Model zredukowany a model strukturalny wyceny swapu

Dwa dominujące obecnie podejścia modelowe do wyceny derywatów kredytowych określane są mianem modeli strukturalnych i zredukowanych. W podejściu strukturalnym wartość zobowiązań danego podmiotu (kapitału własnego i obcego) zależy od wartości jego aktywów w danym momencie i perspektyw zmian wartości aktywów w pewnym horyzoncie czasu. Kapitał własny i obcy traktowane są wówczas jak roszczenia warunkowe względem aktywów tego podmiotu. W modelach strukturalnych przyjmuje się najczęściej stałą strukturę pasywów podmiotu i postać procesu dla wartości jego aktywów wraz z warunkami określającymi próg niewypłacalności, co pozwala na wycenę wartości długu i kapitału własnego. Z kolei w podejściu zredukowanym, które zaczęło zyskiwać popularność w latach ’90 ubiegłego stulecia, postuluje się bezpośrednio postać procesu stochastycznego dla prawdopodobieństwa niewypłacalności, którą następnie kalibruje się do obserwowanych na rynku cen, stóp procentowych, czy spreadów. Modele strukturalne najczęściej wykorzystują dane z rynku akcji, a modele zredukowane – dane z rynku długu lub derywatów kredytowych. Biorąc pod uwagę specyfikę podmiotów referencyjnych, jakimi są państwa i problemy z konstrukcją ich stylizowanych bilansów, naturalnym jest, że rozwój metod wyceny ryzyka kredytowego krajów koncentrował się przede wszystkim na modelach zredukowanych16

. Pewną przewagą modeli zredukowanych nad strukturalnymi jest większa elastyczność w dopasowaniu do danych rynkowych wynikająca ze swobody wyboru postaci funkcyjnej dla procesu niewypłacalności.

Problem wyceny w modelu zredukowanym sformułował jako pierwszy Duffie [1999]. Wartość godziwa spreadu CDS, czyli premii płaconej za ochronę przed zdarzeniem

16 Sundaram i Das [2011] wskazują ponadto, że wykorzystanie danych z rynku długu (w przeciwieństwie do rynku papierów udziałowych) umożliwia zastosowanie modeli strukturalnych także do wyceny spółek nie notowanych na rynku regulowanym.

55

kredytowym, musi zrównywać wartość bieżącą płatności premiowych z wartością bieżącą wypłaty w przypadku wystąpienia zdarzenia kredytowego. W podstawowym modelu przyjmuje się jako T – liczbę okresów premiowych w trakcie trwania kontraktu, t – indeks czasowy płatności premiowych, 𝜆_𝑗 – prawdopodobieństwo (miara martyngałowa, inaczej miara neutralna względem ryzyka) forward niewypłacalności w okresie j (t-h, t), gdzie h – okres między płatnościami (mierzony w latach), t=jh, 𝜙 – (stałą) stopę odzysku, r(t,t)=rt – wolną od ryzyka chwilową stopę forward, 𝐸₀ – wartość oczekiwaną w okresie 0. Zakłada się, że wycena następuje w okresie zerowym. Dodatkowo przyjmuje się, że płatności premiowe dokonywane są na koniec okresów rozliczeniowych, nawet w okresie, w którym nastąpiło zdarzenie kredytowe. Wówczas wartość bieżącą premii o wielkości 1 USD dokonywanych w trakcie trwania kontraktu lub do niewypłacalności przedstawia się następującym wzorem [Sundaram i Das 2011]: 𝑃𝑉1 = 𝐸₀{𝑒^−𝑟0ℎ[1 + ∑ ∏(1 − 𝜆_𝑗)𝑒^−𝑟𝑗ℎ 𝑡 𝑗=1 𝑇−1 𝑡=1 ]} _2.1

W każdym kolejnym okresie płatność premiowa występuje tylko wtedy, gdy nie wystąpiło jeszcze zdarzenie kredytowe. Prawdopodobieństwo tego wyraża iloczyn tzw. prawdopodobieństw przetrwania (1 − 𝜆_𝑗) od rozpoczęcia kontraktu do daty płatności. Następnie następuje dyskontowanie oczekiwanych płatności na chwilę obecną.

