Linearyzacja zale¿noœci miêdzy wielkoœciami fizycznymi

po-ruszyæ problem linearyzacji zale¿noœci miêdzy wielkoœciami fizycznymi, czyli ta-kiego doboru skal na osiach wykresu lub wielkoœci nanoszonych na wykres, który pozwoli otrzymaæ zale¿noœæ liniow¹.

Tekst tego podrozdzia³u nale¿y traktowaæ jako poradnik, który mo¿e byæ przydatny przy rozwi¹zywaniu konkretnych problemów.

Przyk³ad 27

Zale¿noœæ oporu pó³przewodnika od temperatury jest opisana równaniem

a)

    − = T k E R R B o ∆ exp _.

Jest to zale¿noœæ wyk³adnicza. Po zlogarytmowaniu jej obustronnie otrzymamy

T k E R R B ∆ − =ln ₀ ) ln( _.

Je¿eli sporz¹dzimy wykres, na którym na osi OY od³o¿ymy ln (R), natomiast na osi OX od³o¿ymy 1/T, to wykres ten bêdzie prost¹, której wspó³czynnik kierunko-wy jest równy –∆E/k_B. Wyznaczenie wartoœci tego wspó³czynnika umo¿liwia obli-czenie energii aktywacji noœników ³adunków ∆E.

W przyrodzie i technice bardzo czêsto obserwujemy zale¿noœci wyk³adnicze. Oto kilka przyk³adów:

– zale¿noœæ liczby rozpadów j¹der promieniotwórczych od czasu,

– zale¿noœæ natê¿enia promieniowania (natê¿enie œwiat³a lub fali sprê¿ystej) od gruboœci absorbenta,

– zale¿noœæ prêdkoœci od czasu dla cia³ poruszaj¹cych siê w oœrodku lepkim, przy za³o¿eniu, ¿e na cia³o dzia³a si³a oporu oœrodku proporcjonalna do prêdkoœci, – zale¿noœæ amplitudy drgañ t³umionych od czasu,

– zale¿noœæ temperatury cia³a stygn¹cego od czasu,

– zale¿noœæ natê¿enia pr¹du od czasu przy roz³adowaniu kondensatora, – prawa Moore’a opisuj¹ce rozwój technologii mikroelektronicznej [15].

Mo¿na postawiæ retoryczne pytanie: Coœ chyba ³¹czy te zale¿noœci?!

Sporz¹dzaj¹c wykresy w skali pó³logarytmicznej (na osi y nanosimy wartoœci logarytmu z badanej wielkoœci), mo¿emy wyznaczyæ wartoœci parametrów charak-teryzuj¹cych wymienione zjawiska, np.: okres po³owicznego rozpadu, gruboœæ po-ch³aniania po³ówkowego lub wspó³czynnik absorbcji, czas relaksacji lub logarytmicz-ny dekrement t³umienia. Do rysowania tego typu wykresów przydatlogarytmicz-ny jest specjal-ny papier milimetrowy ze skal¹ pó³logarytmiczn¹ (korzystaj¹c z takiego papieru, nie musimy logarytmowaæ wartoœci zmierzonych).

Je¿eli zwi¹zek miêdzy wielkoœciami ma charakter potêgowy, to zaleca siê wykonaæ wykres w skali podwójnie logarytmicznej (tzn. na obu osiach uk³adu wspó³rzêdnych nale¿y zastosowaæ skalê logarytmiczn¹).

Przyk³ad 28

W niskich temperaturach ciep³o w³aœciwe cia³ sta³ych zale¿y od temperatury bez-wzglêdnej w nastêpuj¹cy sposób: c_p = KTγ (K = const). Ca³kowita energia emito-wana przez cia³o czarne zale¿y od jego temperatury bezwzglêdnej

α

σ T S

gdzie S jest tu powierzchni¹ cia³a, natomiast σ_SB sta³¹ Stefana–Boltzmanna. Loga-rytmuj¹c ostatni¹ zale¿noœæ otrzymamy

T S

E) ln( _SB) ln ln( = σ +α .

Sporz¹dzaj¹c wykres zale¿noœci ln(E) od ln(T) mo¿emy wyznaczyæ wspó³czyn-nik kierunkowy prostej, a wiêc wartoœæ wyk³adwspó³czyn-nika α, a tak¿e wartoœæ ln(σ_SBS) umo¿liwiaj¹c¹ wyznaczenie sta³ej Stefana–Boltzmanna σ_SB.

Podamy sposoby linearyzacji jeszcze kilku typów zale¿noœci, z którymi mo¿e-my spotykaæ siê w laboratorium.

