Zmienność jako autoregresyjna heteroskedastyczność warunkowa

Zmienność ceny lub spreadu instrumentu finansowego jest interpretowana jako miara niepewności odnośnie przyszłych ich wielkości. Ogólnie rzecz ujmując, wyższa zmienność wskazuje, że instrument finansowy jest relatywnie bardziej ryzykowny. Kluczowa cecha zmienności, nieobserwowalność, czyni badanie zmienności zagadnieniem skomplikowanym. Cecha ta wymusza poszukiwanie miar przybliżających zmienność. Wyróżnia się trzy podstawowe podejścia w konstruowaniu takich miar: budowa modeli zmienności, implikowanie z cen rynkowych i obliczanie zmienności zrealizowanej na podstawie zwrotów o wysokiej częstotliwości [Doman i Doman 2009]. Kolejnymi cechami zmienności są ewolucja w czasie, persystencja i tendencja do tworzenia skupisk (ang. volatility clusters). Wśród parametrycznych modeli zmienności, które uwzględniają wskazane cechy, najpopularniejsze są uogólnione modele autoregresyjnej heteroskedastyczności warunkowej (ang. generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH), które wykorzystuje się w Rozdziale 3 rozprawy.

Analiza stochastyczna zwrotów w podejściu dynamicznym, w odróżnieniu od analizy statycznej opartej na statystykach opisowych z próby, opiera się na przekonaniu o możliwości wnioskowania dotyczącego przyszłych zwrotów i ich charakterystyk na podstawie przeszłych zwrotów i opóźnionych wartości innych zmiennych objaśniających, szczególnie w sytuacji występowania zależności nieliniowych między nimi. Właściwym konceptem badawczym w ujęciu dynamicznym są rozkłady warunkowe i momenty warunkowe, w tym warunkowa wariancja. Jak wskazuje Whittle [2000], pierwotnym celem warunkowania (ang. conditioning) jest zawężenie przestrzeni zdarzeń elementarnych. W konsekwencji tego procederu badacz posiada dokładniejszą informację o tym, gdzie rozważane zdarzenie elementarne musi się znajdować. Jeżeli zbiorem warunkującym jest zbiór A, wówczas oczekiwania przestają dotyczyć całej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, lecz dotyczą jedynie jej podzbioru A. W przypadku, gdy wariancja warunkowa nie jest uzależniona od wartości przyjmowanych przez zmienną warunkującą, jest określana mianem homoskedastycznej, w przypadku przeciwnym – jako heteroskedastyczna [Spanos 1986]. W tym kontekście Doman i Doman [2009] podkreślają, że rozpatrywanie rozkładów warunkowych jest nieodzowne w sytuacji, gdy są podstawy, aby przypuszczać, że na obecne zwroty wpływają zwroty przeszłe. Należy zwrócić uwagę, że heteroskedastyczność jest immanentną cechą danych przekrojowych lub przekrojowo-czasowych [Welfe 2009]. Niekiedy może być też skutkiem agregacji danych, co w kontekście danych o częstotliwości dziennej oznacza agregację ze zwrotów śróddziennych.

107

Zmienność, w dalszej części rozdziału rozumianą jako wariancja warunkowa zwrotu, można określić jako zmienną losową mierzalną względem zbioru informacji, określanego mianem σ-ciała, generowanego przez napływające informacje na temat procesu cenowego. Zakłada się, że w momencie t inwestor ma informację o zbiorze informacji, które napłynęły do momentu t włącznie, czyli ma informację, czy nastąpiła realizacja danego zdarzenia należącego do σ-ciała ℱ_𝑡. Wówczas wariancję warunkową zwrotu 𝑟_𝑡 względem σ-ciała ℱ_𝑡−1 w kontekście zwrotu określonego równaniem 2.6 można przedstawić następująco:

ℎ_𝑡= 𝐸 [(𝑟_𝑡− 𝐸(𝑟_𝑡|ℱ_𝑡−1))²| ℱ_𝑡−1] _3.1 gdzie 𝐸(𝑟_𝑡|ℱ_𝑡−1) oznacza warunkową wartość oczekiwaną względem σ-ciała ℱ_𝑡−1. W szczególności wariancja jest ℱ_𝑡−1-mierzalna, więc proces stochastyczny 𝜎_𝑡² jest prognozowalny. Oznacza to, że wartość zmienności może być określona na podstawie informacji, które napłynęły do chwili t-1 włącznie.

