenia zależy od przyjętych definicji. Należy przy tym pamiętać, że dowody twierdzeń w różnych podręcznikach zależą od przyjętego układu materiału i korzystanie z różnych żró- deł może doprowadzić do tak zwanych zapętleń, czyli dowodzenia twierdzenia w oparciu o to samo twierdzenie.

Za twórców analizy matematycznej uważa się Isaaca Newtona, Gottfrieda Wilhelma von Leibniza, Augusta Cauchy’ego i Karla Theodora Wilhelma We- ierstrassa. Głównymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste i funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. Jednym z pod- stawowych zagadnień tej gałęzi matematyki jest badanie konsekwencji aksjoma- tu ciągłości lub inaczej istnienia kresów podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.

Proponowany w tej książce wykład obejmuje podstawowe wiadomości z zakre- su analizy matematycznej jednej zmiennej, począwszy od liczb rzeczywistych, funkcji elementarnych, ciągów i szeregów liczbowych i funkcyjnych, ciągłości i różniczkowalności aż po całkę Riemanna i informacje o liczbach zespolonych. Do zrozumienia tekstu potrzebna jest znajomość podstaw logiki matematycznej i teo- rii mnogości. Dla wygody czytelnika, w dodatku C, zbieramy pewne wiadomości z tych dziedzin.

W książce podane są zadania uzupełniające tekst główny. Na niektóre z nich będziemy powoływać się w dalszej części tekstu. Zadania te czytelnik rozwiąże

3

bez większego trudu, bowiem opatrzone są one wyczerpującymi wskazówkami.

W tekście zamieszczono również zadania trudniejsze oznaczone symbolem ∗. Nie- które z nich wykraczają poza zakres analizy matematycznej dla pierwszego roku studiów, pokazują jednak w jakich zagadnieniach wykorzystuje się wprowadzane pojęcia.

W książce przyjęliśmy następującą konwencję: punkt 2.5 oznacza punkt 5 w rozdziale 2, twierdzenie 2.5.1 oznacza zaś twierdzenie 1 z punktu 2.5 (w rozdziale 2). Wzór (3.6) oznacza wzór 6 w rozdziale 3. U dołu strony (w stopce) podajemy pewne informacje dodatkowe dotyczące omawianych zagadnień. W pierwszym czytaniu informacje te można pominąć.

W opracowaniu wykładu korzystałem z podręczników i monografii następują- cych autorów: J. Chądzyńskiego, G. M. Fichtenholza, F. M. Filipczaka, T. Kra- sińskiego, K. Kuratowskiego i A. Mostowskiego, F. Lei, S. Łojasiewicza, A. Mo- stowskiego i M. Starka, W. Rudina, W. Sierpińskiego oraz G. H. Hardy’ego i E. M. Wrighta, wymienionych w spisie literatury. Czytelnika pragnącego pogłę- bić wiadomości z analizy matematycznej jednej zmiennej odsyłam do monografii W. Rudina, G. M. Fichtenholza oraz S. Łojasiewicza.

Pragnę przy tej okazji serdecznie podziękować Panu Profesorowi Jackowi Chądzyńskiemu, Panu Profesorowi Władysławowi Wilczyńskiemu, Pani Profesor Ewie Hensz-Chądzyńskiej, Panu Profesorowi Andrzejowi Nowickiemu oraz Pani Doktor Ludwice Kaczmarek i Panu Doktorowi Przemysławowi Skibińskiemu za wiele cennych uwag, które wpłynęły na ulepszenie tekstu. Dziękuję również dr Marii Frontczak, dr Tomaszowi Rodakowi, dr Grzegorzowi Skalskiemu oraz mgr Katarzynie Kielanowicz, mgr Annie Kimaczyńskiej, mgr Marii Michalskiej i mgr Beacie Osińskiej, za przeczytanie tekstu, co pozwoliło uniknąć wielu niedociągnięć i błędów zecerskich.

Łódź, kwiecień 2014 roku Stanisław Spodzieja

Rozdział 1

Liczby rzeczywiste

Podstawowymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rze- czywiste i funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. W rozdziale tym określimy liczby rzeczywiste drogą aksjomatyczną⁽¹⁾ następnie wyodrębnimy licz- by całkowite, wymierne i niewymierne (por. na przykład [11]). Dokładniej, zakła- damy, że istnieje pewien zbiór R, w którym określone są dwa działania i relacja mniejszości, które spełniają pewne własności (aksjomaty). Całą dalszą wiedzę o liczbach rzeczywistych będziemy opierać na tych wyróżnionych własnościach. Na koniec tego rozdziału podamy definicję rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych.

1.1 Aksjomaty liczb rzeczywistych

Zakładamy, że istnieje zbiór, który będziemy oznaczać literą R i nazywać zbiorem liczb rzeczywistych, elementy tego zbioru zaś będziemy nazywać liczbami rze- czywistymi. Zakładamy, że w zbiorze R określone są działania dodawania „+” i mnożenia „·”, czyli funkcje + : R×R → R, · : R×R → R oraz relacja mniejszości

„<”, które spełniają następujące własności zwane aksjomatami:

I. Aksjomaty ciała⁽²⁾.

1. (Łączność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y, z ∈ R, x + (y + z) = (x + y) + z, x · (y · z) = (x · y) · z.

2. (Przemienność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y ∈ R, x + y = y + x, x · y = y · x.

3. (Rozdzielność mnożenia względem dodawania). Dla każdych x, y, z ∈ R, x · (y + z) = (x · y) + (x · z).

4. (Istnienie elementów neutralnych działań). Istnieją różne elementy 0, 1 ∈ R takie, że dla każdego x ∈ R,

0 + x = x, 1 · x = x.

5. (Istnienie różnicy i ilorazu). Dla każdych x, y ∈ R, istnieje z ∈ R taka, że y = x + z.

Dla każdych x, y ∈ R, x 6= 0, istnieje z ∈ R taka, że y = x · z.

(1)Pojęcie aksjomatu podajemy w dodatku C. Liczby rzeczywiste można również określić, przyj- mując za znane pojęcie liczb naturalnych i przy ich pomocy kolejno definiować liczby wymierne i rzeczywiste (patrz na przykład [13], [20]).

(2)Struktury algebraiczne spełniające ten układ aksjomatów nazywamy ciałami.

5

II. Aksjomaty porządku.

1. (Spójność relacji mniejszości). Dla każdych x, y ∈ R takich, że x 6= y zachodzi

x < y lub y < x.

2. (Przechodniość relacji mniejszości). Dla każdych x, y, z ∈ R, jeśli x < y i y < z, to x < z.

3. (Antysymetria relacji mniejszości). Dla każdych x, y ∈ R, jeśli x < y to nie zachodzi y < x.

III. Aksjomaty związku między działaniami i relacją mniejszości.

1. Dla każdych x, y, z ∈ R, jeśli x < y, to x + z < y + z.

2. Dla każdych x, y, z ∈ R, 0 < z, jeśli x < y, to x · z < y · z.

IV. Aksjomat ciągłości (zasada ciągłości Dedekinda⁽³⁾).

1. Zbioru R nie można przedstawić jako sumę A ∪ B zbiorów A i B takich, że 1) A i B są zbiorami niepustymi,

2) dla każdych a ∈ A, b ∈ B zachodzi a < b, 3) dla każdego a ∈ A istnieje ˜a ∈ A, że a < ˜a, 4) dla każdego b ∈ B istnieje ˜b ∈ B, że ˜b < b.

Uwaga 1.1.1. Z Aksjomatu I.4 wynika, że R jest zbiorem niepustym. Można udowodnić, że powyższe aksjomaty jednoznacznie charakteryzują zbiór liczb rze- czywistych oraz, że nie są nawzajem sprzeczne (również po dołączeniu aksjomatów teorii mnogości podanych w dodatlu C).

Definicje zera i jedynki. Liczbę 0 spełniającą aksjomat I.4. nazywamy zerem.

Liczbę 1 spełniającą aksjomat I.4. nazywamy jedynką.