Zale¿noœæ oœwietlenia E od odleg³oœci r od punktowego Ÿród³a œwiat³a okreœlo-na jest rówokreœlo-naniem E = I/rk. Rysuj¹c wykres zale¿noœci E(1/rk) uzyskamy liniê pro-st¹. Analiza eksperymentalnie uzyskanych wyników pomiarów umo¿liwi nam okre-œlenie warunków, w których Ÿród³o œwiat³a mo¿na traktowaæ jako punktowe (Ÿród³o œwiat³a bêdziemy uwa¿aæ za punktowe w zakresie takich r, dla których spe³niona jest przedstawiona wy¿ej zale¿noœæ). Zwróæmy uwagê na to, ¿e zale¿noœæ liniow¹ mo¿-na uzyskaæ, rysuj¹c wykres w skali podwójnie logarytmicznej. Taki wykres umo¿li-wia wyznaczenie wartoœci wyk³adnika potêgowego k. Decyzja o wyborze skali na-le¿y do opracowywuj¹cego wyniki pomiarów i jest uzale¿niona od celu, jaki chcia-no osi¹gn¹æ.

Zale¿noœæ przenikalnoœci elektrycznej ferroelektryków (oraz przenikalnoœci ma-gnetycznej ferromagnetyków) od temperatury, w pewnym otoczeniu temperatury prze-miany fazowej, jest opisana prawem Curie–Weissa ε = C/(T – T_C), gdzie: C jest sta³¹ Curie–Weissa, T – temperatur¹, natomiast T_C – temperatur¹ Curie–Weissa. W tym przypadku najczêœciej sporz¹dza siê wykres zale¿noœci odwrotnoœci przenikalnoœci elektrycznej 1/ε jako funkcji temperatury T. Wykres taki umo¿liwia okreœlenie za-kresu stosowalnoœci wspomnianego wy¿ej prawa, wyznaczenie sta³ej C oraz tem-peratury T_C.

Rozpatrzmy zale¿noœæ oœwietlenia powierzchni od k¹ta, jaki tworzy strumieñ œwiat³a z normaln¹ do tej powierzchni. Oœwietlenie jest proporcjonalne do cosinusa tego k¹ta, E ∝ cos α. Je¿eli wykreœlimy zale¿noœæ α = arccos(E/E₀), gdzieE oznacza natê¿enie oœwietlenia powierzchni przy danym k¹cie padania, natomiastE₀ – oœwie-tlenie tej powierzchni dla k¹ta padania równego zeru, to otrzymamy zale¿noœæ li-niow¹.

Z prawa Malusa wynika, ¿e natê¿enie œwiat³a po przejœciu przez uk³ad z³o¿ony z polaryzatora i analizatora jest dane równaniem I = I₀cos2α, gdzieI₀ jest natê¿e-niem œwiat³a, gdy p³aszczyzny przepuszczania polaryzatora i analizatora s¹ równo-leg³e, natomiastα jest k¹tem jaki tworz¹ te p³aszczyzny. Przekszta³caj¹c powy¿sz¹ zale¿noœæ dostajemy α =arccos I I₀ . Je¿eli wykreœlimy zale¿noœæ y = arccos(x), gdzie y =α, natomiast x = I/I₀, to otrzymamy prost¹ (je¿eli wykresem tej zale¿no-œci jest prosta, to znaczy, ¿e potwierdziliœmy s³usznoœæ prawa Malusa).

Ostatnim przyk³adem linearyzacji jaki omówimy jest zale¿noœæ wystêpuj¹ca w æwiczeniu dotycz¹cym liniowego efektu elektrooptycznego.

Zale¿noœæ natê¿enia wi¹zki œwiat³aI (po przejœciu przez uk³ad optyczny) od na-piêcia U przyk³adanego do komórki Pockelsa jest opisana równaniem

0 2 0cos λ^U k I I = ^π _,

gdzie: k – sta³a,I₀ – maksymalna wartoœæ natê¿enia œwiat³a,λ₀ – d³ugoœæ fali œwietl-nej. Aby wyraziæ natê¿enie wi¹zki przechodz¹cej przez uk³ad optyczny jako funk-cjê napiêcia, równanie przekszta³camy do postaci

U k I I 0 0 cos arc λ π = _.

Sporz¹dzaj¹c wykres zale¿noœci arccos I I₀ od napiêcia U otrzymamy liniê prost¹, której tangens nachylenia wynosi kπ/λ₀. Korzystaj¹c z tego wykresu mo¿e-my wyznaczyæ napiêcie pó³fali, to jest napiêcie jakie nale¿y przy³o¿yæ do komórki Pockelsa, aby uk³ad optyczny przeprowadziæ ze stanu maksymalnego przepuszcza-nia œwiat³a do ca³kowitego wygaszaprzepuszcza-nia.

Przytoczone wy¿ej przyk³ady ilustruj¹, w jaki sposób, korzystaj¹c z ró¿nego typu zale¿noœci (nawet bardzo skomplikowanych), przy umiejêtym ich opracowaniu, mo¿na sprawnie wyznaczaæ wartoœci ró¿nych wielkoœci fizycznych. Podane w przy-k³adach pojêcia i zjawiska s¹ opisane we wstêpach do poszczególnych æwiczeñ.