3.3. Metoda zaawansowanego pomiaru ryzyka operacyjnego Delta- EVT
3.3.1. Metodologia oparta na czynniku Delta
Metodologia Delty to technika analityczna wykorzystywana dla określania wartości strat wyjaśnialnych czynnikami ryzyka. Delta jest oparta o propagację błędu, która jest międzynarodową techniką wykorzystywaną do mierzenia niepewności z powodu błędów i opuszczeń. Metoda Delty pozwala oszacować ryzyko operacyjne na podstawie analizy zmienności czynników ryzyka. Analiza ta polega na pomiarze wrażliwości dochodu na zmianę wartości czynnika ryzyka. Metoda Delty jest dobrze znana na wielu płaszczyznach, włączając szerokie zastosowanie w działach finansowych, gdzie Delta Normal i Delta Gamma to dwie popularne metody pomiaru ryzyka związanego z wahaniami koniunktury rynkowej305. Wykorzystanie czynnika Delta jako metody pomiaru ryzyka operacyjnego ma kilka ważnych zalet. Po pierwsze umożliwia przewidywanie poziomu przyszłych strat operacyjnych nawet w przypadku niedoborów historycznych danych empirycznych, co jest szczególnie ważne w przypadku gdy w przeszłości dane o stratach operacyjnych nie były rejestrowane lub były rejestrowane niewłaściwie lub gdy analizowany proces jest nowy albo też znacząco się zmienił. Po drugie, dostarcza czytelnych danych na temat wrażliwości działalności biznesowej tzn., że modelowanie wyników potencjalnych działań odbywa się z uwzględnieniem wrażliwości na zmiany w poszczególnych procesach. W końcu, metoda czynnika Delta zakłada wykorzystanie próbek i wyjątków dla porównania aktualnego poziomu strat z modelem przewidywanym.
Podstawowe pojęcie związane z metoda czynnika Delta306
Ryzyko operacyjne jest mierzone jako niepewność osiągnięcia określonego poziomu dochodu (D), pomiar ten odbywa sie w dwóch płaszczyznach. W pierwszym przypadku analizowany jest poziom niepewności w odniesieniu do czynników powodujących straty nie przekraczające progu (Lwyjaśnialne), natomiast w drugim badane są czynniki wywołujące duże straty (Lniewyjaśnialne) przekraczające wyznaczony próg strat (μ). Będąca przedmiotem niniejszej pracy kombinacja nazwana została modelem Delta EVT i jest opisana przez następującą formułę :
(3.7.) u (D) = f (u( ΔX1 ). . . . u (ΔXn ) )+ Φ(Lwyjaśnialne│ Lniewyjaśnialne >μ )
Niepewność w poziomie dochodu wynikająca z ryzyka operacyjnego to funkcja niepewności uwzględniająca zestaw czynników ryzyka plus funkcja rozkładu strat większych niż wyznaczony próg307
. Metoda czynnika Delta wykorzystywana jest to oszacowania pierwszej części modelu Delta EVT. Model ten przedstawia niepewność dochodu w odniesieniu do niepewności poszczególnych czynników ryzyka:
(3.8.) u (D) = f (u(ΔX1 ). . . u (ΔXn ) )
Metoda czynnika Delta wykorzystywana do pomiaru ryzyka operacyjnego oparta jest o pięć kluczowych pojęć:
305
por. Wilson T. Calculating risk capital In Handbook of Risk management and Analisis. Wiley, Chichester 1996
306
King J.L., Operational Risk: Measurement and Modelling. London, Chichester John Wiley & Sons Ltd 2001 s.74-76
307
Chciałbym zwrócić uwagę na oznaczenia, szacowana wartość niepewności została oznaczona zgodnie ze standardem ISO jako "u" natomiast próg jako " μ ".
1. Dochód jako funkcja czynników ryzyka. Metoda czynnika Delta zakłada, że poziom dochodu opisywany jest przez szereg czynników ryzyka. Dla danego poziomu dochodu przyporządkowany jest zestaw czynników przyczynowych, których wartość wykorzystywana jest do oszacowania jego wartości:
(3.9.) dochód = f(czynniki ryzyka)
Na przykład, dochód może być oszacowany jako 20% z wpływów ze sprzedaży minus poprawka na towary wadliwe, innymi słowy dochód definiowany jest przez zestaw czynników tworzących wartość dodaną wpływających na jego poziom oraz zestaw czynników ryzyka, które wpływają na jego zmienność.
