Szeregi liczbowe
Wniosek 5.10.5. Różnica dwóch funkcji rosnących w przedziale [a, b] jest funkcją o wahaniu skończonym w tym przedziale
n
X
i=1
|g(xi) − g(xi−1)||f (xi−1| 6 M(Wab(f ) + Wab(g)),
więc Wab(f g)6 M (Wab(f ) + Wab(g)) < +∞. To kończy dowód. Przejdźmy teraz do pokazania związków funkcji monotonicznych z funkcjami o wahaniu skończonym.
Własność 5.10.4. Jeśli funkcja f : X → R, X ⊂ R jest monotoniczna w prze-dziale [a, b] ⊂ X, to Wab(f ) = |f (b) − f (a)|, w szczególności funkcje monotoniczne w przedziale domkniętym mają w tym przedziale wahanie skończone.
Dowód. Wtedy bowiem dla każdego ciągu a = x0 < x1 < . . . < xn = b mamyPni=1|f (xi) − f (xi−1| = |Pni=1[f (xi) − f (xi−1)]| = |f (b) − f (a)|.
Z twierdzenia 5.10.3 i własności 5.10.4 dostajemy natychmiast
Wniosek 5.10.5. Różnica dwóch funkcji rosnących w przedziale [a, b] jest funkcją o wahaniu skończonym w tym przedziale.
Zachodzi również twierdzenie odwrotne do powyższego wniosku.
Twierdzenie 5.10.6. (Jordan(31)). Jeśli funkcja f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b] wahanie skończone, to istnieją funkcje rosnące g, h : [a, b] → R takie, że f = g − h.
(31)Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922) – matematyk francuski.
5.10. FUNKCJE O WAHANIU SKOŃCZONYM 189 Dowód. Niech v : [a, b] → R będzie funkcją określoną wzorami v(a) = 0 oraz v(x) = Wax(f ) dla x ∈ (a, b]. Z założenia, że Wab(f ) < +∞, z określenia funkcji v i własności 5.10.2 dostajemy
06 v(x) 6 Wab(f ) dla x ∈ [a, b].
Zauważmy, że
(5.22) |f (y) − f (x)| 6 v(y) − v(x) dla każdych x, y ∈ [a, b] takich, że x < y.
Istotnie, weźmy dowolne x, y ∈ [a, b] takie, że x < y. Jeśli x = a, to (5.22) wynika z definicji v(y). Jeśli x > a, to dla każdego ciągu a = x0 < ... < xn= x, mamy
n
X
i=1
|f (xi) − f (xi−1)| + |f (y) − f (x)|6 v(y),
więc z definicji wahania funkcji, v(x) + |f (y) − f (x)|6 v(y). To daje (5.22).
Połóżmy
g(x) = [v(x) + f (x)]
2 oraz h(x) = [v(x) − f (x)]
2 dla x ∈ [a, b].
Wówczas dla każdych x, y ∈ [a, b] takich, że x < y, z (5.22) dostajemy g(y) − g(x) = v(y) − v(x) − f (x) + f (y)
2 > v(y) − v(x) − |f (y) − f (x)|
2 > 0,
h(y) − h(x) = v(y) − v(x) + f (x) − f (y)
2 > v(y) − v(x) − |f (y) − f (x)|
2 > 0.
To daje, że funkcje g i h są rosnące. Ponadto f = g − h, co kończy dowód. Rozważmy teraz funkcje ciągłe o wahaniu skończonym.
Własność 5.10.7. Jeśli funkcja ciągła f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b]
wahanie skończone, to funkcja v : [a, b] → R określona wzorami v(a) = 0 oraz v(x) = Wax(f ) dla x ∈ (a, b], jest ciągła.
Dowód. Wystarczy udowodnić, że lim
y→x+ v(y) = v(x) dla x ∈ [a, b) oraz lim
y→x−v(y) = v(x) dla x ∈ (a, b].
Weźmy dowolne x ∈ (a, b] oraz ε > 0. Z definicji wahania funkcji, istnieje ciąg a = x0 < . . . < xn = x taki, że v(x) < Pni=1|f (xi) − f (xi−1)| + ε/2. W myśl ciągłości funkcji f , istnieje δ > 0, δ < xn− xn−1, że dla każdego y ∈ [a, b],
takiego, że |x − y| < δ, zachodzi |f (x) − f (y)| < ε/2. Niech y ∈ [a, b] będzie taki, że |x − y| < δ i y < x. Wówczas
v(x) <
n−1
X
i=1
|f (xi) − f (xi−1)| + |f (y) − f (xn−1)| + |f (xn) − f (y)| + ε 2
<
n−1
X
i=1
|f (xi) − f (xi−1)| + |f (y) − f (xn−1| + ε 6 v(y) + ε.