Obok powyższej koncepcji zmienności, w ostatnich latach intensywnie wzrastała liczba badań poświęconych pojęciu zmienności (lub wariancji) zrealizowanej, którą ogólnie można określić jako sumę kwadratów zwrotów śróddziennych [Martens 2002]:

𝑅𝑉_𝑡= (1 + 𝑐) ∑ 𝑟_𝑡,𝑑² 𝐷

𝑑=0

3.2

gdzie 𝑟_𝑡,𝑑 oznacza śróddzienne stopy zwrotu, t – indeks czasowy odpowiadający dniu, d – indeks odpowiadający numerowi zwrotu w ciągu danego dnia, D – liczbę zwrotów śróddziennych w danym dniu. Stała c jest wprowadzana w celu przeskalowania miary zmienności do wyższych poziomów, stąd c>0, zwykle przyjmuje się c<0,5. Prognozy takiej zmienności okazują się trafniejsze od prognoz uzyskanych na podstawie danych dziennych [Andersen i Bollerslev 1998]. Istotnym problemem w przypadku zmienności zrealizowanej okazuje się jednak dobór odpowiedniej częstotliwości danych śróddziennych. Zbyt krótkie interwały czasowe, w szczególności mniejsze niż 5-minutowe, mogą zawierać zbytu dużo szumu informacyjnego i być podatnymi na efekty mikrostruktury rynku. Przyjmuje się, że zwroty nie powinny być też dłuższe niż godzinowe ([Będowska-Sójka i Kliber 2010], [Doman i Doman 2009]).

Biorąc pod uwagę stosunkową rzadkość kwotowań spreadów SCDS należy przyjąć, że wyliczanie zmienności zrealizowanej dla spreadów SCDS na podstawie danych śróddziennych jest czynnością wątpliwą z metodologiczno-empirycznego punktu widzenia. Bardziej odpowiednią metryką zmienności jest wariancja warunkowa estymowana

108

ze zwrotów dziennych za pomocą uogólnionego modelu autoregresyjnej heteroskedastyczności warunkowej (ang. generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH). Po raz pierwszy koncepcję, w której warunkowa wariancja zwrotów z instrumentu finansowego zależy nietrywialnie od przeszłych stanów gospodarki i ewoluuje w czasie przedstawił Engle [1982], a uogólnienie modelu zaproponował Bollerslev [1986]. Koncepcja ta polega na opisaniu zmienności instrumentu finansowego w danym momencie jako funkcji kwadratów przeszłych realizacji jego zwrotów. W ogólnym modelu zmienności zwrot ze spreadu kredytowego 𝑟_𝑡 w okresie t można przedstawić następująco [Doman i Doman 2009]:

𝑟_𝑡= 𝜇_𝑡+ 𝑦_{𝑡 3.3}

gdzie 𝜇_𝑡= 𝐸(𝑟_𝑡|ℱ_𝑡−1) jest warunkową wartością oczekiwaną względem σ-ciała ℱ_𝑡−1 zawierającego informacje na temat procesu 𝑟_𝑡 (czasem także na temat innych procesów), do chwili t-1. Modelowana jest ona najczęściej za pomocą podstawowych modeli szeregów czasowych typu ARMA(p,q):

𝜇_𝑡= 𝑎₀+ ∑ 𝛿_𝑖𝑥_𝑖,𝑡 𝑘 𝑖=1 + ∑ 𝑎_𝑖𝑟_𝑡−𝑖 𝑝 𝑖=1 − ∑ 𝑏_𝑗𝑦_𝑡−𝑗 𝑞 𝑗=1 3.4

gdzie 𝑥_𝑖,𝑡 są dodatkowymi zmiennymi objaśniającymi. Natomiast zmienna 𝑦_𝑡 spełnia warunek:

ℎ_𝑡= 𝑣𝑎𝑟(𝑟_𝑡|ℱ_𝑡−1) = 𝐸(𝑦_𝑡2|ℱ_𝑡−1) 3.5

Zmienną 𝑦_𝑡 określa się mianem szoku lub innowacji zwrotu w momencie t. Powyższy zapis oznacza, że w modelowaniu wariancji warunkowej rozszerza się model dla warunkowej wartości oczekiwanej o równanie dynamiczne sterujące ewolucją w czasie wariancji warunkowej zwrotu. Model GARCH(p,q) można opisać równaniami:

𝑦_𝑡 = √ℎ_𝑡𝜀_𝑡 3.6 ℎ_𝑡 = 𝜔 + ∑ 𝜔_𝑘𝑥_𝑘,𝑡 𝑚 𝑘=1 + ∑ 𝛽_𝑗ℎ_𝑡−𝑗 𝑝 𝑗=1 + ∑ 𝛼_𝑖𝑦_𝑡−𝑖² 𝑞 𝑖=1 3.7

gdzie 𝜀_𝑡~𝑖𝑖𝑑(0,1), 𝛼₁ ≥ 0, 𝛽_𝑗 ≥ 0 oraz 𝜔 + ∑^𝑚_𝑘=1𝜔_𝑘𝑥_𝑘,𝑡 > 0 dla t=1,…T. Z powyższego równania wynika zależność polegająca na tym, że duże wartości 𝑦_𝑡 pociągają za sobą dużą zmienność ℎ_𝑡. Oznacza to, iż w szeregach generowanych przez modele GARCH prawdopodobieństwo wystąpienia dużej zmiany, jeżeli w poprzednim okresie taka zmiana również miała miejsce, jest większe, niż prawdopodobieństwo wystąpienia mniejszej zmiany.