Własność 1.1.2. W zbiorze R istnieje dokładnie jedno zero i dokładnie jedna jedynka.

Dowód. Istotnie, jeśli pewne elementy 0⁰ i 1⁰ spełniają Aksjomat I.4, to 0⁰ = 0 + 0⁰ = 0⁰+ 0 = 0 oraz 1⁰= 1 · 1⁰ = 1⁰· 1 = 1.

To kończy dowód. 

Definicja elementu przeciwnego. Niech x ∈ R. Element z ∈ R taki, że 0 = x + z nazywamy elementem przeciwnym do x i oznaczamy −x.

Definicja elementu odwrotnego. Niech x ∈ R, x 6= 0. Element z ∈ R taki, że 1 = x · z nazywamy elementem odwrotnym do x i oznaczamy 1/x lub _x¹.

(3)Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916) – niemiecki matematyk.

1.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 7 Własność 1.1.3. (a) Każda liczba x ∈ R ma dokładnie jeden element przeciwny.

(b) Każda liczba x ∈ R, x 6= 0 ma dokładnie jeden element odwrotny.

Dowód. Udowodnimy (a). Część (b) dowodzi się analogicznie. Weźmy x ∈ R.

Z Aksjomatu I.5 wynika istnienie z ∈ R takiego, że 0 = x + z. Jeśli ˜z ∈ R również spełnia ten warunek, to z aksjomatów mamy

z = z + 0 = z + (x + ˜z) = (z + x) + ˜z = 0 + ˜z = ˜z,

co należało udowodnić. 

Definicje sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Niech x, y ∈ R.

Wynik działania dodawania x+y nazywamy sumą x i y a liczby x, y nazywamy składnikami tej sumy.

Wynik działania mnożenia x · y nazywamy iloczynem x i y a liczby x, y nazy- wamy czynnikami tego iloczynu.

Liczbę z ∈ R taką, że y = x + z nazywamy różnicą y i x.

Jeśli x 6= 0, to liczbę z ∈ R taką, że y = x · z nazywamy ilorazem y przez x.

Definicja odejmowania. Odejmowaniem nazywamy działanie − : R × R → R określone wzorem

x − y = x + (−y) dla x, y ∈ R.

Definicja dzielenia. Dzieleniem nazywamy działanie :: R × (R \ {0}) → R okre- ślone wzorem

x : y = x · (1/y) dla x, y ∈ R, y 6= 0.

Własność 1.1.4. (a) Dla dowolnych x, y ∈ R istnieje dokładnie jedna różnica x i y równa x − y.

(b) Dla dowolnych x, y ∈ R, y 6= 0 istnieje dokładnie jeden iloraz x przez y równy x : y.

Dowód. Ad (a). Niech x, y ∈ R oraz z, ˜z ∈ R będą różnicami x i y, czyli x = y + z, x = y + ˜z. Z własności 1.1.3(a) liczba −y jest określona jednoznacznie, zatem z aksjomatów mamy

z = ((−y) + y) + z = (−y) + (y + z) = (−y) + x = (−y) + (y + ˜z) = ˜z, czyli różnica x i y jest dokładnie jedna. Różnica x i y jest równa x − y, gdyż

y + (x − y) = y + (x + (−y)) = (y + (−y)) + x = x.

Część (b) dowodzimy analogicznie. 

Własność 1.1.5. Dla każdego x ∈ R mamy 0 · x = x · 0 = 0.

Dowód. Ponieważ 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x, więc 0 · x jest różnicą 0 · x

i 0 · x, czyli 0 · x = 0 (własność 1.1.4(a)). 

Własność 1.1.6. Jeśli dla liczb x, y ∈ R zachodzi x · y = 0, to x = 0 lub y = 0

(4).

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją liczby x 6= 0, y 6= 0 takie, że x · y = 0. Wówczas z Aksjomatu I.5 istnieją z, w ∈ R takie, że 1 = xz, 1 = yw.

Zatem z Aksjomatów I.1 i I.2 i własności 1.1.5 mamy

1 = 1 · 1 = (x · z) · (y · w) = (x · y) · (z · w) = 0 · (z · w) = 0,

co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4. 

W dalszym ciągu tradycyjnie znak mnożenia ”·” będziemy opuszczać i pisać xy zamiast x · y, oraz zamiast x : y będziemy pisać x/y lub ^x_y.

Przyjmujemy, że działania mnożenia i dzielenia mają pierwszeństwo przed działaniami dodawania i odejmowania, to znaczy zamiast (x · y) + z piszemy xy + z, zamiast (x : y) + z piszemy x : y + z i podobnie zamiast (x · y) − z i (x : y) − z piszemy odpowiednio xy − z i x : y − z.

Często piszemy y > x zamiast x < y.

Definicja relacji nierówności. Relację x < y nazywamy nierównością i mówi- my x jest mniejsze od y lub y jest większe od x.

Własność 1.1.7. Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzi dokładnie jeden z poniższych warunków: x = y, x < y, y < x.

Dowód. Na mocy Aksjomatu II.1 co najmniej jeden z tych warunków mu- si zachodzić. Przypuśćmy, że zachodzą co najmniej dwa warunki. Pokażemy, że wówczas x < x.

Jeśli zachodzi x < y i y < x, to z Aksjomatu II.2 mamy x < x.

Jeśli zachodzi x = y i x < y (ewentualnie y < x), to mamy x < x.

Pokazaliśmy w każdej sytuacji, że z przypuszczenia, wynika że zachodzi x < x.

Stąd i z Aksjomatu II.3 wynika, że nie zachodzi x < x. Otrzymana sprzeczność

daje tezę. 

Własność 1.1.8. 0 < 1.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że nierówność 0 < 1 nie zachodzi. Wówczas 1 < 0 lub 1 = 0 (patrz własność 1.1.7). Ponieważ 1 6= 0 (Aksjomatu I.4), więc 1 < 0. Stąd i z Aksjomatu III.1, 1+(−1) < 0+(−1) i w konsekwencji z Aksjomatu I.4 mamy 0 < (−1). Pokazaliśmy, że 1 < 0 i (−1) > 0. Stosując więc Aksjomat III.2 i własność 1.1.5 dostajemy −1 = 1 · (−1) < 0 · (−1) = 0, czyli −1 < 0. To wraz z poprzednim daje, że 0 < (−1) oraz −1 < 0, co w myśl własności 1.1.7 jest

niemożliwe. 

(4)To znaczy, że w zbiorze R nie ma właściwych dzielników zera. Liczbę x ∈ R nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje y ∈ R, y 6= 0, że x · y = 0. Przykładem dzielnika zera jest 0.

Dzielniki zera różne od zera nazywamy właściwymi dzielnikami zera.

1.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 9 Wniosek 1.1.9. Niech x ∈ R. Wówczas zachodzą następujące:

(a) x < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < −x.

(b) Jeśli x 6= 0, to

x > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 0.

(c) Jeśli x > 0, to

x < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 1.

Dowód. Ad (a). ⇒. Załóżmy, że x < 0. Wówczas z Aksjomatu III.1 mamy 0 = x + (−x) < 0 + (−x) = −x, więc 0 < −x.

⇐. Analogicznie jak powyżej, zakładając że 0 < −x, mamy x = 0 + x <

(−x) + x = 0, więc x < 0.

Ad (b). ⇒. Załóżmy, że x > 0. Pokażemy, że 1/x > 0. Przypuśćmy przeciwnie, że nierówność 1/x > 0 nie zachodzi. Wówczas, wobec własności 1.1.7, 1/x = 0 lub 1/x < 0.

Jeśli 1/x = 0, to z własności 1.1.5 wynika, że 1 = (1/x) · x = 0 · x = 0, co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4.

Jeśli 1/x < 0, to z Aksjomatu III.2 i własności 1.1.5 dostajemy 1 = (1/x) · x < 0 · x = 0, co jest sprzeczne z własnością 1.1.8 i 1.1.7.

Doszliśmy do sprzeczności, a więc przypuszczenie było fałszywe. Zatem 1/x > 0.

