6.1. Kryterium oceny jakości poszukiwanego rozwiązania
Na potrzeby odwzorowania przedmiotu badań autorka założyła, że zbiór wszystkich kolumn regałowych występujących w strefie składowania to zbiór K, gdzie kol K. Strefa składowania może się różnić liczbą regałów, dlatego element ten będzie zdefiniowany jako zbiór R, gdzie rzad R. Każdy rząd regałowy ma określoną liczbę poziomów, kolumn i gniazd regałowych (rys. 5.3), dlatego w modelu uwzględniono zbiór PR jako zbiór poziomów regałowych oraz KR jako zbiór numerów kolumn regałowych. Przyjęto, że gniazdo regałowe jest to część rzędu regałowego o szerokości i wysokości jednego miejsca składowania. Wszystkie zbiory podane są w tabeli 6.1.
Tabela 6.1. Występujące zbiory w modelu
Symbol zbioru Nazwa zbioru
Strefa składowania charakteryzuje się określoną liczbą miejsc składowania. Zbiór wszystkich miejsc składowania występujących w obiekcie oznaczono jako M, przy czym m M. Każde miejsce ma swój niepowtarzalny adres, co pozwala na dokładną lokalizację danego miejsca i jego identyfikację. Adres zawiera:
1. numer regału – rzad 2. numer kolumny – kol 3. numer poziomu – poz.
4. numer gniazda regałowego – nr_gn.
Dokładny adres miejsc składowania będzie oznaczony następująco: (rzad, kol, poz., nr_gn), co można również zapisać w postaci macierzy:
(6.1)
- 87-
Przykładowy rzut dokładnego adresu przedstawia rysunek 6.1, na którym adres lokalizacji zaznaczono kolorem niebieskim.
Rys. 6.1. Adres lokalizacji Źródło: Opracowanie własne
Opierając się na rysunku 6.1, wskazany adres jest następujący: 1 – 01 – 03 – 02, co oznacza: pierwszy regał, pierwsza kolumna regałowa, trzeci poziom, drugie gniazdo.
Cechą charakterystyczną problemu projektowania rozmieszczenia obiektów jest wielowariantowość rozwiązań. Najkrócej mówiąc, dla N miejsc i N towarów do rozmieszczenia istnieje N! możliwych rozwiązań, co oznacza, że dla N = 10 towarów liczba możliwych rozwiązań wynosi 10! = 3 628 800, natomiast dla N = 20 jest rzędu 2 * 1018. Rozwiązanie takiego typu zadania polega na wyborze spośród wielu możliwych jednego, najlepszego rozwiązania. Dlatego wymaga to znajomości kryterium nazywanego kryterium oceny jakości poszukiwanego rozwiązania.
Jednym z kryteriów, które odzwierciedla dynamikę kosztów w odniesieniu do rozmiaru działalności, jest podział kosztów na koszty stałe i zmienne. Koszty stałe nie zależą od rozmiaru działalności (np. koszt wynajmu magazynu), natomiast koszty zmienne są ściśle związane z rozmiarem działalności (np. koszty eksploatacji) [Harrison, van Hoek, 2010, s. 116].
Problem wyboru kryterium optymalizacji rozstawienia obiektów jest różnie przedstawiany. Najczęściej stosowanymi kryteriami optymalizacji są:
1. koszty transportu proporcjonalne do długości drogi transportu,
- 88- 2. wielkość przewozów transportowych,
3. stosunek liczby operacji transportowych krótkich do ogólnej liczby operacji transportowych, tzw. wskaźnik KT,
4. suma kosztów proporcjonalnych do odległości i kosztów lokalizacji obiektów na określonych miejscach.
Jak wynika z badań literaturowych, odległość oraz waga determinują czas transportu towaru do wybranej lokalizacji oraz koszt środka transportu. Im większa masa transportowanego ładunku, tym większa jest pracochłonność środka trwałego, co generuje koszt transportu. Identyczna sytuacja wynika również z odległości: im dalej jest położony punkt lokalizacji od punktu odniesienia, tym większa jest pracochłonność środka transportu.
6.2. Funkcja celu
Jednym z najczęstszych problemów lokalizacji jest rozmieszczenie N obiektów (zadań, stanowisk, fabryk) w N miejscach. Każdy obiekt musi być rozmieszczony i każdy musi stać na jednym miejscu, przy czym na jednym miejscu może stać tylko jeden obiekt [Bartolomei-Suárez, Egbelu, 2000, s. 855-856; Povh, 2008; Lis, Santarek, 1980, s. 59-62]. Rozwiązywany przez autorkę problem odpowiada modelowi programowania dyskretnego kwadratowemu problemowi przydziału. Dotyczy on lokalizacji towaru w obszarze, w którym występują powiązania między towarami, ale nie występują powiązania z otoczeniem.
