Metoda Electre Is

Grupa metod Electre powstała w oparciu o aksjomat ograniczonej porównywalności. Oznacza to, że porównując dwa warianty w hipotetycznej sytuacji decyzyjnej, możemy określić relacje zachodzące pomiędzy nimi. Dopuszczalne są cztery relacje pomiędzy wariantami:

 nierozróżnialność (I),

 silna preferencja (P),

 słaba preferencja (Q),

 nieporównywalność (R).

Nierozróżnialność oznacza, że dwa analizowane warianty są dla nas prawie takie same (xIy). Silna preferencja oznacza, że jeden z wariantów jest bardziej preferowany (xPy), słaba preferencja oznacza, że jest on mniej preferowany, jednak nadal pozostaje w sferze naszego zainteresowania (xQy). Nieporównywalność dwóch wariantów zapisujemy jako (xRy), oznacza ona, że ani pierwszy wariant nie jest lepszy od drugiego, ani drugi od pierwszego, a jednocześnie nie są one takie same.

Grupa metod Electre opiera się na ustrukturyzowanym systemie relacji przewyższania S. S jest to suma zbiorów relacji nierozróżnialności, silnej i słabej preferencji:

.

Na podstawie relacji przewyższania można przeprowadzić wnioskowanie dla par wariantów (relacja S jest zwrotna (aSa) oraz nieprzechodnia):

, ,

.

Analizowana metoda Electre Is jest jedną z kolejnych metod z rodziny Electre. To co wyróżnia ją na tle innych to użycie pseudokryteriów zamiast kryteriów rzeczywistych, prawdziwych (kryteria rzeczywiste są analizowane w metodzie Electre I i II). Zastosowanie pseudokryterium pozwoliło na analizowanie sytuacji decyzyjnych, w których dane, jakimi dysponujemy są niedoskonałe [Mousseau i Roy 2005, s. 135-142].

Metoda powstała, aby wspomagać decydenta w podjęciu decyzji poprzez wyznaczenie podzbioru wariantów, ze skończonego zbioru wariantów ocenianych przez spójną rodzinę kryteriów. Warianty są ze sobą porównywane, każdy oddzielnie, nie jest obliczana żadna funkcja użyteczności jak przewiduje procedura, np. w metodzie AHP. W celu wyznaczenia podzbioru najlepszych wariantów metoda Electre Is wymaga dwóch kroków:

 wyznaczenia relacji przewyższania, dla każdej pary wariantów,

 wyznaczeniu podzbioru wariantów najlepszych na podstawie macierzy przewyższania.

Procedura rozpoczyna się od określenia zbioru wariantów, zbioru decyzji dopuszczalnych. Na tym etapie istotnym elementem jest zdefiniowanie spójnego zbioru (rodziny) kryteriów (rys. 3.11). Następnie za pomocą określonych przez decydenta progów nierozróżnialności qi, preferencji pi i weta vi57 oraz współczynników ważności

ki obliczane są kolejne elementy potrzebne do wykreślenia ostatecznego grafu

przewyższania. Podstawowym krokiem jest utworzenie macierzy testu zgodności. Test zgodności polega na porównaniu par wariantów dla danego kryterium, w ten sposób zostanie określony cząstkowy współczynnik zgodności.

Cząstkowy współczynnik zgodności przyjmuje wartości [ ]. Dla preferencji rosnącej obliczany jest zgodnie następującą metodyką:

57 Próg nierozróżnialności q_i, preferencji p_i i weta v_i to arbitralne wartości podane przez decydenta lub interwenientów. Jest to subiektywna ocena każdego z analizowanych kryteriów wyrażona w jednostkach miary danego kryterium.