⇐. Załóżmy, że 1/x > 0. Pokażemy, że x > 0. Przypuszczając przeciwnie, że x < 0 (gdyż z założenia, x 6= 0) mamy 1 = (1/x) · x < (1/x) · 0 = 0, co jest niemożliwe. Zatem musi zachodzić x > 0.

Ad (c). ⇒. Załóżmy, że 0 < x < 1. Pokażemy, że 1/x > 1. Przypuśćmy przeciwnie, że 1/x = 1 lub 1/x < 1.

Jeśli 1/x = 1, to x = (1/x) · x = 1, co jest sprzeczne z założeniem, że x < 1.

Jeśli 1/x < 1, to z Aksjomatu III.2 dostajemy 1 = (1/x) · x < 1 · x = x < 1, co jest niemożliwe.

Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić 1/x > 1.

⇐. Załóżmy, że 1/x > 1. Pokażemy, że x < 1. Przypuśćmy przeciwnie, że x = 1 lub x > 1.

Jeśli x = 1, to 1 = (1/x) · x = 1/x > 1, co jest niemożliwe.

Jeśli x > 1, to 1 = x · (1/x) > 1 · (1/x) > 1, co jest niemożliwe.

Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić x < 1.  Definicja . Przyjmujemy następujące oznaczenia: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 5 + 1, 7 = 6 + 1, 8 = 7 + 1, 9 = 8 + 1, 10 = 9 + 1.

Własność 1.1.10. Dla każdych x, y ∈ R takich, że x < y istnieje z ∈ R, że x < z < y.

Dowód. Z własności 1.1.8 i Aksjomatów I.4., II.2. oraz III.1. mamy 0 < 1 = 0 + 1 < 1 + 1 = 2, czyli 0 < 2. Zatem, z własności 1.1.9(b) wynika, że 1/2 > 0.

Wykażemy, że liczba z = (x + y)/2 spełnia tezę własności. Istotnie, z Ak- sjomatu III.1, x + x < x + y, czyli 2x < x + y. Ponieważ 1/2 > 0, więc z Aksjomatu III.2 mamy x < (x + y)/2 = z. Podobnie mamy x + y < 2y i dalej z = (x + y)/2 < y. Reasumując, x < z < y, co kończy dowód.  Definicja relacji 6. W R określamy relację 6 w następujący sposób: liczby x, y ∈ R są w relacji 6, co zapisujemy x 6 y, gdy x < y lub x = y.

Piszemy również y> x zamiast x 6 y i mówimy x jest niewiększe od y lub y jest niemniejsze od x lub x jest mniejsze lub równe y lub y jest większe lub równe x.

Definicja modułu liczby. Wartością bezwzględną lub modułem liczby x ∈ R nazywamy liczbę |x| ∈ R określoną następująco:

|x| =

( x, gdy x > 0,

−x, gdy x < 0.

Własność 1.1.11. Niech x, y ∈ R. Wówczas mamy:

(a) |x|> 0, | − x| = |x| oraz −|x| 6 x 6 |x|.

(b) |xy| = |x||y| oraz ^|x|_|y| = |^x_y|, gdy y 6= 0.

(c) |x + y|6 |x| + |y| oraz |x − y| > ||x| − |y||.

Dowód. Ad (a). Ponieważ |x| = x > 0 dla x > 0 oraz |x| = −x > 0 dla x < 0, więc |x| > 0. Pokażemy, że | − x| = |x|. Istotnie, dla x = 0 równość oczywiście zachodzi. Dla x > 0 mamy −x < 0, więc | − x| = −(−x) = x = |x|.

Dla x < 0 mamy −x > 0, więc | − x| = −x = |x|. W konsekwencji | − x| = |x|.

Pokażemy teraz, że −|x| 6 x 6 |x|. Ponieważ |x| > 0, to dla x > 0, mamy

−|x| 6 0 6 x = |x|. Dla x < 0, zaś mamy −x > 0, więc −|x| 6 0 < −x 6 |x|, a więc |x|> x > −|x|. W konsekwencji −|x| 6 x 6 |x| i część (a) jest udowodniona.

Ad (b). Z części (a) mamy |xy| = ||x| · |y||, a więc |xy| = ||x| · |y|| = |x||y|.

Stąd dla y 6= 0, mamy |y||^x_y| = |y^x_y| = |x|, a więc ^|x|_|y| = |^x_y|. To daje (b).

Ad (c). Jeśli x+y> 0, to z (a) mamy |x+y| = x+y 6 |x|+|y|. Jeśli x+y < 0, to −x + (−y) > 0, więc z (a), |x + y| = −x + (−y)6 | − x| + | − y| = |x| + |y|. W konsekwencji |x + y|6 |x| + |y|.

Z powyższego, mamy |x|6 |x − y| + |y| oraz |y| 6 |y − x| + |x| = |x − y| + |x|.

Zatem |x| − |y|6 |x − y| oraz −(|x| − |y|) 6 |x − y|. Uwzględniając więc definicję

||x| − |y||, dostajemy ||x| − |y|| 6 |x − y|. To daje (c) i kończy dowód.  Definicja . Liczbę x ∈ R nazywamy dodatnią, gdy x > 0. Zbiór R+ = {x ∈ R : x > 0} nazywamy zbiorem liczb dodatnich.

Liczbę x ∈ R nazywamy ujemną, gdy x < 0. Zbiór R− = {x ∈ R : x < 0}

nazywamy zbiorem liczb ujemnych.

Liczbę x ∈ R nazywamy nieujemną, gdy x > 0. Zbiór R⁰+ = {x ∈ R : x > 0}

nazywamy zbiorem liczb nieujemnych.

1.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 11 Liczbę x ∈ R nazywamy niedodatnią, gdy x 6 0. Zbiór R⁰−= {x ∈ R : x 6 0}

nazywamy zbiorem liczb niedodatnich.

Definicja przedziału. Jeśli a, b ∈ R oraz a < b, to zbiory (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, [a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b}, [a, b) = {x ∈ R : a 6 x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b}

nazywamy przedziałami o końcach a, b.

Przedziały typu (a, b) nazywamy otwartymi, typu zaś [a, b] domkniętymi⁽⁵⁾. Liczbę (a + b)/2 nazywamy środkiem, a liczbę |b − a| > 0 nazywamy długością przedziału o końcach a i b. Długość przedziału P oznaczamy |P |.

Uwaga 1.1.12. Przedział otwarty oznaczamy tak samo jak parę uporządkowa- ną. Nie powinno to prowadzić do nieporozumień. Używając oznaczenia (a, b), z kontekstu będzie jasne, co przez to rozumiemy.

Definicja znaku liczby. Znakiem lub signum liczby x ∈ R nazywamy liczbę sgn (x) ∈ R określoną następująco:

sgn (x) =











1, gdy x > 0,

−1, gdy x < 0, 0, gdy x = 0.

ZADANIA

Zadanie 1.1.1. Dla dowolnych x, y, z, w ∈ R mamy:

1. −(−x) = x, _1/x¹ = x, gdy x 6= 0.

2. −x = (−1)x.

3. ^x_y = ^w_z ⇐⇒ xz = yw, gdy y, z 6= 0.

4. ^xz_yz = ^x_y, gdy y, z 6= 0.

5. ^x_y+^w_z = ^xz+yw_yz ; ^x_y −^w_z =^xz−yw_yz , gdy y, z 6= 0.

6. ^x_y^w_z =^xw_yz, gdy y, z 6= 0; ^x_y : ^w_z = _yw^xz, gdy y, z, w 6= 0.

Zadanie 1.1.2. Niech x, y, z, w ∈ R.

1. Jeśli x6 y i y 6 x, to x = y.

2. Jeśli x> 0 i y > 0, to xy > 0.

3. Jeśli x < y i z6 w, to x + z < y + w.

4. Jeśli x6 y i z 6 w, to x + z 6 y + w.

5. Jeśli x > 0 i y < z, to y/x < z/x.

6. Jeśli x < 0, to 1/x < 0.

7. Jeśli x < 0 i y < z, to yx > zx oraz y/x > z/x.

(5)Przedziały domknięte o końcach a, b oznaczamy również ha, bi.