(3.10.) dochód = czynniki kreujące dochód +/- czynniki ryzyka
Dlatego w modelu dochód obliczony jako 20% z wpływów ze sprzedaży minus odchylenia związane z kosztem wybrakowanych towarów lub usług, wpływy ze sprzedaży to czynnik kreujący dochód natomiast czynnikiem ryzyka jest wybrakowany towar bądź usługa
2. Wartość ryzyka związanego z poziomem dochodu podlega wahaniom spowodowanym niepewności w czynnikach ryzykach. jeżeli założymy, że dochód jest funkcją czynników ryzyka to niepewność dochodu jest funkcją niepewności w czynnikach ryzyka.
Zakładamy, (3.11.) D = f (x) wtedy (3.12.) u(D)≈ f(u(x))
3. Podstawowa miara niepewności dla ryzyka operacyjnego to odchylenie standardowe lub błąd standardowy. Dla każdej miary odchylenie standardowe średniej oszacowanych wartości jest traktowane jako błąd standardowy308. Błąd ten obliczany jest według poniższej formuły:
(3.13.)
𝜎𝑥 = 1
𝑛(𝑛 − 1) (𝑥𝑘 − 𝑥 )2
𝑛
𝑘=1
gdzie x jest średnią dokonanych pomiarów. Warto zwrócić uwagę na to, że formuła błędu standardowego różni się od prostej formuły odchylenia standardowego. W praktyce obydwie miary niepewności łączą sie w poniższej formule:
(3.14) 𝜎𝑥 = 𝜎𝑥
𝑛
308
ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements, International Organization for Standardization
4. Wykorzystanie formuły odnoszącej się do wartości oczekiwanej sumy wariancji stanowi podstawę porównawczą niepewności dochodu i czynników ryzyka. Ta formuła jest dana dla dwóch wartości korelacji 0 albo 1, odpowiednio dla pomiarów niezależnych i doskonale skorelowanych. Zależność ta jest bardzo użyteczna w procesie pomiaru ryzyka operacyjnego.
(3.15) 𝜎𝑧 =2 𝜎𝑖2 𝑖 + 𝜎𝑗 𝑗 2
gdzie "i" są nieskorelowane, a "'j " są doskonale współzależne.
5. Niepewność dla funkcji obliczana jest przy wykorzystaniu propagacji błędu. Koniecznym działaniem jest obliczenie wrażliwości dochodu na zmianę wartości każdego z czynników ryzyka. Wrażliwość to zmiana wartości dochodu wywołana jednostkową zmianą czynnika ryzyka przy założeniu ceteris paribus, albo pochodna cząstkowa funkcji dochodu dotycząca określonego czynnika. Jeżeli założymy funkcję dochodu, w której dochód przedstawiony jest jako funkcja czynnika (patrz wzór 3.11.) to wówczas wrażliwość zdefiniowana jest jako:
(3.16.) Δ𝐸
Δ𝑥 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥
a formuła dla niepewności funkcji ma postać:
(3.17.) 𝑢2 𝐸 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 2 𝑢2 𝑛 𝑖=1 (𝑥𝑖)
Funkcja niepewności jest zwykle wyrażana przy użyciu rozwinięcia w szereg Taylora. Pierwszy wyraz tego szeregu wykorzystywany jest do obliczenia wrażliwości.
Etapy implementacji metody czynnika Delta wykorzystywanej do pomiaru ryzyka operacyjnego zostały zaprezentowane na Rysunku 3.13.
Rysunek 3.13. Etapy implementacji metody czynnika Delta
Źródło: opracowanie własne na podst. King J.L.: Operational Risk: Measurement…, op.cit., s.76 Etap1. Identyfikacja czynników ryzyka i ich błędów
Identyfikacji czynnika ryzyka na ogół towarzyszy jego partycjonowanie czyli podział na mniejsze elementy (przedstawione na Rysunku 3.14.). Procedurę budowy modelu rozpoczyna się od partycjonowania czynników ryzyka mających największy wpływ na poziom dochodu.