Z kolei wartość bieżącą wypłaty w przypadku zdarzenia kredytowego (również na koniec okresu rozliczeniowego) można określić jako:

𝐷 = 𝐸₀{(1 − 𝜙) ∑ 𝜆_𝑡∏(1 − 𝜆_𝑗)𝑒^−𝑟𝑗ℎ 𝑡−1 𝑗=0 𝑇 𝑡=1 } _2.2

Wyrażenie iloczynu, zbliżone postacią w obydwu wzorach, oznacza prawdopodobieństwo braku zdarzenia kredytowego aż do momentu określonego w granicy iloczynu. Wówczas spread godziwy CDS określa się jako [Sundaram i Das 2011]:

𝑆 = ^𝐷

𝑃𝑉1 ^2.3

przy czym zwyczajowo jednostkę spreadu stanowi punkt bazowy, stąd we wzorze 2.3. dokonuje się mnożenia przez 10000. Jak wskazują powyższe równania, głównymi determinantami spreadu jest prawdopodobieństwo niewypłacalności, stopa wolna od ryzyka i stopa odzysku. Warto jednak podkreślić, że w powyższych specyfikacjach prawdopodobieństwo niewypłacalności jest rozumiane jako miara martynagałowa i jako takie

56

różni się od rzeczywistego prawdopodobieństwa niewypłacalności (ang. real world probability, actual probability). Prawdopodobieństwa martyngałowe są zazwyczaj wyższe od historycznie obserwowanych, gdyż uwzględniają niezwiązane bezpośrednio z niewypłacalnością premię za ryzyko płynności oraz efekty popytowo-podażowe na danym rynku. Zhang [2008] potwierdza taką relację między prawdopodobieństwami historycznymi a martyngałowymi na przykładzie ryzyka kredytowego Argentyny w latach 1999-2001.

Wydaje się, że przyjęcie prawdopodobieństw niewypłacalności 𝜆_𝑗, określanych także mianem stóp hazardowych (ang. hazard rate) jest podstawowym problemem w modelach zredukowanych. Można dokonać ekstrakcji prawdopodobieństw niewypłacalności z rynku kasowego obligacji, a procedura ta, przy założeniach odnośnie stopy odzysku, sprowadzałaby się do porównania ryzykownych obligacji kraju ze stopą wolną od ryzyka. Podejście takie przedstawiają na przykład Hull i White [2000]. Problem ten można sprowadzić także do określenia standardu rynkowego. Flesaker, Nayakkankuppam i Shkurko [2015] proponują na przykład implementację modelu zredukowanego, w której prawdopodobieństwa te są określane za pomocą funkcji przedziałami liniowej, ze zmienną określającą czas jako jedynym argumentem. Można przyjąć, że ze względu na upowszechnianie się handlu na platformach elektronicznych, powyższa implementacja w narzędziu Credit Default Swap Valuaion służącym do wyceny i udostępnianym przez Bloomberga może być traktowana jako standard. Z kolei w modelu ISDA (por. np. [White 2014]) stosowanym przez uczestników rynku głównie w celu zmiany konwencji kwotowania spreadów, prawdopodobieństwo niewypłacalności przyjmuje się jako wartość stałą.

Prawdopodobieństwa niewypłacalności mogą także pochodzić z modelu strukturalnego. Metoda roszczeń warunkowych, będąca przykładem modelowania strukturalnego, opiera się na założeniach modelu wyceny opcji Blacka i Scholesa [1973]. Systematyzacji tego podejścia w kontekście analizy ryzyka kredytowego kraju dokonali Gapen i in. [2008], a przykładowe zastosowanie dla Polski można odnaleźć w pracy Konopczaka [2014]. Oszacowanie wartości aktywów kraju oraz ich zmienności umożliwia utworzenie profilu ryzyka kredytowego kraju, zawierającego oszacowania odległości faktycznego ryzyka od poziomu niewypłacalności. Pozwala to na obliczenie prawdopodobieństwa niewypłacalności.

W analizie wykorzystuje się stylizowany bilans aktywów i pasywów kraju, przy czym główną pozycją po stronie pasywów są zobowiązania z tytułu wyemitowanego długu skarbowego. Pokrycie tych zobowiązań zapewniają środki pieniężne generowane przez aktywa. Niewypłacalność ma miejsce wówczas, gdy wartość aktywów jest mniejsza niż

57

wartość zobowiązań krótkoterminowych. Ten ostatni poziom określany jest mianem bariery niewypłacalności (ang. distress barrier). Nie można jednak ex ante być pewnym, czy w danym momencie w przyszłości kraj będzie zdolny do obsługi zadłużenia, gdyż rynkowa wartość aktywów jest generowana przez nieznany proces stochastyczny. W określonym horyzoncie czasowym aktywa kraju mogą przyjąć różne wartości z różnym prawdopodobieństwem, które jest określone pewnym rozkładem. Jeżeli ich wartość okaże się niższa od bariery niewypłacalności, to kraj nie będzie zdolny do obsługi zadłużenia i dojdzie do jego niewypłacalności.