8. Jeśli x 6= 0, to xx > 0.

9. Jeśli 0 < x < y, to 0 < 1/y < 1/x.

Zadanie 1.1.3. Niech x ∈ R. Dla dowolnego ε ∈ R, 1. |x| < ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε < x i x < ε, 2. |x| > ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε > x lub x > ε.

Zadanie 1.1.4. Dla dowolnego x 6= 0 zachodzi sgn (x) =^|x|_x.

1.2 Kresy

W punkcie tym przedstawimy ważne konsekwencje aksjomatu ciągłości.

Definicja zbioru ograniczonego. Niech E ⊂ R.

Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M ∈ R taka, że dla każdego x ∈ E zachodzi x6 M . Każdą taką liczbę M nazywamy ograni- czeniem górnym zbioru E. Zbiór E, który nie jest ograniczony z góry, nazywamy nieograniczonym z góry.

Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy istnieje liczba m ∈ R taka, że dla każdego x ∈ E zachodzi x> m. Każdą taką liczbę m nazywamy ograni- czeniem dolnym zbioru E. Zbiór E, który nie jest ograniczony z dołu, nazywamy nieograniczonym z dołu.

Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy E jest ograniczony z góry i z dołu. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym.

Definicje kresu górnego i kresu dolnego zbioru. Niech E ⊂ R.

Liczbę M ∈ R spełniającą warunki:

1) M jest ograniczeniem górnym zbioru E,

2) dla każdego M⁰< M istnieje x ∈ E, takie że x > M⁰, nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy sup E.

Liczbę m ∈ R spełniającą warunki:

1) m jest ograniczeniem dolnym zbioru E,

2) dla każdego m⁰ > m istnieje x ∈ E, takie że x < m⁰, nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy inf E.

Uwaga 1.2.1. W myśl przyjętych definicji, zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z góry nie mają kresów górnych. Analogicznie zbiór pusty oraz zbiór nieograni- czony z dołu nie mają kresów dolnych. Na końcu tego rozdziału rozszerzymy zbiór liczb rzeczywistych w ten sposób, że każdy zbiór będzie miał kres górny i dolny.

Definicje maksimum i minimum zbioru. Niech E ⊂ R.

Element x₀ ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 x0, nazywamy elementem maksymalnym zbioru E lub maksimum zbioru E lub elementem naj- większym zbioru E i oznaczamy max E.

1.2. KRESY 13 Element x₀ ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x > x0, nazywamy elementem minimalnym zbioru E lub minimum zbioru E lub elementem naj- mniejszym zbioru E i oznaczamy min E.

Uwaga 1.2.2. Z własności 1.1.7 dostajemy natychmiast, że jeśli zbiór E ⊂ R ma maksimum, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Analogiczna uwaga zachodzi dla minimum, kresu górnego i dolnego.

Z definicji modułu liczby oraz maksimum i minimum zbioru dostajemy Własność 1.2.3. Jeśli x, y ∈ R, to

max{x, y} = x + y

2 +|x − y|

2 oraz min{x, y} = x + y

2 −|x − y|

2 . W tym punkcie udowodnimy, że każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny. Zanim przejdziemy do tego faktu, wprowadźmy pojęcie przekroju Dedekinda i udowodnimy lemat. W dalszym ciągu wykładu symbolem ∅ oznaczamy zbiór pusty (patrz dodatek C).

Definicja przekroju Dedekinda. Niech A, B ⊂ R. Parę zbiorów (A, B) nazy- wamy przekrojem Dedekinda, gdy spełnione są warunki:

1) A 6= ∅, B 6= ∅, 2) A ∪ B = R,

3) dla każdego x ∈ A oraz każdego y ∈ B zachodzi x < y.

Lemat 1.2.4. Niech A, B ⊂ R. Jeśli (A, B) jest przekrojem Dedekinda, to istnieje max A lub istnieje min B.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że nie istnieje max A i nie istnieje min B.

Wówczas, z definicji maksimum i minimum, dla każdego a ∈ A istnieje ˜a ∈ A, że a < ˜a oraz dla każdego b ∈ B istnieje ˜b ∈ B, że ˜b < b. To, wraz z określeniem przekroju Dedekinda, daje sprzeczność z Aksjomatem IV.1 (zasada

ciągłości Dedekinda). 

Twierdzenie 1.2.5. (o istnieniu kresu górnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z góry, to istnieje kres górny zbioru E.

Dowód. Niech A = {a ∈ R : istnieje x ∈ E, że a < x} oraz B = R \ A.

Z określenia zbiorów A i B wynika, że każdy element b ∈ B jest ograniczeniem górnym zbioru E.

Pokażemy najpierw, że para (A, B) jest przekrojem Dedekinda, tzn. spełnia warunki 1), 2), 3) definicji przekroju Dedekinda.

Ad 1). Ponieważ E 6= ∅, więc istnieje x ∈ E. Wówczas x−1 < x, więc x−1 ∈ A i w konsekwencji A 6= ∅. Ponieważ zbiór E jest ograniczony z góry, więc istnieje b ∈ R takie, że x 6 b dla każdego x ∈ E. Zatem b 6∈ A i w konsekwencji b ∈ B, czyli B 6= ∅.

Ad 2). Z określenia zbiorów A i B mamy A ∪ B = A ∪ (R \ A) = R.

Ad 3). Niech a ∈ A, b ∈ B. Z określenia zbioru A wynika, że istnieje x ∈ E, że a < x. Ponieważ b jest ograniczeniem górnym zbioru E, więc x 6 b, zatem a < b.

Reasumując, (A, B) jest przekrojem Dedekinda. W konsekwencji, z lematu 1.2.4 istnieje max A lub istnieje min B. Pokażemy teraz, że nie istnieje max A.

Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje max A. Wówczas max A ∈ A i z określenia zbioru A, istnieje x ∈ E, że max A < x. Na mocy własności 1.1.10 istnieje c ∈ R takie, że max A < c < x. Zatem c ∈ A. To jest niemożliwe, gdyż max A < c.

Pokazaliśmy więc, że nie istnieje max A, a więc istnieje min B.

Pokażemy na koniec, że min B jest kresem górnym zbioru E. Ponieważ min B ∈ B, więc min B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Weźmy dowolne M⁰ < min B. Wówczas M⁰ 6∈ B, więc M⁰ ∈ A. Zatem z określenia zbioru A ist- nieje x ∈ E takie, że M⁰ < x. Pokazaliśmy więc, że min B spełnia warunki 1) i 2)

definicji kresu górnego, czyli sup E = min B. 

Analogicznie jak twierdzenie 1.2.5 dowodzimy

Twierdzenie 1.2.6. (o istnieniu kresu dolnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z dołu, to istnieje kres dolny zbioru E.

Z definicji maksimum i minimum zbioru dostajemy natychmiast Własność 1.2.7. Niech E ⊂ R.

(i) Jeśli zbiór E posiada maksimum, to również posiada kres górny i sup E = max E.

(ii) Jeśli zbiór E posiada minimum, to również posiada kres dolny i inf E = min E.

Definicja . Niech E, F ⊂ R, E 6= ∅, F 6= ∅. Przyjmujemy oznaczania:

−E = {x ∈ R : −x ∈ E},

E + F = {x ∈ R : x = y + z, y ∈ E, z ∈ F }, E · F = {x ∈ R : x = yz, y ∈ E, z ∈ F }.

Dowody następujących dwóch własności pozostawiamy czytelnikowi.

Własność 1.2.8. Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.

(a) Wówczas inf(−E) = − sup E.

(b) Jeśli E ⊂ F , to sup E 6 sup F .

(c) Jeśli dla dowolnego x ∈ E istnieje y ∈ F , że x6 y, to sup E 6 sup F .