Rysunek 3.14. Ogólny model czynnika ryzyka wpływającego na zmienność dochodu
Źródło: opracowanie własne na podst. King J.L.: Operational Risk: Measurement …, op.cit., . s.76
Poziom zmienności poszczególnych czynników ryzyka jest zależny od ich rodzaju, np. błędy modelu oszacowania są zależne od typu wycenianego instrumentu. W tym przypadku błędy czynnika ryzyka podzielone zostają na kilka grup instrumentów w celu wyjaśnienia różnic w uzyskanych wartościach błędów. Podział musi zostać dokonany w sposób kompletny i taki żeby poszczególne elementy czynnika się nie pokrywały. Wrażliwość wydzielonej części jest po prostu ułamkiem wrażliwości czynnika. Dla portfela papierów wartościowych, podział oznacza rozdzielenie portfela na poszczególne walory. Dla ryzyka rynkowego partycjonowanie jest narzędziem do obliczania ryzyka portfela309. Możliwe jest wykorzystanie tej samej miary do obliczenia błędu dla ryzyka operacyjnego. Wtedy formuła ta ma postać:
309
Elton E., Gruber M., Modern portfolio Theory and Investment Analysis, 4th ed. John Wiley & Sons, New York 1991, s. 29
ETAP I
• identyfikacja najważniejszych czynników ryzyka wpływających na poziom dochodu wraz z wartościami błędów standardowych
ETAP II
• określenie funkcji dochodu, z uwzględnieniem wpływu poszczególnych czynników i wrażliwości dochodu na zmiana wartości czynnika
ETAP III
• obliczenie i łączenie miar niepewności ryzyka operacyjneg
Partycjonowana
Wzór 3.3.12. Formuła do obliczania oczekiwanej wariancji D[σ2]wydzielonej części czynnika X wraz z odpowiadającymi mu wariancjami (ignorowane są zależności między czynnikami).
(3.18.) 𝐷[σ2 ] = 𝑥𝑖2𝜎𝑖2
𝑖
Etap 2. Określenie funkcji dochodu, z uwzględnieniem wpływu poszczególnych czynników i wrażliwości dochodu na zmianę wartości czynnika.
Jeżeli została obliczona wartość błędu dla czynnika ryzyka, ten błąd musi zostać propagowany do dochodu. Funkcja dochodu odzwierciedla wpływ czynnika ryzyka na dochód, więc przy wykorzystaniu tej funkcji można obliczyć zmianę dochodu pod wpływem zmiany wartości czynnika. Matematycznie, szukamy wartości 𝜕𝑥𝜕𝑓
𝑖 by móc opisać funkcję niepewności dochodu dla każdego z czynników. Dla tej prostej formuły, łatwo jest wskazać pochodną cząstkową. Np. załóżmy funkcję dochodu odniesioną do zmienności cen:
(3.19) D= (p –c) v
jej pochodna cząstkowa to po prostu (p - c). To znaczy że jednostkowa zmiana ceny spowoduje, że, dochody zmienią się o różnicę między ceną (p), a kosztem (c). Bardziej złożone formuły będą wymagać rozwinięcia w szereg Taylora do obliczenia poziomu wrażliwości. Rozwiniecie szeregu Taylora dla funkcji f(x) oscylujące wokół punktu x0przybiera wówczas postać:
(3.20) 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 +𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑥 − 𝑥0 + 1 2! 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2 𝑥 − 𝑥0 2+ … + 1 𝑘! 𝜕𝑘𝑓 𝜕𝑥𝑘 𝑥 − 𝑥0 𝑘
gdzie 𝜕𝑓𝜕𝑥 to współczynnik wrażliwości oznaczający zmianę wartości zmiennej ryzyka przy jednostkowej zmianie czynnika ryzyka
W jego najprostszej formie wrażliwość jest różnicą w oszacowaniu funkcji dochodu dla małych zmian w wartościach czynnika ryzyka dla każdego poziomu dochodu. Dla metody czynnika Delta, ta różnica musi być wyrażona w postaci kombinacji liniowej.
