Opracowanie wyników oraz niepewnoœci pomiarów prostych

Dysponuj¹c wynikami x₁, x₂, ..., x_n pomiarów wielkoœci fizycznej X (jeœli po-miary nie s¹ obarczone b³êdami systematycznymi), obliczamy œredni¹ arytmetycz-n¹ x–, która stanowi oszacowanie wartoœci rzeczywistej µ_rz

. 1 n x x n i ⁱ

∑

= = ^(2.55)

Jako niepewnoœæ oceny x– wielkoœci µ_rz przyjmujemy odchylenie standardowe œredniej arytmetycznej

( )

( )

1 ^, 1 2 − − = =

∑

= n n x x n s s n i ⁱ x x (2.56)

które – przypominamy – nosi nazwê niepewnoœci standardowej. Wynik obliczeñ zapisujemy w postaci:

.

x

s x

x= ± ^(2.57)

Rys. 2.12. Histogram czêstoœci O_k zapisanych w tabeli 2.9 oraz wykres gêstoœci rozk³adu normalnego N(10,322, 10,322)

Ponownie przypomnijmy, ¿e wynik pomiaru jest wielkoœci¹ mianowan¹, dlate-go obok wartoœci liczbowej nale¿y podaæ jednostkê.

Wygodne jest wprowadzenie niepewnoœci wzglêdnej

, x s_x

w=

δ _(2.58)

która jest wielkoœci¹ bezwymiarow¹ podawan¹ najczêœciej w procentach:

%. 100 %= ⋅ x s_x δ (2.59)

2.3.1. Obliczanie niepewnoœci w przypadku ma³ej liczby pomiarów

za pomoc¹ d³ugoœci przedzia³ów ufnoœci

Jeœli seria z³o¿ona jest z niewielkiej liczby pomiarów, prawdopodobieñstwo, ¿e przedzia³y

(x−ks

_x

,x+ks

_x

)

, gdzie k =1, 2, 3, obejm¹ wartoœæ rzeczywist¹ µ_rz jest mniejsze ni¿ dla du¿ej liczby pomiarów (patrz podrozdzia³ 2.2.9). Aby otrzymaæ ta-kie same prawdopodobieñstwa dla ma³ej liczby pomiarów, jak dla du¿ej, nale¿y s_x– pomno¿yæ przez pewien wspó³czynnik t(n,p), zale¿ny od liczby pomiarów n i ¿¹-danego prawdopodobieñstwa p. Tak skonstruowany przedzia³

(x– – t(n, p)s_x–, x– + t(n, p)s_x–),

nazywany przedzia³em ufnoœci, obejmuje wartoœæ rzeczywist¹ µ_rz z zadanym praw-dopodobieñstwem p. Prawdopodobieñstwo p z jakim przedzia³ ufnoœci obejmuje µ_rz nosi nazwê poziomu ufnoœci.

Kilka wartoœci wspó³czynników t(n,p) dla ma³ych n oraz trzech prawdopodo-bieñstw p podano w tabeli 2.10. Obszerniejszy zestaw wspó³czynników t(n,p) po-dano w tabeli 1 (Dodatek). W æwiczeniach laboratoryjnych korzystamy najczêœciej z dwóch poziomów ufnoœci: p = 0,6827 oraz p = 0,9973.

Wspó³czynniki t(n,p) s¹ kwantylami rozk³adu Studenta (pseudonim W.S. Gos-set’a (1876–1937)). Teoria przedzia³ów ufnoœci zosta³a stworzona przez polskiego uczonego T. Sp³awê-Neymana (1894–1981) w latach trzydziestych dwudziestego wieku i nale¿y do wa¿nych osi¹gniêæ nauki œwiatowej.

Tabela 2.10. Wartoœci wspó³czynników Studenta dla trzech poziomów ufnoœci p

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 41

p = 0,6827 1,837 1,321 1,197 1,142 1,111 1,091 1,077 1,067 1,059 1,024 1,013 p = 0,9545 13,968 4,527 3,307 2,869 2,649 2,517 2,429 2,366 2,320 2,126 2,064 p = 0,9973 235,777 19,206 9,219 6,620 5,507 4,904 4,530 4,277 4,094 3,400 3,199