1.2. KRESY 15 Własność 1.2.9. Jeśli zbiór E ⊂ R jest niepusty i ograniczony, to:

(a) inf E 6 sup E.

(b) równość inf E = sup E zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy E jest zbiorem jednoelementowym.

Własność 1.2.10. Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry.

(a) Wówczas sup(E + F ) = sup E + sup F .

(b) Jeśli E, F ⊂ R+, to sup(E · F ) = sup E · sup F . (c) Jeśli a ∈ R+, to sup({a} · F ) = a sup F .

Dowód. Z twierdzenia 1.2.5 wynika, że istnieją sup E i sup F .

Ad (a). Niech M = sup E + sup F . Weźmy dowolny x ∈ E + F . Wówczas x = y + z, gdzie y ∈ E, z ∈ F . Ponieważ y 6 sup E i z 6 sup F , więc y + z 6 M . Zatem M jest ograniczeniem górnym zbioru E + F . Weźmy dowolne M⁰ < M . Wówczas M⁰ − sup E < sup F , więc istnieje z ∈ F , że M⁰ − sup E < z, czyli M⁰− z < sup E. Zatem istnieje y ∈ E, że M⁰− z < y. W konsekwencji M⁰< y + z i x = y + z ∈ E + F . Reasumując, sup(E + F ) = M .

Ad (b). Ponieważ E, F ⊂ R+, więc sup E > 0 i sup F > 0. Niech ˜M = sup E · sup F . Wtedy ˜M > 0. Dla dowolnych y ∈ E, z ∈ F mamy 0 < y 6 sup E, 0 < z 6 sup F , więc yz 6 y · sup F 6 ˜M . Zatem ˜M jest ograniczeniem górnym zbioru E · F . Niech ˜M⁰ < ˜M . Ponieważ ˜M⁰/ sup E < sup F , więc istnieje z ∈ F , że ˜M⁰/ sup E < z. Wtedy z > 0 oraz ˜M⁰/z < sup E, więc istnieje y ∈ E, że M˜⁰/z < y, czyli ˜M⁰ < yz i yz ∈ E · F . Reasumując, ˜M = sup E · F .

Ad (c). Dla y ∈ F mamy y 6 sup F , a ponieważ a > 0, więc ay 6 a sup F . Stąd wynika, że a sup F jest ograniczeniem górnym zbioru {a} · F . Niech M⁰ <

a sup F . Wtedy M⁰/a < sup F , więc istnieje y ∈ F , że M⁰/a < y. Zatem ay ∈ {a} · F oraz M⁰ < ay. Reasumując, a · sup F = sup({a} · F ).  ZADANIA

Zadanie 1.2.1. Udowodnić własność 1.2.3, twierdzenie 1.2.6 oraz własności 1.2.8 i 1.2.9.

Zadanie 1.2.2. Dla przedziału (a, b] mamy max(a, b] = sup(a, b] = b, inf(a, b] = a oraz nie istnieje min(a, b].

Zadanie 1.2.3. Jeśli (A, B) jest przekrojem Dedekinda, to sup A = inf B.

Zadanie 1.2.4. Niech E ⊂ R będzie zbiorem niepustym oraz a ∈ R, a < 0.

1. Jeśli zbiór E jest ograniczony z góry, to zbiór a · E jest ograniczony z dołu i inf(a · E) = a sup E.

2. Jeśli zbiór E jest ograniczony z dołu, to zbiór a · E jest ograniczony z góry i sup(a · E) = a inf E.

3. Jeśli zbiór E jest ograniczony, to zbiór F = {|x| : x ∈ E} jest ograniczony i sup F = max{| sup E|, | inf E|}.

Zadanie 1.2.5. Niech E, F ⊂ R będą zbiorami niepustymi.

1. Jeśli zbiory E, F są ograniczone z góry, to sup(E ∪ F ) = max{sup E, sup F }.

2. Jeśli zbiory E, F są ograniczone z dołu, to inf(E ∪ F ) = min{inf E, inf F }.

3.Jeśli E, F ⊂ R+, to inf(E · F ) = inf E · inf F .

1.3 Liczby naturalne

Definicja zbioru liczb naturalnych. Niech N będzie rodziną wszystkich pod- zbiorów X ⊂ R posiadających następujące dwie własaności:

(i) 1 ∈ X,

(ii) jeśli x ∈ X, to x + 1 ∈ X.⁽⁶⁾

Niech N będzie częścią wspólną tej rodziny, tzn.

N =

\

X∈N

X.

Zbiór N nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Elementy zbioru N nazywamy licz- bami naturalnymi.⁽⁷⁾

Uwaga 1.3.1. Rodzina N jest niepusta, gdyż oczywiście R ∈ N. Zbiór N posiada własności (i), (ii), więc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ∈ N.

Twierdzenie 1.3.2. (zasada Archimedesa⁽⁸⁾). Dla każdego x ∈ R istnieje n ∈ N, takie że n > x.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje x ∈ R takie, że nie istnieje n ∈ N spełniające nierówność n > x. Wówczas dla każdego n ∈ N mamy n 6 x, czyli x jest ograniczeniem górnym zbioru N. Stąd, na mocy twierdzenia 1.2.5, istnieje kres górny zbioru N. Oznaczmy ten kres przez M . Ponieważ M − 1 < M , więc

(6)Niech R będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru R takich, że 1 ∈ A. W zbiorze R × R określamy formułę ϕ(x, A) wzorem: x 6∈ A lub x + 1 ∈ A (inaczej x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A). ϕ jest formułą teoriomnogościową (patrz dodatek C), bowiem istnieje działanie +, a więc istnieje funkcja F : R 3 x 7→ x+1 ∈ R i wtedy warunek x+1 ∈ A można zapisać ∃y∈Ry ∈ A ∧ (x, y) ∈ F . Wówczas rodzina N jest zbiorem wszystkich A ∈ R spełniających formułę ∀_x∈Rϕ(x, A).

(7)Wobec przyjętej definicji mamy 0 6∈ N, co pokażemy dalej. W literaturze przyjmuje się również, że N ∪ {0} jest zbiorem liczb naturalnych. Włoski matematyk i logik Giuseppe Pe- ano (1858-1932), zakładając że istnieje zbiór elementów zwanych liczbami naturalnymi (z do- łączonym zerem) i istnieje funkcja następnik przekształcająca zbiór liczb naturalnych w siebie wykazał, że arytmetykę liczb naturalnych można oprzeć na następujących aksjomatach:

(a) zero jest liczbą naturalną,

(b) zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej, (c) liczby o równych następnikach zą równe,

(d) zbiór, który zawiera zero i który wraz z każdą liczbą zawiera jej następnik, zawiera wszystkie liczby naturalne.

(8)Archimedes z Syrakuz (około 287-212 p.n.e.) wybitny grecki fizyk i matematyk.

1.3. LICZBY NATURALNE 17 z definicji kresu górnego, istnieje liczba n₀ ∈ N taka, że M − 1 < n0. Zatem M < n0+1. Ponieważ n₀+1 ∈ N, więc z definicji kresu górnego mamy n0+16 M .

Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 

Z twierdzenia 1.3.2 dostajemy natychmiast następujące dwa wnioski.

Wniosek 1.3.3. Zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony z góry.

Wniosek 1.3.4. Dla dowolnych x, y ∈ R, jeśli y > 0, to istnieje n0 ∈ N takie, że ny > x dla każdego n ∈ R takiego, że n > n0.

Twierdzenie 1.3.5. (zasada indukcji). Jeśli zbiór X ⊂ N spełnia warunki:

(i) 1 ∈ X,

(ii) jeśli x ∈ X, to x + 1 ∈ X, to X = N.

Dowód. Z założenia o zbiorze X mamy, że X ⊂ N oraz X ∈ N. Zatem z definicji zbioru N dostajemy N ⊂ X. W konsekwencji X = N.  Własność 1.3.6. Dla każdego n ∈ N zachodzi n > 1.

Dowód. Niech X = {n ∈ N : n > 1}. Oczywiście X ⊂ N. Pokażemy, że zbiór X spełnia warunki (i), (ii) w twierdzeniu 1.3.5.