109

Dzięki temu modele GARCH są adekwatne do opisu zjawisk charakteryzujących się występowaniem skupisk zmienności.

Doboru rzędu opóźnień w równaniach średniej i wariancji warunkowej można dokonać analizując kształtowanie się funkcji autokorelacji i autokorelacji cząstkowej, a także wykorzystując kryteria informacyjne [Tsay 2005]. Parametry modeli GARCH można estymować wieloma metodami. Estymatory metody największej wiarygodności (MNW) są asymptotycznie efektywniejsze od estymatorów MNK. Rzadziej stosuje się uogólnioną metodę momentów. Najczęściej stosowaną praktyką jest estymacja za pomocą metody quasi-MNW, w której logarytmiczną funkcję wiarygodności maksymalizuje się bez założenia, że reszty standaryzowane są realizacjami procesu normalnego. Proces oceny dopasowania i testowania modeli GARCH nie jest tak wystandaryzowany jak w przypadku modeli regresji liniowej estymowanych KMNK. W szczególności powszechnie stosowany w przypadku tych ostatnich współczynnik determinacji liniowej 𝑅2 nie znajduje prawidłowego zastosowania w przypadku modeli GARCH, co wynika z bardzo wysokiej zmienności wariancji warunkowej⁴⁰. Doman i Doman [2009] sugerują, że ocena dopasowania modelu powinna obejmować:

- testowanie, czy reszty standaryzowane 𝜀̂_𝑡= ^𝑦𝑡 𝜎

̂_𝑡 są generowane przez ciąg niezależnych zmiennych losowych o założonym w modelu rozkładzie. W tym celu w praktyce stosuje się najczęściej test Boxa-Pierce’a, Ljunga-Boxa, Engle’a, McLeoda-Li, a rzadziej test BDS,

- testowanie zależności asymetrycznych⁴¹ za pomocą testów Engle’a i Nga [1993], - testowanie stabilności parametrów za pomocą testów Chowa (w przypadku znanego

momentu zmiany strukturalnej), Nybloma i Hansena. Zaletą ostatnich dwóch testów jest możliwość ich stosowania dla pełnego wektora parametrów, jak i dla poszczególnych parametrów modelu,

- testowanie zgodności rozkładu za pomocą testu Pearsona.

Racją bytu modeli typu GARCH jest występowanie efektu ARCH, który jest zależnością nieliniową opisaną za pomocą funkcji kwadratowej opóźnionych wartości danej zmiennej losowej. Testowanie zależności nieliniowych w modelu zmienności przeprowadza

40 W przypadku częstotliwości śróddziennej obserwacji współczynnik 𝑅2 lepiej odzwierciedla dopasowanie modeli GARCH. Spowodowane to jest między innymi tym, że suma zwrotów śróddziennych nie jest zazwyczaj równa zwrotowi dziennemu. Andersen i in. [2007] podają, że wówczas można osiągnąć współczynniki 𝑅2 o wielkości nawet 50%.

41

110

się przeważnie dla szeregu reszt dopasowanego modelu liniowego ARMA. Powszechnie stosowanym testem jest test Engle’a opierający się na następującej regresji:

𝑥_𝑡2 = 𝛼₀+ ∑ 𝛼_𝑘𝑥_𝑡−𝑘² + 𝜀_𝑡 𝑝

𝑘=1

3.8

Przy prawdziwej hipotezie zerowej o braku heteroskedastyczności warunkowej (𝛼₁ = 𝛼₂ = ⋯ = 𝛼_𝑝 = 0) oraz pod warunkiem istnienia momentu 𝐸(𝑥_𝑡⁸), statystyka 𝑇𝑅2 ma asymptotyczny rozkład 𝜒2(𝑝), zgodnie z konstrukcją testów według reguły mnożnika Lagrange’a. Odrzucenie hipotezy zerowej oznacza istnienie efektu ARCH w danym szeregu. Najczęściej przy testowaniu efektu ARCH w dziennych zwrotach finansowych przyjmuje się opóźnienia 𝑝 = 1, 5, 10.

W środowisku ekonometrii finansowej w ramach oceny dopasowania modelu bywa mierzona też trafność prognoz. Z kolei powodzenie określonej strategii inwestycyjnej zależy niejednokrotnie nie tyle od umiejętności przewidzenia wartości danej zmiany, co jej kierunku. Pomocne okazują się być wówczas miary oceniające tak określone walory predyktywne modelu. Przykładem może być miara zgodności kierunku zmian lub miara opisująca zdolność prognozowania punktów zwrotnych (por. [Osińska 2006] i [Welfe 2009]).