^{[ ] [ [ ]]} [ ] [ [ ]] dla preferencji malejącej:

^{[ ] [ [ ]]} [ ] [ [ ]]

Obliczenia/określenie progów nierozróżnialności i preferencji dla

poszczególnych kryteriów (qi; p_i)

Spójny zbiór kryteriów Zbiór wariantów A

Określenie progów weta, dla poszczególnych kryteriów

(v_i)

Określenie wag kryteriów (k_i)

Utworzenie macierzy testu zgodności Utworzenie macierzy testu

niezgodności

Określenie współczynnika zgodności [ ]

λ powinien być >0,5

Utworzenie macierzy wskaźnika solidności (macierz odporności)

Utworzenie grafu przewyższania

Poszukiwanie jądra grafu (podzbioru wariantu najlepszego lub wariantów

porównywalnych)

Ustalenie maksymalnego cyklu (fr. Cireuits maximaus)

Utworzenie globalnej macierzy przewyższania

Rys. 3.11. Ogólny algorytm metody Electre Is

Ostatecznie zostaje utworzony globalny współczynnik preferencji:

∑ ∑

Test niezgodności należy wykonać tylko, jeżeli dla testu zgodności otrzymany wynik globalnego współczynnika preferencji C(a,b)  , gdzie λ – to współczynnik zgodności. Współczynnik zgodności jest pewną wartością, która jest założona dla całego modelu z góry. Wartość współczynnika zgodności [ ], λ powinien być >0,5. W celu wyznaczenia macierzy testu niezgodności należy wykonać obliczenia zgodnie z poniższymi wzorami, dla preferencji rosnącej:

[ ] [ ] dla preferencji malejącej:

[ ] [ ] Wartość globalnego współczynnika niezgodności równa jest:

w pozostałych przypadkach:

Utworzenie globalnej macierzy przewyższania następuje na podstawie wcześniej wyznaczonych współczynników Ci i D_i:

; w pozostałych przypadkach:

Macierz przewyższania w metodzie Electre Is utworzona jest na podstawie obowiązującej metodyki wnioskowania dla par wariantów. Wartości w macierzy przyjmują wartości jeden lub zero, co pozwala na zbudowanie grafu przewyższania,

będącego obrazem występujących relacji pomiędzy wariantami na podstawie określonych przez decydenta progów na kryteriach.

Utworzenie macierzy wskaźnika solidności (robustness index) pozwala na określenie, w jakim stopniu modyfikacja relacji przewyższania w odniesieniu do rozważanej pary wariantów (a,b) jest uzasadniona. Wskaźnik solidności pozwala na jednoznaczne określenie, czy dana relacja jest lepsza czy gorsza i czy należy w ostatecznym grafie dodać łuk reprezentujący tą relację. Wskaźnik solidności

 przyjmuje dla każdej porównywanej pary wariantów wartości pomiędzy zero i jeden.

Interpretacja tych wartości jest następująca [Aït Younes i in. 2000, s. 6]:

 (a,b) = ½ jest równie zasadne dodać łuk relacji pomiędzy wariantami (a,b) co

go usunąć,

 (a,b) > ½ bardziej zasadne jest dodanie łuku jeżeli on nie istnieje dla relacji

(a,b) niż go usuwać, jeżeli już istnieje. Im wartość bliższa jedności tym bardziej zasadne jest dodanie łuku,

 (a,b) < ½ bardziej zasadne jest usunięcie łuku jeżeli on istnieje dla relacji (a,b)

niż go dodawać w przypadku, gdy go nie ma. Im wartość bliższa zeru tym bardziej zasadne jest usuwanie łuku obrazującego relacje.

Na podstawie globalnej macierzy przewyższania tworzony jest graf obrazujący relację pomiędzy wszystkimi rozpatrywanymi wariantami. Na utworzonym grafie dokonujemy eliminacji cykli. Eliminacja cykli z grafu pozwala na wyznaczenie jądra grafu. Jądro grafu może wskazywać na jedno najlepsze rozwiązanie zgodne z preferencjami decydenta lub „klikę” (clique), to jest zbiór wariantów porównywalnych, wyznaczonych zgodnie z preferencjami decydenta.

Wynikiem powyższej procedury jest uzyskanie odpowiedzi na pytanie, który z wariantów jest najlepszy – zgodny z preferencjami decydenta. Decydent ma możliwość wpływania na wynik analizy poprzez dodawanie lub usuwanie kryteriów, wskazywanie ich wag oraz zmianę zadeklarowanych wartości progów: nierozróżnialności, preferencji i weta. Metoda pozwala na uzyskanie jednoznacznej odpowiedzi lub zbioru wariantów porównywalnych. Jest to odmienne podejście niż w metodzie AHP, gdzie maksymalizowana jest globalna funkcja użyteczności, a wynikiem jest ranking analizowanych wariantów.