(i) Ponieważ 1> 1, więc z definicji zbioru X mamy 1 ∈ X.

(ii) Niech n ∈ X. Wówczas n + 1> 1+1 > 1, więc n+1 > 1, zatem n+1 ∈ X.

Pokazaliśmy, że zbiór X spełnia warunki (i) oraz (ii). Zatem, na mocy twierdzenia

1.3.5, zachodzi X = N. 

Własność 1.3.7. (a) Dla dowolnych m, n ∈ N mamy m + n ∈ N i mn ∈ N.

(b) Dla każdego n ∈ N mamy n = 1 albo n − 1 ∈ N.

(c) Dla każdego n ∈ N nie istnieje m ∈ N, że n < m i m < n + 1.

(d) Dla dowolnych m, n ∈ N, jeśli m < n, to m + 1 6 n.

(e) Dla dowolnych m, n ∈ N, jeśli m < n, to n − m ∈ N.

Dowód. Ad (a). Dla dowolnego m ∈ N, oznaczając X = {n ∈ N : m+n ∈ N}

i stosując twierdzenie 1.3.5, łatwo dostajemy, że X = N. Podobnie, dla dowolnego m ∈ N biorąc X⁰ = {n : mn ∈ N}, dostajemy X⁰ = N. To daje (a).

Ad (b). Niech A = {n ∈ N : n − 1 ∈ N} oraz X⁰⁰ = {1} ∪ A. Oczywiście X⁰⁰⊂ N. Pokażemy, że zbiór X⁰⁰ spełnia warunki (i), (ii) twierdzenia 1.3.5.

(i) 1 ∈ X⁰⁰ – oczywiste.

(ii) Niech n ∈ X⁰⁰. Pokażemy, że n + 1 ∈ X⁰⁰. Istotnie, n ∈ N, więc n + 1 ∈ N oraz (n + 1) − 1 = n ∈ N. Zatem n + 1 ∈ A i w konsekwencji n + 1 ∈ X⁰⁰. Reasumując, X⁰⁰ = N. Ponadto warunki n = 1, n − 1 ∈ N wykluczają się (patrz własność 1.3.6), więc mamy (b).

Ad (c). Niech X⁰⁰⁰ = {n ∈ N : nie istnieje m ∈ N, że n < m i m < n + 1}.

Oczywiście X⁰⁰⁰ ⊂ N.

Zauważmy, że 1 ∈ X⁰⁰⁰. Istotnie, gdyby dla pewnego m ∈ N zachodziło 1 < m i m < 1 + 1, to wobec części (b) mielibyśmy m − 1 ∈ N oraz m − 1 < 1, co przeczy tezie własności 1.3.6. W konsekwencji 1 ∈ X⁰⁰⁰.

Niech n ∈ X⁰⁰⁰. Pokażemy, że n + 1 ∈ X⁰⁰⁰. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje m ∈ N takie, że n + 1 < m i m < (n + 1) + 1. Wówczas m > 1 + 1 > 1, więc m 6= 1 i z części (b) mamy m − 1 ∈ N. Stąd mamy n < m − 1, m − 1 < n + 1 i m − 1 ∈ N, co przeczy temu, że n ∈ X⁰⁰⁰. Zatem n + 1 ∈ X⁰⁰⁰. Stosując teraz zasadę indukcji dostajemy X⁰⁰⁰= N.

Ad (d). Część (d) wynika natychmiast z części (c).

Ad (e). Niech X^IV = {m ∈ N : dla każdego n ∈ N takiego, że n > m mamy n − m ∈ N}. Oczywiście X^IV ⊂ N. Z części (b) dostajemy 1 ∈ X^IV. Załóżmy, że m ∈ X^IV. Weźmy dowolny n ∈ N takie, że n > m + 1. Wówczas n 6= 1, zatem n − 1 ∈ N oraz n − 1 > m, więc n − (m + 1) = (n − 1) − m ∈ N. Stąd i z dowolności n > m + 1 mamy m + 1 ∈ X^IV. Stosując teraz zasadę indukcji

dostajemy X^IV = N. 

Udowodnimy, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy. Zacznijmy od definicji i dwóch lematów.

Definicja . Dla dowolnego n ∈ N określamy Fn= {k ∈ N : k 6 n}.

Piszemy również Fn= {1, ..., n} oraz k = 1, ..., n zamiast k ∈ Fn. Lemat 1.3.8. Dla dowolnego n ∈ N mamy,

Fn= {k ∈ N : k < n + 1}, (1.1)

Fn+1= Fn∪ {n + 1}.

(1.2)

Dowód. Oznaczmy F⁰n= {k ∈ N : k < n + 1}. Oczywiście Fn ⊂ F⁰n. Pokaże- my, że F⁰n ⊂ Fn. Weźmy dowolny k ∈ F⁰n. Wówczas k < n + 1, więc z własności 1.3.7(c) mamy k 6 n. Stąd wynika, że k ∈ Fn i w konsekwencji, że F⁰n ⊂ Fn. Reasumując, Fn= F⁰n, co daje (1.1).

W myśl (1.1) dla n ∈ N mamy,

Fn+1= {k ∈ N : k 6 n + 1} = {k ∈ N : k < n + 1} ∪ {n + 1} = Fn∪ {n + 1},

co daje (1.2) i kończy dowód. 

Twierdzenie 1.3.9. (zasada minimum). Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy.

Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje niepusty zbiór A ⊂ N, który nie ma elementu najmniejszego. Połóżmy X = {n ∈ N : Fn∩ A = ∅}. Pokażemy, że X = N. Istotnie, X ⊂ N oraz:

1.3. LICZBY NATURALNE 19 (i) 1 ∈ X, gdyż w przeciwnym razie {1} = F1∩A i wobec własności 1.3.6 liczba 1 byłaby elementem najmniejszym zbioru A, co jest sprzeczne z przypuszczeniem.

(ii) Niech n ∈ X. Pokażemy, że n + 1 ∈ X. Przypuśćmy, że n + 1 6∈ X, czyli Fn+1∩ A 6= ∅. Ponieważ n ∈ X, więc Fn∩ A = ∅, zatem, wobec lematu 1.3.8(1.2) mamy n + 1 ∈ A. Ponadto z własności 1.3.7(d) dla każdego k ∈ A mamy k> n + 1. W konsekwencji n + 1 jest elementem najmniejszym zbioru A, wbrew przypuszczeniu. Reasumując, n + 1 ∈ X.

Z (i), (ii) oraz zasady indukcji (twierdzenie 1.3.5) dostajemy X = N. Oczywiście dla każdego n ∈ N mamy n ∈ Fn, więc z określenia zbioru X dostajemy A = ∅.

Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 

Twierdzenie 1.3.10. (zasada indukcji o innym początku). Niech n0 ∈ N oraz

Nn0 = {n ∈ N : n > n0}.

Jeśli zbiór X ⊂ Nn0 spełnia warunki:

(i) n₀ ∈ X,

(ii) jeśli n ∈ X, to n + 1 ∈ X, to X = Nn0.

Dowód. Niech X będzie zbiorem spełniającym (i) i (ii) oraz A = Nn0 \ X.

Pokażemy, że A = ∅. Istotnie, przypuśćmy przeciwnie, że A 6= ∅. Wówczas z zasady minimum (twierdzenie 1.3.9), w zbiorze A istnieje element najmniejszy.

Oznaczmy go przez m₀. Wówczas, z określenia zbioru Nn0, mamy m₀ > n0 oraz m0 ∈ A. Ponieważ z (i), n₀ ∈ X, więc n₀ 6∈ A, zatem m₀ > n0 i m₀ 6= 1. Stąd mamy m₀− 1 ∈ X (patrz własności 1.3.7 (b) i (d)). To jest jednak niemożliwe,

gdyż wtedy z (ii) mamy m₀= (m₀− 1) + 1 ∈ X. 