Etap 3. Obliczenie i łączenie miar niepewności ryzyka operacyjnego
Przy założeniu danego zestawu czynników ryzyka, z obliczoną wartością błędów i ich relacjami z funkcją dochodu proces pomiaru ich wpływu na poziom dochodu powinien przebiegać wg następujących reguł310
:
1. Zmienność dochodu powinna być obliczona na podstawie próby przy wykorzystaniu poniższej formuły:
310
(3.21.)
1
𝑛(𝑛 − 1) (𝑥𝑘− 𝑥 )2
𝑛
𝑘=1
gdzie 𝑥 oznacza średnią x
2. Błąd dla funkcji czynnika obliczyć należy przy wykorzystaniu pierwszego wyrazu rozwinięcia Taylora dla funkcji dochodu. Co przy danej funkcji dochodu E= f(x) pozwala uzyskać następującą formułę:
(3.22.)
𝜎𝐸2 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥
2
𝜎𝑥2
3. W celu obliczenia błędu dla czynnika, który jest podzielony, powinno się wykorzystać wydzieloną część „i” czynnika Xi jako wrażliwość zgodnie z przedstawioną wcześniej formułą 3.18.
4. W celu agregacji błędów, pogrupować je należy według ich korelacji (zero albo jeden) i połączyć przy wykorzystaniu formuły 3.15.
Błędy standardowe powinny być wyrażone jako względne (podzielone przez wartość oczekiwaną albo średnią pomiaru). To umożliwi porównanie niepewności między poszczególnymi procesami. Z uwagi na to, że błędy względne są zazwyczaj stosunkowo małe ich wartość wyrażana jest w postaci procentowej.
Obliczanie wartości progu
W modelu Delta EVT próg to wartość łącząca dwa odmienne rozkłady strat. Pozwala wyznaczyć punkt przecięcia pomiędzy stratami operacyjnymi, a dużymi stratami niezależnymi od czynników ryzyka, poprzez wyznaczenie maksymalnego poziomu start operacyjnych i minimalnego poziomu dużych strat. W praktyce zwykle próg wyznaczany jest dla ustalenia poziomu minimalnej dużej straty, która wymaga szczegółowego wyjaśnienia i księgowości. Duże straty podlegają szczegółowej analizie zgodnie z zaleceniami ekspertów związanych z tworzeniem zasad nadzoru korporacyjnego dotyczących ryzyka operacyjnego (Operational Risk Corporate Governance Expert Group).311 Model Delta EVT umożliwia obiektywne wyznaczenie progu z uzasadnieniem zasadności wyznaczonego poziomu.
Koncepcja Progu
Wyznaczenie poziomu progu powyżej którego straty określane są jako duże przebiega w następujący sposób. Łączna roczna wartość błędów obliczonych metodą czynnika Delta
311
Operational Risk Corporate Governance Expert Group Internal Loss Data Issues Submitted to the Operational Risk Standing Group 5 December 2005
przyporządkowywana jest do wartości zagregowanego rocznego dochodu firmy. Na tej podstawie określany jest procentowy udział błędu w stosunku do rocznego dochodu. Następnie przy wyborze standardu 2.33 odchylenia standardowego (99% poziomu istotności dla rozkładu normalnego) obliczamy błąd względny, który w odniesieniu do średniej wartości pojedynczej transakcji wyznacza maksymalny poziom strat szacowanych metodą Delta, a tym samym stanowi wartość progu. W praktyce próg często jest po prostu wielokrotnością błędu standardowego definiowaną jako czynnik pokrycia (coverage factor)312. Na przykład, czynnik pokrycia na poziomie 3 zapewniając 99% poziom istotności dla rozkładu normalnego strat operacyjnych, przy założeniu błędu standardowego 1% wyznacza błąd progu na poziomie 3 % co oznacza, że strata przewyższająca 3% wartości transakcji będzie sklasyfikowana jako strata duża. Często istotne jest ustalenie wartości progu także w wartości absolutnej wtedy wykorzystywana jest średnia ważona wartości wszystkich transakcji. Z uwagi na to, że wielkość błędu standardowego zależy od wielkości transakcji, ustalony poziom progu pozwala na większe błędy na mniejszych transakcjach (relatywnie do wartości transakcji). Ten tok rozumowania jest zgodny z praktyką stosowana w sektorze