Problem ten wymaga uwzględnienia pewnych założeń do modelu matematycznego:
1. wszystkie produkty obsługiwane w strefie są składowane i transportowane w takiej samej postaci ładunkowej,
2. miejsc lokalizacji jest więcej lub ich liczba równa się ilości rozmieszczanych towarów, 3. wszystkie produkty transportowane są przez ten sam środek transportu,
4. środek transportu jest obsługiwany przez tego samego pracownika,
5. koszty transportu jednostki towaru są wprost proporcjonalne do długości drogi transportu,
6. w strefie występuje jeden punkt wejścia/wyjścia towaru, czyli jest to magazyn o układzie workowym.
Modele matematyczne mają postać modeli zadań optymalizacji, a ogólna postać tych modeli jest następująca: znaleźć taki zbiór zmiennych decyzyjnych X0, aby
- 89-
gdzie:
X – zbiór zmiennych (parametrów) opisujących jednoznacznie rozwiązanie, tj.
rozmieszczenie elementów,
D – zbiór rozwiązań dopuszczalnych,
Q – kryterium jakości poszukiwanego rozwiązania, zwykle przyjmuje postać funkcji kryterium f(X).
Wyboru rozwiązania optymalnego dokonuje się zawsze spośród zbioru rozwiązań dopuszczalnych D ze względu na wartość funkcji celu f(X), która dla rozwiązania X0 osiąga minimum lub maksimum [Lis, Santarek, 1980, s. 57].
Matematyczny wyraz kryterium optymalizacji jest funkcją celu w modelu matematycznym zadania. Model matematyczny zawiera zarówno składnik liniowy, jak i składnik kwadratowy. Zadanie będzie polegało na przypisaniu N towaru do jednej z lokalizacji (każdy towar do innej lokalizacji) tak, aby zminimalizować koszt transportu.
W praktyce chodzi o minimalizację funkcji celu, która wygląda następująco:
Na podstawie danych autorka sformułowała następujące zmienne decyzyjne:
Lpq– odległość transportu jednostki towaru z miejsca p-tego do miejsca q-tego Sij – powiązania towaru i-tego z towarem j-tym,
Cip – koszt transportu i-tego towaru na p-tym miejscu,
Xip, Xjq – zmienne decyzyjne; lokalizacja i-tego i j-tego towaru (i, j = 1, 2, …, N) odpowiednio na miejscu p-tym i q-tym (p, q = 1, 2, …, N).
Pierwszy człon w funkcji (6.3) oznacza nakłady na realizację powiązań pomiędzy rozmieszczanymi towarami, natomiast drugi człon identyfikuje nakłady związane z lokalizacją towaru na miejscach składowania.
- 90-
Reasumując, głównym celem jest takie rozmieszczenie, aby koszt tego rozmieszczenia był jak najmniejszy, czyli głównym zadaniem jest zminimalizowanie sumy iloczynów przepływu odległości między towarami.
Odległość, jaką musi przebyć towar od punktu odniesienia (punkt przyjęcia) do lokalizacji, jest sumaryczną długością drogi transportu poziomego i pionowego. Dlatego długość drogi transportu i-towaru będzie wynosiła:
(6.4)
gdzie:
Lpion – odległość między miejscami p oraz q w ujęciu pionowym, Lpoz – odległość między q i s w ujęciu poziomym.
Jeśli towar jest umieszczany w takim miejscu, w którym nie ma odległości między q i s, to przyjmowana jest odległość między q i s równa Lqs(poz) = 0.
6.3. Identyfikacja warunków ograniczających
Jak w każdym problemie oprócz warunków wynikających z kontekstu działania istnieją jeszcze pewne ograniczenia, które są efektem zastosowania modelowego opisu lokalizacji towaru.
Warunki ograniczające opisane są następująco:
ż
- 91-
(6.8)
gdzie:
M – oznacza zbiór miejsc wolnych lokalizacji (miejsc składowania), X – oznacza zbiór jednostek ładunkowych.
Warunek (6.5) zapewnia, że każde miejsce zostanie zajęte przez jedną jednostkę paletową, natomiast warunek (6.6) wymusza, aby każda jednostka paletowa została przydzielona do jednego miejsca. Co się tyczy warunku (6.8), oznacza on, że zbiór miejsc wolnych lokalizacji jest większy od zbioru towarów, które będą rozmieszczane.
- 92-