Analogicznie jak twierdzenie 1.3.10 dowodzimy następujące

Twierdzenie 1.3.11. (zasada indukcji skończonej). Niech n0, m0 ∈ N, n0 6 m0 oraz niech

Nn0,m0 = {n ∈ N : n06 n 6 m0}.

Jeśli zbiór X ⊂ Nn0,m0 spełnia warunki:

(i) n₀ ∈ X,

(ii) dla każdego n < m₀, jeśli n ∈ X, to n + 1 ∈ X, to X = Nn0,m0.

Definicje liczb parzystych i liczb nieparzystych. Mówimy, że liczba natu- ralna n jest parzysta, gdy istnieje k ∈ N, że n = 2k; w przeciwnym przypadku mówimy, że n jest liczbą nieparzystą. Zbiór liczb parzystych oznaczamy 2N. Zbiór liczb nieparzystych oznaczamy 2N − 1.

ZADANIA

Zadanie 1.3.1. Udowodnić wniosek 1.3.4 i twierdzenie 1.3.11.

Zadanie 1.3.2. (zasada indukcji). Niech X ⊂ N. Jeśli X spełnia warunki:

(i) 1 ∈ X,

(ii) jeśli Fⁿ⊂ X, to n + 1 ∈ X, to X = N.

Zadanie 1.3.3. Dla każdego ε ∈ R takiego, że ε > 0, istnieje n⁰∈ N, że dla każdej liczby naturalnej n> n⁰ zachodzi 1/n < ε.

Zadanie 1.3.4. Wykazać, że 2N = {2n : n ∈ N} oraz 2N − 1 = {2n − 1 : n ∈ N}.

Zadanie 1.3.5. Jeśli n, m ∈ N oraz nm ∈ 2N, to n ∈ 2N lub m ∈ 2N.

1.4 Liczby całkowite i liczby wymierne

Definicja liczby całkowitej. Każdą liczbę rzeczywistą, która jest różnicą dwóch liczb naturalnych, nazywamy liczbą całkowitą. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem Z.

Wprost z definicji dostajemy następujące dwie własności.

Własność 1.4.1. N ⊂ Z.

Własność 1.4.2. (a) Jeśli a ∈ Z, to a ∈ N albo −a ∈ N albo a = 0.

(b) Z ∩ R+= N, Z ∩ R−= −N.

(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z mamy a + b ∈ Z, ab ∈ Z, a − b ∈ Z.

(d) Dla dowolnego a ∈ Z mamy −a ∈ Z.

(e) 1/2 6∈ Z.

Z własności 1.3.7 dostajemy

Własność 1.4.3. (a) Dla każdego a ∈ Z nie istnieje b ∈ Z, że a < b i b < a + 1.

(b) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to a + 1 6 b.

(c) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to b − a ∈ N.

Twierdzenie 1.4.4. (zasada minimum dla liczb całkowitych). Każdy nie- pusty i ograniczony z dołu podzbiór zbioru liczb całkowitych ma element najmniej- szy.

Dowód. Niech A ⊂ Z, A 6= ∅ będzie zbiorem ograniczonym z dołu i niech M ∈ R będzie jego dowolnym ograniczeniem dolnym. Na mocy zasady Archi- medesa (twierdzenie 1.3.2) istnieje liczba n₀ ∈ N taka, że n0 > −M . Wówczas

1.4. LICZBY CAŁKOWITE I LICZBY WYMIERNE 21 {n₀} + A ⊂ N. Istotnie, dla a ∈ A mamy n0+ a ∈ Z oraz n0+ a > −M + a> 0, więc z własności 1.4.2(a) mamy n₀+a ∈ N. W konsekwencji {n0}+A ⊂ N. Zatem z twierdzenia 1.3.9 zbiór {n₀} + A ma element najmniejszy. Oznaczmy go x₀.

Pokażemy, że x₀ − n₀ jest elementem najmniejszym zbioru A. Istotnie, n0+ (x₀− n₀) = x₀ ∈ {n₀} + A, więc x₀− n₀ ∈ A. Ponadto dla każdego a ∈ A mamy n₀+ a> x0, a więc a> x0− n₀.  Analogicznie jak twierdzenie 1.3.10 (stosując twierdzenie 1.4.4 zamiast 1.3.9), dostajemy następującą wersję zasady indukcji.

Twierdzenie 1.4.5. (zasada indukcji). Niech a0∈ Z oraz Za0 = {a ∈ Z : a > a0}.

Jeśli zbiór X ⊂ Za0 spełnia warunki:

(i) a₀ ∈ X,

(ii) jeśli a ∈ X, to a + 1 ∈ X, to X = Za0.

Z twierdzenia 1.4.4 dostajemy następujący

Wniosek 1.4.6. Każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb całkowitych ma element największy.

Dowód. Niech A ⊂ Z będzie zbiorem ograniczonym z góry. Wówczas zbiór

−A jest ograniczony z dołu, więc z twierdzenia 1.4.4, istnieje min(−A). Oznacza- jąc a = min(−A) i stosując definicje minimum i maksimum zbioru, dostajemy

−a = max A. 

Definicja całości z liczby. Niech x ∈ R. Całością lub entier z liczby x nazywa- my max{a ∈ Z : a 6 x} i oznaczamy [x].

Uwaga 1.4.7. Całość [x] jest poprawnie określona. Istotnie, A = {a ∈ Z : a 6 x}

jest zbiorem ograniczonym z góry i niepustym, bowiem dla liczby −x, z zasady Archimedesa istnieje n₀ ∈ N, że n0 > −x. Zatem −n0 < x, więc −n0 ∈ A.

Stosując teraz wniosek 1.4.6 dostajemy istnienie i jedyność liczby [x].

Z definicji całości z liczby dostajemy natychmiast

Własność 1.4.8. Dla każdego x ∈ R mamy [x] ∈ Z oraz [x] 6 x < [x] + 1. W szczególności 06 x − [x] < 1.

Definicja liczby wymiernej. Mówimy, że liczba x ∈ R jest wymierna, gdy istnieją a, b ∈ Z, b 6= 0, takie że x = a/b. Liczbę a nazywamy licznikiem, zaś liczbę b mianownikiem liczby wymiernej x. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.

Definicja liczby niewymiernej. Zbiór R \ Q nazywamy zbiorem liczb niewy- miernych. Każdą liczbę x ∈ R \ Q nazywamy niewymierną.

Łatwo sprawdzić, że zachodzą następujące własności:

Własność 1.4.9. (a) Z ⊂ Q.

(b) Dla dowolnego r ∈ Q zachodzi −r ∈ Q oraz 1/r ∈ Q, gdy r 6= 0.

(c) Jeśli r, w ∈ Q, to r + w ∈ Q, r − w ∈ Q, rw ∈ Q oraz r/w ∈ Q, gdy w 6= 0.

(d) Dla każdej liczby r ∈ Q istnieją a ∈ Z oraz b ∈ N, że r = a/b.

Udowodnimy teraz twierdzenie o ”gęstości” zbioru Q w R.

Twierdzenie 1.4.10. Dla każdych x, y ∈ R takich, że x < y istnieje liczba r ∈ Q, że x < r < y.

Dowód. Na mocy zasady Archimedesa istnieje n ∈ N, że n > 1/(y − x). W szczególności 1/n < y − x. Niech a = [nx] ∈ Z. Pokażemy, że liczba r = (a + 1)/n spełnia tezę twierdzenia. Z własności 1.4.8 mamy nx < a + 1, więc x < (a + 1)/n, czyli x < r. Z drugiej strony

a + 1

n = a + 1 − nx

n + x = 1 − (nx − [nx])

n + x6 1

n+ x < (y − x) + x = y,

czyli r < y. Reasumując, x < r < y. 

ZADANIA

Zadanie 1.4.1. Udowodnić własności 1.4.1, 1.4.2, 1.4.8, 1.4.9 i twierdzenie 1.4.5.