bankowym, gdzie wysokokwotowe transakcje poddawana są znacznie bardziej skrupulatnej analizie. Główna idea współczynnika rozszerzenia jest podobna do powszechnie stosowanego w naukach stosowanych współczynnika bezpieczeństwa. Adekwatnym porównaniem wydaje się być ustalenie dopuszczalnego obciążenia dla liny dźwigu. W pierwszej kolejności dokonywany jest pomiar ciężaru przy którym dochodzi do zerwania liny, a następnie tak wyznaczone obciążenie dzielimy jeszcze przez określony współczynnik bezpieczeństwa. Analogicznie postępujemy w przypadku niepewności, najpierw ustalona zostaje średnia różnica wartości zmierzonej i rzeczywistej, a następnie, dzięki współczynnikowi rozszerzenia, znajdujemy przedział [y - U(y),y + U (y)], w którym z wymaganym stopniem pewności mieści się wartość rzeczywista313
. Zgodnie z zaleceniami ISO Guide to Expression of Uncertainty in Measurement wartość współczynnika pokrycia k mieści się w większości przypadków w przedziale między 2, a 3. Pozostając w zgodności z międzynarodowymi publikacjami odnoszącymi się do tej tematyki314
do obliczenia wartości U przyjmuje się umowną wartość k = 2. Wartości k inne niż 2 mogą być stosowane tylko w szczególnych przypadkach. Do tych szczególnych przypadków przytoczone dokumenty zaliczają pomiar, którego niepewność złożona jest zdominowana przez pojedynczy przyczynek o małej liczbie stopni swobody (innymi słowy małej liczby pomiarów) co niewątpliwie można odnieść do problematyki pomiaru ryzyka operacyjnego.
312 zwany również współczynnikiem rozszerzenia. Zgodnie z wytycznymi zawartymi w wydanym przez ISO
Guide to Expression of Uncertainty in Measurement do wnioskowania o zgodności wyniku pomiaru z innymi
rezultatami wprowadzono pojęcie niepewności rozszerzonej U i współczynnika rozszerzenia k. Wartość U oblicza się podobnie jak przedział ufności w metodach statystycznych, mnożąc oszacowane odchylenie standardowe przez bezwymiarowy współczynnik rozszerzenia. Jest to umownie przyjęta liczba, wybrana tak, by w przedziale ±U/(y) znalazła się większość wyników pomiaru potrzebna do danych zastosowań. Współczynnik rozszerzenia jest liczbą, która jest nie dającą się wyrazić zamkniętym wzorem funkcją dwu zmiennych: poziomu ufności i liczby stopni swobody.
313
Zięba A. Natura rachunku niepewności pomiaru a jego nowa kodyfikacja , Postępy Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, s. 245
314 np. Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement, EURACHEM/CITAC Guide, Second Edition London (2000), Taylor B.N., Kuyatt C.E., Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results, NIST Technical Note 1297 (1994)
VaR dla strat operacyjnych
Metoda współczynnika Delta może być wykorzystywana do generowania zmienności codziennych zysków i strat poniesionych z powodu ryzyka operacyjnego. Zakładając poziom istotności 99%, trzy odchylenia standardowe są równe wartości VaR dla ryzyka operacyjnego (3σ). Będzie to wartość maksymalnej dziennej straty związanej z ekspozycją na ryzyko operacyjne. Rozszerzenie tej wartości do rocznej maksymalnej straty związanej z ryzykiem operacyjnym może odbyć sie za pomocą kilku metod, np. przy pomocy symulacji lub metody pierwiastka kwadratowego. Metoda pierwiastka kwadratowego mówi, że zmienność dotycząca okresu t dla jakiegokolwiek percentylu rozkładu to zmienność dystrybucji pomnożona przez n-ty pierwiastek z t. Dla rozkładu normalnego n -2, zmienność dzienna jest po prostu pomnożona przez pierwiastek kwadratowy okresu. Dlatego roczny VaR możemy obliczyć wg wzoru:
(3.23) 𝑉𝑎𝑅𝑟𝑜𝑐𝑧𝑛𝑦 = 𝑉𝑎𝑅𝑑𝑧𝑖𝑒𝑛𝑛𝑦 ∗ 260
Rozszerzanie tej formuły dla okresu wieloletniego wymaga wykorzystania bardziej zaawansowanych metod statystycznych takich jak np. symulacja Monte Carlo.