Przyjmuje się, że zobowiązania w walucie krajowej będą obsługiwane dopiero wówczas, gdy zostaną zaspokojone zobowiązania w walutach obcych. Tym samym, jak wskazują Gray, Merton i Bodie [2007], sytuacja posiadaczy zobowiązań w walucie krajowej, np. obligacji skarbowych emitowanych na rynek krajowy, jest analogiczna do posiadaczy opcji call, w przypadku której instrumentem bazowym są aktywa kraju, a kursem wykonania – poziom bariery niewypłacalności. Jeżeli wartość aktywów kraju generujących przepływy pieniężne, które pozwalają regulować zobowiązania, pozostaje niższa od bariery niewypłacalności, to wypłata dla posiadaczy zobowiązań w walucie krajowej jest równa zero. Wartość ich pozycji będzie dodatnia dopiero wówczas, gdy wartość aktywów przekroczy barierę niewypłacalności, a zatem kiedy zobowiązania w walutach obcych są w pełni uregulowane. Z kolei wartość pozycji posiadaczy zobowiązań w walutach obcych odpowiada długiej pozycji w aktywach wolnych od ryzyka (o wartości odpowiadającej wartości nominalnej ich zobowiązań), pomniejszonej o wartość opcji put, dla której instrumentem bazowym byłyby aktywa kraju, a kursem wykonania − bariera niewypłacalności. Premia za ryzyko zawarta w rentowności obligacji nominowanych w walutach obcych rekompensuje ryzyko, że w dniu wykupu ich posiadacze nie uzyskają całości wartości nominalnej w sytuacji niewypłacalności emitenta.

Konsekwencją zastosowania teorii wyceny opcji opartej na modelu Blacka-Scholesa jest otrzymanie implikowanej wartości aktywów kraju i ich zmienności. Pozwala to na obliczenie prawdopodobieństwa niewypłacalności 𝜆, będącego analitycznym przekształceniem odległości od punktu niewypłacalności.

Model strukturalny, pozwala wyodrębnić następujące główne modelowe determinanty wartości godziwej spreadu:

- zobowiązania zaciągnięte w walucie krajowej, w tym Skarbu Państwa (z tytułu papierów skarbowych, a także, między innymi, Funduszu Pracy, czy z tytułu

58

rekompensat) i banku centralnego (baza monetarna – pieniądz gotówkowy w obiegu oraz depozyty podmiotów krajowych w banku centralnym),

- zmienność krajowych aktywów, - zobowiązania w walutach obcych, - rezerwy walutowe kraju,

- stopa wolna od ryzyka. Na przykład Fontana i Scheicher [2016] proponują stawkę depozytową rynku międzybankowego w danym kraju,

- kurs walutowy, który jest niezbędny do przeliczenia zobowiązań w walucie krajowej na zobowiązania w walucie zagranicznej. Wszystkie zmienne, które odnoszą się do wartości pieniężnych muszą być wyrażone w tej samej walucie i jednostkach. W przypadku krajów wschodzących przyjmuje się najczęściej wyrażenie w dolarze amerykańskim. Jest to spójne z kwotowaniami kontraktów SCDS w walutach obcych. Badając wycenę godziwą SCDS należy mieć na uwadze także techniczne aspekty konstrukcji kontraktu. Packer i Zhu [2005] zwracają uwagę, że w pierwszym etapie funkcjonowania rynku swapów kredytowych występowały znaczne różnice w konstrukcji umów w zakresie definicji zdarzeń kredytowych, czy też sposobu rozliczenia przy wystąpieniu zdarzenia kredytowego. W konsekwencji spready CDS podmiotów o zbliżonych wartościach determinant istotnie różniły się w zależności od regionu geograficznego i typu podmiotu referencyjnego, co wynikało z różnych warunków technicznych kontraktów. Z jednej strony potwierdzało to efektywność rynku CDS, który uwzględniał w spreadzie różne warunki techniczne, jednak z drugiej strony powodowało konieczność uwzględnienia szerokiej gamy determinant w studiach porównawczych, zwłaszcza w pierwszych latach funkcjonowania rynku, to jest co najmniej do 2004 r.