Wobec własności 5.10.2, v(y) 6 v(x), więc |v(y) − v(x)| = v(x) − v(y) < ε. To daje, że lim
y→x−v(y) = v(x).
Postępując analogicznie jak wyżej, weźmy dowolne x ∈ [a, b) oraz ε > 0 i niech ciąg x = x0 < . . . < xn= b będzie taki, że Wxb(f ) <Pni=1|f (xi) − f (xi−1)| + ε/2.
Wówczas istnieje δ > 0, δ < x1−x0, że dla każdego y ∈ [a, b], |x −y| < δ, zachodzi
|f (x) − f (y)| < ε/2. Niech y ∈ [a, b] będzie taki, że |x − y| < δ i y > x. Wówczas
Wxb(f ) < |f (y) − f (x0)| + |f (x1) − f (y)| +
n
X
i=2
|f (xi) − f (xi−1)| +ε
2 6 ε + Wyb(f ).
Wobec własności 5.10.2, mamy v(t) = Wab(f ) − Wtb(f ) dla t ∈ [a, b), więc z powyższego |v(y) − v(x)| = v(y) − v(x) = Wxb(f ) − Wyb(f ) < ε. To daje, że
lim
y→x+ v(y) = v(x) i wraz z poprzednim kończy dowód. Powtarzając dowód twierdzenia Jordana 5.10.6, z własności 5.10.7, dostajemy Wniosek 5.10.8. Jeśli funkcja ciągła f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b] waha-nie skończone, to istwaha-nieją funkcje rosnące i ciągłe g, h : [a, b] → R, że f = g − h.
ZADANIA
Zadanie 5.10.1. Funkcja f : [0, 1] → R określona wzorami f (0) = 0 oraz f (x) = x2cosxπ2 dla x ∈ (0, 1] jest ciągła, lecz jej wahanie nie jest skończone.
Zadanie 5.10.2. Jeśli funkcja f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b] wahanie skończone, to w każdym punkcie przedziału [a, b] ma skończone granice jednostronne (w punkcie a tylko granicę prawostronną, a w punkcie b – lewostronną).
Zadanie 5.10.3. Jeśli funkcja f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b] wahanie skończone, to ma co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości.
Zadanie 5.10.4. Niech f : [a, b] → R będzie funkcją mającą w przedziale [a, b] wahanie skończone. Jeśli istnieje c > 0 takie, że |f (x)|> c dla x ∈ [a, b], to funkcja 1/f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b] wahanie skończone.
5.11. FUNKCJE PÓŁCIĄGŁE 191 Zadanie 5.10.5. W analizie rozważa się również pojęcie funkcji bezwzględnie ciągłej.
Definicja funkcji bezwzględnie ciągłej. Mówimy, że funkcja f : X → R, X ⊂ R, jest bezwzględnie ciągła w przedziale [a, b] ⊂ X, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla każdego ciągu skończonego przedziałów (α1, β1), . . . , (αk, βk) ⊂ [a, b] parami rozłącznych i takich, żePk
i=1(βi− αi) < δ, zachodziPk
i=1|f (βi) − f (αi)| < ε.
Udowodnić, że:
1. Funkcja bezwzględnie ciągła w przedziale [a, b] jest ciągła w tym przedziale.
2. Suma, różnica i iloczyn funkcji bezwzględnie ciągłych w przedziale [a, b] są funkcja-mi bezwzględnie ciągłyfunkcja-mi w tym przedziale.
3. Jeśli funkcja f : [a, b] → R spełnia warunek Lipschitza w przedziale [a, b] to f jest funkcją bezwzględnie ciągłą w tym przedziale.
4.* Funkcja f : [a, b] → R bezwzględnie ciągła w przedziale [a, b] jest funkcją o waha-niu skończonym w tym przedziale. Ponadto funkcja f jest różnicą dwóch funkcji rosnących i bezwzględnie ciągłych.
5.11 Funkcje półciągłe
Definicje granicy górnej i granicy dolnej funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbio-ru X.
Granicą dolną funkcji f w punkcie x0 nazywamy
sup{inf{f (x) : x ∈ X ∧ 0 < |x − x0| < δ} : δ > 0} i oznaczamy lim inf
x→x0
f (x).
Granicą górną funkcji f w punkcie x0 nazywamy
inf{sup{f (x) : x ∈ X ∧ 0 < |x − x0| < δ} : δ > 0}, i oznaczamy lim sup
x→x0
f (x).
Definicje funkcji półciągłej z dołu i funkcji półciągłej z góry. Niech f : X → R, X ⊂ R.
Mówimy, że funkcja f jest półciągła z dołu w punkcie x0 ∈ X, gdy x0 jest punktem izolowanym zbioru X lub x0 jest punktem skupienia zbioru X oraz lim inf
x→x0 f (x) > f (x0). Mówimy, że funkcja f jest półciągła z dołu, gdy f jest półciągła z dołu w każdym punkcie x ∈ X.