Zadanie 1.4.2. Niech a0 ∈ Z oraz Za₀ = {a ∈ Z : a > a⁰}. Jeśli zbiór X ⊂ Za₀ spełnia warunki:

(i) a0∈ X,

(ii) jeśli a ∈ Za0 i {k ∈ Z : a06 k 6 a} ⊂ X, to a + 1 ∈ X, to X = Za0.

Zadanie 1.4.3. Dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi [2x] = [x] + [x + 1/2].

Zadanie 1.4.4. Mówimy, że liczba całkowita m 6= 0 dzieli liczbę całkowitą a i piszemy m|a, gdy istnieje taka liczba całkowita n, że a = mn. Niech a, b, c ∈ Z.

1. Jeśli c|a i c|b, to c|(a + b).

2. Jeśli c|a i a|b, to c|b.

3. Jeśli b 6= 0 i a|b, to |a|6 |b|.

4. Jeśli a|b i b|a, to a = b lub a = −b.

Zadanie 1.4.5. (o dzieleniu z resztą). Niech a, b ∈ Z i niech b 6= 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb q, r ∈ Z taka, że a = bq + r i 0 6 r < |b|. Przy czym b|a wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0.

Wsk. Rozważyć q = [a/b].

1.5. INFORMACJE O DEFINIOWANIU PRZEZ INDUKCJĘ 23

Zadanie 1.4.6. Dla każdych n ∈ N, x ∈ (0, 1) istnieje k ∈ N, że n · n/(n + 1) 6 kx < n.

Zadanie 1.4.7. Zachodzi równość {(4n − 3k)/(2n + 5k) : n, k ∈ N} = (−³5, 2) ∩ Q.

Zadanie 1.4.8. Niech x ∈ R. Udowodnić, że jeśli dla każdego n ∈ N istnieją q, r ∈ N oraz p ∈ Z, że q, r > n oraz 0 < |x −^pq| < _qr¹, to x jest liczbą niewymierną.

Zadanie 1.4.9.* Udowodnić, że jeśli x ∈ R jest liczbą niewymierną, to dla każdego n ∈ N istnieją p ∈ Z, q ∈ N takie, że q > n oraz |x −^pq| < _q·q¹ .

1.5 Informacje o definiowaniu przez indukcję

Niech n ∈ N oraz, zgodnie z wcześniejszym oznaczeniem, Fn= {k ∈ N : k 6 n}.

Definicja określania funkcji przez indukcję skończoną. Niech X będzie niepustym zbiorem, n ∈ N, n > 1, x ∈ X oraz f : X × Fn−1 → X. Funkcję ϕ : Fn→ X spełniającą warunki

(i) ϕ(1) = x,

(ii) ϕ(k + 1) = f (ϕ(k), k) dla każdego k ∈ Fn−1 ,

nazywamy określoną przez x i f przy pomocy indukcji skończonej.

Twierdzenie 1.5.1. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X i f : X ×Fn−1→ X, gdzie n ∈ N, n > 1, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ : Fn → X określona przez x i f przy pomocy indukcji skończonej.⁽⁹⁾

Definicja określania funkcji przez indukcję. Niech X będzie niepustym zbio- rem, x ∈ X oraz f : X × N → X. Funkcję ϕ : N → X spełniającą warunki

(j) ϕ(1) = x,

(jj) ϕ(n + 1) = f (ϕ(n), n) dla każdego n ∈ N, nazywamy określoną indukcyjnie przez x i f .

(9)Dowód twierdzenia 1.5.1. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (i), (ii), to zbiór A = {k ∈ Fn: ϕ(k) 6= ψ(k)} jest niepusty. Zatem istnieje s = min A. Wówczas s > 1, bo z (i) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy s − 1 ∈ Fn−1, a ponieważ s − 1 6∈ A, to ϕ(s − 1) = ψ(s − 1). Zatem z (ii) otrzymujemy

ϕ(s) = f (ϕ(s − 1), s − 1) = f (ψ(s − 1), s − 1) = ψ(s), co, wraz z faktem s ∈ A, prowadzi do sprzeczności.

Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Niech N będzie zbiorem tych m ∈ Fn, że istnieje funkcja ϕm: F^m→ X spełniająca warunki

(i⁰) ϕm(1) = x,

(ii⁰) ϕm(k + 1) = f (ϕm(k), k) dla każdego k ∈ F^m−1(przyjmujemy tutaj F⁰= ∅).

Z (i⁰) oraz (ii⁰) mamy 1 ∈ N . Niech teraz m ∈ N , m < n. Wówczas istnieje funkcja ϕm: Fm→ X spełniająca (i⁰), (ii⁰). Biorąc ϕm+1 : F^m+1 → X określoną wzorami ϕm+1(n) = ϕm(n) dla n ∈ Fm oraz ϕm+1(m + 1) = f (ϕm(m), m) dostajemy, że ϕm+1spełnia (i⁰), (ii⁰) dla m + 1. W konsekwencji m + 1 ∈ N . Reasumując, z zasady indukcji skończonej mamy N = Fn. Przyjmując

teraz ϕ = ϕndostajemy tezę. 

Twierdzenie 1.5.2. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X ×N → X, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ określona indukcyjnie przez x i f .⁽¹⁰⁾

Jako przykład definiowania przez indukcję podamy następującą definicję.

Definicja silni. Niech X = N, x = 1 oraz f : N × N → N będzie określona wzorem

f (a, n) = a · (n + 1) dla n ∈ N

Wtedy funkcję ϕ : N → N określoną indukcyjnie przez x i f nazywamy funkcją silnia i dla n ∈ N piszemy ϕ(n) = n!. Liczbę n! nazywamy n-silnia. Dodatkowo przyjmujemy 0! = 1.

Uwaga 1.5.3. W literaturze dla n ∈ N, liczbę n-silnia określa się również nastę- pująco:

n! = 1, gdy n = 1 oraz (n + 1)! = n!(n + 1) dla n ∈ N.

W świetle twierdzenia 1.5.2, jest to definicja równoważna powyższej. Ponadto dla każdego n ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba n! oraz n! ∈ N.

Definicja symbolu Newtona. Symbolami Newtona nazywamy liczby m

n

!

= m!

n!(m − n)! gdzie n, m ∈ Z, 06 n 6 m.

ZADANIA

Zadanie 1.5.1. Dla dowolnych n, m ∈ N, n 6 m zachodzi ^mn
∈ N.

Zadanie 1.5.2. Jeśli n, k ∈ N i k 6 n, to ⁿ⁺¹k
= ⁿ_k
+ _k−1ⁿ
.

(10)Dowód twierdzenia 1.5.2. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (j), (jj), to zbiór A = {n ∈ N : ϕ(n) 6= ψ(n)} jest niepusty. Zatem istnieje k = min A. Ponadto k > 1, bo z (j) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy k − 1 /∈ A oraz ϕ(k − 1) = ψ(k − 1). Zatem z (jj) mamy ϕ(k) = ψ(k), co jest niemożliwe, bo k ∈ A.

Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Na mocy twierdzenia 1.5.1 dla każdego n ∈ N, zbiór funkcji określonych indukcyjnie przez x i f |X×Fn jest niepusty (dla n = 1 kładziemy ϕ : F¹ → X, wzorem ϕ(1) = x). Zatem, stosując aksjomat wyboru, istnieje zbiór funkcji ϕn: Fn→ X, n ∈ N, spełniających warunki (i), (ii) definicji określania funkcji przez indukcję skończoną. Ponadto dla każdego n ∈ N mamy ϕn+1|_Fn = ϕn. Określmy funkcję ϕ : N → X wzorem ϕ(n) = ϕn(n), n ∈ N. Funkcja ϕ spełnia warunki (j), (jj). Istotnie, mamy ϕ(1) = ϕ1(1) = x, czyli zachodzi (j).

Weźmy n ∈ N. Wtedy ϕ(n) = ϕn+1(n), ϕ(n + 1) = ϕn+1(n + 1), zatem z (ii) mamy ϕ(n + 1) = ϕn+1(n + 1) = f (ϕn+1(n), n) = f (ϕ(n), n).

Zatem ϕ spełnia warunek (jj). To kończy dowód.