Jak ju¿ wiemy, jako miarê niepewnoœæ œredniej arytmetycznej x– mo¿na przyj¹æ jej odchylenie standardowe, czyli s_x–. Inn¹ miar¹ niepewnoœci œredniej arytmetycz-nej, któr¹ u¿ywa siê, gdy seria pomiarów jest niedu¿a, jest po³owa przedzia³u ufno-œci, czyli wielkoœæ t(n,p)s_x–. Podaj¹c niepewnoœæ œredniej arytmetycznej nale¿y za-znaczyæ, w jaki sposób zosta³a ona obliczona, a w przypadku, gdy wyra¿a siê j¹ przez po³owê przedzia³u ufnoœci, jaki poziom ufnoœci p zosta³ przyjêty. Nastêpny przyk³ad pokazuje jak okreœliæ niepewnoœæ œredniej arytmetycznej w przypadku krótkiej se-rii pomiarów oporu za pomoc¹ mostka.

Przyk³ad 9

Czterokrotnie powtórzono pomiar pewnego oporu R, uzyskuj¹c nastêpuj¹ce wy-niki (w Ω): x₁ = 72,3, x₂ = 71,9, x₃ = 72,0, x₄ = 71,8. Nale¿y oszacowaæ mierzony opór R za pomoc¹ œredniej arytmetycznej x– i podaæ niepewnoœæ tej oceny wyra¿on¹ przez po³owê przedzia³u ufnoœci t(n,p)s_x– przyjmuj¹c poziom ufnoœci p = 0,6827. Korzystaj¹c ze wzorów (2.6) i (2.10) otrzymujemy x– = 72Ω oraz s_x– = 0,108 Ω, a z tabeli 2.10 odczytujemy t(4, 0,6287) = 1,197.

W takim razie po³owa przedzia³u ufnoœci wynosi t(4, 0,6187)s_x– = 1,197·0,108 Ω = 1,293 Ω.

Poszukiwan¹ niepewnoœci¹ oceny x– = 78 Ω mierzonego oporu R, odpowiadaj¹-c¹ poziomowi ufnoœci p = 0,6827, jest wielkoœæ 1,293 Ω.

2.3.2. Okreœlanie niepewnoœci na podstawie klasy przyrz¹dów

W przypadku pomiarów, których celem jest wyznaczenie zale¿noœci miêdzy dwo-ma lub wiêksz¹ liczb¹ wielkoœci fizycznych czêsto brak jest czasu na to, by dla ka¿-dego punktu pomiarowego wykonaæ odpowiednio du¿¹ liczbê pomiarów umo¿liwia-j¹c¹ obliczenie wartoœci œredniej oraz niepewnoœci pomiaru poszczególnych wiel-koœci. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku pomiarów wykonywanych w wa-runkach dynamicznych (zmieniaj¹cych siê w czasie prowadzenia doœwiadczeñ), np. pomiary zale¿noœci oporu metalu lub pó³przewodnika od temperatury. Czêsto wska-zania mierników powtarzaj¹ siê i wykonywanie serii pomiarowej jest niemo¿liwe. W takich przypadkach korzystamy z pojêcia klasy przyrz¹du pomiarowego oznacza-nej symbolem kl.

Klasa przyrz¹du pomiarowegokl jest to – wyra¿ona w procentach – wartoœæ bezwzglêdna ze stosunku maksymalnego dopuszczalnego na danym zakresie po-miarowym b³êdu pomiaru ∆x_max do zakresu pomiarowego Z:

%. 100 max Z x kl= ^∆ _(2.60)

Aby obliczyæ maksymaln¹ niepewnoœæ (b³¹d) bezwzglêdn¹ pomiaru wykonane-go za pomoc¹ miernika o znanej klasie, nale¿y skorzystaæ z równania

. 100

max _kl Z x =m

∆ _(2.61)

Klasa miernika jest podawana obok jego skali (dotyczy wiêkszoœci mierników analogowych) lub w instrukcji obs³ugi.

Na niepewnoœæ pomiaru obliczon¹ na podstawie klasy miernika sk³adaj¹ siê za-równo niepewnoœci systematyczne jak i niepewnoœci przypadkowe. Nale¿y podkre-œliæ, ¿e klasa miernika jest podana dla warunków pomiaru okreœlonych w instrukcji obs³ugi, np. dla danego zakresu temperatur lub wilgotnoœci, pionowego lub pozio-mego ustawienia miernika, okreœlonego oporu doprowadzeñ itp.