Mówimy, że funkcja f jest półciągła z góry w punkcie x0 ∈ X, gdy x0 jest punktem izolowanym zbioru X lub x0 jest punktem skupienia zbioru X oraz lim sup
x→x0
f (x) 6 f (x0). Mówimy, że funkcja f jest półciągła z góry, gdy f jest półciągła z góry w każdym punkcie x ∈ X.
Podstwowe własności granicy dolnej i górnej oraz półciągłości z dołu i z góry podajemy w zadaniach. Własności te wynikają z definicji oraz własności kresów.
ZADANIA
Zadanie 5.11.1. Niech f : X → R, X ⊂ R oraz x0∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Wówczas istnieją granice lim inf
x→x0 f (x) oraz lim sup
x→x0
f (x).
Zadanie 5.11.2. Niech f : X → R, X ⊂ R oraz x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Wówczas funkcja f ma granicę g ∈ R w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy g =lim inf
x→x0
f (x) =lim sup
x→x0
f (x).
Zadanie 5.11.3. Niech f : X → R, X ⊂ R oraz x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Niech E będzie zbiorem wszystkich elementów q ∈ R takich, że dla pewnego ciągu (xn)∞n=1⊂ X \ {x0} takiego, że lim
n→∞xn = x0, zachodzi q = lim
n→∞f (xn). Wówczas lim inf
x→x0 f (x) = inf E oraz lim sup
x→x0
f (x) = sup E.
Zadanie 5.11.4. Niech f : X → R, X ⊂ R. Wówczas funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy w punkcie x0 jest półciągła z dołu i z góry.
Zadanie 5.11.5. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R.
(a) Funkcja f jest półciągła z dołu w punkcie x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A < f (x0) istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x ∈ X, |x − x0| < δ zachodzi A < f (x).
(b) Funkcja f jest półciągła z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A ∈ R zbiór {x ∈ X : f (x) > A} jest otwarty w X.
Zadanie 5.11.6. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R.
(a) Funkcja f jest półciągła z góry w punkcie x0wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego B > f (x0) istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x ∈ X, |x − x0| < δ zachodzi B > f (x).
(b) Funkcja f jest półciągła z góry wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego B ∈ R zbiór {x ∈ X : f (x) < B} jest otwarty w X.
Zadanie 5.11.7. (Weierstrass). Funkcja półciągła z dołu na zbiorze zwartym przyjmuje najmniejszą wartość. Funkcja półciągła z góry na zbiorze zwartym przyjmuje największą wartość.
Rozdział 6
Różniczkowalność
Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji f w punkcie x0 jest pojęcie pochod-nej funkcji w punkcie (patrz punkt 6.1). Jedną z głównych konsekwencji istnienia pochodnej funkcji w danym punkcie jest istnienie tak zwanej stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie, czyli funkcji liniowej ”najlepiej aproksymującej” warto-ści funkcji w otoczeniu tego punktu. Fundamentalną obserwacją w analizie jest twierdzenie Fermata (patrz twierdzenie 6.3.2). Mówi ono, że styczna do wykresu funkcji w punkcie, w którym funkcja ma pochodną i ekstremum, jest ”równoległa do dziedziny funkcji”. W rozdziale tym rozważamy również pochodną funkcji, czyli funkcję która punktom przypisuje wartości pochodnych w tych punktach.
Pokażemy, że wiele własności funkcji można odczytać z własności jej pochodnej.
6.1 Pochodna funkcji w punkcie
Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R i niech x0 ∈ X będzie punktem skupienia zbioru X.
Liczbę rzeczywistą oznaczaną symbolem f0(x0), określoną wzorem
(6.1) f0(x0) = lim
x→x0
f (x) − f (x0) x − x0
nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0, jeśli granica w (6.1) istnieje i jest skończona. Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie x0, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0.
Funkcję ϕ : X \ {x0} → R, określoną wzorem ϕ(x) = f (x) − f (x0)
x − x0 , x ∈ X \ {x0}, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 (1). Uwaga 6.1.1. Niech f : X → R oraz x0 ∈ X.
(a) Jeśli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0 ∈ X, to x0jest punktem sku-pienia zbioru X. W szczególności, jeśli X jest zbiorem skończonym, to pochodna funkcji nie istnieje w żadnym punkcie zbioru X.
(b) Pochodna funkcji w punkcie x0 może nie istnieć nawet wtedy, gdy x0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji. Na przykład funkcja f (x) = |x|, x ∈ R, nie ma pochodnej w punkcie x0= 0.
(1)W szczególności funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, gdy istnieje skończona granica ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x0.
193
Uwaga 6.1.2. Jeśli X = [a, b], to pochodną funkcji f : X → R w punkcie a