Korzystaj¹c z mierników analogowych o zmiennych zakresach nale¿y dobie-raæ zakres pomiarowy tak, aby wskazówka znajdowa³a siê (o ile jest to mo¿li-we) powy¿ej 2/3 skali. Zakresy pomiarowe mierników analogowych s¹ tak dobie-rane, aby spe³nienie tego zalecenia by³o mo¿liwe.

Aby uzasadniæ przedstawione wy¿ej zalecenie, przypuœæmy, ¿e mierzymy pr¹d o natê¿eniu I = 5 mA za pomoc¹ miliamperomierza klasy 0,5 na zakresie 100 mA. Maksymalna niepewnoœæ pomiaru obliczona na podstawie klasy miernika

mA, 5 , 0 100 mA 100 5 , 0 max = ^⋅ = ∆I

a maksymalna niepewnoœæ wzglêdna δ_%max = 10%. Je¿eli pomiar wykonamy na za-kresie 10 mA, to ∆I_max = 0,05 mA aδ_%max = 1%.

Korzystaj¹c z mierników elektrycznych nale¿y oprócz wyników pomiarów, zanotowaæ zakresy, na których wykonano pomiary oraz klasê miernika. Bez tych danych nie bêdziemy w stanie oszacowaæ niepewnoœci pomiarów!

2.3.3. Niepewnoœci pomiarów mierników cyfrowych

Niepewnoœæ pomiaru wykonanego miernikiem cyfrowym sk³ada siê z niepewnoœci przetwarzania uk³adów analogowych miernika (np. nieliniowoœci wzmacniacza) oraz niepewnoœci dyskretyzacji. Aby wyjaœniæ pojêcie niepewnoœci dyskretyzacji, zwróæmy uwagê na to, ¿e korzystaj¹c z mierników analogowych (wska-zówkowych) jesteœmy w stanie odczytaæ wynik z wiêksz¹ dok³adnoœci¹ ni¿ dok³ad-noœæ dzia³ek elementarnych (mo¿emy stwierdziæ, ¿e wskazówka znajduje siê w po-³o¿eniu odpowiadaj¹cym np. 15,5 dzia³ek skali). Odczytuj¹c wynik z wyœwietlacza miernika cyfrowego nie mamy takiej mo¿liwoœci, poniewa¿ istnieje pewien zakres sygna³ów wejœciowych, dla których wskazania wyœwietlacza s¹ takie same. Niepew-noœæ wynikaj¹c¹ z dyskretnoœci miernika nazywamy niepewnoœci¹ dyskretyzacji lub rozdzielczoœci¹ miernika oznaczana dalej za pomoc¹ symbolu rozdz.

Niepewnoœæ przetwarzania mierników cyfrowych podawana jest w procentach wartoœci mierzonej x i nazywana czêsto klas¹ miernika. Klasê miernika cyfrowego bêdziemy oznaczaæ przez kl_d (w celu odró¿nienia od klasy miernika analogowego). Niepewnoœæ pomiaru miernika cyfrowego obliczamy korzystaj¹c ze wzoru

. 100

max ^kl x rozdz

x = d +

∆ _(2.62)

Nale¿y zaznaczyæ, ¿e rozdzielczoœæ miernika cyfrowego zale¿y od zakresu po-miarowego.

Dodajmy, ¿e odchylenie standardowe u miernika cyfrowego, wynikaj¹ce z dyskre-tyzacji wynosi . 12 rozdz u= (2.63) Przyk³ad 10

Mierz¹c napiêcie za pomoc¹ woltomierza cyfrowego klasy 0,05 odczytano z wy-œwietlacza wynik U = 225,3 V. Obliczyæ maksymaln¹ niepewnoœæ ∆U_max pomiaru napiêcia. Rozdzielczoœæ miernika rozdz = 0,1V. Korzystaj¹c z wzoru (2.62) otrzy-mujemy V. 22 , 0 ) 1 , 0 11265 , 0 ( V 1 , 0 V 3 , 225 100 05 , 0 max = + = + ≈ ∆U

Klasa mierników cyfrowych jest podawana w instrukcji obs³ugi (w laboratorium studenckim jest podana w instrukcji roboczej do danego stanowiska).

2.4. Zaokr¹glanie i zapis wyników pomiarów

W dokumencie Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. Cz. 1 Zasady opracowania wyników pomiarów (Stron 42-46)